江苏省常州市某高中2023年高考数学二模试卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2 B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5 .如需作图，须用2 B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出

2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设/（x）=|l n%|,若函数g（x）=/（x）-3在区间（0,/）上有三个零点，则实数 的取值范围是（）2 .为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分,分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）.甲乙物学又数学窿模A.甲的数据分析素养优于乙 B.乙的数据分析素养优于数学建模素养C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数学运算最强3 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）俯视图B.41 1A.3cT34 .赵爽是我国古代

3、数学家、天文学家，大约公元2 2 2年，赵 爽 为 周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如 图(D),类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F =2户区，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为()5 .已 知 函 数=。=/(2%，8 =/(0.2巧，c=/(l o g0 32),则a,b,c的大小关系为()A.b a c B.c b a C.h c a D.c a ()时，/(x)0恒成立

4、，则机的取值范围为()A.15+8)B.C.1,4-0 0)D.(-0 0,e)8.已知抛物线y 2=4 x的焦点为产，准线与轴的交点为K,点P为抛物线上任意一点4PF的平分线与x轴交于(m,0),则加的最大值为()A.3-2起 B.2 7 3-3 C.2-百 D.2-7 29.已知椭圆E：+V2 +v2=1(。人 0)的左、右焦点分别为耳，F2,过6的直线2 x+y 4 =0与)，轴交于点A,线段4工 与E交于点5.若|AB|=|8 6|,则 的方程为()A.2 2%j I.2,21 0.A1 1.4 0 3 6在 A A 5c 中,J2B.三+匕=12 0 1 6C.点 O是线段B C 上

5、任意一点,C.rx 2,yv 2 i =i10 62D.+/=15UUUUI ULU-2AM=AD BM=+则兀+=(_2D.2若命题从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一;)命题生在边长71为4的正方形，8。)内任取一点M则，1八 9。0的概率为8,则下列命题是真命题的是()A.pAq B.O八q c.p八O D.F1 2 .设 双 曲 线=一 1 =1 (a 0,*0)的一个焦点为尸(c,0)(c 0),且离心率等于石，若该双曲线的一条渐近a Z r线被圆了2+y-2 以=()截得的弦长为26,则该双曲线的标准方程为()A.E 上2 0 5B.2 2x y2 5

6、 l 0 0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分。1 3 .若凶43且 XH0时，不等式|加-尢-上2 可恒成立，则实数”的 取 值 范 围 为.1 4 .记 S*=l*+2*+3*+.+nk,当 k=l,2,3,.时，观察下列等式：S=n2+n,S2-ni+ni-n,2 2 3 2 6S3=-n4+-n3+-n2,.S 5=A 6 +L”5 +4+8 2,可以推测，A _ .4 2 4 2 1 21 5.已知函数/(x)=,3 x2+l,x 0,若关于x的方程/(x)+/(r)=0 恰有四个不同的解，则实数。的取值范围是1 6 .已知实数X,)满 足)一 则 X+)的取值范围

7、是_ _ _ _ _ _.yQ,三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2 分)直线/与抛物线。：丁=2“*(0)相交于，。两点，且 OPLOQ,若 P,。到x轴距离的乘积为1 6.(1)求 C的方程;(2)设 点/为 抛 物 线。的焦点，当 APFQ面积最小时，求直线/的方程.1 8.(1 2 分)如 图，正方形A B C。所在平面外一点满足P E =PE,其中、尸分别是A3与 AO的中点.(1)求证：E F工P C；(2)若 A 8 =4,P E =P F =2 R,且二面角尸一所一。的平面角的余弦值为邛F，求与平面户石户所成角的正弦值.1 9.(1

8、 2 分)在三棱锥5-ABC中，A ABC是边长为26的正三角形，平 面%C，平面A B C,SA =S C =2,M.N分别为A3、SB的中点.(2)求三棱锥3-CMN的体积.V,2X-2,+1,2 0.(1 2 分)已知曲线。：二+匕=1,直线/：(f为参数).1 4 9 y2-2t,(I)写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程；(I D 过曲线C上任意一点P作与/夹角为3 0。的直线，交/于点A,1 P A i 的最大值与最小值.2 1.(1 2 分)在直角坐标系X 0 Y 中，直线/的参数方程为卜=1 +t c o s ay =l +r s i n a。为参数，0Wa ).在以。为极点

9、，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C：Q=4CO S。.71当时 求C与/的交点的极坐标;(2)直线/与曲线C交于A,B两点，线段A3中点为求I 4 6|的值.2 2.（1 0 分）设数列 可 满足 q +3。2 +3?%+L +3%=耳，n G N*(1)求数列 4 的通项公式；，为奇数 l时，/(力=欣.由 丁 =欣 得；/_X设过原点的直线y =公 与 函 数 y =/X 的图象切于点A(x0,l n 尤 0),nxQ=ax0 xa=e则有1 _ 1 ,解得 1 .Q =一 a=1与 l e所以当直线y =6 与函数y =/X 的图象切时。=.e又当直线y=g 经过点B(e2,2)时，有

10、 2 =。v2,解得=，.结合图象可得当直线丫=依 与 函 数/(x)=|l n x|的图象有3 个交点时，实数 的取值范围是2 1e2 e即函数g(x)=/(x)e 在区间N)上有三个零点时，实数的 取 值 范 围 是 选 D.点睛：已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.2.D【解析】根据所给的雷达图逐

11、个选项分析即可.【详解】对 于 A,甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分,故甲的数据分析素养优于乙，故 A 正确;对于B,乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分,故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故 B 正确;对 于 C,甲的六大素养整体水平平均得分为100+80+100+80+100+80 31063乙的六大素养整体水平均得分为80+60+80+60+60+100 250%田亍，故 C 正确6对 于 D,甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故 D 错误;故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.3.B【解析

12、】还原几何体的直观图，可将此三棱锥A放入长方体中，利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为A体积VvA-CDiE=yV 长方-体-V -V -V -V -VAC y BE-AAF v E-ABC 丫 E-CC业 v y D-ADC1 2 1 2 1=2 x 4 x 2-x 2 x 2 x 2-x-x 4 x 2 x 2-x-x 2 x 2 x 2 =4.2 3 2 3 2故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.4.D【解析】设 W =a,则4 F =2 a,小正六边形的边长为AF=2 a,利用余弦定理可得大正六

13、边形的边长为A B =g a，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设AF=a,则A尸 =2 a,即小正六边形的边长为A广=2 z,所以，FF =3 a,Z A F F -,在A 4/户中，3由余弦定理得 A F2=AF2+FF2-2 AF-FF cos Z A F F，即 AF=+（3 a）-2 a 3 a c o s ,解得 A F 所以，大正六边形的边长为A P =所以，小正六边形的面积为5,=gx 2 a x 2 a x 1?x 2 +2 a x 2百a =6百a?!大正六边形的面积为S 2=g x S a x b a x，x 2 +S a x i a =a25 4所以，此点取自小正

14、六边形的概率2=寸=不.故选：D.【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.5.B【解析】可判断函数/(X)在R上单调递增，且2 3 l 0.2 3 0 l o g0 3 2,所以C(人 1 0.2 3 0 lo g03 2 ,e*+1 ex+1所以c b 0,显然m e-I n x 0在(0,1 上恒成立，只需讨论x 1时的情况即可,/()007 7 7c I n x O z n x e ehn x,然后构造函数g(x)=x e(尤 0),结合g(x)的单调性,不等式等价于/n r I n x,进而求得？的取值范围即可.【详解】由题意，若机

15、0.m 0,则/虹*-I n x 0在(0,1 上恒成立；当x 1时,/(%)0等价于心 lnx,因为x 1,所以加胧皿 I n x.设 g(x)=x e(x 0),由 g O)=e l+x),显然 g(x)在(0,+8)上单调递增，In r因 为 如 0,ln x 0,所以nvcem eln I n x等价于g(血)g(I n x),即g I n x,则 机-.X设/7(X)=(x 0)，则=0).X X令(X)=o,解得工二e,易得h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，从而 (x)m ax =(e)=,，故e e故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调

16、性是解决本题的关键，考查了学生的推理能力,属于基础题.8.A【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解.【详解】解：由题意可得，焦 点 尸(1,0),准线方程为x=-1,过点尸作PM垂直于准线，M为垂足，x+1 1 m7（%+1）2+4X 1 +机由抛物线的定义可得|P F|=|P M|=x+L记N K P f的平分线与x轴交于”(m,0),(-l m +4尤 1 +_I _ L 2 J,1 x-F2V2-1-/-7-7 0 m /K2 ,2 1 +m综上：0 /?z 90。的 概 率 为2 4 X 47 18,即命题4是正确

17、的，故 由 符 合 命 题 的 真 假 的 判 定 规 则 可 得 答 案 必/q是正确的，应 选 答 案B。点睛：本题将古典型概率公式、几 何 型 概 率 公 式 与 命 题 的 真 假（含 或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以 及 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力。12.C【解 析】由题得=b=&2-5 ,又/+从=。2,联立解方程组即可得“2=5,廿=2 0,进而得出双曲线a Ja+b-方程.【详 解】由题得e =：=6 a又该双曲线

18、的一条渐近线方程为云一冲=0 ,且被圆好+必_ 2 c x=0截得的弦长为2 6,所以Ja2+b2=b =y/c2-5又 +后=。2 由(D可得：a2=5,=2 0,2 2所以双曲线的标准方程为工-E=l.5 2 0故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.U 2,-KO)【解析】将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对。的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间-po L(o,1|上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出。的取值范围.2【详解】因为

19、|加-x-f l(2|x|,所 以(加 7一 4)2(2|x|)2,所以(a r22(2 x)一,IU(a r2-x-a-2xax2-x-+2 x)0 ,所以ax2-3 x-a 0或 0ax2-3 x-a 0ax1+x-a()时，取=工，0 .2 显然不满足，所以ax+x-a 0ax2-3 x-a 0ax2+x-a 0所以6!-|-702(|+-7 2；a (I-a 02当a 0显然不满足，所以ax2-3x-a 0ax2+x-a 0综上可得。的取值范围是：(7,-2 U 2,+8).故答案为：(YO,-2 U 2,K O).【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成

20、立求解参数范围的两种常用方法：(1)分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；(2)参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.I1 4.-4【解析】观察知各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数，A-,A H 1-B 1,解得 8=-,所以 4-8 =I .6 2 1 2 1 2 6 1 2 4故答案为：.4【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.1 5.(-2,0)【解析】设g(x)=/(x)+/(-X)，判断g(

21、x)为偶函数，考虑x 0时，g(x)的解析式和零点个数，利用导数分析函数的单调性，作函数大致图象，即可得到。的范围.【详解】设 g(x)=.f(x)+/(X),则g(x)在(F,0)U(O,4W)是偶函数，当 x()时，g(x)=2 1 nx-6 x +3 x -Fl,由 g(x)=0得0 =2 3卜1一6/+3/+%，i g/?(x)=2 x l nx 6 x2+3 x3+x,2/i,(x)=2 1 nx-1 2 x+9x2+3,(x)=-+1 8 x-1 2 2 0,故函数/，(x)在(O,+8)增，而(1)=0,所以(x)在(0,1)减，在(1,位)增，=2,当 X f+O O时，(x)

22、f+0 0,当 x-0+时，因此g(尤)的图象为因此实数。的取值范围是(-2,0).【点睛】本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.1 6.1,2 J【解析】根据约束条件画出可行域，即可由直线的平移方法求得x +）的取值范围.【详解】由题意，画出约束条件表示的平面区域如下图所示，z =x+y,贝=-x+z如图所示，图中直线所示的两个位置为y =-x+z的临界位置，根据几何关系可得y =-x+z与），轴的两个交点分别为（0,-夜），所以X+）的取值范围为-1,忘 .故答案为：-1,72【

23、点睛】本题考查了非线性约束条件下线性规划的简单应用，由数形结合法求线性目标函数的取值范围，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1）y2=4 x；（2）x =4【解析】（D设出两点的坐标，由距离之积为1 6,可 得 乂%=-1 6.利用向量的数量积坐标运算，将O P L O Q转化为而0 0 =%+%=再利用两点均在抛物线上，即可求得P的值，从而求出抛物线的方程；（2）设出直线/的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线/恒过定点M（4,0）,将 P E Q面积用参数f表示,求出其最值，并得出此时的直线方程.【详解】解：（1）由题设P（X,，M）,

24、。（工2，%）因为P,。到X轴的距离的积为1 6,所以X%=T6,又因为O P _ L O Q,.0 户.0。=%+乂%=0,.X j%2 =1 6 =2 22 L.2 L2 P 2 P2 5 64 P 2:.p=2所以抛物线。的方程为)，2=4X.(2)因为直线/与抛物线两个公共点，所以/的斜率不为0,所 以 设：尤=+机联立x=ty-m.2,，得/一 4。，4/=0,y=4x即 凶+%=4 乙 yy2=-6=-4m,:.m=4即直线/恒过定点M（4,0）,所以 S“F Q =；I 根 I E%|=|a6/+64,当/=()时，APFQ面积取得最小值1 2,此时x =4.【点睛】本题考查了抛

25、物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键,属于综合性较强的题.1 8.(1)证明见解析(2)叵1 1【解析】(1)先证明E F J.平面PO C,即可求证(2)根 据 二 面 角 尸-砂-。的余弦值，可得P C _ L平面A B C。，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量计算线面角即可.【详解】(1)连接AC,交EF于前0,p连结 PO.则 E F 1 PO,EF _L AC,P O c AC=。，故E F上面POC.又 P C u 面 POC,因 此 所_LPC.(2)由(1)知NPOC即为二面角P E C的平面角，且 F0=6,P

26、0 =6 Z 0 C =3 R在POC 中应用余弦定理，得 p c =yjpo1+OC2-2P O OC-cosZPOC=2，于是有 PC2+OC2=PO2，即P C L O C,从而有PC _L平面ABC。.以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则。(0,0,0),m o,2),8(0,4,0),(2,4,0),尸(4,2,0),于 是 丽=(2,4,2),而=(4,2,-2),而=(0,4,0),设平面PEF的法向量为m=(x,y,z),m-PE=0in-PF=0 则2x+4y-2z=0即44x+2y-2z=0,解得x=y于是平面PEF的一个法向量为r n =(1,1,3).设直线

27、BC与平面PEF所成角为。，因此sin 0=cos=而比_ 4 _ v nCB-m 11【点睛】本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，二 面角，线面角的向量求法，属于中档题.19.(1)证明见解析；(2)4【解 析】(1)取A C中点D,连 接SO,D B,证 明A C,平 面SZW,由线面垂直的性质可得AC_LS3；(2)由/_ 四 八，=%.，即 可 求得三棱锥8 CMN的体积.【详 解】解：(1)证 明：取AC中 点。，连 接SO,DB.因 为 以=SC,AB=B C,所 以4CJ_SO且AC_L8O,因为SD u平 面SOB,Bu平 面SOB,所 以A C,平 面SD3.又S 3 u

28、平 面SDB,所 以ACLS3；(2)解：因 为ACJ_平 面SOB,A C u平 面A B C,所 以 平 面S O C,平 面ABC,过N作NE工BD于E,则NEL平 面ABC,因 为 平 面SAC_L平 面ABC,S D 1 A C,平 面SAC口 平 面45。=AC,SD u平 面SAC,所 以SO_L平 面ABC,又 因 为NE_L平 面A B C,所以NE/ISD,由于SN=NB,所以NE=SD所以 SA C M B -CM-BM=2,所以%-CMN=VN-CMB=S&C M B.NE=L0=33 2 2 4【点 睛】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直

29、的判定与性质，属于中档题.x=2cos 0,77./520.(I),.2尤+y 6=0；(II)最 大 值 为 必2,最 小 值 为 处.y=3sm，5 5【解析】x v x=2cos 9,试题分析：(I)由椭圆的标准方程设；=cosaV=s in e,得椭圆的参数方程为 ,.Q，消去参数/即得直线的2 2 j =3sin 0,普通方程为2x+y-6=0；(II)关键是处理好|P4|与角30的关系.过点P作与/垂直的直线，垂足为H,则在A P H A中，P H =d=PA,故将1PAi的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点P(2cos6,3sin。)到定直线2x+y-6 =0的最大值与最小值问题

30、处理.x=2cos6,试题解析：(D曲线C的参数方程为 ,.(。为参数).直线/的普通方程为2x+y-6=0.y=3sin，(II)曲线 C 上任意一点 P(2cose,3sin。)到/的距离为 d=t|4 c o s e +3 sin 6-6|.贝！I伊川=4 =拽|5sin(8+a)_6|.其中a 为锐角，且tana=g.1 1 sin 30 5 1 1 3当sin(e+a)=-l时，|PA|取到最大值，最 大 值 为 岑I.当sin(6+a)=l时，归川取到最小值，最 小 值 为 平.【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形.21.(1)(0,0),

31、(2正,(2)2&【解析】TT(1)依题意可知，直线/的极坐标方程为6=-；(p e R),再对分三种情况考虑；(2)利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.【详解】(D依题意可知，直线/的极坐标方程为。=二(p sR),4a/、当P 0时，联立 -45 解得交点，p=4cos 仇当夕=0时，经检验(。,0)满足两方程，(易漏解之处忽略夕=0的情况)当 0时，无交点综上，曲线C与直线/的点极坐标为(0,0),(2后,?(2)把直线/的参数方程代入曲线C,得/+2(sina-cosa 2=(),可知 4+12=0，匕”2=-2,22.(1)a,=*；(2)Sn=【点睛】本题考查直线与

32、曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.生土也4+?(3T _ 1),为奇数4 8、7。+2(3-1),为偶数.4 8、7【解析】(1)令=1可求得q的值，令“N2时，由4+3。2+324+1+3一%=可得出n_ 14+34+32q +3-2 al=亍，两式相减可得得的表达式，然后对为是否满足/在N2时的表达式进行检验，由此可得出数列 4,的通项公式；(2)求出数列 a 的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】(1)Q 4+3a2

33、+3 O j+L+3,1 c zn=,当 =1 时，4=g；当2 2时，由4+3a2 +3出+L+3 a”=大得4+3a?+3一%+3 一a_=,两式相减得3-.4 =g,凡=?.1生口 1q=满足=1.因此，数列 的 通 项 公 式 为；(2)bn=n,为奇数3,为偶数.当为奇数时,叱1(叶9 1-9S=l+32+3+34+-+3n-,+=lx +2121 x 2+-2 2 1-9士2+衿一）；4当为偶数时,S4=1+3+3+3，+-1)+3久 1+(1)9 9-*-1-2 1-9综上所述，S=2+2 +l+2(3 i-1),为奇数4 8、幺+2(3 为偶数4 8、7【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.