2023考研高等数学强化讲义.pdf

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1、比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立第 一 章 函 数 极 限 连 续L重点题型一函数的性态【类型一与方法】有界性的判定例 1 下列函数无界的是(A)/(x)=s in x,x G(0,+oo)x(C)/(x)=s in ,x (0,+oo)X X(B)/(x)=x s in-,X G(0,4-oo)Xe x s in t(D)/(x)=/,x e(0,2022)J o t【详 解】【类 型二与方 法】导函数与原函数的奇偶性与周期性例 2【2 0 0 2,数 二】设 函 数/(x)连 续，则下列函数中，必为偶函数的是(A)(B)尸 流(C)。/一/)4(D)+力【详 解】比啰考研修手茏师本蓍般辔罹

2、也带立工重点题型二极限的概念例312014,数三】设l i m 4=a,且。/0,则当充分大时有“T8(A)|y(B)|a|a (D)an 0,neN).n J【详解】L重点题型四已知极限反求参数【方法】例1 1【1998,数二】确定常数a,仇c 的值,使l im K S?=*o).她 必Jb f【详解】4比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立上重点题型五无穷小阶的比较【方法】例 1212002,数二】设函数/(x)在x =0 的某邻域内具有二阶连续导数，且/(0)彳0,/(0)力0,/”(0)=0.证明：存在唯一的一组实数%,否,小，使得当 0 时，4/()+办/(2人)+4/(3%)一/(0)是

3、比h2高阶的无穷小.【详解】例 13【2006,数二】试确定Z,B,C的值，使 得/(1 +公+&2)=1 +小；+0，)，其中。(丁)是当x f 0 时比/高阶的无穷小量.【详解】5无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回 复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆学长】，回 复【数学】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立例1 4【2013,数二、数三】当x-0 时，1-COSX.COS2X-COS3X与 6 为等价无穷小，求与a 的值.【详解

4、】上重点题型六数列极限的计算【方法】例1 5【2011,数一、数二(I)证明：对任意正整数，都有 一山。+，工；(I I)设=1+1+!ln(=l,2,)，证明数列 4 收敛.2 n【详解】例1 6【2018,数一、数二、数三】设数列/满足：玉0,x,e%=e$-1(=1,2一).证明 七收敛，并求lim x“.W 00【详解】6承 考可睡千茏薜方蓍檄詹罹也济立例17 2019,数一、数三】设 可=1 1 力 1一日公(=0,1,2,).J0(I)证明数列 4 单调减少，且=上 三%_ 2(=2,3产)；(I I)求【详 解】例1 8【2017,数一、数二、数三】求 l im 之 勺 n(l

5、+公T0 狙(n【详 解】上重点题型七间断点的判定X例1 9【2000,数二】设函数f(x)=z 在(8,+8)内连续，且 l im f(x)=0,则常数。/满 足a+ex+0(A)Q v 0,b 0(C)a0【详 解】(B)a 0,h0(D)a 09 b07比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立第二章一元函数微分学上重点题型一导数与微分的概念例1【2000,数三】设函数/(x)在点x =a处可导，则函数|/(x)|在点x =a处不可导的充分条件是(A)/=0且/=0(B)/伍)=0且/-0(C)/(/,。且/伍)。(D)/(4)0且/(4)o hA-O h(C)夕m；/(一s in h)存在(D)

6、?存在【详 解】x,x 0例3【2016,数一】已知函数/(x)=.n1n+l1,则 x 0 x并讨论(p x)在x =0 处的连续性.【详 解】【类型二与方法】复合函数例 5【2 0 1 2,数三】设函数/(x)=|ln J 高”I y =/(f(x),求 生 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.I 2 x-l,x 0 时比 x 高阶的无穷小，且/(x)在x =l处可导，求曲线y =/(x)在点(6,/(6)处的切线方程.【详解】【类型二与方法】参数方程 x-x(7)表示的曲线j=火)r IT 2x =I eu du例1 1曲线 J。y t2 ln(2-Z2)在(0,0)处的切线方程为

7、.【详解】11比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立【类型三与方法】极 坐 标 厂=。）表示的曲线 jr例1 2【1 9 9 7,数一】对数螺线厂=在点C2,-处切线的直角坐标方程为I 2J 【详 解】上重点题型四导数应用求渐近线【方 法】例1 3【2 0 1 4,数一、数二、数三】下列曲线中有渐近线的是(A)y=x+si nx(B)j =x2+s in x .1(C)y =x +s m X(D)j/=x2+s in X【详 解】【详 解】例 1 4 2 0 0 7,数一、数二、数三】曲线歹=L +ln（l +，）渐近线的条数为X(A)0(B)1(C)2 (D)31 2承 考可睡千茏薜方蓍檄詹罹也济

8、立上重点题型五导数应用求曲率【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例1 5【2 0 1 4,数二】曲线 0 ）.M C（I）证明定价模型为7（I I）若该商品的成本函数为。（。）=1 6 0 0 +。2,需求函数为。=4 0-。，试 由（D中的定价模型确定此商品的价格.【详解】1 3比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立上重点题型七导数应用求极值与最值【方 法】例17 2 0 0 0,数二】设函数/(X)满足关系式/(x)+(x)2=x,且/(0)=0,则(A)/(0)是/(x)的极大值(B)/(0)是/(x)的极小值(C)点(0 J(0)是曲线y =/(x)的拐点(D)/(0)不是/(x)的极

9、值，点(0,/(0)也不是曲线y =/(x)的拐点【详 解】例1 8【2 0 1 0,数一、数二】求函数/()=：(/一。6-*力的单调区间与极值.【详 解】例1 9【2 0 1 4,数二】已知函数歹=y(x)满足微分方程/+;0,则(A)/(1)/(-)(B)/(1)|/(-1)|(D)|/(1)|0 ,/”(x)0.设ba,曲线y =/(x)在点(b,/S)处的切线与x轴的交点是(%,0),证明a x 0 4 1(C)/2 /1 1【详解】设人=蚂 土 公,I2=-d x,J。tan x则(B)1 /,/2(D)1 Z2 Z工重点题型二不定积分的计算【方法】例4计算下列积分:【详解】lx；

10、(2)例 5 2009,数二、【详解】数三】计算不定积分Jin 1 +dx(x 0).比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立例 6 求 j-d x.J 1 +s i nx +c o s x【详解】上重点题型三定积分的计算【与方法】例 7【2 01 3,数一】计算竽公，其中/(x)=/n：D力.【详解】例 8求下列积分(1)二？s i nx 2 12-dx;(2)f2-d x.I。e n，+e 8 s x J l+(t a nx.【详解】例 9 求，:ln(l+t a nx Mx.【详解】21比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立上重点题型四反常积分的计算【方 法】例 10 1 9 9 8,数 二】【详 解

11、】上重点题型五反常积分敛散性的判定【方 法】例 11 2 01 6,数 一】若 反 常 积 分 -J一收敛，则J。x“(i+x y(A)a 1(C)Q1【详 解】(B)a 1 且b 1(D)a 1 且a+b 1比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立例 12 2 01 0,数一、数二】设?,均为正整数，则反常积分工如尹公的收敛性（A）仅与加的取值有关（C）与加,的取值都有关（B）仅与的取值有关（D）与z,的取值都无关【详解】上重点题型六变限积分函数例 1 3【2 01 3,数二】设函数/（x）=sin x,0 x 则（A）x =）是函数EQ）的跳跃间断点（B）=乃是函数E（x）的可去间断点（C）/（外

12、在=万处连续但不可导（D）E（x）在x =%处可导【详解】2 3承弟考研睡千茏薜方蓍檄詹褛也济立例1 4【2 01 6,数二】已知函数/(x)在 0,红 上连续，在(0,红 内 是 函 数 csx 的一个原函数,_ 2 J 1 2 J 2、-3)且 0)=0.3 4(I)求/(X)在 区 间 0,y 上的平均值；(II)证明/(x)在区间(0,苦)内存在唯一零点.【详 解】上重点题型七定积分应用求面积【方 法】例1 5【2 01 9,数一、数二、数三】求曲线y=e 7 s i nx(x N 0)与x轴之间图形的面积.【详 解】2 4承 考可睡千茏蹄方蓍檄得播也济立上重点题型八定积分应用求体积【

13、方法】例1 6【2 003,数一】过原点作曲线歹=lnx 的切线，该切线与曲线y=Inx 及x轴围成平面图形。.(I)求。的面积/；(II)求。绕直线x =e 旋转一周所得旋转体的体积.【详解】例1 7【2 01 4,数二】已知函数/.(x j)满 足?=2(y+l),且/(乂 月=(y+1 了 (2-历 1”，求办曲线/(x,y)=0 所围图形绕直线少=-1 旋转所成旋转体的体积.【详解】2 5承弟考研睡千茏薜方蓍撤詹褛也济立，重点题型九定积分应用求弧长【方法】(数一、数二掌握，数三大纲不要求)例 1 8 求心形线尸=a(+c o s 0)(q 0)的全长.【详解】上重点题型十 定积分应用求

14、侧面积【方法】(数一、数二掌握，数三大纲不要求)例 19 12016,数二】设。是由曲线y =J 二 巨(O K x M l)与1 =c s 彳0 4，2 围成的平面区域,尸 s i n 八 1)求。绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.【详解】L重点题型十一定积分物理应用【方法】(数一、数二掌握，数三大纲不要求)26比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立例2 0【2020,数 二】设边长为2 a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g,水密度为 夕，则 该 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力 为.【详 解】上重点题型十二证明含有积分的等式或不等式【方 法】例21

15、 2000,数 二】设 函 数S(x)=J J c o s 4力.(I)当”为正整数，且 乃4 x (+1)万时，证 明24S(x)2(+l)；(I I)求XT+oo X【详 解】例22【2014,数二、数 三】设 函 数/(x),g(x)在 区 间,可 上 连 续，且/)单调增加，0 4g(x)41.证 明：(I)0|g(t)dt x-a,xe a,b；ra+pb(I I)J ,f(x)dx 0时,1 +xa是A r的高阶无穷小，火0)=%，则y(l)等于(A)2万 (B)7 1(C)(D)乃【详解】例 2【2002,数二】已知函数/(x)在(0,+8)内可导，/(%)0,l i m /(x

16、)=l,且满足(/(x+Ax)y -_ p.l i m -=ex,求 7(x).M/(X)J【详解】【类型二与方法】一阶齐次(y+A/X2+y2)d x-xd y=0(x 0)例3【19 9 9,数二】求初值问题 N帆尸的解.比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立【详 解】【类型三与方法】一阶线性例4【2 0 1 0,数二、数三】设必，必 是一阶线性非齐次微分方程y+M x =g(x)的两个特解若常数；使;1%+为是该方程的解，几%-巴 是该方程对应的齐次方程的解，则(A)A ,J-i(B)2=,/J,-2 2 2-22 1 2 23尸3 3产3【详 解】例5【2 0 1 8,数一】已知微分方程y+

17、y=/(x),其中/(x)是火上的连续函数.(I)若/(x)=x,求方程的通解；(I I)若/(x)是周期为7 的函数，证明：方程存在唯一的以丁为周期的解.29承弟考研睡千茏薜方蓍撤詹褛也济立【类型四与方法】伯努利方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）4 L例6求解微分方程V-y=x24 y.x【详解】令Z=J J，则Z _ 2Z=X2,得x 2z=e%J-1x2e Xlxdx+C=x2 x +c j方程的通解为J5 =；x 3+C?,其中C为任意常数.【类型五与方法】全微分方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）例7求解下列微分方程：(1)(2xey+3x2-Y)dx+(x2ey-2y)dy=

18、0；2x y2-3x2(2)dx H-dy=0.y y【详解】(1)法一：设尸(x j)=2xe+3x2 l,Q(x,y)x2ey-2 y,则”=2旄，=吆，方程dy dx为全微分方程.a a设存在 使得力/(x/)=/公+方=P(x/)dx+0(x,y R y,得dx dyw(x,)=j(2xev+3x2-)dx=x2ey+x3-x 4-(py由经得夕，(y)=_ 2 y,0 3)=-/,方程的通解为Syx2/+x，x y=C.法二：由(2xey+3x2-l)dx+(x2ey-2y)dy=(2xeydx+x2eydy)+(3x2-)dx+(-2y)dy=d(x2ey)+d(x3-x)+d(-

19、y2)=d(x2ey-l-x3-x-y2)=0得/廿 十9一%歹2 =c.30比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立(2)设尸(x/)=02 YyQ(x,y)y2-3x2y4nldP 6x dQ则一=一一r=dy y dx当夕工0时，方程为全微分方程.u(x,y)=J。2xdx+y y1-3x2,2 i x?2 万-dy=x-FIH-x C方程的通解为x2-y2+y3=Cy3.上重点题型二二阶常系数线性微分方程【方法】例8【2017,数二】微 分 方 程 4_/+87=62*(1+2工)的特解可设为_/=(A)Ae2x+e2v(5cos2x+Csin2x)(B)Axe2+e2(Bcos2x+Csin

20、2x)(C)Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)(D)Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)【详解】例9【2015,数一】设y=；e2+(x /是二阶常系数非齐次线性微分方程/+ay+by=cex的一个特解，则(A)=3,b=2,c=1(C)Q=3,b=2,c=1【详解】(B)Q=3,b=2,(D)Q=3,b=2,c=131比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立例 10 2016,数二】已知乂(x)=e*,y 2(x)=a(x)e”是二阶微分方程(2x-l)y-(2x +l)j/+2y =0的两个解.若(-l)=e,(0)=-1,求“(X),并写出该微分方程的通解.【详解】例

21、11 2 0 16,数一】设函数y(x)满足方程y+2了+=0,其中0人 1.f+00(I)证明反常积分Jo y(x)比t收敛；p+c o(II)若 y(0)=l,y(0)=1,求 Jo y(x)d x 的值.【详 解】上重点题型三高阶常系数线性齐次微分方程【方 法】例12求解微分方程4 4)一 3/-4夕=0.【详 解】3 2无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回 复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆学长】，回 复【数学】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供比啰考研修

22、手茏师本蓍般辔罹也带立L重点题型四二阶可降阶微分方程【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）隹(dp、p e5 p pd p+C例13求微分方程“（X+J?）=了满足初始条件y（l）=/（I）=1的特解.【详解】本题不含y,令y =p ,则_/=，原方程化简为p （x+p 2）=p,转化为反函数_d_x_ _ _ _1 x d p Pr-7 -由夕（1）=y（i）=i，得c=。，从而x=p?,于是、，=&，得 歹=/+。由 y（l）=l,得 G=：，故 y =x2+.上重点题型五欧拉方程【方法】（数一掌握，数二、数三大纲不要求）p ,得 x=e=p(p+C).7例14求 解 微 分 方 程+

23、盯+y =2 s i n In x.【详解】令1=,原 方 程 转 化 为 一l)y +O y +y =2 s i n/,即4+y=2 s i nf.d t特征方程为-2+1=0,得；l =z 齐次方程的通解为歹=c os/+G s i n/.令y*=/(力c os/+8s i n，)，代入方程，得4 =-1,8=0,故y*=T c os/.因此原方程的通解为 y =C j c os In x+C2 s i n In x-In x-c os Inx.3 3比侬 考研他干茏蹄龙蓍檄承褛化耕*上重点题型六差分方程【方法】(数三掌握，数一、数二大纲不要求)例1 5【19 9 7,数三】差分方程乂+|

24、-乂=八 2 的通解为.【详解】齐次方程的通解为乂=C.令y；=(M+B)2 ,代入方程，得 2 =1,8=-2,故y；=-2)2 .因此原方程的通解为y,=C+(Z-2)2 .例1 6【2 0 18,数三】差分方程都八一八=5的通解为.【详解】A2K=(y J=(N x+i N O =匕+2 N x+i (匕+i=V x+2 -2 2 +_ 原方程化简为K+2 2 匕+1 =5 ,转化为”句一 2yL 5 .齐次方程的通解为%.=C 2 .令=4,代入方程，得 Z =5,故=5.因此原方程的通解为K=C25.1重点题型七变量代换求解二阶变系数线性微分方程例 17 2 0 0 5,数二】用变量

25、代换x=c os f(0 0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且 L经过点求曲线L的方程.【详 解】【类型二】综合定积分应用例1 9【2 0 0 9,数三】设曲线y =/(x),其中/)是可导函数，且/(x)0 .已知曲线y =/(x)与直线丁 =0,=1及=/I)所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的加 倍，求该曲线的方程.【详 解】【类型三】综合变限积分例20 2 0 16,数三】设函数/(X)连续，且满足力=山+二 一 1,求/(x).【详 解】3 5比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立【类型四】综合多元复合函数例2 1【2014,数一、数二

26、、数三】设函数/(a)具有二阶连续导数，z=cosy)满足d2z d2z x 2x旅+/=(4z+e cosy)e若/(0)=0,尸(0)=0,求/()的表达式.【详解】【类型五】综合重积分例2 2【2011,数三】设函数/(x)在区间 0,1上具有连续导数，/(0)=1,JJ/(X+y)dxdy=f(t)dxdy且满足R其中=(x/)|0W yW f-x,0W xw 4(0 Wl),求/(x)的表达式.【详解】36比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立第五章多元函数微分学上重点题型一多元函数的概念【方 法】例1求下列重极限：x“vp(1)l i m -(a0,j30)；l i mX TOTOxy(

27、x2-y2)【详 解】例2【2 0 1 2,数一】如果函数/(x,y)在点(0,0)处连续，那么下列命题正确的是(A)若极限1加存 在,则/(羽夕)在点(0,0)处可微(B)若极限1 可 学2存在，贝!|/(x j)在点(0,0)处可微X T Y14 _L i ,y-o x+y(C)若/(x j)在点(0,0)处可微，则极限l i m华存在忧 因+仪|(D)若/(x,y)在点(0,0)处可微，则极限日 中 华?存在【详 解】比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立例3【2012,数三】设连续函数z=/(x j)满足lim/a y)_2x+y _ 2=0,则 因.、/6+(f 仙)【详 解】L重点题型二

28、多元复合函数求偏导数与全微分【方 法】例 4【2021,数一、数 二 数三】设函数/(x,y)可微，且/(x +l,e)=x(x+l)2,/(x,x2)=2x2 Inx,则 或()=(A)dx+dy(B)dx dy(C)dy(D)dy【详 解】例5【2011,数一、数二】设2=/(9 J g(x)，其中函数/具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导,o2且在x=i处取得极值g(i)=i,求 一 厂 dxdy y=i【详 解】上重点题型三多元隐函数求偏导数与全微分【方 法】38比侬 考研他干茏蹄龙蓍檄承褛化耕*例6【2 0 0 5,数 一】设 有 三 元 方 程 孙-zl n y +eg=1,根据隐

29、函数存在定理，存 在 点(0,1,1)的一个邻 域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x =x(y,z)和z=z(x j)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数歹=y(x,z)和z=z(x,y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数=x(y,z)和 少=y(x,z)【详 解】例7 1 9 9 9,数 一】设y =y(x),z=z(x)是 由 方 程z=M(x +y)和/(工/,2)=0所确定的函数,其 中/.和尸分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 也.d x【详 解】L重点题型四变量代换化简偏微分方程【方 法】例

30、8 1 2 0 1 0,数 二】设 函 数 =/(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4 M+1 2号+5工=0.确 定4力 的值，使 等式在变换4 =X +,=X +下 简 化 为 菖1=0.【详 解】3 9比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立上重点题型五求无条件极值【方 法】,且l i m勺匕W=l，则例9【2 0 0 3,数一】已知函数/(x j)在点(0,0)的某个邻域内连续(A)点(0,0)不是/(x j)的极值点(B)点(0,0)是/(x j)的极大值点(C)点(0,0)是/(x,y)的极小值点(D)根据所给条件无法判别点(0,0)是否为/(x j)的极值点【详 解】例 1 0【2

31、0 0 4,数一】设z=2(x,y)是由 一 一6孙+1 0/-2yz-z2+1 8 =0 确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值.【详 解】40比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立上重点题型六求条件极值(边界最值)【方 法】例11 2 0 0 6,数一、数二、数三】设/(x,y)与9(x,y)均为可微函数，且/(x j)/0.已知(看,%)是/(x j)在约束条件夕(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若，(%,%)=0,则(%,%)=0(B)若/：(%,为)=0,则(C)若/：(/，为)力0，则/：(%，%)=0(D)若 (飞，为)。，则F；(X o/o)#O【详 解】例1

32、2 2 0 1 3,数二】求曲线3-9+_/=1(x 2 0)2 0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.【详 解】41比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立上重点题型七求闭区域最值【方 法】例1 3【2 0 1 4,数二】设函数”(x,y)在有界闭区域。上连续，在。的内部具有二阶连续偏导数，且满 d2u 八 口 d2u d2u A ni.足-*0及-7+r =0，则dxdy dx2 dy2(A)u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得(B)(x,y)的最大值和最小值都在。的内部取得(C)“(x,y)的最大值在。的内部取得，最小值在。的边界上取得(D)“(x,y)的最小值在。的内部取得，最大

33、值在。的边界上取得【详 解】例1 4【2 0 0 5,数二】已知函数z=/(x,y)的全微分d z=2 x d x-2 M v,且/(1,1)=2,求/(x,y)在椭圆域。=1(北|%2+匕 14”上的最大值和最小值.【详 解】4 2比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立第六章二重积分上重点题型一二重积分的概念例 1【2010,数一、数二】lir n V y-二 -=金 幺(+，)(+/)(A)I*dx f-1-(B)f dx j,-dyJ0 Jo (l+x)(l+/)J。Jo(l+x)(l+y)-(C)f dxf-dy(D)f dxf-J。Jo(l+x)(l+y)”J。J o(l+x)(l+y2)

34、【详解】例 2【2016,数三】设 J,=JJ 行 了 小:力(i=1,2,3),其中 j =(x)|0 W x l,0 W y W l,A =1(x,)|0 x l,0 y V x j,D3=1(X,)|0 X1,X2,则【详解】(A)J,J2 J3(B)J3 J,J2(c)J2，4(D)J2J J3上重点题型二交换积分次序【方法】承 考可睡千茏薜方蓍檄詹罹也济立例 3【2 0 0 1,数一】交换二次积分的积分次序：d y y f(x,y)d x=.【详解】/、例 4【2 0 1 4,数三】二次积分广力-1 d x=J o J v Y -k x 7【详解】racosO例 5交换/=J;d 0

35、 o/(r,0)d r的积分次序.-4【详解】上重点题型三二重积分的计算【方法】例 6【2011,数一、数二】己知函数/(x j)具有二阶连续偏导数，且/(l,y)=0,/(羽1)=0,J J f (x,y)d xd y=a,其中。=(x,y)|0 W x W 1,0 W y W 1 ,计算二重积分/=J j；oq.(x,y)/r 办1.DD【详解】44比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立例 7 计 算 J y-x d y，其 中。=(x,y)|-l x l,0 =（X,切,归+y 2）3 /,计算二重积J J亍詈赛也.【详解】例 122010,数二】计算二重积分/=J J 户s in O jl-

36、。cos 2/dr de,其中。=.（r,。）O W r W s e c a O W O W D4【详解】例1 3【2009,数二、数三】计算二重积分“（X-旧 公 省，其中DO=（x,y）|（X_ 1）2+（歹 1）2 4 2/2 x .【详解】46比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立第七章无穷级数上重点题型一数项级数敛散性的判定【类型一与方法】正项级数例1 2015,数 三】下列级数中发散的是(A)Y-n 3(O f l z i n i l“=2 山 n【详 解】例2 2017,数 三】若 级 数Zn=2收 敛，则攵=(A)1【详 解】(B)2(C)-1(D)-2【类型二与方法】交错级数承 考

37、可睡千茏薜方蓍檄詹罹也济立例 3 判定下列级数的剑散性y H T l ,厂.真-I n”Z V w +(-l)f l【详 解】【类型三与方法】任意项级数例 412002,数一】设%#0(=1,2,3,),K l i m =1,则级 数 十(1严“T8 Un Zt1 1 )十-Un%+J(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)敛散性根据所给条件不能判定【详 解】例 5【2019,数三】若之绝对收敛，人条件收敛，则=|=i(A)条件收敛/=1(C)(“+匕)收敛=1【详 解】00(B)绝对收敛=1(D)(,+匕)发散n=l48比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立工重点题型二寨级数求收敛半径与收敛域

38、【方法】0000例6【2015,数一】若级数Z。”条件收敛，则x=J J与x=3依次为基级数a=1n=,d)“的（A）收敛点，收敛点（C）发散点，收敛点【详解】（B）收敛点，发散点（D）发散点，发散点8 zn+l例7求基级数-的收敛域.占 3W（2/7+1）【详解】上重点题型三寨级数求和【方法】49比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立例 8【2005,数 一】求幕级 数 之(I)”1 +1 的收敛区间与和函数/(x).M L (2-1)_【详 解】J 4M2+4/7 +3例 9【2012,数 一】求 基 级 数 竺 f 的收敛域及和函数.士 2 +1【详 解】例 10 2004,数 三】设级数+6

39、 8X X-+-2-4 2-4-6 2-4-6-8-(-0 0 X +0 0)的和函数为S(x).求:(I)S(x)所满足的一阶微分方程;(I I)S(x)的表达式.【详 解】5 0比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立工重点题型四寨级数展开【方法】例1 1【2007,数三】将函数/(幻=丁 _i展开成X-1的基级数，并指出其收敛区间.x 一 3x 4【详解】V例12将函数/(x)=ln 一 在x=l处展开成基级数.x+1【详解】上重点题型五无穷级数证明题例1 3【2016,数一】己知函数/(x)可导，且/(0)=1,0 /()；.设数列 当 满足加=/(%)(=1,2,).证明:(I)级数x”)绝

40、对收敛；=1(II)limx“存在，且0lim x”oo【详解】51比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立r r j r例 14【2014,数一】设数列 a“,2满足 0%5，0 bn“收敛.=1(I)证明 l im a”=0；T 8(I I)证明级数5 收敛.=i b【详解】工重点题型六傅里叶级数【方法】(数一掌握，数三大纲不要求)(1)设/(x)在-/,/可积，则傅里叶系数为；J /(x)cos-xd x(n=0,1,2,)，b“=；j J(x)s in,xd x(n=1,2,)/(x)的傅里叶级数为nn,.nncos x+b s in -x/(2)狄利克雷收敛定理设/(x)在-/,/上满足条件

41、:除有限个第一类间断点外都连续；只有有限个极值点则/(x)的傅里叶级数的收敛域为(-8,+8),其和函数S(x)是以2/为周期的周期函数，在 -/,/的表达式为5 2比啰考研修手茏师本蓍般辔罹也带立/（X）,X是/（X）的连续点s（x）=/G-3”x +）,X是/（）的第一类间断点/(-/+0)+/(/-0)2x=lPX-j r Y 0例1 5设/（乃二 一 ，则其以2万为周期的傅里叶级数在=不收敛于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在1,0 A x 1 算JrJr axdv-d-z-+-（-z-+-a-）其2d中xdZv 为下半球面,-zu z=l+7;sa;2-x2f-iy 2的2 上侧2，a为/m大 于零的常数丁.1vtM 她X （x2+y2+z2y【详解】例 1 0【2 0 2 0,数一】设2 为曲面z=J i +y 2（”%2+/。4）的 下 侧,/（X）为连续函数，计算/=JI W（盯）+2x-y dydz+力,（孙）+2y+x dzdx+0（盯）+z dxdy【详解】57