2023年高考数学一轮复习(新高考).pdf

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1、5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版）题 组 一概念辨析工 ”一-.”.-31.（2 0 2 2全国高三专题练习）（多选）下面的命题正确的有（）A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若万，5满足1初 1 I且a与5同向，则万5D.“若A、B、C、。是不共线的四点，且 丽=反 。四边形A B C D是平行四边形”2.（2 0 2 2全国高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（）A.对于任意两个向量a,若，恸，且2与B同向，则 坂B.已知同=6,工为单位向量，若藐=苧，则2在工上的投影向量为-3后c.设疝 为非零向量，贝 存在负数;I,使得正=2 是 的 充 分

2、不 必 要 条 件D.若无5 0，则万与方的夹角是钝角3.（2 0 2 2江苏）（多选）设值是已知的平面向量，向量G,b,不在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（）A.给定向量5,总存在向量5,使a=5+e；B.给 定 向 量 方 和 总 存 在 实 数2和，使=痛+不；c.给定单位向量方和正数，总存在单位向量和实数4，使a =/i5+不；D.若I利=2,存在单位向量5,1和正实数2,，使&+第,则3+3 6.4.（2 0 2 2全国高三专题练习）（多选）设是己知的平面向量且一 二0,向量入工和 在同一平面内且两两不共线，关于向量2的分解，下列说法正确的是（）A.给 定 向 量 总 存 在

3、向 量2,使Z =B+2；B.给定向量B和，总存在实数2和，使 =花+比；C.给定单位向量B和正数，总存在单位向量2和实数，使 =4+）；D.给定正数2和，总存在单位向量B和单位向量入使 =5.（2 0 2 2 东莞高级中学）（多选）关于平面向量2 万1，下列说法中错误的是（）A.若a b 且 朋,，则。/兄 B.（a+b）-c=a-c+b cC.若小5 且万力0，则5 =0 D.（a-byc=a-b-c6.（2 0 2 2 全国高三专题练习）（多选）已 知 是 三 个 平 面 向 量，则下列叙述错误的是（）A.若|力=|7|，则；=士办B.若且上6,则nc 若力心力。町 捻D.若】_!_ 二

4、，贝 1 日+1 目 一|7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）给出下列命题：若伍|=出|,则1 =5；若A、B、C,。是不共线的四点，则 通=反 是 四 边 形 A 8 C。为平行四边形的充要条件；若1 =5,b=c，则 1 =5的充要条件是1。1=出1 且a/5；若&/B,b/ic 则 商 其 中 正 确 命 题 的 序 号 是.题组二共线定理1.（2 0 2 2 广东）已知向量。和方不共线，向 量 通=a +,泌，B C =5 a +3 Z C D =-3a+3 b,若A、8、D三点共线，则机=（）A.3 B.2 C.1 D.-22.（2 0 2 2 河南省杞县）已知向量不，当不共线，

5、a%+3 ,b=2不+码，若石在，则4=.3.（2 0 2 1 全国）设两个非零向量与互不共线，（1）若 丽=4 +5,B C =2a+S h,丽=3,-5）,求证：A,B,。三点共线；（2）试确定实数A,使标+5和&+历 共线.题组三平面向量的基本定理-1.（2 0 2 2 黑龙江哈尔滨三中）A 3 C 中，E 是边3C上靠近8的三等分点，则 向 量 荏=（）1 u t i l 1 u u u 1 _.2 _.A.-A B +-A C B.-A B +-A C3 3 3 32 _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 _ _.7 _.C.-A B+-

6、A C D.-A B+-A C3 3 3 32.（2 0 2 2.全国.模拟预测）在平行四边形A B C Z）中，设 荏=,C D =b，E 为的中点，C E 与 B D 交于F,则/=（）A a+2b 口 2a+b 厂 a-2b 2a-bA.-D.-C.-D.-3 3 3 33（2022全国高三专题练习）如图平面四边形ABC。中，AD=3AE,BC=3BF,则 丽 可 表 示 为（）2 _ 2B.-A B +-D C3 3C.-A B +-D C3 3D.-A B +-D C3 34.（2022.山东潍坊.模拟预测）在平行四边形A8CZ）中，M,N 分别是AQCD的中点，B M=a，BN=h

7、，则 丽=（3-2-A.-a +-h4 33-3-D.a+h4 42-3-C.金 十 二 人3 4B.-a-h3 35.（2022全国高三专题练习）在AABC中，点。在边AB上，8=2八4.记 丽=丽 丽=万，则 丽=（）A.3ih2n B.2rn+3n C.3玩+2万 D.2rh+3n6.（2022.全国高三专题练习）在等边AABC中，。为重心，。是。8 的中点，则 而=（）2 1 1 1 7 1 A.AB+AC B.-A B +-A C C.-A B +-A C D.-A B +-A C3 2 2 4 3 67.（2022.河南）在AA8C 中，BD=2DC,M为 AO 的中点，BM=xB

8、A+yBC,则x+y=（）5 1 2A.-B.g C.1 D.f62 38.（2022全国高三专题练习）已知点。是 ABC所在平面内一点，且 西+而+方=6,贝 U （）A.PA=-B A +-B C B.PA=-B A +-B C3 3 3 3C.PA=-B A-B C D.PA=-B A-B C3 3 3 39.（2022云南一模（理）在AABC中，。是直线AB上的点.若2丽=丽+2而，记AC8的面积为岳，5.ACD的面积为邑，则 节=（）2/119A.B.C.D.1 10.（2022辽宁沈阳二模）（多选）如图，在4x4方格中，向量a，b,c6 2 3 3的始点和终点均为小正方形的顶点，则

9、（）B.|+5卜 同D.a c b-c1 1 .（20 22.广东.深圳市光明区高级中学模拟预测）（多选）在 回（?中，。为BC中点，且 蓝=2 关，则（）_ _ 2 _ _ 1 _ _ _ _ 1 _ _ 1 _ _A.CE=-C A +-C B B.CE=-CA+-C B3 6 3 3C.CE/CA+CB）D.C E 1（C A-C B）1 2.（20 22全国模拟预测）（多选）如图，直角三角形A B C 中，D,E是边AC上的两个三等分点，G是 B E的中点，直线AG分别与8。，B C 交于点、F,H设 通=,A C =b则（）-1 一 1 -B.A F =-a+-b3 6-1 一 1

10、一 一 3 2 C.E G =-a h D.A H =-a-b2 3 5 51 3.（20 22全国高三专题练习）在三角形/4 8。中，点。在边8。上,若 砺=2无，而=/1 而+/（%1 ）,贝._ _ 2 一1 4.（20 22.全国高三专题练习）在边长为4的等边AM C 中，已知A D =A B,点p 在线段CD上，且AP =m A C+A B ,贝 1 网=.1 5.（20 22浙江模拟预测）在平行四边形A B C Z）中，A B =2,c osN B A C =；,E、尸是边B C,8 上的点，19BE=；BC,C F C D,若 荏.丽=8,则 平 行 四 边 形 的 面 积 为.

11、4AB A C1 6.（20 22全国高三专题练习）等腰直角“BC中，点 P是斜边B C 边上一点，若 丽=网+懵，则“8 C的面积为_ _ _ 1 一 3 一1 7.（20 22全国高三专题练习）已知AM=：A 8 +二AC,则与A A B C 的面积之比为_ _ _ _ _ _ _4 4题 组 四 数 量 积1.（20 22上海市嘉定区第二中学模拟预测）在AABC中，AB=A C =3,B D =2 DC.若 ABC=4，则AB A C-（）.A.3 B.-3 C.2 D.-22.（20 22全国高三专题练习）己知 A B C 中，乙4 =6。，A B=4,A C=6,且 两=2而，丽=而

12、，则 恁而=（）A.1 2 B.1 4 C.1 6 D.1 83.（20 22全国高三专题练习）己知菱形A B C。的边长为a,A B C =6 0 ,则 丽丽=（）A.a2 B.a1 C.a2 D.a2442J T4.（20 22全国高三专题练习）如图，AABC中，Z B A C =-,而=2 历，P 为 C D上一点,且满足AP=m A C+A B ,若 A C=3,A B=4,则 丽 丽 的 值 为（）5.（20 22.陕西交大附中）已知在平行四边形A 8 C E 中，诙 4 或，阱=；而,|而|=2,|研=，则 而.而值为 1 1 6.（20 22湖南湘潭一中高三阶段练习）已知等边“A

13、 B C 的边长为6,平面内一点P满足C P =C B +3 c A ,则 序 丽=7.（20 22天津模拟预测）已知菱形A B C O 的边长为4,E是BC的中点，则/.丘）=.8.（20 22全国高三专题练习）如图，AB=1,A C =3,ZA =9 0 ,C D =2D B,则 而 2=c题组五取值范围1.（20 22山东烟台三模）如图，边长为2 的等边三角形的外接圆为圆。，P 为圆。上任一点，若AP=xAB+yAC,则2x +2 y 的最大值为（）1-2.（20 22,全国高三专题练习）边长为2 的正三角形A 8 C 内一点M（包括边界）满足：CM=-C A +ACB（A e R）,则

14、 徐.两 的取值范围是（）4 2 2 2 4 4 ,A.B.C.D.-2,2L 3 3 L 3 3 L 3 3 3.（20 22全国高三专题练习）在 A B C 中,M为边8C上任意一点,N为AM中点，且满 足 前=2 而+/，则 筋+/的最小值为（）A.B.-C.-D.11 6 4 84.（20 22全国高三专题练习）已知圆。的半径为2,A为圆内一点，O A =g，B,C为圆。上任意两点，则 祝 阮 的取值范围是（）A.,6 B.1,6 C./,若点P 为直线x+y-4=0 上的任意一点，则|丽+丽|的最小值为（）A.272-1 B.272+1 C.4 7 2-2 D.4夜+2T T6（20

15、22全国高三专题练习）在AABC中，A=-,舫=2,AC=1.。是 BC边上的动点，则 而.就 的 取值范围是（）A.3,0 B.-C.卜1,2 D.-1,6 7.（2022.天津.高三专题练习）如图，在菱形ABCQ中，A B =2,N3AO=6 0 ,其F 分别为5C,C。上的点，1 CE 2EB,CF=2 F b,若线段E F上存在一点M,使得AM=k AB+弓 A）（x e R）,则忆=,若点N 为线段BD上一个动点，则 而 丽 的 取 值 范 围 为.8.（2022广东金山中学高三阶段练习）如图，在AABC中,BD=-BC,3点 E 在线段4 0 上 移 动（不含端点），若 荏=2 而

16、+/，则:=,力-的最小值为题组六平面向量与其他知识的综合运用1.（2022.全国高三专题练习）若G 是AABC的各边中线交点，。,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若y/3aGA+s/3hGB+cGC=6,则角 A=（）A.90 B.60 C.45 D.302.（2022全国高三专题练习）如图所示，已知点G 是AABC的重心，过点G 作直线分别与A8,AC两边交于M,N 两点（点 N 与点C不重合），设通=犬通7，A C =yAN则的最小值为（）-厂32 B.1 +0 C.D.2 +2/3.（2 0 2 2 江苏省木渎高级中学模拟预测）如图所示，AM C的 面 积 为 毡，其中4 3 =2

17、,NA B C =6 O。，AD2为 8 C 边上的高，例为4。的中点，若与7 =2 而+，则力+2 的 值 为（）4.（2 0 2 2 江苏南京师大附中模拟预测）在边长为2的等边AABC中，。为线段8 c 上的动点，且交 4 8 于点E,。尸 A B且交AC于点F,则 2 8E+O F 的 值 为（）3 5A.1 B.-C.2 D.-221 _ 1 _ CE5 （2 0 2 2全国高三专题练习）在 A B C 中，点。满足赤=5AB+x AC,直线A。与 8 c 交于点E,则=6 2 CB的 值 为（）A.；B.-C.D.2 3 4 56.（2 0 2 2.全国高三专题练习）（多选）已知AM

18、C是半径为2的圆。的内接三角形，则下列说法正确的是（）J TA.若角C =,则 福.而=1 2B.若 2 函+通+/=0，则|8 小=4C.O A-O B O A O B ,贝 i j 丽，砺 的 夹角为:D.（B C +B A）A C=|A C|1 2）则 A 8 为圆。的一条直径7.（2 0 2 2 江苏高三专题练习）（多选）若点。是线段BC外一点，点尸是平面上任意一点，且 而=/0 亘+元a，WR）,则下列说法正确的有（）A.若 2+/z=l 且 A 0,则点P在线段B C的延长线上B.若 2+=1 且 k0,则点P 在线段BC的延长线上C.若在 1,则点P 在外D.若则点P 在AO B

19、C内8.（2 0 2 2.山西大附中三模（理）如图，已知点E 是平行四边形A 8 C。的边A8的中点，点G,（eN”）在线段B O 上，且满足可刀=。”*杀-2（2 4+3）.踽，其中数列 q 是首项为1 的数列，则数列 q 的通项公式为5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版）题组一概念辨析1.（2 0 2 2全国高二专题练习）（多选）下面的命题正确的有（）A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若万，5满足1 初|6|且a与5同向，则万5D.“若 A、B、C、。是不共线的四点，且 丽=反 。四边形A B C D 是平行四边形”【答案】A D【解析】对于A，由相反

20、向量的概念可知A正确；对于8,任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故 8错误；对于C,向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故 C错误；对于。，若 4、B、C、。是不共线的四点，且 通=反，可得力C,且 钻=O C,故四边形4 B C O 是平行四边形；若四边形A B C O 是平行四边形，可知A 8 ）C,且 A 8 =E C,此时A、B、C、。是不共线的四点，且 丽=反，故。正确.故选：A D.2.（2 0 2 2.全国高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（）A.对于任意两个向量”,若卜卜W，且 与5同向，则B.已知同=6,2 为单位向量，若2,工=子，则 在 上的投影向量为C.

21、设 质 为 非 零 向 量，贝胪存在负数4,使得前=2 不 是 喘；0”的充分不必要条件D.若箱5 o,则a与方的夹角是钝角【答案】BC【解析】选项A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比较大小，故选项A 错误；选项B：在单位向量 上的投影向量为（同c o s 1,）=6 x 卜 等,=-3 女故选项B 正确；选项C：若存在负数；I,使得前=4 兀 则 相 力?乖 卜。：若展.；?（）,则向量标与的夹角为钝角或1 8 0,故选项C正确;选 项D：若7 B 6.【答案】ABD【解析】对于选项A,给定向量M 和5,只 需 求 得 其 向 量 差 即 为 所 求 的 向 量 故总存在 向 量 使a=

22、b +c 故 AiE确：对于选项B,当向量5,和1在同一平面内且两两不共线时，向量方，5可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；对于选项C,取3=（4,4）,=2 1=（1,0）,无论4取何值，向量；都 平行于x轴，而向量 的模恒等于2,要使 =+成 成立，根据平行四边形法则，向量 成 的 纵坐标一定为4,故找不到这样的单位向量工使等式成立，故C错误：对于选项 D,v|a|=（Ab+pc）2=A2+p2+2Ajucos=4.又5 ,E 不共线，A2+/z2+4,即（4+4,即 4+2,r3+3 N2”.3“=2,3*（当且仅当 =时等号成立），2、3，+2x3=6，得3 +3 6,

23、故 D 正确故选：ABD.4.（2 02 2全国高三专题练习）（多选）设 是己知的平面向量且#0,向 量,，和2在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（）A.给定向量B，总存在向量c，使a =B+c;B.给定向量B和2,总存在实数2和，使 =4+；C.给定单位向量B和正数，总存在单位向量和实数几，使。=4+C;D.给定正数;i和，总存在单位向量B 和单位向量2,使 =【答案】AB【解析】对于A,给定向量入 总 存 在向量e =6,使&=5 +-故 A 正确；对于B,因为向量工友工在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：总存在段数4和“，使&=/1 9+人 故 B

24、正确；对于c,设a=（o,4）,给定5 =（I,O），M=I,则不存在单位向量2 和实数久，使万=/1 5+机 故 c错误；对于D,设商=（0,4）,给定儿=1,=1,则不存在单位向量分和单位向量入 使a =/l 5 +C,故 D错误.故选：AB.5.（2 02 2 东莞高级中学）（多选）关于平面向量a 石,下 列 说 法 中 错 误 的 是（）A.若方5且5/e，则2/e B.a+by（:=a-c+b-cC.若 展 心 a-e，且 丘 6，则5 =5 D.（a ）c =a （-c）【答案】AC D【解析】A.若向量5 =则 忑不一定平行，故错误；B.根据向量的运算律可知，B 正确；C.无5

25、=*（6-，=0,且a*。，所以或故错误；I）.,方）表示与向量不共线的向量，落（以3式不与向量了共线的向量，石）与无（0 不 一定相等,故错误.故选：AC D6.（2 02 2 全国高三专题练习）（多选）已 知 是 三 个 平 面 向 量，则下列叙述错误的是（）A.若|京=|小，则:=士 族B.若 薪 工；，且 力 6,则了二c 若力力。则 力:D.若则日+第】工【答案】A B C【解析】对 A,：工不一定共线，故 A错误；对 B,平面向量的数量积没有消去律，故 B 错误;对 C,若 则 的 方 向 是 任 意 的，故 C错误；对 D,|a+f e|=|a-f e|a2+b2+2a-h=a2

26、+h2-2a-b a-b=0,故 D 正确.故选：A B C.7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）给出下列命题：若修|=|5|,则 万=凡 若 A、B、C、。是不共线的四点，则 丽=反 是 四边形A 5 C O 为平行四边形的充要条件；若&=5,b=c，则 =5;1 =5的充要条件是M l=|5|且1/5；若。b/c 则）入 其 中 正 确 命 题 的 序 号 是 .【答案】【解析】对丁，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故错误；对于，因为A,B,C,。是不共线的四点，且 丽=觉等价于1 且A B =OC,即等价于四边形A 8 C O 为平行四边形，故正确；对于，若1 =5

27、,5 =5，则 =d，显然正确，故正确；对于，由a =E 可以推出|1|=出|且。/5，但是由|1|=|很|且。弓可能推出讶=-知 故 伍|=日|且万可是=斤 的必要不充分条件，故不正确，对于，当5 时，a/b，B/,但推不出a 1,故不正确.故答案为：题组二共线定理1.（2 0 2 2 广东）已知向量。和6 不共线，向 量 通=4 +栈，B C =5 a +3 Z C D =-3 a +3 Z 若 A、8、O三点共线，则，”=（）A.3 B.2 C.1 D.-2【答案】A【解析】因为A、8、。三点共线，所以存在实数3使 得 丽=4 而，B D =BC +C D=2 a +，2 =2所以2 +

28、&?=（+根 肪，一 解得加=3.6=niA故选：A.2.（2022河南省杞县）已知向量身，马不共线，=4+3 a,b=2et+Ae2,若石4，则2=【答案】6【解析】因为&=召+3 4，石=2 4+码 且 a/5,所以存在t e R,使得=必，即4+3a=1 2 4+妈），因为R,a 不共线，所以 2：=：解得/=:，2=6.故答案为：6.=3,23.（2021 全 国）设两个非零向量a 与5 不共线，（1）若 丽=a+B，B C =2a+Sh C D =3（a-b）,求证：A,B,三点共线；（2）试确定实数A,使版+5 和2+历 共线.【答案】（1）证明见解析；（2）Z=l.【解析】证 明

29、：.丽=4+B，BC =2a+S b BF,则 乔 可 表 示 为（）1 .?2 1 C.-A B+-D C D.-A B+-D C3 3 3 3【答案】D【解析】；AO=3AE,BC=3BF,/.2EA+ED=0,2BF+CF=0,：EF=EA+AB+BF,2EF=2EA+2AB+2BF,又 丽=丽+反+浮，_ 2 _ _-3EF=2EA+2AB+2BF+ED+DC+CF=2AB+DC 所 以 酒-丽+而=0，XAC=BC-&4 BP 3 P A-2 BA +B C =O，2 1 所以P A =5 B4-BC.故选：D.9.（2 02 2云南一 模（理）在 IB C中，。是直线A B 上的点

30、.若s2BD=C B+A C A 记A C B的面积为5-八4。的面积为邑，则 寸=（）d2A 2 C 4 -1 C 2A.-B.C.-D.6 2 3 3【答案】D依题意作上图,_ 1_ 2 _由条 件 即=58+56,I“二 一 5-=u=-,BD=-BA,2 2 23.点。在 AB的延长线上，并且AZ）=5A8,5i-AB-2AD-3，故选：D.10.（2022辽宁沈阳二模）（多选）如图，在4x4方格中，向量Z，h,之的始点和终点均为小正方形的顶C.ah【答案】BCB.|a+h|=|c|D.a-ch-c【解析】如图所示，向量 与向量5 方向不同，所以1=5,故 A 不正确，作向量 与向量8

31、,可得归+母=同,且1,5，故 B 与 C 正确，连接B D,则 AC与 互 相 垂 直，所以向量值与向量8 在向量上的射影的数量是相同的,所以7 工=心人 故 D 不正确.故选：BC.（2022广东深圳市光明区高级中学模拟预测）（多选）在AABC中，。为BC中点，且A E=2EO，贝 I（）A.CE=-CA+-CB B.CE=-CA+-CB3 6 3 3C.C E/（CA+CB）D.C E 1（C4-CB）【答案】BC【解析】因 为 花=2茴，则A E Q 三点共线，且 同=2回，又因为AO为中线，所以点E 为 的 重 心,连接CE并延长交A 8于尸，则 F 为 AB的中点,所 以 屈=|#

32、=x；（a+函）=g 而+g 函，所 以 丽 （+丽）故选：BC.（2022全国模拟预测）（多选）如图，直角三角形A8C中，D,E 是边AC上的两个三等分点，G 是 BE的中点，直线AG分别与BD,8 c 交于点F,H 设 丽=,以 则（）A F=a+-b3 6【答案】ACD,1 一 1 _ 3-2-C.E G =-a b D.A H =-a-b2 3 5 5【解析】以A 为坐标原点，分别以 衣，而 的 方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系,设 AB=a,A C=b,则 A（o,o）,咕，o），（y ,C（h 0）,B（0,a）,G ,.又尸为/“BE的重心，则直线AG的方程为y=x

33、,直线8 c 的方程为：+2=1,=【答案】T【解析】由己 知 防=2反，得875=就=：(4 3-4勾，所以O _ 1 0AD=AB+Bb=AB+-AC-AB=-AB+-AC,3、7 3 3LiLUU UC11 LIL111 1 2 1?I I因为AO=2A 8+AC（；l,R）,所以4=,=,所以4一 =-,=-3.故答案为：.2 14.（2022全国高三专题练习）在边长为4的等边AABC中，已知A=4 3，点P在线段CD上，且AP=mAC+AB,贝|网=【答案】布【解析】因为入方=4豆，所以4豆=二4 5，AP=mAC+-AB,3 2 2即 而=加/+万 丽=仄 也，因为点P在线段C。上

34、，3 1所以尸，C,。三点共线，由平面向量三点共线定理得，?十:=1，即机=：,4 4 1 1 所以A P u;A C +7 A b,又 ABC是边长为4的等边三角形，4 2所 以 网2 /+g而j =白 冈2 +三 码 网COS60+；画2=x l6 +x4 x4 x+x l6 =7,故|AP|=V7.16 4 2 4 1 1故答案为：币.15.（2022浙江模拟预测）在平行四边形45C中，A8=2,cosNB4。=；,E、F是边BC,CD上的点,1 2BE=-BC,CF=-CD9若 丽,丽 8,则 平 行 四 边 形 的 面 积 为.【答案】473【解析】如图,B._1/y/inm m i

35、n i i/A E=A B+-/z y A E B F =-A D2+-A B A D-A B =8,2 3 31 T 2Tx T-1即5加|2+1A oy=8,解得|A0|=4或|AD|=一lum _,_.7 W,BF=A D一一A B,所以3（舍去），所以平行四边形的面积为S=ABM Dsin ABAD=故答案为：4 6.16.（2022全国高三专题练习）等腰直角ABC中的面积为_25【答案】万K_ 4 AB AC _ 4通 一如图，由于”=|祠+国，所以在=两，4贝IJ荏=4,府=1,所以在等腰宜角A4?C中，?1 25即腰长为5,故的面积5=5*5乂5=万.2X4X-=4V3.24AB

36、 AC，点P是斜边B C边上一点，若 丽=而+即 则 ABCACE=1,BE=,所以 A8=5,故答案为：._ 1 _ 3 _1 7.（2 0 2 2全国高二专题练习）已知A M =A B +二A C,则与A A B C的面积之比为_4 4【答案】3:4【解析】.福=国+言,故答案为：3:4.题 组 四 数 量 积IRJU U LU1.（2 0 2 2上海市嘉定区第二中学模拟预测）在AABC中，AB=A C =3,B D =2DC.若A O-B C=4,则A B A C=（）.A.3 B.-3 C.2 D.-2【答案】B【解析】由题意可 得 布 品=（而+丽）（而 一通）=（荏+/）（而-而）

37、=4,_ _ 2 _ _ _ _ 1_ 9 _._ _g|J A B+-（A C-A B）-（A C-A B）=（-A B+-A C）-（A C-A B）=4,i-AB+A C -A B-A C =A,gp-3+x 9-AB-AC=4,解 得 丽 衣=-3，故选：B2.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知 A B C中，4 =6 0 ,A B=4,A C=6,且 西=2丽，丽=丽，则 衣.丽=（）A.1 2 B.1 4 C.1 6 D.1 8【答案】B【解析】A B-A C=|A B|-|A C|-co sA =4 x6 x1 =1 2 ,J N M =NB+B M =-A B+-B C =

38、-A B +-(A C-AB=-A B +-A C2 3 2 3、6 3所以：4C W =A C-A B +|A c j=AB AC+1|C|2=|x l2 +|x 3 6 =1 4.故选：B.3.(2022全国高三专题练习)已知菱形ABC。的边长为a,/A B C =60,则 丽丽=()3 7 3 3A.cr B.a C.-ci D.-a【答案】A2 4 4 2【解析】D B =D A+A B =-BC-BA,CD =BA,则 丽 丽 二 卜 初 一丽)丽=_ 就 丽一丽2=一 /故选：人.4_ a7T4.（2022全国高三专题练习）如图，AABC中，Z BAC=-,而=2丽,尸为CZ）上一

39、点，且满足人户二小,乙+3 人豆，若 AC=3,A 8=4,则 丽.丽 的 值 为（）【答案】C 解析而=2丽，3 _ _ _ .1 ./.AB=A D AP=m A C +AB=m 3 A C+-A D43 1 _ 1 _ 1 _ _ _ _ 2 _ _.C,P,）二点共线，.,.机+=1 =机=一 :.AP=-AC+-AB,）iCD=AD-AC=-AB-AC4 4 4 2 3必历=,而+：确彳通）=;褶-;蔗Y福而司珂-;国Y网国书=1x16J-x 9-x 4 x 3 x l=故选：C3 4 3 2 125.（2022陕西交大附中）已知在平行四边形ABCD中，诙=；反，丽通|=2,|而 卜

40、 而，则 正.丽值为.9【答案】-AB【解析】山题设可得如下图：A C =A D+D C,D B =D C +C B,而 而=_ 丽,D E所 以 而 丽=反 2-而 2,又 诙，丽 丽2-2 2-1 -2BC+-BC DC +-D C =4所以AF =AB+BF=D C +-B C D C +-B C DC+-B C2=6I 3 I 3 9故（反 2 一册2）=2,可 得 配 2 _配 2=2,A C D B =-.9 4 49故答案为：46.（2 0 2 2 湖南湘潭一中高三阶段练习）已知等边A43C的边长为6,平面内一点P满 足 丽=；而+：瓦，贝 I J 西.丽=【答案】-8【解析】因

41、 方=，而+,画，则 刀=声 一 而=2瓦 一!丽，丽=丽 一 丽=-1 夙+1而，2 3 3 2 3 2等边AM C的边长为6,则 百 而=|m|而|co sC=6 x6 co s6 0 =1 8,所 以 西 丽=（2百 _ 1丽）（一 1m+1而）=_ 2瓦 2 _L 而?+_1 及.丽=_8 _9+9 =_8.故答案为：-83 2 3 2 9 4 27.（2 0 2 2 天津模拟预测）已知菱形A 8 C。的边长为4,E 是 B C 的中点，则/.丘）=.【答案】-1 2-1 1 1 -1 【解析】依题意 A E =A B+-B C=A 8+A O,E D=E C+C D =-B C+B

42、A =-A B+-A D,因为菱形 A B C。的2 2 2 2T T f 2 f 2|边长为 4.所以 A E E ）=LA。-AB=-x 42-41=-12.故答案为：-1 28.（2 0 2 2 全国高三专题练习）如图，A B =1,4 C=3,乙4 =9 0。,=2 而，则 而/月=【答案】I【解析】因为A B =l,A C=3,N A =9 0。,丽=2 丽，所 以/=/+=酬=蔗+2 丽=蔗+2（然一B P AD=1AC+|AB,所以 彷 福=（；祝+|福）亚=:正 阳+：帮=|733,故答案为：I333题组五取值范围1.（2 0 2 2 山东烟台三模）如图，边长为2的等边三角形的

43、外接圆为圆。，P 为圆。上任一点，若/4?=xA B +yA C,则 2 x+2 y 的最大值为（）B.24C.-D.13【答案】A【解析】作 8c 的平行线与圆相交于点P,与直线A 8 相交于点E,与直线AC 相交于点忆设 衣=2/+幺/，贝 IJ2+=1,Ap sp 4VBC/EF,设不=力=4，WHeO,-AB A C 3A AE=k AB,AF=k AC,AP=AAE+LIAF=Ak AB+j Lik AC/.x=%y=冰Q/.2x+2y=2（几+）k =2k +2 =2 -+J =2（一:）2 J,22 2 2 4 4oo当且仅当2=9 时取=,此时M 为 8 c 5 点，4所以彳

44、2 +*的最小值 为 O故选：C4.（2022全国高三专题练习）已知圆。的半径为2,A 为圆内一点，04=；,B,C为圆。上任意两点,则 衣 册 的取值范围是（）A4 B.1,68 _【答案】cB【解析】C.-1,1 0 D.1,1 0 O如图，连接。4,O C,设夕为。4和8c的夹角.则 公 监=（反-网 册=反 反-丽 及=|反 及卜 osN B C O-珂 明 c os6=g（及 明 c os。且3瓯IY瓯层函Y瓯c os 4阿+3 网，困-1+U配；国c os1 忸 邛+gj 1由忸C|e 0,4,当忸C|=；时，/.而 有 最小值 8 ；当怛。=4 时，抚.配 有最大值为1 0.故选

45、：C.5.（2 0 2 2.全国高三专题练习）已知线段A 3是圆C:Y +y 2=4 的一条动弦，且|明=26,若点P 为直线x+y 4=0 上的任意一点，则 国+而|的最小值为（）A.2 近-1 B.2&+1 C.4夜-2【答案】C【解析】取 A8中点为M,连接产“，O M ,D.47 2 +2因为A B 是圆C:/+y2 =4 的一条动弦，且|A 8|=2 百,所以|O M|=j2=1 ,X|PA+PB|=2|PM|,PM+OMOP,PMOP-l因此，|丽+网 取 最 小值，即 是 取 最 小 值，所以只需|。耳取最小,又点p 为直线x+y-4 =o 上的任意一点，所以点。到直线X+y-4

46、=0 的距离,即是1 0Hmin,BJOP.=-1尸.=2三,I 7 F 7 F因此1 尸机10儿 1 =2/-1,即|阳 +而|=2PM=472-2,Im in I I m in故选：c.TT6(2022全国高三专题练习)在AABC中，A=,AB=2,AC=1 .。是 BC边上的动点，则AZ)BC的取值范围是()A.-3,0 B.卜30 C.-1,2 D.-1,司【答案】A【解析】设 丽=历6/e 0,1,所 以 亚=通+丽=通+/前又配-而，可 知 而=(1 T)赤+f恁所 以 而.阮 =(1 T)通+/(而一通)化简可 得 而 觉=(1)而/2+0_2r)福 前又 A=(,AB=2,AC

47、=1 所 以 福 而=|福|恁 k osA=2 xlx；=l则 正 前=4 -1)+1-2/即 而.肥=3/-3,fe 0又/己 二？/?在，句。递增所以（4 8 cjm n =3乂。-3=-3（而反”=3x1-3=0 故而灰?可一3,0 故选：A7.（2022天津高三专题练习）如图，在菱形A8CQ中，AB=2,ZBAD=6（f ,尻/分别为3 c s 上的点，ICE=2EB,CF=2FD,若线段E尸上存在一点，使得AM=%AB+/AO（x e R）,则人,若点N 为线段8D 上一个动点，则 丽 丽 的 取 值 范 围 为.【解析】由题意，设 而=4 酝，根据向量的线性运算，_ _ _ _ 1

48、 _ _ 1 _ 22 _uiAM =AB+BE+EM=AB+-AD+ZEF=AB+-AD+一(AD-AB)7 2 1 9 J J .1 q=(1-)AB+(-+)Ab=kAB+-A D,则 ,解得，3 3 3 2 1 ZX 1 I-=13 3 25-61-4=-kA以所而5-6A D1-2+若点N 为线段BO上一个动点，如图,TDN=xDB xe0,l,Afi.AZ=2x2xcos600=2AN=AD+DN=AD+xDB=AD+x(AB-AD)=xAB+(l-x)AD,MN=AN-AM=xAB+(-x)AD-(-AB+-A b)=(x-)AB+(-x)AD,6 2 6 2丽.砺=x.AB+(

49、1-X)AD.(X-)AB+(1-X)AD5 5-2 2 1 5 1 -2 c 14 1 (7=x(x)AB+x(x)+(1 x)(x-)AB-AD 4-(1 x)(x)AD=4 x-x-=4|JC-1514162623 312|I _33Z6 因为所以AMMNw37 1.故答案为:36 35637 13 6 5 ,8.（2 0 2 2.广东.金山中学高三阶段练习）如图，在 A B C 中，B D =B C ,点 在线段AO上 移 动（不含端点），AE=AAB+MAC,则，=,万 一 的最小值为.解析因为在AABC中，B D =B C ,所 以 而=而+丽=丽+：册=通+（衣 _9=通+;而,

50、C U T 7 IL U 1 iur即A O JA B +QAC.因为点E在线段AO上 移 动（不含端点），所以 设 通=x（0 x l）.所以 A E =-AB-A C,对比 AE =AAB+/JAC 口 J 得九二-,/=一.代入丸二=一,4=?,=；可得42 一=（生 一 =%一（0 “/3aGA+y/3bGB+cGC=6,则角 A=（）A.9 0 B.6 0 C.4 5 D.3 0【答案】D【解析】G是A A B C 的各边中线交点，G 是A M C的重心，二瓦+通+配=0，a G A +y/3bGB+cGC=0.则 有 c =麻=岛，设。=乙 则6 =f,c=品,则有c o sA=+