北京市某中学2022届高三2月月考数学试卷（解析版）.pdf

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1、北京市第一七一中学高三月考试卷数学一、选择题(共10小题，共 50分)I.已知集合A =0,1,2 ,8 =m 2 ,C =-2-1,0,则 B)UC=()A.()B.0,1,2 C.-2,-1,0,1 D.-2-1,0,1,2)【答案】c【解析】【分析】先化简B再结合交并集定义求解即可.【详解】由 8 =x|W 2 =x _ 2 x 2 ,又4 =0,1,2 ,C =-2,-l,0)所以4。3 =0,1,则(A I B)U C =-2,-1,0,1)故选：C2.体育品牌Kap p a的LOG O为/J、可抽象为：如图背靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是

2、()【答案】D【解析】B.f(x)=D.X)=c o s 6 x2 -2一c o s 6 x2x-2-【分析】由图象可知，函数y=/(x)为偶函数，且在x =0附近函数y=/(x)的函数值为正，然后逐项分析每个选项中函数的奇偶性及其在x =0附近的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】由图象可知，函数y=/(x)为偶函数，且在x =0附近函数y=/(x)的函数值为正.对于A选项，函数/(%)=黑；的定义域为 xx丰0),-)=-普=篝=小)，该函数为偶函数，当0 c x e工时，2 T 2*0，0 6 x 0,此时/(x)0不合乎题意;6对于B选项，函 数 元)=的定义域为卜忖声。,2 2

3、=8 S、(-6：)=_ c o s 6：一,该函数为奇函数，不合乎题意；2 A-2 2 -2 A对于C选项,、s i n 6%函数/(力=忸 _2 7的定义域为 x|x w0,力=s i n (-6%)_ s i n 6x|2-2Aj -2 2 T l=一/(x),该函数为奇函数，不合乎题意;对于D选项，函数/(x)=c c q 6 x黄片 的 定 义 域 为 x|x HO ,x)=c o s(-6x)c o s 6x z、声三才=产呵=/(x)，该函数为偶函数.当0%2时，0 6 x 0，此时x)0,合乎题意.故选：D.【点睛】本题考查利用函数图象选择解析式，一般从函数的定义域、单调性与奇

4、偶性、零点以及函数值符号来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3.已知0b,m&R,则下列说法正确的是()A.若 a b,则-fa yb B.若 a b,则 am2参，则 人a b【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法进行逐一判断即可.【详解】A.得不出6扬，比如，。=4,8=-2时；B.m=0时，a b得不出。而 从研；C.一 分可得出故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题.4.函数/(x)=s i n x-Gc o s x(乃W x 0)的单调递增区间是()乃 八 乃 八 5 九 5万A.,0 B.0 C.-,D.-71,-L 6 J

5、L 3 J L 6 6 j L 6 J【答案】A【解析】【分析】先将函数整理，得到/(x)=2s i n x-m),根据正弦函数单调性列出不等式，求出单调递增区间,再由给定区间，即可得出结果.【详 国 阜】/(x)=s i n x -V 3 c o s x =2s i n -y,T T T T 7 T 7 T )7 T由-F 2k/r x-卜2km k eZ,得-F Ikn x-F2 左 乃，k&Z,2 3 2 6 6又 一71 X 0,X 2=.命题：直线/与圆。相交；命题/从一1 .则是4的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【

6、分析】由直线与圆相交，求出命题。为 真 时 的 关 系，再由充分、必要条件的定义，即可得出结论.【详解】直线/：y=ax+b,圆C：x2+y2=1,命题为真:b,即直线/与圆C相交，则/,一 1.当命题q成立时，即”初 一1，则/。2一1成立，命题。成立，是q的必要条件；而当命题P成立时，取。=11=0,此时命题9不成立，不是q的充分条件.所以P是4的必要不充分条件.故选：B.U U U UUU17 .已知单位向量而，丽，正 满 足2万+3方+3斤=则A B-A C的 值 为（）8-92-3民5-9CD.【答案】A【解析】【分析】先化简已知的等式，化简时把系数相同的放在同一侧，通过向量间的线性

7、关系，得出各个点的位置，解三角形，最后可求数量积.【详解】：2而+3巨分+3正=0,2 PB+PC=-P A,3如图，设 中 点 为 D,则 P 方=g（P 后+P e）=g而，且|方|=|而|=|定|=1 ,二 P,A0 三点共线，PD A.BC，|P/5|=|PC|=|,|5|=pAABC为等腰三角形,.固.附 一|叫2=半，网=国卜 抠 邛+印孚,cos ABAC=cos 2ZCAD=2cos2 ACAD-1=uun uun uniA B A C=ABuuuAC cos ZBAC=2#276 1-X-X 3 3 389故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，通过线性运算的法则和性质判断

8、出三角形形状，并解三角形，考查推理论证能力和运算求解能力，是中档题.8.已知数列 凡 的 通 项 公 式 为%=仔），则数列 4 中的最大项为（）k 3 J0 【分析】由。+a=-,当 2时，+1 一小0,当 2时，斯+1 0,从而可得至U=2时,小最大.2丫M /2丫 2-nr 2丫 川一=-3J 3 详解解：an+an=（+1）当0,即当=2 时，斯+i 。=0,即当2 时，跖7+1。0,即所以。4 5 ，所以数列 4 中的最大项为“2或43,故选：A.【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.2 29.已知P为双曲线c*-方=1（4 0,力0）上一点，耳,工为双曲线c的左、右

9、焦点，若附|=忻 用,且直线 居 与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）A.y =t3B.y=?-x-4C.y =x55D.y=+x-3【答案】A【解析】【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程.【详解】设直线P F2与 圆/+=/相 切 于 点 加，贝4 0闸=氏0河 _1 _ 2鸟,取线段 弱 的中点N,连接N ,由 于 忸 制=山外|=2 c,则 N 6_ L P J|N P|=|N K|,由于。是6 K的中点，所以|八你|=2|0|=勉,则|N =14C2 4/=2 b，即有|P周=4）,由双曲线的定义可得|P周一|P耳|=2

10、a,即 4)-2C=2Q,即 2 =c+a,c=2一a,所以（乃 一/=/+层，7h 4化简得 3b2=4ab,3b=4a,-=-,a 34所以双曲线的渐近线方程为y=x.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.10.如图所示，正方体ABC。A 4G A的棱长为1，B D r A C =O,M是线段。上的动点，过点M作平面ACD的垂线交平面A旦G A于点N,则点N到点A距离的最小值为273亍D.1【答案】B【解析】【详解】由A B C。A 6 C A是正方体，得 与。，面A C 2因为MN，面A C。，所以BQ/M N ,所以BQ与M N 共面因为5,。都在平面5。乌

11、，所以N点在线段8 a上，则点N到点A距离的最小值为由A向 作 垂 线，即为A A g q的一条高是以边长为友的等边三角形，所以高为业2故选8二、填 空 题(共 5 小题；共 25分)1 1 .复数z =(2 i)i的虚部是.【答案】2【解析】【分析】根据复数四则运算及复数的定义即可求解.【详解】因为z =(2 i)i=2 i-i 2 =l +2 i,所以复数z =(2-i)i的虚部是2.故答案为：2.1 2 .在(f+2户的二项展开式中，常 数 项 等 于.X【答案】2 4 0【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的事指数等于0,求出厂的值，即可求得常数项.【详解】解：在 卜 的 二

12、 项 展 开 式 中，通项公式为Tr+Q-2r-x2-3 r,令12-3 r=0,求得r=4,可得展开式的常数项为C 2=4X上一点M到焦点的距离为3,则抛物线y2=4 x上一点M到准线x=T得距离为3,则点M到y轴的距离为3 1 =2.14.已知函数/(X)=lnx,g(x)=G：+l,若存在2!使得/(%)=8(-尤0),则实数a的取值范围是e【答案】-4,2e_ e _【解析】【分析】将问题转化 为%x)=lnx+dx-1在上有零点，分类讨论。的值，利用导数得出实数。的取值范围.【详解】由题意可知，(x)=lnx+ax-l在-,+o o上有零点，/(*)=+。=竺士1一 e)x x当 a

13、.0 时，h(x)0,所以(x)在 一,+8 上单调递增，/?(一 =-1H-1 =2,(e)=ae.O,则e)e e-2 0,解得0 4 a2e；e当aW e时，函数(x)在 上 单 调 递 减，/?：=-2 0,不存在零点；当一e a 0时，/iXx)|,/zz(x)xe|-,+oo|,则函数(x)在 化 上单调a)a e a)递增，在(一：,+8)上单调递减，因为/z(e)=ae0,所以力即ln(-a)-2.O,解得a 0,y o时，方程(x 1)2+(y 1)2=8,当x 0,y 0时，方程(x l)?+(y +l)2 =8,当无 0时，方程(x+l)?+(y 1)2=8,当x (),

14、y C =a.p(1)证明：连接AC,A C交 8。于 G,连接EG.依题意得A(a,O,O),尸(0,0,a),.底面A 8 C D 是正方形，；.G 是此正方形的中心，故点G的坐标为(2，0)且=(a,0,a),EG =(0 *-P A =2 E G 故以EG.而 E G u 平面E D B 且 以，平面EDB,南 平面EDB.【小问2 详解】依题意得 8 (a,a,0),P B =(a,a,a).又 瓦=(0,9，父，故 方.诙=0 +土 =0.I 2 2；2 2:.PB1.DE.由已知 EFJ_ P 8,K E F H D E=E,所以 P 8 _ L平面 EFD.【小问3 详解】设点

15、尸的坐标为(x o，yo,z o)，P F =A P B 则(x o,y o,z o -)=入(a,a,-).从而x o=入 a,yo=Xcif由条件 知，F E P B =Q 即-A a2+2-|a2=0,解得42 J3（a a 2a 点 尸的坐标为I且D卜二a a 2 ayJ易知 AG B D,A G P D,又 BD PD=D,所以AG _L平面PDB,故/=a（-,-,0）是平面BDF的法向量,2 2设平面CDF的法向量：=（x,y,z），又 加=（O,a,O）,n-DC=ay=0所 以 a 2 a 令z=l，则 y=0,x=-2,z=l,yd-z=03-3n-DF =x+3所以：=（

16、-2,0,1），所以-cos=n-AGHIIAGI1VioM5故二面角B Z577 C的大小为arccos18.某 市 城市总体规划（2016 2035年）提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈 指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6 1）、良好小区（指数为0.40.6）、中等 小 区（指数为0.2 0.4）以及待改进小区（指数为。（）.2）4个等级.下面是三个小区4个方面指标的调查数据：、卜区1、标值d小区2B小区C小区d教育与文化(0.20)30.7

17、0.9 P0.1P医疗与养老(020)Q0.7 P0.6 P0.3 P交通与购物(0.32)0.5P0.7 P0.2 休闲与健身(0-28卜0.5 P0.6 P0.1P注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数T =w Z+w工+吗4+%(，其 中 巾、叼、卬3、叼 为该小区四个方 面 权 重，(、丁2、4、1为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为0 1之间的一个数 值).现有1 0 0个小区的“1 5分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：分组0,0.2)0.2,0.4)0.4,0.6)0.6,0.8)0.8,1频数102030301()(I)分别判断A、3、C三个小区是否

18、是优质小区，并说明理由；(H)对这1 0 0个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取1 0个小区进行调查，若在抽取的1 0个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为求J的分布列及数学期望.4【答案】(I)A、C小区不是优质小区；B小区是优质小区；见解析；(H)分布列见解析，数学期望一.【解析】【分析】(I )计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区：(i【)先求出io个小区中优质小区 个数，可得出随机变量g的可能取值，然后利用超几何分布的概率公式计算出随机变量4在不同取值下的概率，可得出随机变量4的分布列，利用数学期望公式

19、可计算出随机变量4的数学期望值.【详解】(I )A 小区的指数7 =0.7 x 0.2+0.7*0.2+0.5*0.3 2+0.5*0.2 8 =0.5 8,0.5 8 0.6 0,所以B小区是优质小区；C 小区的指数7 =0.1 x 0.2 +0.3 *0.2+0.2 x 0.3 2+0.1*0.2 8 =0.1 7 2,0.1 7 2 0),利用导数求出或初皿即可:(3)将问题转化为x l n x-x e*+2 x 0，即 I n x e*-2，结合(2)可得当 x e (0,+。)时 x-1 e*-2 即可,构造新的函数，利用导数讨论函数的单调性，进而得出结果.【小 问1详解】由/(x)

20、=x lnx +o x 2-i,得 f(x)=l +nx+2 ax,又 f (l)=-1,所以 1 +2。=一1,解得。=一1,故/(.)=x lnx-x2-1；【小问2详解】函数f(x)的定义域为(0,+8)，由/(x)一如 W-l，xnxx2-m x 则对于V x e(0,+c o),都有I n尤 一x 0),则/(x)=一 1 =-,X X令g (x)x 1,令g (x)0=0 x T，即m的最小值为-1；【小问3详解】要证函数y =/(x)-x e +V的图象在直线y =-2x-l的下方，即证/(%)-xex+x2+2 x+Q ,即证 x ln x-x e*+2x 0，即证 lnx e

21、，2，由(2)知，g(x)=lnx-x 4-l,即lnx x-l(当且仅当x =l时等号成立)，故只需证当X G(0,+8)时，x l 0 =x 0,所以函数（x）在（0,+8）上单调递增，所以（x）（0）=0,即x-l e*-2，所以lnx 6 0）的 离 心 率 为 半，4、工分别为椭圆E的左、右焦点，“为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A.（I）求椭圆E的方程；（H）若过A的直线/交椭圆于另一点8,过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于8点），连接AC交y轴于点只如果巨 晨 丽=,时 ，求直线/的方程.2【答案】（I ）+y2=l；（I D/：y =2也 或 y =2+也.2,2 2

22、 2 2【解析】【分析】（I ）根据S 4F,材七面积的最大值可求从=1，结合离心率可求。力，从而得到椭圆的方程.（H）设直线/：=%（-血），联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可求民C的坐标，由直线AC的方程后可得P的坐标，根据巨 鼠 方=，可得关于A的方程，从而可求A的值.2【详解】解：（I）当 为 椭圆的短轴端点时，S MF?取得最大值即S=；x 2c x b =l,又因为=变，a2b2+c2a 22解得：a=JL b=l,c =l,所以椭圆方程为、+y 2=i.（I D A（0,O）,根据题意，直线/斜率存在且不为0,y =k（x-及）设直线/：y =%1一血），3（%），联立

23、*2,得(1+2公)*2 4血/+4氏2-2=0,四+/=禽，E1 十 Z.K,止 2l +2 k21+2/即3(2-1)-2向 1+2公7由题意得：C阳2 J)2怎1 +2公-1+2左2 又直线A C:y =M(x&),故P(0,灰，,而.而=(0,-疝).夜(2 公-1)2同1 +2 公 1+2后24/+1 0公-2 1k7即8/+18公一5 =0解 得 二=一|(舍)卜 2=/故4=，1 +2/2直线或尹乎【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，般可通过联立方程组并消元得到关于x或 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有西，%+/

24、或,%，%+%，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.21.设集合4 =4，%,。3，%，其中4，%，%，%是正整数，记SA=+w+。3 +%对于生，a/e A(l i j 4),若存在整数上满足%(%+%)=S，则称4+%整除枭，设%是 满 足+%整除S.的数对(*/)(力 的个数.若A =1,2,4,8,B =1,5,7,11,写出%,%的值;(I I)求 明 的最大值；(I I I)设A中最小的元素为“，求使得取到最大值时的所有集合A.【答案】(1)1=2,%=4；(2)4；(3)A=a,5a,7 a,H a,或4 =a,I l a,19a,29a.【解析】【分析

25、】(1)根据定义得到S ,SR,即可得到吗,%的值;(2)结合条件得到0,力 最多有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)六种情况,排除(2,4),(3,4)即可得到%的最大值;（3）假设0 a-a a2 a3 a4,u=a+a2,v-,根据定义可得=6 4 =6 a 或=12q =12。,进而得到A.【详解】(1)根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4),故%=2,&=24=4(1 +5)=2(5+7)=2(1+11)=3(1+7),故%=4.(2)不妨设 0 4 。2%“4，因 为:5八=g(q +4+/+。4)4+。4 。3+。4 SA，所

26、以 4+。4，%+%不能整除 SA,因为(。力 最多有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)六种情况，而(2,4),(3,4)不满足题意，所 以%4 6-2 =4,当4 =1,5,7,11时，%=4,所 以%的最大值为4 ；(3)假设0。=%。2 。3 “4，由(2)可知，当%取到最大值4时，4 +%，4 +/，4 +。4,生+。3均能整除臬，因;m ax q+g，4+%5.，故=m ax q +aA,a2+ai,所以q +a4=a2+a3,设 +生,丫=。|+%，则,丫是 枭=2(%+/)=2(+丫-2。|)的因数，所以u是2(一 2q)的因数，且是2(u-2q)的因数，因为“v,所以 2(“-2a)2“2 u,因为 丫 是 2 Q-2 a J 的因数，所以丫=2-4%,因为“是2(v-2q)=4 -12q的因数，所以“是12al的因数，因为 4q,所以“=6 q =6 a或 =12q =12。，故 A =q ,5 q,7.,1 ,或 A =q ,11%,19q,29q ,所以当取到最大值4时，故A =a,5 a,7a,11。,或A =a,l l a/9a,29a.【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质