2023届高考数学压轴题巧解方法与练习（单调性的几个等价命题）（附答案）.pdf

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1、2023届高考数学压轴题巧解方法与练习（单调性的几个等价命题）【方法点拨】1.函数,/（X）为定义域在。上的增函数o 对任意王，工 2 e。，当玉。叱都有玉-x22.对 任 意 和 6。，当.?花 时，都有/（土）/（2）的。玉-x2（X）-一 /（9）一 饱 o o 函数扎 x）kx为。上的增函数%一说明：含有地位同等的两个变量X 1,X 2 或q,r 等不等式，进行“尘归尘，土归土 式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.【典型题示例】例 1（2 02 2 江苏南通海安12 月考 8）已知/）=/+2 -1,对

2、任意汨、及 1,+O O）且 X V X 2,恒有X 双X i）X I 於 2）V a（x i X 2）成立，则实数a的取值范围是（）7 7A.（-00,2 B.（-00,3 C.（-00,，D.（0,今【答案】A【分析】由已知条件可得函数g（x）=e +?在口,+8）上单调递增，所以g，（x）=l +或一爰=今 上 0在口,+8）上恒成立，从而可得a x2+1在 1,+8）上恒成立，进而可求得答案【解析】由孙/（右）一*（不）矶/一 不），/，次 口，+8）,得xO?：，f（x 2）啥幺xlx2 xlx2所以3+2 四+色，Xi A X2 x2因为%1，%2 e 1,+8）且1 x2,所以函

3、数g（x）=4 尹+?在 L+8）上单调递增，即g（%）=%+2Q-：+2 在 L+8）上单调递增，所以“（X）=1+2一/=力 装 三 20在 1,+8）上恒成立，所以/+1-a 0在 1,+8）上恒成立，即a x2 4-1在 1,+8）上恒成立，所以QW2,所以实数。的取值范围是（一 8,2 ,故选：A例 2 已知函数/(x)=o l n x +g x 2,在其图象上任取两个不同的点尸(内,乂)、Q(/，K)(WZ),总能使得了 J/(“2)2,则实数。的取值范围为()不一A.(1,-K )B.1,+c o)C.(1,2)D.1,2【答案】B【分析】根据，(?：；()2结合 0,可得出了(

4、%)-2%/(%)一 2 马，可知函数g(x)=/(x)2 x 在(0,+8)上为增函数，可得出g (x)N O,结合参变量分离法可求得实数。的取值范围.【解析】由W%)2以及内 0,二/(5)一/(巧)2%一2 电，玉X2所以，/()-2%(/(X2)-2X2,构造函数 g(x)=/(x)-2 x =a l n x+g x 2-2 x ,则 g(x j g(%2)，所以，函数g(x)在(0,+8)上为增函数，由于g (x)=+x 2，则g (x)?O 对任意的x e(0,+o o)恒成立，由g (x)=f+X-2N0,可得+当x0 时，则 =一%2+2%=一(x-1)2+1 ,因此实数4的取

5、值范围是 1,+8).故选：B.例 3 已知函数_/(x)的定义域为R,图象恒过(0,1)点，对任意与,尺，当不声当 时，都有1 0)一/*2)1,则不等 式 彘 -1)1化为%-x2/G)-即-/(工2)-X2二 0百一占令 F(x)=/(x)-x,故尸(X)在R上单增，且P(0)=/(0)0=1/l n(e*v*-l)l +l n(e-1)可化为/I n -1)-l n(ex-1)0,即 F(x)x)ax 在 O 单增.例4 已知函数/(x)=n x +x 2 3无，对于任意%,%2口，10，当王 一 )恒成立，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是.玉马【答案】(f,T 7 10【分析】

6、同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性.解析不等式f(x,)-f(x2)gf)可变形为/(王)一/(w)一%，/(彳2)-,当,%2 e 口，10，且 西 恒成立，XX2m所以函数y =/(x)-一 在 上 单 调 递 减.令x/2-Z m 1 2 c m ri(x)=/(x)-=l n x +r一 3x-,x G 1,10IT则/()=+2%-3+下 0在x l0上恒成立,X X即 m,-2x3+3%2%在 x I,I ()上恒成立.即尸 l n(e*1)/(0),所以l n(e l)0,0 e-l l.解之得l x l n 2所以不等式 f l n(e*-1)

7、0()；2.结 构 联 想，当 题 目 中 出 现/一/,应 移 项 通 分 转 化 为办一工2(/(内)-时办。)一 xx设 F(x)=-2x3+3/_ x,则/(X)=一6/+6工 _ I =-6IX 2、27l+一.2因为当xe 1,10 时，F(x)0,记“=、a ,b=U L,c=则 a,b,cx2-x 0 2 sin l I n 3的大小关系为.a b c B.b a c C.c a b D.c b 0,即赴 一 石f(*Xl)f(X2)X%=g(%)-g(x 2)0，故 g(x)在(0，+)上为减函数X -X2 Xj -x2综上，g(x)为偶函数，且在(v,o)上单调递增，在(0

8、,+8)上单调递减.又/(0.23)0.23g(O23)，丁(sin l)sin lb=g(sin l),/吗c=-I n 3/(-l n 3)_ /(l n 3),且。(O sin l g(sin l)g(l n 3),即 a h c,故答案为：D.【巩固训练】1.已知函数;1 满足对任意玉工工2,都有/GJ /()0 成(4a-l)x+2a,x 21%x2立，则实数。的取值范围是()e，fM fM 八2,已知函数/(x)=-ax,x G(0,+o o),当时，不等式-0 怛成Xx2 Xj立，则实数。的取值范围为()-呜3.若对V x”X2G(，+8),且 X|X2,都 有 皿 三 磔 吧

9、1,则机的最小值是(X2-X)注：(e为自然对数的底数，即 e=2.7 18 28)13A-B.e C.1 D-e e4.已 知 函 数/(x)=x-a sin x ,对 任 意 的 再，x,e(-o o,+o o),且 无 尸 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围是()西一%1 1 1 、1A.a B.Q D.。之一2 2 2 25 .已知/(%)是定义在-1,1 上的奇函数，且/(-I)=-1,当a,。e -1,1,且 a+%w0 时，(a+Z?)(/(a)+/)0 成立，若/(x)42/m+1对任意的t目1 恒成立，则实数m的取值范围是()A.(F,-2)U 0 U(2,”)B.(-,-2

10、)U(2,+)C.(-2,2)D.(-2,0)U(0,2)6 .设函数/(x)是定义在R上的奇函数，/(-2)=0,若对任意两个不相等的正数占，都有“(止，()o,则不等式o的解集为.玉一/X7 .已知/(幻=讥r +g f+不，若对任意两个不等的正实数x ,犬 2，都有恒成立，则 的 取 值 范 围 是.8 .已知大于1 的正数。，8满 足 嵯 ，则正整数的最大值为()l Cl)A.7B.8C.9D.11【答 案 与 提 示】1.【答案】B【解析】因为函数对任意司。，都有八 八2 J0成立,所以函数在定义域内单Xy-X20。1调递减，所以I 4。-1 0 故选B./、6lo g/2(4(2-

11、1)1 +2a2.【答案】Af(x f(x)【分析】令g(x)=v(x),由UU U 2/0),利 用 导 数 可 求 得=/1(2)=?，从而可得勿?，解不等式求得结果./(X)/(X,)”/、【解析】由-二 X 0得：(石)0),则勿(x)=(:2)xw(0,2)时,/z,(x)0,单调递增22/2：.h(x.=h(2)=3a 解得：a s-00,7-/m i n V /4 4(2本题正确选项：A点评：本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转

12、化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.3.【答案】C【解析】由题意，当0W/n g%2时，由1-1,等价于 x jln X 2-x i ln xX2-X,即 x i ln X 2+x j r21n X+2,X2X故 x i(ln X 2+l)X 2(lnx+1),I n X 2+1 I n x i +1故 m 20,-I n x故火X)在(加，+8)上单调递减，又由/(x)=p-,令/(x)1,故兀0在(1,+8)上单调递减，故加21.4.【答案】B【解 析】因 为x产%，不 妨 设 可工2，则6,a可 化 为%一工2/()-/(x2)a(x1-x2),即/(%)-叫 f(

13、x2)-ax2设/(x)=/(x)-a x则 (%)(.)a恒成立，即-办 /(修)一 书 对 任 意 的 用，Xy e(-w,400),11不一X 冗2时恒成立，即 产(%)尸(3 2)对任意的司，工2 e(-o o,-H x)目.%X?时恒成立所以尸(=力 方 在R上单增故=1。0 5 1一2 0在 R 上恒成立所以-，故-|=-1+C OS X 11+C 0S 无 J m i n 2所以实数a的 取 值 范 围 是 选 民25.【答案】B【解析】令。=引力=一工2，则玉,工2，(%)(/(王)一/(工2)0成立,则/(力 为单调增函数，若/(九)加22/7?+1对任意的，6-1/恒 成

14、立,则/(x)1ax 2-2tfn+l,即 f(1)0，令g(r)=m2-2tm 0 ,则 g(f)m m 。，；.，/n e(T ,2)U(2,+()6.【答案】(T2-2)U(2,+8)【解析】构造函数g(x)=/C .则 因 为 是 定 义 在R上X的奇函数，故g(x)为定义域是 x|x，o 的偶函数，乂对任意两个不相等的正 数%都有；一，0,即 X%/n g（x J g（X 2）/n g a（，+00）x.-x2-0X-X2 X j-x2上为减函数.又/（一2）=0,故g（2）=止=0.2综上，g(x)为偶函数，且在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减.且g(-2)=g =

15、0.故即 g(x)*2，f(Xl)-/(-*2)Xl2-X2 令 g(x)=f(x)-x2=alnx-g x?+x，g(X|)g(X 2)，g(x)在(0,+o o)上单调递减,g，(x)，-x +L,0，X&x2 -x =(/x1、)，1，2 4.%=；时,(了2一).=一；,1 4 一 二4,。的取值范围是(-8 ,J.故答案为：(-00,一；.8.【答案】C【分析】竽、等价 于 空_值 外2厂(吁，根据题意，即求“力 四 (或 而，8(力 有最小1 )/代入 为 一 4=7,等价于 +2 一 /、-I n,令创出二n-2-2 )性，可知e(x)单调递减,【解析】由题干条件可知令 尤)=辱

16、，(x L1 2；v*_|_ 2 丫上 士-I n-,即求姒x)0的最大的正整数.对(p(x)求导求单调x2 2代入数值计算即可求出结果.：华工等价于e a b a)则 ,(x)4 nx(2-l nx)_ I n x(2-nlnx)Xf1(x)=O,x =e7,C 2当 尸(x)0时,x e l,e,当/(x)1),则gx)=X X则 g (x)=O，x =，当 g (x)O,x/，当所以g(x)在(J上单调递减，在(4+8)上I n2b e10(若臀1,2 2(ny el t单调递增，贝U g (力有最小值g (5)一 (q)3 1,鸣)-n +2 两边取对数可得：+22(2)l n-.=2时，等式成立，当2 3时，有-l n-,2 n 2 2x-j-2 y*令夕(x)=-I n-,本题即求夕(x)0的最大的正整数.%2 2-4 1e (x)=7=一一 0,(9)=y-l n|1.571 4-1.51 0,(1 0)=-|-l n5 0的最大正整数为9.故选：C.点评：本题考查构造函数法解决恒成立问题，双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为/(x J g(X 2),只需F&L1Vg 加.