人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第二章第7节　函数的图象.pdf

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1、第7节 函 数 的 图 象课程标准要求1 .在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.2 .借助函数图象,理解和研究函数的性质.必备知识课前回顾 嫡 教 材夯实四条B先 知识梳理1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；其次，列表（尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.释疑函数图象的集合表示方法：（x,y）|y=f （x）,x A.2 .图象变换（1）平移变换(尸f f网上“碟0

2、)个移单位长度(产y(x+A)卜 左移人()-A黑 0 一*(A0)个 v-单位长度下左代0)个单位长度移单位长度(尸/%)-1释疑1 .左右平移仅仅是相对X 而言的，即发生变化的只是X 本身,利用“左加右减”进行操作.如果X的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.2 .上下平移仅仅是相对y 而言的，即发生变化的只是y 本身,利甫在减下加”进行操作.但平时我们是对y=f (x)中的f (x)进行操作，赢“上加下减”.(2)对称变换y=f (x)与 y=-f (x)的图象关于x 轴对称；y=f (x)与 y=f (-x)的图象关于y 轴对称；y=f (x)与 y=-f (-x)的图象关于原点

3、对称；(4)y=ax(a 0,且 a W l)与 y=loga x(a 0,且 a W l)的图象关于直线 y=x对称.(3)翻折变换保 留 工 轴 上 方 图 象 _y=f (x)将 上 轴 下 方 图 象 翻 折 上 去 y=|f (x)|;保 留 y轴 右 边 图 象，并 作 其 关 于 y轴 对 称,y=f (x)的 图 象，y轴 左 边 原 图 象 去 掉y=f(I x|).(4)伸缩变换AI,横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 嚏 倍y=f (x)OYI，横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 9 倍y=f (a x).4 1,纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 a 倍_y=f (x)

4、o a 0 部分关于y 轴的对称部分，即得y=(3 *的图象，如图实线部分.(2)将函数y=l o g2 X 的图象向左平移一个单位长度,再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y=|l o g2(x+1)|的图象,如图.因 为 y=E=2+；,故函数图象可由y 的图象向右平移1 个单位X-1 X-1 X长度,再向上平移2 个单位长度而得,如图.令 f(x)=x+l .(x-3),则 f(x)北九菖：之 图 象 如 图所示.题后悟通!作函数图象的一般方法直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本初等函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可

5、根据这些函数或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作此但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)作函数图象时,若函数解析式不是最简形式，需先化简函数解析式,再作函数的图象.由 考点二 函数图象的识别幅 度 一 知式选图(2 0 2 1 浙江杭州高三模拟)函数y=(/R+，2-|)s i n:的解析：当 0 x 0,所以 y=f(x)=(y/x+7 1 2-x|)s i n y 0,故排除 B 和 C;X f(2-x)=(V|2-x I+V I I)

6、s i n (；出=(，|2 r|+J|x|)s i n 共 f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=l对称,排除D.故选A.根据函数的解析式选择函数图象的方法由函数的定义域,判断图象的左、右位置，由函数的值域,判断图象的上、下位置.(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势.由函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)由函数的特殊点的符号及函数图象的位置确定.口角度二知图选式(2021 河南信阳高三期末)如图是函数f(x)的图象,f(x)的解析式可能是()A.f (x)=l n|当B.f (x)=l nx+1C.f(x)=+x+1 X1D.f (x)=

7、-x+1 X-l解析：由图象可知f(0)=0,若f (x)昌告f (0)=击-公2,故可排除D;当 x=2 时，f (2)0,若 f (x)=l n|二：|,f (2)=l n|-4 l=l n|0,若 f (x)=l n|三9,f (-1)=l n|4 l=l n|0,则排除B.故选A.2.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时3 0秒注满,设注水过程中，壶中水面高度为h,注水时间为t,则下列选项中最符合h关 于t的函数图象的是（）解析:壶的结构:底端与上端细、中间粗,所以在注水速度恒定的情

8、况下，开始水的高度上升得快，中间上升得慢,最后水上升的速度又变快,结合图象可知选项A符合.故选A.3.已知某个函数的部分图象如图所示,则这个函数的解析式可能是()A.y=x ln x+x-lB.y=x ln x-x+1rC.y=-I nx -x+,11XD.y=-+x-lX解析：当 x=2 时，y=x ln x+x-l=2 1 n 2+2-l=2 1 n 2+1 1,与图象不对应,不满足条件，故A不合适;y=-2+l=ln V 2-K 0,故C 不合适;当x=42 e?时，函数 y=-+x-l=-i-+-l=3 e;!+4-1 1,故 D 不合适.故选 B.x 岸 或 e3考点三 函数图象的应

9、用口 角度一利用函数的图象研究函数的性质对于函数f(x)=x|x|+x+l,下列结论正确的是()A.f(x)为奇函数B.f(x)在定义域内是减函数C.f(x)的图象关于点(0,1)对称D.f(x)在区间(0,+8)上存在零点解析：f(x)=x|x|+x+l=/2+%+：”2个(-%2 4-%+1,%0由题意可知，图象关于点(0,1)对称，因此函数f (x)不是奇函数,在定义域内函数f (x)为增函数，函数f (x)在区间(-8,0)上存在零点.故选 C.解题策略对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值.从图象的对称

10、性,分析函数的奇偶性.(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.幅度二利用函数图象求解不等式=2)已知y=f (x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,它们的定义域均为-3,3,且它们在x 0,3 上的图象如图所示,则不等式半卜0 的解g(x)集是.y解析：因为f(x)是奇函数，所以由图象知,当 0 x 2 或-3 W x 0,当-2 x 0 或 2 x W 3 时,f (x)0.因为g(x)是偶函数,所以由图象可知，当 K x 3 或-3 x 0,当-l x 0 或 0 x l 时,g(x)0,则不等式售 o 等 价 为 昨?或 g(x)(g(%)0f 0%2 或-3%-2,即1-1 v

11、%0 或 0%1 f-2 V%0 或 2 V x W 3,或 彳 ,1 1%3 或-3 x -1,得 0 x l 或 2 x 3 或-2 x T,即不等式的解集为x 1 0 x l或 2 x 3 或-2 x -l.答案：x 1 0 x l 或 2 x 3 或-2 x T 解 题 策 略利用函数图象求解不等式的思路不等式f (x)g(x)的解集是函数f (x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合,体现了数形结合思想的应用.一般地,涉及奇偶函数或指数函数、对数函数有关的不等式问题,常用数形结合法求解.口角度三利用函数的图象研究方程的根C 例”已知f (x)=(x+l),|x T 1,若关于

12、x的方程f (x)=x+m有三个不同的实数解,则实数m的取值范围为.解析:因为f (x)=(x+1)I X-l 炉 R 在同一平面直角坐标系内作出y=f (x),y=x+m 的图象如图.当直线与曲线f (x)=x 2(x l)相切时，联立方程组得x 2+x+m-1=0,A =1-4 (m-l)=5-4 m=0,解 得 方 程 f (x)=x+m 有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三4个交点，由图可知TQ i ).答案：(T，94解 题 策 略 I利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(X)与 g(x)的图象交点的横坐标.针对训练1 .已知函数f(

13、x)=x|x|-2 x,则下列结论正确的是()A.f (x)是偶函数,单调递增区间是(0,+8)B.f (x)是偶函数,单调递减区间是(-8,1)C.f (x)是奇函数,单调递减区间是(T,1)D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-8,0)解析：将函数f (x)=x|x|-2 x 去掉绝对值得f (x)4 ：一?之2 画出函数k-x-2x,%0,f (x)的图象,如图,观察图象可知，函数f(X)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在区间(-1,1)上单调递减.故选C.2 .使 l o g2 Q x)0时,方程|x|=a-x只有一个解.答案：(0,+8)息 备选例题am 函数f(x)

14、=yn的部分图象大致是()X+1|解析:设g(X)=生工,因为g(x)=g(-X),所以g(x)的图象关于y轴对称,l x所以f (x)的图象关于直线X=-1对称,排除C,D;当-lxO时，I n|x+1 1 0,所以 f (x)e,()B解析:令 g(x)=f (e-x),则 g(x)=即 g(x)=ee-x,e-x e,ee-x,%0,In(e-x),%0,因此函数g(x)在区间(0,+8),(-8,0)上单调递减，排除A,C;又 又。l n(e-0)=1,排除D.故选B.丽 设函数f (x)的定义域为R,满足f (x+l)=2 f (x),且当x e (0,1 时,f (x)=x(X-1

15、).若对任意x (-8,m,都有f (x)2-|,则m 的取值范围是()A.(-8,勺 B.(-8,自4 3C.(-,|D.(-8,*解析：因为当 x e (0,1 时，f (x)=x(x-1),所以当 x (0,1 时,f(x)-,0.因为 f (x+1)=2 f (x),所以当 x (T,0 时，x+1 (0,1 ,f (x)=1 f (x+l)=1(x+l)x,f (x)e -i 0;当 x (-2,T 时,x+i e(-1,0,f (x)=；f (x+l)=；f (x+2)=：(x+2)(x+1),f (x)e -右,0;；当x e (1,2 时，x-i e (0,1 ,f (x)=2

16、 f (x-l)=2(x-1)(x-2),f (x)e -1 0;当 x e (2,3 时,(1,2 ,f (x)=2 f (x-1)=4 f (x-2)=4(x-2)(x-3),f (x)e T,0;,所以f (x)的图象如图所示.若对任意x (-8,m ,都有f(x)则有2 0.又因为x-+8时,f(x)0,所以2-m 0n 0m2.又因为f (x)是奇函数,所以当x 0时,f(x)若 四 xz+m x+x所以f(X)在(0,标)上单调递增,在(亚,+8)上单调递减,所以综上,实数m的取值范围是(1,2).故选D.廊3已知图中的图象对应的函数为y=f (x),则在下列给出的四个选项中，图中

17、的图象对应的函数只可能是()A.y=f (|x|)B.y=|f (x)|C.y=f (-1 X|)D.y=-f (|x|)解析：由图知，图象关于y轴对称,对应的函数是偶函数.对于A,当x 0时,y=f (|x|)=f (x),其图象在y轴右侧与图的相同，不符合,故错误;对于B,当x 0时,对应的函数是y=f (x),显然B错误;对于D,当x 0时,y=-f(-x),其图象在y轴左侧与图的不相同,不符合,故错误.故选C.课时作业灵活方医右致提褪整选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数图象的识别2,4,5,81 2,1 3函数图象的理解、变换1,3,6,71 1,1 4函数图象的

18、应用9,1 01 51 6,1 7A级基础巩固练1 .若函数f一)1的图象如图所示,则上3)等于(C)1 5A.-B.-C.-l D.-22 4解析：由图象可得 a (-l)+b=3,l n(-l+a)=O,解得 a=2,b=5,所以f (x)=2x+5,%-1,故 f(-3)=2X(-3)+5=-l.故选 C.2.在同一个平面直角坐标系中，函数y=x y=a,y=loga x(a0,且 aW1)的图象可能是(B )解析：当0al时，函数y=ax,y=logaX为定义域上的增函数，函数y=x为定义域上的增函数且下凸,所以A,B,C,D项不符合.故选B.3.设 xl,f(x)=V%-1,g(x)

19、=l-p h(x)=ln x,三个函数图象如图所示,则 f(x),g(x),h(x)的图象依次为图中的(D )A.Ci,C 2,C 3 B.C 2,C 3,CiC.C 3,C 2,Ci D.Ci,C 3,C 2解析：f(x)=/r-l,g(x)=l-,h(x)=ln x,且 x l,当 x=5 时,f(5)=X75-1=2,g(5)=1|=,h(5)=ln 5ln e2=2,所以 l h(5)2,0h(5)g(5),结合图象可知,f(x),g(x),h(x)的图象依次为图中的3,C3,C2.故选D.4.(20 21 广西桂林一模)函数f(x)=，(-n Wx Wn)的图象可能2+2”为(D)解

20、析:因为f (-x)空 胃=-f (x),故函数f (x)是奇函数,排除选项A,B;2人+2人取 0 x0,排除选项C.故选D.5.(20 21 浙江温州高三一模)函数f(x)=史4(a b 时-，f (x)0,所以只有A 符合.故选A.6.如图所示是一个无水游泳池,ABCD_ A，B，Cz Dz是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的.现在向泳池注水,如果进水速度是均匀的(单位时间内注入的水量不变)，水面与AB的交点为M,则AM 的高度h随时间t 变化的图象可能是(A)解析：由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状,且直棱柱的高不变,刚开始水面面积逐渐增大，水

21、的高度增长得越来越慢，当水面经过D 点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为A 选项中的图象故选A.7.已知函数f(x)号，则函数尸-f (|x|)的部分图象大致为(D)解析:根据题意，函数f(x)=4，%2+1则 y=g (x)=-f (I x|)有 g(-X)=g(x),即函数y=-f (|x|)为偶函数，且 yW O,排除A,B,C.故选 D.8.(20 21 浙江卷)已知函数f(x)=x2+；,g(x)=s i n x,则图象为如图的4函数可能是(D)yA孑 xA.y=f (x)+g (x)-;B.y=f (x)-g(x)-;c.y=f (x)g(x)解析:易知

22、函数f (x)=x?+：是偶函数,g(x)=s i n x是奇函数,给出的图象对应的函数是奇函数.选项A,y=f (x)+g(x)-T=X2+Si n x 为非奇非偶函数,不符合题意,排除A;选项B,y=f (x)-g (x)-7=X2-Si n x 也为非奇非偶函数,不符合题意,排除B；因为当xe(0,+8)时,f (x)单调递增,且f (x)0,当 x (0,，时,g(x)单调递增,且 g(x)0,所以 y=f (x)g(x)在(0,9上单调递增，由图象可知所求函数在(0,：)上不单调,排除C.故2 4选 D.9.(20 21 青海西宁高三一模)函数f(x)的定义域为-1,1 ,图象如图所

23、示，函数g (x)的定义域为-1,2,图象如图所示.若集合A=x|f (g (x)=0 ,B=x|g(f (x)=0 ,则 A G B 中有 个元素.解析:若 f (g(x)=0,则 g(x)=0 或T 或 1,所以 A=T,0,1,2,若 g(f (x)=0,则 f (x)=0 或 2,所以 B=-1,0,1 ,所以 A n B=-1,0,1 .答案：31 0.已知函数y=f (x)是定义在区间-3,3 上的偶函数，它在区间 0,3 上的图象是如图所示的一条线段,则不等式f(x)+f(-x)x 的解集为解析：由题意，函数 f (x)过点(0,2),(3,0),则 y=f (x)=-|x+2,

24、x 0,3 .又因为f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，所以 f (x)=f (-x),所以 2 f (x)x.又作出函数f (x)在-3,3 上的图象,如图.当x -3,0)时,y=2 f (x)的图象恒在y=x 的上方，当 X 0,3 时,令 2 f (x)=X,得 X=y,即当 X -3,y)时,满足2 f (x)x,故 f (x)+f (-X)X 的解集为 x I-3 X 0,排除D.故选B.1 2 .函数y=2 x 2-e、,在-2,2 的图象大致为(D )C解析:设 y=f(x)=2 x 2-u -2,2 是偶函数,又 f(2)=8-e2e(0,1),排除 A,B;设 g(x)=

25、2 x?-e ,x 2 0,则 g(x)=4 x-e 又 g(0)0,所以g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,所以f (x)=2 x2-e x(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.1 3 .我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数f(x)在-泉 的大致图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(B )A.f(x)=ln|x|-cos xB.f(x)=ln|x|-sin xC.f(x)=ln|x|+cos xD.f(x)=ln|x|+sin x解析:根据函

26、数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A,C中的函数为偶函数,故排除A,C.设题干中函数图象与X轴交点的横坐标分别为Xi,X2,且 x,0 x2.I X 1 I x2.对于 B,令 f(x)=ln|x|-sin x=0,即 In|x|=sin x,作出 y=ln|x|和y=sin x 的函数图象，如图所示，由图象可知，函数y=ln|x|-sin x 的图象与x 轴交点的横坐标满足Xi0 x2,JLI X i|x2,符合题意；对于 D,令 f(x)=ln|x|+sin x=0,即 In|x|=-sin x,作出 y=ln|x|和 y=-sin x 的函数图象，如图所示，由图象可知，函数y=l

27、n|x|+s i n x的图象与x 轴交点的横坐标满足X i 0 X 2,故 D 不符合题意.故选B.1 4,已知定义在区间(0,2)上的函数y=f (x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的 图 象 为(B )解析:法一 由定义在(0,2)上的函数y=f (x)的图象可知f (x)=rx,0%1,tl,1%2,当 0 2-x l 即 K x 2 时，f(2-x)=2-x.当 l W2-x 2 即(K x Wl 时,f (2-x)=L所以y=-f(2-x)=-1；,根据一次函数的性质，结合选项可ix-Z,1 x Z,知,选项B正确.故选B.法 二 y=f(x)作关于，轴对称的图支y=f(-x

28、)向 右 平 移 2 个 单 位 长 度，(2-X)作 关 于 工 轴 对 称 的 图(2_x).故选B.1 5.(多选题)设函数 f (x)=m i n|x _2 1,x2,|x+2 1 ,其中 m i n x,y,z 表示 x,y,z 中的最小者，则下列说法正确的是(A B D )A.函数f(x)为偶函数B.当 x 1,+8)时,有 f(x-2)W f (x)C.当 x-4,4 时，|f(x)-2 f(x)D.当 x R 时,f (f (x)Wf (x)解析:作出函数f(x)的图象如图，函数f(x)为偶函数,故A正确；将f (x)的图象向右平移2 个单位长度知f (x-2)的图象在 1,+

29、8)上的部分位于f(x)的图象的下方,则有f(x-2)Wf (x),故B正确；令 f (x)=u3 O,则由图象知f (u)Wu,故D正确；取 x=4,则|f (4)-2|=0 f (4),C 错误.故选 A B D.C 级应用创新练1 6.已知 x 表示不超过x的最大整数,定义函数f (x)=x-x .有下列结论：函数的图象是一条直线;函数f (x)的值域为 0,1);方程f (x)三有无数个解;函数在R 上单调递增.其中错误的是(填写所有错误结论的序号).解析：由题意知,对任意的实数X,若存在整数k,满 足k W xk+l,则 x =k,(%,0%1,v 1 1 v x v 2:一 作出部

30、分图象，如图所示.x-n,n%，六 噂/金口恰有四个不相l(x+1),%1,等的实数根X i,X 2,X 3,X 4,且满足X 1 X2 X3 X 4,则工+工=；x3%4 -x i+x2+2 x3+x4的最小值为.解析：由f(x)的解析式可得f(x)图象如图所示，f(X)=m恰有4个不等实根等价于f(x)与y=m恰有4个不同交点,由图象可知，X32X4,所以 f(x3)=-log2(x3-l),f(x1)=log2(x4-l),则-log2(X3T)=log2(X4T),即一 二x,X3-1所以(X3T)(X4T)=X3X(X3+X4)+1=1,即X3+X4=X3X4,所以上+三=1.X3 x4因为y=(x+l)2关于直线X=-1对称，所以 XI+X2=-2,所以 XI+X2+2X3+X4=-2+2X3+X，I=-2+(2X3+X。(+)=-2+3+X3%4 x4 x31+2回&l+2 4(当且仅当出=9,即x3=+1时,取等号)，7 x4 X3 x4 x3 2当x3=y+l时,m=1,满足f(x)与y=m恰有4个不同交点，所以X1+X2+2X3+X 的最小值为1+2年.答案：1 1+2V2