中考数学专题训练——菱形的判定和性质.pdf

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1、中考专题训练菱形的判定和性质1.如图，在 A8C中，BA=BC,BC平分/ABC交 AC于点。，点 E在线段8。上，点尸在 8。的延长线上，iL D E=D F,连接A E,CE,AF,CF.(1)求证：四边形A E C F 是菱形；(2)BALAF,A Q=4,8 c=4代，求 和 A E 的长.2.如图，A8C中，NACB 的平分线交AB于 点。，作 CD的垂直平分线，分别交A C、DC、BC 于点 E、G、F,连接。E、DF.(1)求证：四边形。F CE 是菱形；(2)若/ABC=60 ,ZACB=45,B D=2,试求 8尸的长.3.在 RtZiA B C中，NA 4C=9 0 ,。是

2、 8 c 的中点，E是 AQ 的中点，过点A作 A F B C交 5E的延长线于点F.(1)证明四边形4OC 尸是菱形；(2)若 A C=4,4 8=5,求菱形4DCF 的面积.4.在 RtZA B C中，ZB A C=9 0 ,。是 8 c 的中点，E是 AQ 的中点，过点A作 A F B C交 BE的延长线于点F.(1)证明四边形4OCF 是菱形；(2)若 A C=4,AB=5,求菱形A DCF 的面积.5.如图，ZMBC中，NB C4=9 0 ,CO是边AB上的中线，分别过点C,力 作 BA和 B C的平行线，两线交于点E,且 OE 交AC于点O,连接A E.(1)求证：四边形A OC

3、E 是菱形；(2)若/B=60 ,B C=6,求四边形A DCE 的面积.6.在四边形 A B C。中，AD/BC,A C 平分NB A。，8。平分NA B C.(1)如 图 1,求证：四边形A B C。是菱形；(2)如图2,过点。作。交 BC延长线于点E,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与 CCE面积相等的三 角 形(7 除外)7.己知：如图，在 ABC中，直线P。垂直平分AC,与边A B 交于点E,连接CE,过点C作 C F 区4 交尸Q 于点F,连接A F.(1)求证：四边形A E CF 是菱形；(2)若 4力=3,A E=5,则求菱形A E CF 的面积.8.如图，在A2

4、C中，D、E分别是A B、AC的中点，B E=2 D E,延 长。E到 点 F,使得E F=B E,连接 C F.(1)求证：四边形8CF E 是菱形；(2)若 CE=2,ZBCF=120 ,求菱形 8C F E 的面积.9.如图，在回A8CD 中，AEYBC,A F V C D,垂足分别为 E,F,K BEDF.(1)求证：团ABC。是菱形；(2)若 AB=5,A C=6,求 12ABe。的面积.10.如图，在AABC中，AB=AC,E,D,尸分别是边A8,BC,CA的中点.(1)求证：四边形AEQF是菱形；(2)若/B=30,AB=12,求四边形AECF的面积.11.如图，在四边形ABCO

5、中，A B/DC,过对角线AC的中点。作E凡L4C分别交边AB,CD于点E,F,连接CE,AF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若EF=6,A E=5,求四边形AECF的面积.12.如图，ABC中，NBCA=90,C是边AB上的中线，分别过点C,力作B A和BC的平行线，两线交于点E,且OE交AC于点O,连接AE.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若NB=60,B C=6,求四边形ADCE的面积.1 3 .如图，在E I A B C Q中，C E 平分N B C D,交A Q于点E,O F平分N A O C,交 B C 于点、F,C E 与 D F 交于点、P,连接E F,BP.

6、(1)求证：四边形C Q E F是菱形；(2)若 A B=2,BC=3,N 4 =1 2 0 ,求 8 P 的值.E D1 4 .如图，A B C是以B C为底的等腰三角形，AO是边B C上的高，点E、F分别是A B、4 c的中点.(1)求证：四边形A E Q F是菱形；(2)如果四边形A E D F的周长为1 2,两条对角线的和等于7,求四边形A E Z5 F的面积S.1 5 .如图，ZV LB C 中，N A C B=9 0 ,N A =3 0 ,C D 为A B C 的中线，作 C O _LA 8 于 O,点E在C。延长线上，O E=A D,连接8 E、DE.(2)把A B C分割成三个

7、全等的三角形，需要两条分割线段，若A C=6,求两条分割线段长度的和.1 6 .如图，ZV I B C中，A 是边B C上的中线，过点A作A E 5 C,过点。作。E A 3,DE与A C、A E分别交于点。、点E,联结E C.(1)求证：A D=E C；(2)若 8 c=2AD,A B=A 0 m,求证：S四 成 形ADCE=M2.(其中S表示四边形A O C E的面积)A1 7 .如图，在a ABC中，ZC=9 0 ,B。平分N A B C 交 AC于点。，过。作 O E B C 交A B于点E,O F A B 交 8c 于点F,连接E F.(1)求证：四边形B F D E 是菱形；(2)

8、若 4 B=8,A D=4,求 8 尸的长.1 8 .如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,A。平分NBAC交 8c 于点。，在线段AO上任取一点P(点A除外)，过点P作 E 尸A B,分别交4 C,8 c 于点E和 点 尺PQ/AC,交AB于点Q,连接Q E.(1)求证：四边形A E P。为菱形；(2)当点P在何处时，菱形4 E P Q 的面积为四边形E F B Q 面积的一半？1 9 .已知：如图，四边形A B C D是平行四边形，分别以A B、A D为 腰 作 等 腰 三 角 形 尸和等腰三角形?!)；,且顶角N8AF=ND4E,连结8。、E F相交于点G,BO与 A 尸相交于点H.(1

9、)求证：B D=E F；(2)若N G H F=N B F G,求证：四边形A B C。是菱形：(3)在(2)的条件下，当N 8 A F=N D 4 E=9 0 时，连结B E,若 B F=4,求 B E F 的面积.E2 0.如图，在四边形A B C。中，AB=-AD,CB=CD,E是 CD上的点，BE交 AC于点尸,连接DF.(1)求证：Z B A F ZDAF,N A F D=N C F E；(2)若 A 8 C D 试证明：四边形A B C D 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使得N E F D=/B C D,并说理由.参考答案：I.如图，在 A B C 中，BA=B

10、C,8。平分N ABC交 AC于点。，点 E在线段BO上，点尸在 8。的延长线上，且。E=Z)F,连接A ,CE,AF,CF.(1)求证：四边形A E C 尸是菱形；(2)若 B A _LA R A D=4,B C=4 娓,求 8。和 A E 的长.【分析】(1)根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；(2)根据等腰三角形的性质和勾股定理可得8。=8,设D E=x,则D F=x,所 以AF1=42+0产=6+，B F=B D+D F=8+x,然后利用勾股定理即可解决问题.【解答】(1)证明：BA=BC,8。平分/ABC,：.BDAC,A D=C D,:DE=DF,四边形AECF是

11、菱形；(2)解：A D 1BD,AQ=4,&4=BC=4遥，皿 2-卜口2=.80_16=8,设 D E=x,则 DF=x,：.AF2=A D2+DF2 16+/,；BF=BD+DF=8+x,：.AB2+AF2=B F2,(4A/5)2+16+X2=(8+X)2,*x=2,:.DE=DF=2,；AE=VAD2+DE2=7 42+22=2 匹：.B D和A E的长分别为8 和 2遥.2.如图，ABC中，N4CB的平分线交AB于 点。，作 CO的垂直平分线，分别交4C、D C、BC 于点、E、G、F,连接力E、DF.(1)求证：四边形。尸 CE是菱形；(2)若/ABC=60,N4CB=45,B D

12、=2,试求 的长.【分析】(1)先根据垂直平分线的性质得：D E=C E,。尸=F C,证明CGEg/CGF(A S A),根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形。FCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；(2)作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形3 0 的性质可得B H=,由勾股定理得：D H=y 3,根据OHF是等腰直角三角形，可得D H=F H=如,从而得结论.【解答】(1)证明：是。C 的垂直平分线，:.DE=EC,DF=CF,N E G C=NFGC=9 0 ,D G=C G：C D Z A C B,：.N E C G=NFCG,：C G=C G,：

13、./CGE/CGF(ASA),：.GE=GF,四边形QFCE是平行四边形，：DE=CE,.四边形。FCE是菱形；(2)解：过。作。H_LBC于”，则/。，尸=/。”8=90,V ZABC=60,.NBDH=30,.B=2B O=I,2在 RtaOHB 中，D H=、2 2 _ 2=册,.四边形D F C E是菱形,C.DF/AC,：.ZDFB=ZACB=45 ,/DHF是等腰直角三角形，:.D H=F H=M，:.BF=BH+FH=+43.3.在 RtzABC中，ZBAC=90,。是 3 c 的中点，E 是 A。的中点，过点A 作 A尸BC交 2E 的延长线于点F.(1)证明四边形A O b

14、是菱形；(2)若 AC=4,A B=5,求菱形AQC尸的面积.【分析】(1)首先根据题意画出图形，由 E 是 4。的中点，A F/BC,易证得AFEgaD B E,即可得AF=B,又由在RtZABC中，NBAC=90,。是 BC的中点，可得A。=B D=C D=A F,证得四边形A QCF 是平行四边形，继而判定四边形A CCF 是菱形；(2)首先连接。凡 易得四边形A B Z)尸是平行四边形，即可求得。尸的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案.【解答】(1)证明：如图，尸B C,N A F E=N D B E,是 A。的中点，AO是 8 c 边上的中线，：.AE=DE,B D=

15、CD,在 AF E和 QBE中，ZA F E=ZD B EA E=D EA /AFE/DBE(A4S)；C.AFDB.:DB=DC,：.AF=CD,四边形A D C F是平行四边形，；NB A C=9(),。是 B C 的中点，：.A D=D C=BC,2四边形A D C 尸是菱形；(2)解：连接。凡,CAF/BC,AF=BD,.四边形A B QF 是平行四边形，：.DF=AB=5,.四边形A QCF 是菱形，S=2AC。尸=10.24.在 RtzA B C 中，ZB A C=9 0 ,。是 BC的中点，E是 A。的中点，过点A作 4尸B C交 BE的延长线于点F.(1)证明四边形A OC F

16、 是菱形；(2)若 AC=4,A B=5,求菱形AOCF的面积.【分析】(1)首先根据题意画出图形，由 E 是 4。的中点，AF/BC,易证得4尸 丝4D B E,即可得AF=B。，又由在RtZABC中，ZBAC=90,。是 BC的中点，可得AO=B D=C D=A F,证得四边形AOC尸是平行四边形，继而判定四边形4OCF是菱形；(2)首先连接。尸，易得四边形ABD尸是平行四边形，即可求得O F的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案.【解答】(1)证明：如图，YA尸BC,N A F E=N D B E,是 4。的中点，4。是 BC边上的中线，：.AE=DE,B D=CD,在?!

17、：和DBE 中，ZA F E=ZD B E=NACB=90.，平行四边形AOCE是菱形；(2)解：RtZSABC 中，CD 为 A3 边上的中线，NB=60,BC=6,:.A D=D B=C D=6.：.A B=2,由勾股定理得A C=6.四边形O8CE是平行四边形，：.DE=BC=6._A CE D,菱形 AD C E=2-小 江1 8后6.在四边形 ABC。中，AD/BC,AC 平分NBA。，8。平分NABC.(1)如 图 1,求证：四边形ABC。是菱形;(2)如图2,过点。作 QELB。交 BC延长线于点E,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与CDE面积相等的三角形(8 E

18、除外)【分析】(1)根据角平分线的定义可得/A BD=N CB。，据两直线平行，内错角相等可得N A Q B=/C B。，然后求出N A 8Q=/A Q 8=N C B。，再根据等角对等边可得AB=A D,再根据等腰三角形三线合一 可 得 B O=D O,然后利用“角边角”证明A O O 和4COB全等，根据全等三角形对应边相等可得A O=B C,再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；(2)根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论.【解答】(1)证明：平分乙48C,NABD=NCBD,CAD/BC,：.NADB=N

19、CBD,：.ZABD=NA8=NCBD,：.AB=AD,设 AC、8。相交于点0,又；AC平分NBA。，：.BO=DO,ACYBD,ZADB=ZCBD在A O C和C O B 中，,ACC,AABC.7.已知：如图，在ABC中，直线尸。垂直平分A C,与边AB交于点E,连接C E,过点C作 C尸 BA交 PQ 于 点 凡 连 接 4F.（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若 44=3,A E=5,则求菱形AEC尸的面积.B【分析】（1）首先利用AAS证明尸丝4 E D,进而得到A E=C F,于是得到四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）首先

20、利用勾股定理求出。E 的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积.【解答】证明：（1）-JCF/AB,:.NDCF=NDAE,。垂直平分AC,CD=AD,在CDF和AED中rZDCF=ZDAE 的面积.【分析】(1)利用全等三角形的性质证明A B=A。即可解决问题：(2)连接B Z)交A C于。，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题;【解答】(1)证明：四边形A B C。是平行四边形，:./B=/D,V A E 1 B C,AFLCD,：.ZAEB=ZAFD=W ,：BE=DF,：./A E B/A F D：.AB=AD,四边形A B C。是菱形.(2)连接B O交4 c于。.四边形A 8

21、C D是菱形，4 C=6,：.ACBD,AO=OC=A C=X 6=3,2 2：A B=5,A O=3,A B2-A O 2 =V52-3 2=4，B O=2 B O=8,S 平 行 四 边 形 ABCD=X A C XB Z)=2 4.21 0.如图，在 A B C中，ABAC,E,D,F分别是边A B,BC,C A的中点.(1)求证：四边形1是菱形；(2)若/B=3 0 ,A B=2,求四边形A E D尸的面积.【分析】(1)首先根据三角形中位线定理可得。E A C,DF/AB,E D=A C,DF=-2 2A B,进而可判定四边形A E Q F是平行四边形，然后证明E Q=D尸即可；(2

22、)连接A。、E F,利用直角三角形的性质和菱形面积公式解答即可.【解答】(1)证明：D,F分别是边A B,BC,A C的中点，：.DE/AC,DF/AB,E D=A C,D F=A B,2 2四边形A E O尸是平行四边形，；A 3=A C,:.ED=DF,四边形A E Q F是菱形；在A B C 中，A B=A C,：.BD=CD,AD1.BC,在 R tZA A D 中，N 8=3 0 ,A B=1 2,.A Z)=6,E F=B C=B D=y l/f/=啦，菱形A E D F的面积=方即 A D=1 8 V 3 -1 1.如图，在四边形A B C。中，AB/D C,过对角线4 c的中点

23、。作E F J _4 C分别交边A B,C D于点E,F,连接“，AF.(1)求证：四边形A E C F是菱形；(2)若EF=6,A E=5,求四边形A E C尸的面积.【分析】(1)运 用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已 知EF 1AC,4 0=0 C,只需要证明0 E=0 F即可，用全等三角形得出；(2)菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形A 0 E可求A C、E F的长度.【解答】解：(1)证明：JAB/DC,.*.Z1 =Z2.在C F。和 A E 0中，/1=/20C=0A：./CF 0/AE0(ASA).：.OF=OE,又；0 4 =0 C,四

24、 边 形 尸 是 平 行 四 边 形.V E F 1 A C,四边形A E C F是菱形；(2)解：四边形A E C F是菱形，EF=6,.0 E=E F=4.2在 R tZA E。中，；t a n/0 A E=2,OA 5，0 A=5,；.A C=2 A O=8,1 2.如图，A8C中，NBCA=90,CD是边AB上的中线，分别过点C,。作 B A 和 BC的平行线，两线交于点E,且。E 交 AC于点0,连接AE.(1)求证：四边形AQCE是菱形；【分析】(1)欲证明四边形AOCE是菱形，需先证明四边形AQCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；(2)根据勾股定理得到A C的长度，由含

25、30度角的直角三角形的性质求得D E的长度，然后由菱形的面积公式：S=1AC QE进行解答.2【解答】(1)证明：DE/BC,EC/AB,四边形OBCE是平行四边形.：.EC/DB,EC=DB.在 RtZXABC中，CD为AB边上的中线，：.A D=D B=C D.：.ECAD.四边形ADCE是平行四边形.J.ED/BC.：.Z A O D Z A C B.V ZACB=90,，NAO=NACB=90.，平行四边形AOCE是菱形；(2)解：RtZSABC 中，CD 为 边上的中线，ZB=60,BC=6,:.A D=D B=C D=6.A 8=12,由勾股定理得4 c=6依.四边形O8CE是平行

26、四边形，：.DE=BC=6.S 菱 形 AOCE=迎 照=汹=18料.2 21 3.如图，在回ABCQ中，CE平分NBCZ),交AQ于点E,QF平分/A O C,交 B C 于点、F,C E 与 D F交于点、P,连接EF,BP.(1)求证：四边形C Q E尸是菱形；(2)若 A 8=2,BC=3,ZA=1 2 0 ,求 B P 的值.【分析】(1)利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF=CC=QE,可证得结论；(2)过 P作 P G_ L 8 c 于 G,在 R t Z P GC 中可求得PG 和 CG 的长，则可求得BG 的长，在 R t Z B P G中，由勾股定理可求得BP的长

27、.【解答】(1)证明：:四边形A 8 C D 为平行四边形，.AD/BC,：.NEDF=ZDFC,；力尸平分/4 力。，.ZEDF=ZCDF,：.NDFC=NCDF,：.CD=CF,同理可得CD=DE,：.CF=DE,CF/DE,四边形C D E F 为菱形；(2)解：如图，过 P作 P G_ L B C 于 G,；A B=2,BC=3,ZA=1 2 0 ,且四边形C O E尸为菱形,:.CF=EF=CD=AB=2,ZECF=ZBCD=ZA=60a,2 2.C E尸为等边三角形，:.CE=CF=2,.PC=JLCE=1,2：.C G=P C ,P G=-P C=,2 2 2 2.,.B G=B

28、 C-C G=3-上=9,2 2在 RtZB PG中，由勾股定理可得吁 近2+于62=拈)2+哈 2s即B P的值为1 4.如图，4BC是以8 c 为底的等腰三角形，AO是边B C上的高，点 E、尸分别是48、AC的中点.(1)求证：四边形A E DF 是菱形；(2)如果四边形A E DF 的周长为1 2,两条对角线的和等于7,求四边形A E OF 的面积S.【分析】(1)先根据直角三角形斜边上中线的性质，得 出DE1AB=AE,D F=A C2 2=AF,再根据AB=AC,点 E、F分别是A B、4 c 的中点，即可得至lj A E=A 尸=OE=DF,进而判定四边形A E D 尸是菱形；(

29、2)设 EF=x,A D=y,则 x+y=7,进而得到 x2+2xy+_y2=4 9,再根据 RtA A(?中，A O2+EO2=A E2,得到,+)2=3 6,据此可得孙=竽，进而得到菱形A E DF 的面积S.【解答】解：(1)-：A D L B C,点 E、尸分别是4B、AC的中点，中，D E=AB=AE,2RtZA C D 中，D F AC=AF,2又：A5=AC,点 E、/分别是A B、AC的中点,：.AE=AF,：.A E=A F=D E=D F,四 边 形 尸 是 菱 形;(2)如图，.菱形A E。尸的周长为12,：.AE=3,设 后/=斯A D=y,则 x+y=7,.*./+2

30、肛+丫2=4 9,TADLEF 于。，R t A A O E 中，AO2+EO2=AE1,(Ay)2+(AX)2 =3 2,2 2即7+2 =3 6,把代入，可得2巧，=1 3,1 5.如图，A B C 中，ZA C B=9 0 ,ZA=3 0 ,C Q 为A B C 的中线，作 C 0 _ L A 8 于。,点E在C O延长线上，DE=AD,连接B E、DE.(1)求证：四边形8 C Q E为菱形；(2)把A B C分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若A C=6,求两条分割线段长度的和.【分析】(1)容易证三角形8。为等边三角形，又O E=A =B。，再证三角形。B E为等边三角形四

31、边相等的四边形8 C Q E为菱形.(2)画出图形，证出B M+M N=A M+M C=A C=6即可.【解答】(1)证明：；N A C B=9 0 ,ZA=3 0 ,C。为 A 8 C的中线，：.BC=AB,CD=AB=AD,2 2A ZACD=Z4=3 0 ,：.ZBDC=3QQ+3 0 =6 0 ,.B C D是等边三角形，V CO.LAB,：.O D=O B,，DE=BE,*：DE=AD,:.C D=B C=D E=B E,四边形B C Q E 为菱形；(2)解：作N48C的平分线交AC于 N,再作MM148于 N,如图所示:则 MM=MC=2BM,N A 8M=NA=30。，2：.A

32、 M=B MfVA C=6,B M+M N=A M+M C=A C=6；即两条分割线段长度的和为6.1 6.如图，Zv l B C 中，AD是边8C上的中线，过点A作 A E:8 C,过点。作 D EA 8,DE与AC.A E分别交于点0、点E,联结EC.(1)求证：A D=E C；(2)若BC=2AD,A B=A 0=m,求证：S四 边 形AQCE=/(其 中 S表示四边形A D C E【分析】(1)由DE/AB,可证得四边形A 8 Q E 为平行四边形，又由A。是边8C上的中线，可得4 E=C。，即可证得四边形ADCE 是平行四边形，继而证得结论；(2)由 B C=2 A ),易得四边形A

33、QCE 是菱形，继而求得S四 边 形AQCE R【解答】证明：(1),：AE/BCf DE/AB,.四边形A B D E为平行四边形，1AE=BD,；B D=CD,：.AE=CD,四边形AOCE 是平行四边形,.AD=CE；(2)9：B C=2 A Df BC=2CD,:A D=C D、.四边形AOCE 是平行四边形，四边形AQCE 是菱形，：D E=A B=m,AC=2 A O=2 m,12:.S naiKADCEACDE=m.21 7.如图，在 A B C 中，/C=9 0 ,8。平分N A B C 交AC于点。，过。作。E B C 交A B于点E,DF AB交 B C 于点、F,连接EF

34、.(1)求证：四边形B F E是菱形；(2)若 A B=8,A D=4,求 B F 的长.【分析】(1)易证四边形B FZJE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边E B=E Q即可得到平行四边形B F Q E 是菱形；(2)设所以可得。E=B E=尤，A E=S-x,在 R t Z A D E中，由勾股定理可得A5=D E1+AD2,求出x的值即可.【解答】(1)证明：DE/BC,DF/AB,四边形8 F D E 是平行四边形.：B O 平分/A B C,N A B D=N C B D.,:DEBC,；.N C B D=N E D B.：.N A B D=N E D B.：.EB=ED.平行四

35、边形B F O E 是菱形；(2)解：,:EDBF,ZC=9 0 ,:.NADE=90.设 BF=x,：.DE=BE=x.；.A E=8-x.在 RtZA)E 中，AE1=DE1+AD2(8-x)2=7+42解得x=3,1 8.如图，等腰三角形A B C中，AB=AC,AD平分NB4C交 B C于点D,在线段AO上任取一点P(点A除外)，过点P 作 EF AB,分别交A C,B C于点E和点尸，作 PQA C,交AB于点Q,连接QE.(1)求证：四边形A E PQ为菱形：(2)当点P 在何处时，菱形A E PQ的面积为四边形E F B Q面积的一半？【分析】(1)先证出四边形4E PQ为平行四

36、边形，关键是找一组邻边相等，由 A。平分NB A C和 PE A Q可证得出AE=EP,即可得出结论；(2)S菱形A E P Q=E P 7 7,S平行四边形E F B Q=EF;7,若菱形A E PQ的面积为四边形E F B。面积的一半，贝因此P 为 E 尸中点时，S iAEPQ=S nmEFBQ.2 2【解答】(1)证明：E/A B,PQ/AC,：.四边形AEPQ为平行四边形，：.N BA D=N E%：AB=AC,A。平分/CA8,：.ZCAD=ZBAD,：.ZCAD=ZEPA,：.EA=EP,四边形A E PQ为菱形.(2)解：P 为 E 尸中点，即 AP=2A。时，S AEPQ=Sm

37、iMiE：FH Q.四边形4E PQ为菱形,：.A DVEQ,：AB=AC,A O 平分/8AC,J.ADLBC,：.EQ/BC,又,：EF AB,四边形E F B Q为平行四边形.作E N L A B于N,如图所示：贝 lj S AEPQ=E PEN=E F-EN=S 四 边 形EFB。.2 21 9.已知：如图，四边形A 8CQ是平行四边形，分别以A B、A。为腰作等腰三角形 A B 尸和等腰三角形ADE,且顶角尸=N D4 E,连 结 B D、EF 相交于点G,BD与 A 尸相交于点，.(1)求证：B D=E F；(2)若N G H F=N B F G,求证：四边形A B C。是菱形；(

38、3)在(2)的条件下，当N 8AF=N D4E=9 0 时，连结8 E,若 B F=4,求 8EP 的面积.【分析】(1)证明/区4。=/心&根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 推 出 B A O丝 K 4E,即可得出答案；(2)求出N A8 D=/GBF,证明A B=A。，即可证出四边形A B C。是菱形；(3)延长E4交 B C 1于 M,得求出EM=4E+AM=2&+2,再根据面积公式即可求出.【解答】(1)证明：NB A F=ND4E,Z B A F+Z F A D=ZDAE+ZFAD,即 N3A O=NR1E,AB=AFf AD=AE,：.B A D/F A E (SAS)，：.

39、BD=EF.(2)Y 4G H F=/BFG,：.ZG FH=ZG BF,由(1)可知 NG/77=NA8。,/ABD=NGBF,:AD/BC,：.ZADB=ZGBF,：.NABD=NADB,：.AB=AD,四 边 形A 3C。是 菱 形；(3)延 长E4交8C于M,9：ZDAE=90.：.EM ADf 四 边 形A B C。是 菱 形，:,ADBC,：.EM BFf*：AB=AFf BF=4,：.BM=FM=2,V ZBAF=90,姗 亭 2，应=2近，AE=AD=AB=2，EM=AE+AM=2 M+2,SA E B F-|B F-EM=y X4X(3+2)=4&+42 0.如图，在四边形A

40、BC。中，AB=AD,CB=CD,E是C力上的点，BE交AC于点F,连接。F.(1)求证：ZBAF ZDAF,NAFD=NCFE；(2)若4BC D,试证明：四边形ABC。是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使得NEFD=NBCD,并说理由.【分析】(1)先判断出ABCZZkAOC得到NBAF=ND4C,再判断出得 出 最 后 进 行 简 单 的 推 算 即 可；(2)先由平行得到角相等，用等量代换得出/ZM C=/AC),最后判断出四边相等；(3)由(2)得到判断出BCF也 (?/,结合8E_LC即可.【解答】证明：(1)在ABC和AOC中A B=A D，C B=C D，A C

41、=A CAABCZADC,：.ZBACZDAC,在ABF和4。尸中，A B=A D ZB A F=ZD A FA F=A F/XABF/XADF,：.NAFB=ZAFD,：ZCFE=NAFB,：.NAFD=NCFE,：.NBAF=ZDAC,ZAFD=NCFE；(2)：AB/CD,：.ZBAC=ZACD,：ZBACZDAC,ZBAC=ZACD,：.ZDAC=NACZZ；AD=CD,，：AB=AD,CB=CD,:AB=CB=CD=AD,四边形ABC。是菱形；(3)当 BEdLCD 时,NEFD=NBCD,理由：,四边形ABC。是菱形，:,BC=CD,/B C F=/D C F,9：CF=CF,AABCFADCF,:/C BF=4C D F,VBE1CD,：NBEC=/DEF=90,：.ZEFD=ZBCD.