人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第六章第5节　复　数.pdf

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1、第 5 节 复 数睡 课 程 标 准 要 求1 .在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾.2 .理解复数的基本概念以及复数相等的定义.3 .了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.必备知识课前回顾 馆 激 材夯实四基脸知识梳理1.复数的有关概念(1)复数的定义形如a+b i(a,b eR)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b.(2)复数的分类复数 z=a+b i (a,b G R)(实数(匕三0),i rfe新 川(纯虚数(。=)，虚数(匕。0)1 一I -I 非纯虚数(a H O).复数相等a+b i=

2、c+d i u a=c 且 b=d(a,b,c,d Q R).(4)共枕复数a+b i 与 c+d i 互为共胡复数oa=c 且 b=-d(a,b,c,d Q R).复数的模向量0 Z的模叫做复数z=a+b i 的模,记作|z|或|a+b i 即|z|=|a+b i|=Va2+b2(a,b G R).2 .复数的几何意义(1)复数z=a+b i 一 对 应 I 复平面内的点Z(a,b)(a,b eR).复 数 z=a+b i (a,b R)二一对应一 平面向量3 .复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z尸 a+b i,z2=c+d i (a,b,c,d R),则 力 口 法:z1+

3、z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i;减法：Zi-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a c)+(b d)i;乘法:Zj,z2=(a+b i),(c+d i)=(a c-b d)+(a d+b c)i;除法:工 生?-发等宗i (c+d i W O).z2 c+di(c+di)(c-di)cz+dz cz+dz复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z1,Z2,Z 3 C，有Z1+Z2=Z2+Z1,(Zi+z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).,重要结论1.(li)2=2 i;答:i；F=-i.1-1 1+12.i4n=l,i4n+l=i,i4n+2

4、=-l,i4n+3=-i(n eN*).对点自测一1.(必修第二册P 7 3 习题T 6 改编)设z=(l+i)(2-i),则复数z 在复平面内所对应的点位于(A )A.第 一 象 限 B.第二象限C.第 三 象 限 D.第四象限解析:z=(l+i)(2-i)=3+i,故复数z 在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限.故选A.2.在复平面内，向量几对应的复数是2+i,向量后对应的复数是T-3 i,则向量2 1 对应的复数是(D )A.l-2 i B.-l+2 iC.3+4i D.-3-4i解析:因为4=3+易=后/=_ 3 广2 _ A 3-4 L 故选D.3 .设复数z 满足*=i,则|

5、z|等于(A )l-zA.1 B.V2 C.V3 D.2解析:詈=。则 z=i,所以|z|=l.故选A.1-Z 1+14.若a 为实数，且 要=3+i,则 a 等于(D )1+1A.-4 B.-3 C.3 D.4解析：由 等=3+i,得2+a i=(3+i)(l+i)=2+4i,即 a i=4i,因为a 为实数,1+1所以a=4.故选D.5 .已知(l+2 i)5=4+3 i,则 z=解析：由(l+2 i)z=4+3 i 得彳型=(4+3 (1-2，=2 _ 匚所以 z=2+i 1+21 5答案：2+i关键能力课堂突破类 手 涔 支出实四算慢 考点一复数的基本概念1 .如果复数z=；，那么(D

6、 )-1+1A.z 的共规复数为1+i B.z 的虚部为-iC.|z|=2 D.z的实部为-1解析：因为Z=:_ 2(：*,所以Z 的实部为T.故选D.-1+1(-1+1)(-1-1)22 .满足i 3-z=-3 i 的复数z 的共飘复数是(A )A.3-i B.-3-i C.3+i D.-3+i解析：由题意,得z=3+i,所以5=3-i.故选A.-1-lz3 .(多选题)已知i 为虚数单位,则下列选项正确的是(A B D )A.复数z=串的虚部为:1-1 2B.复数z=*的共胡复数为-5-2 i-1C.复数z=|-|i 在复平面内对应的点位于第二象限D.复数z 满足工R,则 zRZ解析:对于

7、A,Z产其虚部为之故A正确;对于1-1(1-1)(1+1)2 2 2B,z=生亘=(2+5 i)i=-5+2 i,故5=-5-2 i,故 B 正确；对于 C,z=-i 在复平1 2 2面内对应点的坐标为 位于第四象限,故C 不正确;对于D,设z=a+bi(a,be R),贝壮二-二等七 又 工 R,得b=0,所以z=a R,故D 正z a+b z确.故选AB D.一题后悟通1.求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b R),则该复数的实部为a,虚部为b.2 .求一个复数的共枕复数,只需将此复数整理成标准的代数形式,实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共加复数.

8、复数z,=a+bi与z2=c+di 互为共枕复数u a=c,b=d(a,b,c,d R).3 .复数是实数的条件：z=a+bi R=b=O(a,b R);z Ro z=5;z Ro z?2。.4 .复数是纯虚数的条件:z=a+bi是纯虚数=a=0,且 bW0(a,b R);z 是纯虚数=z+5=0(z r 0):是纯虚数=z M 0.嚷 考点二复数的四则运算1.已知复数z 满足z+|z|=l+i,则 z 等于(B )A.-i B.iC.1-i D.1+i解析：设 z=a+bi(a,b R),则 z+1 z|=(a+Va2+b2)+bi=l+i,所以卜+7 f+炉=1，解得V =：所以z=i.故

9、选B.(b=1,5=1,2 .若5(l+i)=l-i,则 z 等于(D )A.1-i B.1+iC.-i D.i解析：因为5(l+i)=i,所以万；弋:、=-i,所以z=i.故选D.1+1(14-1)(1-1)3 (坐 6+V2+V3 i_I 1-1 V3-V2 i-,解析:原式=W Q 6+.(驾(竺4+叵i+3 31 +i.2(V3)+(V2)5答案:T+iR题后悟通!1.复数的加、减、乘法:复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.2.复数的除法:除法的关键是分子分母同乘分母的共枕复数,使分母实数化.解题中要注意把i

10、的事写成最简形式.席 考点三复数的几何意义口 角度一求复数对应点(向量)的坐标 O 已知i是虚数单位,则复数三在复平面内所对应的点的坐标为1+1()A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,0)D.(0,-1)解析：因 为 片 生 等2=i,所以该复数在复平面内所对应的点的坐标1+1 2为(0,1).故选A.解题策略I复平面内的点、向量及向量对应的复数是-对应的,要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可.除度二复数对应点所在的象限已知z=(m+3)+(m-l)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+8)D.(-8,3)解析：由

11、已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m-1),所以 A:T如图,在复平面内，复数Z ,Z 2对应的向量分别是。A OB,若z z2=zb则z的共辗复数5 等于（）.1,3.1 3.A.一+-1 B.-12 2 2 2 1.3.门 1 3.C.-+-1 D.-12 2 2 2解析：由题意知 Z i=l+2i,z2=-l+i,故 z (-l+i)=l+2i,即z_ l+2i _(l+2i)(l+i)_ l-3i _ l _ 3._ _ 1+3故选人Z -1+i (-1+i)(1+i)2 2 21?Z 2 2 1 CW)在复平面内，复 数 4对应的点位于直线y=x的左上方,则实数1+1

12、a的取值范围是()A.(-8,o)B.1)C.(0,+)D.(1,+)解析：因为鲁”5,复数等对应的点在直线y=x的左1+1(1+1)(1-1)2 1+1上方,所以l-a a+l,解得a 7.记复数z,5 在复平面内对应的点分别为Zb Z 2,其中|O Z2|=1,若0 Z 绕点。顺时针旋转60 后能与。/重 合，则5 等于(B)A V 3,1.A.+-i2 2c 1,V3.C.-+i2 2DV3 1.B.-i2 2n1 V3.D.-12 2解析：设 z=a+b i,z=a-b i,所以点几Z 2关于x 轴对称，因为。Z 1绕点0 顺时针旋转60 后能与O Z 2重合，所以 a=c o s 3

13、0 =当,b=s i n 30 =|,期 V3,1.故 Z=T+2b所以，等 f.2 2故选B.8 .已知i 是虚数单位,若复数a+兽(a R)是纯虚数,则a=.1+21-解析：由已知，得 a+含=a+泻 骞=a+2+i,由题意得a+2=0,所以1+21(1+21)-21)a=-2.答案：-29.复数z的共胡复数5 满足(2+i)z=13+4i I,z=.解析:法一 由(2+i)z=I 3+4i I,得方要二白=7等 3=2-i,所以2+1 24-1(2+1)(2-1)z=2+i.法二 设 z=a+b i (a,b R),则(2+i)(a-b i)=5,即 2a+b+(a-2b)i=5,所以隹

14、2UZ 解得 M i所以z=2H答案：2+i10.若|z Z 21=l,则称为与 Z 2互为“邻位复数”.已知复数z i=a+8 i与 z2=2+b i 互为“邻位复数”，a,b eR,求 a?+b 2的最大值.解：由题意，I a+V3 i-2-b i|=1,故(a-2)2+(V3-b)?=1,所以点(a,b)在圆(x-2)2+(y-V3)2=l 上,而Va 2+炉表示点(a)b)到原点的距离,故a2+b2的最大值为(J 22+(8 产+1)2=(1+迎)2=8+2夕.B级综合运用练21 1 .已知复数z l,则下列结论正确的是(D )1(1-1)A.z 的虚部为iB.|z|=2C.z 的共辄

15、复数5=-l+iD.z2 为纯虚数解析:=,；名 也 1+i，则z 的虚部为1,所以选项A 错误；I z|=不 所 以 选 项 B 错误;Z 的共辗复数2=1-i,所以选项C 错误;z2=(l+=2 i是纯虚数,所以选项D正确.故选D.1 2 .复数z 满足(z-2)i=z(i为虚数单位)，5 为复数z 的共辗复数,则下列说法正确的是(B )A.z2=2 i B.z z=2C.I z I =2 D.z+z=0解析：由题意，得 zi-2 i=z,z(i-l)=2 i,z=-=1 -i,则1-1(1-1)(1+1)-2z2=-2 i,z,z=(l-i)(l+i)=2,|z|=V 2,z+z=l-i

16、+l+i=2.故选 B.1 3 .已知集合乂=1,1 1 1,3+(m 2 5 m 6)i,N=T,3 ,若M CN=3 ,则实数m的值为.解析:因为M G N=3 ,所以3 6M,且-1 视，所以 m 关T,3+(m-5 m-6)i=3 或 m=3,所以 m2-5 m-6=0,且 m/T 或 m=3,解得m=6或 m=3,经检验符合题意.答案：3 或 61 4 .设 a,b 为实数,若复数%=l+i,则a+Dia+b=,|a-b i|=.解析：因为粤=l+i,a+bi所以 l+2 i=(l+i)(a+b i),即 1+2 i =(a-b)+(a+b)i,3a=-,a+b=2,b=V|a-b

17、i|=yja2+(-b)2=-答案：2?1 5 .已知复数z1=-l+2 i,z2=l-i,z：,=3-4 i,它们在复平面内对应的点分 别为A,B,C,若。=入0 4+P0 B (入，u e R),入+u的值为.解析：由条件得。C=(3,-4),0A=(-1,2),OB=(1,-L),T TI艮据0 C=入 0A+p OB,得(3,4)=入(T,2)+u (1,T)=(-入 +u ,2 人-P),所以解得 112：所以X +p=l.答案：11 6.已知复数z满足:z?=3+4 i,且z在复平面内对应的点位于第三象限.(1)求复数z;设a R，且1(岩)的+a|=2,求实数a的值.解：(1)设 z=c+d i(c,d R 且 c 0,d 0,即实数m的取值范围为(-8,-2).1 8.若虚数z 同时满足下列两个条件:z+S是实数；Zz+3 的实部与虚部互为相反数.求 z.解：设 z=a+b i(a,b R,且 b WO),贝 lj z+&a+b i+a+b i+=(a+*)+(b 怎)i.z a+b i Q/+匕/a +b/因为z+9是实数,所以b-=0.又因为b WO,所以a?+b 2=5.又 z+3=(a+3)+b i的实部与虚部互为相反数，所以a+3+b=0.联立得I*3；，l a +比=5,解得 二:或仁二:故 z=-l-2i 或 z=2i.