北京市2021届高三3月统一练习数学试卷（解析版）.pdf

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1、人大附中2020-2021学年度高三3 月统一练习数学本试卷共4 页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集 合M=x|l n(x+1)NO,N =合2*4 ,则A/cN等 于()A.(0,2)B.(F,2)C,0,2)D.,2【答案】C【解析】【分析】先通过解对数不等式和指数不等式，求出集合M,N,然后再求交集.【详解】由 l n(x+l)N0,得 即 M=x|xZ 0.由 2 4，可得 x 2,即 与=%|%2 所以 McN =x|0 x2 故选：C

2、2 .若(2 x-Ip =%+a/+oyc2+q/,则 =()A.6 B.-6 C.1 2 D.-1 2【答案】D【解析】【分 析】由 题 意 内 为(2A-I)3展 开 式 中 含/项 的 系 数，写 出(2 x-l)3展 开 式 的 通 项 公 式Tr+l=(-1)(x 23-rC；x3-r,令 3 r=2,从而可得答案.【详解】由题意的 为(2 x-l)3展开式中含x2项的系数.(2 x-i y 展开式的通项公式为：Tr+l=C；(2 x)3 x(-l)r=(-l)r x 23-rq x3-r令3 r=2,得 =1,所以=(-1)X23-C =YX3 =-1 2故选：D3.记S“为等差数

3、列 4的前项和，若4=1 8,S 5=8 0,则数列 4的通项公式q,=()A.2H+22 B.2 2-2 n C.2 0-n D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式先求4,d,进而可求通项公式.【详解】解：因为等差数列 4中4=1 8,55=80,_ (4+4 =1 8所以+1 0 4 =80 解得 1=2 0,d=-2,则数列 4的通项公式4,=2 0 2(“-1)=2+2 2 .故选：B.4.已知向量 =(1,2),人=(1,0),c =(3,4),若X为实数，(a +劝)c,则2 =A.2B.1C.D.-2 4【答案】C【解析】【分析】首先利用向量加法的坐

4、标运算得出Z +XB=(l +4 2),再利用向量共线定理即可得出4的值.【详解】由题意得Z +肪=(1 +4 2)和2 =(3,4)平行，故(l +44-2 x3 =0,解得故选C.【点睛】本题考查了向量加法以及向量共线定理的坐标表示，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.欧拉恒等式：e，+1 =0被数学家们惊叹为 上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e、圆周率不、虚数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：6 3=：0 5。+1 0 1 1伙。1)令。=得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限

5、【答案】B【解 析】【分析】令3=:0 5。+1 5 m火夕1 1）中6 =2即得解.【详解】令e i =c os e +i s i n6（，eR）中。=2得：e2i=co s 2+i s i n 2，所以e 在复平面内对应的点为（co s 2,s i n 2）因为 co s 20,所以e 在复平面内对应的点在第二象限.故选：B2 26.己知双曲线C:=-2=1（0力0）的左、右焦点分别为6（-c,0）,F2（C,Q）,P为双曲线C右支上一a b点，直线P士与y轴相交于点Q,若APQ B为等边三角形，则双曲线c的离心率为（）A.V2 B.石 C.2 D.V5【答案】B【解析】【分析】设|Q E

6、|=z，由线段垂直平分线 性质以及等边三角形的性质可得加=2。，在。百鸟中，由余弦定理可得 忸 用=g m =2 c,由e =（即可求解.【详解】如图：设|。段=加，由丁轴垂直平分线段耳工，可得|。耳|=7,因为dQK为等边三角形，所以|P Q|=|P E|=m,因为点P为双曲线C右支上一点，所以|P用=|引+为=加+%,所以 制=|尸41 T p Q|=m+2 n-m =2a,所以/%=2。，在尸大鸟中，由余弦定理可得：忻 用2 =归6|2+|P段 之 一2用|PE|cos60=4/+加之-2x2/Hxmx-i=3m2,所以 恒 司=G 2=2C,所以双曲线的离心率为：6=至=皿=6，a 2

7、a m故选：B.7.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的轮廓都是直角梯形，俯视图为正方形，则该几何体的体积是（）C.4D.8【答案】C【解析】【分析】先根据三视图还原几何体的直观图，再利用割补法求几何体的体积即可.【详解】解：由三视图可知该几何体的直观图为如图所示的几何体ABCOPE/7,连接B4，P B,易知该几何 体 可 看 作 是 四 棱 锥P-A B E F和 四 棱 锥P-A B C D的 组 合 体，则 该 几 何 体 的 体 积V=2 x|x|x(l+2)x2x2=4,故选:C.BCEAPD【点睛】解决三视图问题的两个关键点：（1）定形，即确定三视图对应几何体的结构

8、特征，熟练掌握规则凡何体的三视图是由三视图还原几何体的基础；（2）建立三视图中的数据与几何体的几何度量之间的关系，正确理解“长对正，宽相等，高平齐”是关键.8.在非直角 A A B C 中，“是t an A|t an H”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】由卜an A|卜an B|得出t an Z A-t a B。，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系.【详 解】若|t an A|卜an同，则2.2 n s i n2 A s i n2 Bt an A-t ar r B=-；-；co s A c

9、o s-Bs i n2 A co s2 f i-co s2 A s i n2 B（s i n A co s co s A s i n B）（s i n A co s B +co s A s i n B）co s2 A co s2 Bco s2 A co s2 Bs i n（A-B）s i n（A +B）co s2 A co s2 Bs i n（A-B）s i n Cc o s2 A-c o s2 B易知s in C 0,c o s2 A0，c o s2 B 0 ,s in（A B）0,.O v A v 乃,0B7r f:.兀 NB 0,:.AB.因此，“是t a n川习t a n B|”的充要

10、条件，故选C.【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.已知函数x）=x 2 l +a（e X+e T）有唯一的零点，则。的 值 为（）1 1 1 1A.-B.-C.-D.2 2 3 3【答案】B【解析】【分析】先判断出“X）为偶函数，其图像关于y轴对称，由/（x）有唯一零点，则零点为x =o,从而可得出答案.【详解】由/（x）=J l +a（e，+e T）,则/（一司=/一1+4心+0=/（同所以/（x）为偶函数，其图像关于y轴对称，/（九）有唯一零点.则零

11、点为x=o,即/（o）=-1+。（1+1）=0,解得故选：B10.描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹.现甲，乙两位工匠要完成A,B,C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间（单位：h）如下：原料时间工序原料A原料8原料C上漆91610描绘花纹15814则完成这三件原料的描金工作最少需要（）A.43h B.46h C.47h D.49h【答案】B【解析】【分析】经分析，找到乙工匠空闲时间最短方案即可得解.【

12、详解】由题意，甲按A,C,B的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，所需时间最短，最短时间为9+15+14+8=46 h.故选：B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案全部填写在答题卡上.11.在某项技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如图所示的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰,用字母a代替.己知甲乙成绩的中位数相等，那么。的值为.甲8 8 6 18 4 a 2乙8 80 0 4 8【答案】2【解析】【分析】由茎叶图可得乙成绩的中位数，由两人中位数相等可构造方程求得结果.【详解】由茎叶图知乙成绩的中位数为竺 士 卫 二 2 0,2.,甲乙成绩的中位数相等，.18+20+J2。,解

13、得：a=2.2故答案为：2 .j r1 2.在 A B C 中，若 b s in A =a c o s（B）,则 6=，s in A +s in C 的最大值为.6【答案】.1 .K【解析】【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角差的余弦公式、辅助角公式，可得8的值；根据A +C =，两角差的正弦公式、辅助角公式，可推出s in 4+s in C =6 s in（A +J）,最后由正弦函数的3 6图象与性质，得解.【详解】解：（1）由正弦定理得：s in B s in A=s in A c o s（B-工）,又s in A wO，6则得s in 6=c o s 8+s in B ,

14、整理得：-c o s s in B =0，即c o s（3+）=。，又因为 5（0,%）,2 2 2 2 67T所以8 二二.3c ,/八 s in A +s in C =s in A +s in f _ c o s A +s in A =V3s in fA +由（1）得 I 3）2 2 6）因为 A w（0,-）,所以A +g（g,空）,6 6 6所以当A+=工时，s in A+s in C取得最大值，为6.6 2故答案为：一；y/3 -313.若存在/e（0,+8）,使得/（尤。+1）+/（%）=0成立，写出一个满足上述条件的函数/。）=【答案】sinTrx（答案不唯一）【解析】【分析】由

15、条件可得x 0 +2)=x),可以考虑周期函数，则可以考虑从三角函数着手处理，从而可得答案.【详解】存在x 0 e(0，+8)，使得/(%+1)+/(%)=成立所以/1 +2)+/(%+1)=0 ,即/伉 +2)=/(与)所以可以考虑周期函数，则可以考虑从三角函数着手处理.令 x)=s in 4x,则7 =2,则此时)(x+2)=/(x)71取%=g，则/(；+l)=s in T(；+l)=s in(?+;r)=_s in q =_*/(l)=s ini=4,所以+满足条件故答案为：s in/r x (答案不唯一)14.在平面直角坐标系x Oy中，点A,3是圆V +V 6 x +5=0上的两个

16、动点，且满足|A 6|=2百，则OA+O B 的最小值为.【答案】4【解析】【分析】本题可利用A3中点 去 研究，先通过坐标关系，将 函+0月 转 化 为 丽，根据A B =2 6得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出丽 模 的 最值，得到本题答案.【详解】设A(石，y),3(w，必)，A3中点M(x ，/).”=山，”小 匹2 2O A +O B=(%,+%2，y,+y,)=2 O M.,圆 C：x 2+y 2 6 x +5=0；.(尸3p +y 2=4,圆心C(3,0),半径C 4=2.点A B在圆。上，A 8=2百，C 42-CM2=(g回即 C M=1点A/在以C为圆心，半径厂二1的圆

17、上.：.OMOC-r=3-1=2：.|OA+OB|4故答案为：41 5.若函数y=/(x)对定义域。内的每一个王，都存在唯一的9 e。，使得/(百 /(%)=1成立，则称/(%)为“自倒函数给出下列命题：自倒函数/(x)的值域可能是R；存在实数”，使得函数 =5足+。是自倒函数；若/(X)是。内的自倒函数，则y=也是。内的自倒函数;/(%)若f(x),g(x)都是。内的自倒函数，则y=/(x g(x)也是。内的自倒函数.则 所 有 正 确 命 题 的 序 号 是.【答案】【解析】【分 析】对 于 由 当/(3)=0可 判 断；对 于 .假 设 存 在 实 数。满 足 条 件，根 据 定义可得s

18、in%=a,显然满足条件的 的值不唯一可判断；对于.由定义可得=从而sin X t+ci日=i可判断；对于.设尤)=g(x)=J,根据定义可得满足条件的值不唯一，从而可判断，得出答案.【详解】对 于 .若/a)的值域是R,当/(4)=0时，则/(%/(与)=0,不满足条件，所以不正确.对于.假设存在实数，使得函数/(x)=sin x+a是自倒函数.则对任取修，都 存 在 唯 一 的 使 得/(%)/(9)=L即(sin%+a)(sin%2+a)=1,即sinx2=-asin X i+ci取 王=0,则sinx,=L-。，显然满足条件的x,的值不唯一，所以不正确.a对于.若/(x)是/)内的自倒

19、函数，则对任取王，都 存 在 唯 一 的 使 得1 1 1所以任取用，都存在唯一的/e。，使得KJ，支n=i，所 以)=元3也是。内的自倒函数.故正确.对于.设/(x)=g(x)=J,其中 =(,0)11(0,叱)，则/(x),g(尤)都是。内的自倒函数，而 Mx)=x).g(x)=e，取 X|=2,则旗内)=；，由力(%)/75)=1，可得力(X2)=4则 人(2)=4，即2 =L 显然Z的值不唯一.故此时y =X)g(X)不是。内的自倒函数，故X2 4不正确故答案为：三、解答题共6 小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.在AABC中，a,b,c分别是角A,B,。

20、的对边.若c o sC =砧，b-c=2,再从条件与中选择7一个作为已知，完成以下问题：(1)求 历C的值；(2)求角4大小及A B C的面积.条件：si n C =c si n A：条件：+T1+6-1 4 c 4b【答案】(1)b=6,c=4；(2)A =3 ,SZ.XA/RwCC =6/3 .【解析】分析(1)选用条件：利用正弦定理求出a =2 j 7,再利用余弦定理得解；选用条件：先求出si n C =史，c o s 8 =也，si n 8 =e叵，再利用正弦定理得解；7 1 4 1 4兀(2)由余弦定理得A =一，再利用三角形的面积公式求解.3【详解】(1)选用条件：由正弦定理 一=

21、，可得c =E或，可得a=2 6.si n A si n C 1 4因为C O S C =2互，由余弦定理得人十.一2=2互.7 2 ab 7将b c =2代入上式，得 28+/4 2 =迈,4 V 7/7 7解得匕=6,c =4选用条件：由 c o s C =2*,则 C 为 锐 角,si n C=/l-c o s2 C =.a1+c2-b2 1 a2+b2-c2-=-,c o s C =-，74 2 ab由余弦定理,c o s/?=c o sC =4 14则 5为锐角,si n 3 =又由b c =2,可得b =6,c =4.(2)由余弦定理得c o sA=u一 =二,jr因为()A B

22、=B C =B D.（I ）连 A ,求证：A D 1 B C；（I I ）求 A 与平面3OC所成角的大小；（I I I）求二面角A BOC的余弦值.【答案】（I ）证明见解析：（I I）4 5。：（1 1 1）好.【解析】【分析】（I ）作 4。，8。于点。，连接。，由题意结合面面垂直的性质、平面几何知识可得。4,0 C,。两两垂直，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，利 用 而 罚=0即可得解；（U）求 出 向 量 而 和平面BDC的一个法向量 为 储 利用si n a =辰（晨 而，求得线面角的正弦值后即可得解;(Ill)求得平面般的一个法向量为2，利用COS%2一丽即可得解.【详解】

23、(I)作AO_LBC于点。，连接。,因为平面A B C 平面D B C,所以AO _L平面D B C.又 ZABC=ZD5C=120,A B =B C =B D,所以AA Q B与AQ O B全等，所以NOQB=90.又。u平面O B C,所以Q4,0 C,0。两两垂直.以Q4,O C,QD分别为x，x z轴建立如图所示的空间直角坐标系。一JZ,(、则 小。*巧,B 0 1,0),c f o,|,o j,D7学 0,0,.所 以 当。卷,BC=(O,l,O).7所以4万 8仁=0.所以A)_L8C.(II)由(I)知 A D =,0,-2 27平面8DC 一个法向量为)=(0,()/).设A。

24、与平面8D C所成角为1,则 sina=卜0$(,A/5)=一 也一 2因为0 W a E(Z),所以应选择方案更划算.1 9.已知函数/(x)=2 x-a s i n x .(I)求 曲 线 在 点(0,/(0)处的切线方程；冗(I I)当x e 0,时，x)W c o s x,求。的取值范围.【答案】(1 )y =(2-a)x；(I I)乃,+8).【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求斜率，再用点斜式写出方程即可；冗(I I )令g(x)=/(x)-c o s x =2 x-a s i n x-c o s x,则当x e 0,时，g(x)O,转化为求g(x)立，然后用导数研究即可【详

25、解】(I)因为/(x)=2 x-a s i n x ,所以/(0)=0,/(x)=2-a c o s x.所以广(0)=2 -a.所以所求切线方程为y =(2 -a)x.(I I )法一：设 g(x)=2 x-a s i n x-c o s x,则当 x e 0,时，g(x)40.4 0成所以 g(O)=T W O,g 1 )=一 所以 aN 4.因为=2-6 r c o s x 4-s i n x =2 +V +l s i n(x-),1 .a 八 7T其中C O S 0=/,s m =,(pe 0,a+1 a“+1 I 271 71又当x e 0,时，x-(p -(p,-(p所以g (x)

26、在 o,y单调递增.因为=2-a 0,依题意，只需 g(0)=-l W 0,g 1 J =;r-a W 0,即 0之乃.所以。的取值范围是 肛+8).7 T法二：设 g(x)=2 x-s i n x-c o s x,则当x e 0,时，g(x)0.当x =0时，(0)=-1 0,当x e(0,g 时，设M x)=9=2x_cosx-I 2 s i n x s i n x (2 +s i n x)s i n x-(2 x-c o s x)c o s x 2 s i n x-2 x c o s x +l则(x)=-=-.s m x s i n x令 0(x)=2 s i n x-2 x c o s

27、 x +1,则“(x)=2 c o sx-2c o sx+2 x s i nx=2 x s i nx.所以时，（x）0,o（x）单调递增.所以x J。,二 时，奴x）奴0）=1 0,（力=幺 乜 0,7 z（x）单调递增.2）s i n-x依题意，只 需 哈 卜 万-“wo,即。之万.所以。的取值范围是 T,+8）.2 22 0.如图，设椭圆3 +2=1（.人0）的左、右焦点分别为，鸟，点。在椭圆上，a bDFXVFXF2,3=2 立 。耳居 的面积为走1。耳 1-2（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在工轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并

28、分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【解析】【详解】试题分析：（1）由题设知耳（c,（），6（c,0）其中。2=/一廿由电 旦=2 近|。耳|=W c,，结合条件A O K F,的面积为旦,|班|2 2可求c的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得。力的值，从而确定椭圆的标准方程;（2）假设存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点；设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点为q（与,y）,（w，y2）由圆的对称性可知%,=一，M=%，利用6（x,y）,（w，%）在圆上及 而.*=o 确定交点的坐标，

29、进而得到圆的方程.解：（1）设耳（一c,0）,玛（c,0）,其中由陶=2及 得|。”|=单=4c|。短 1 1 2 V 2 2从而 5期与=；|。片 IMEk c?=乎，故 c =l.从而|。用=也，由O与,百 巴 得|。=|）用2+忸&=,因此口巴|=述2 2 2所以2 a =|。制+|闯=2弦,故a =&,6=q 2 _ c 2=ir2因此，所求椭圆的标准方程为：二+V=12（2）如图，设圆心在y轴上的圆。与椭圆、+y 2=i相交，6（石,%），6（马,必）是两个交点，必0,%0，耳匕片巴是圆C的切线，且 月片_ L鸟鸟由圆和椭圆的对称性，易知=一百，乂=%附1=2.，由（1）知耳（一1,

30、0）,6（1,0）,所 以 丽=（%+1,弘）,熊=（大一1,必），再由耳片上工巴得一&+1）2 +弘2=0,由椭圆方程得1 一 五=（玉+1?，即3片+4%=0,解得=-：或%=0.2 3当=0时，儿巴重合，此时题设要求的圆不存在.当 =g时，过几巴分别与匕巴鸟垂直的直线的交点即为圆心C,设C（0,y。）由 CJ_，得.七=一1,而 y=W+l|=故A Xj-r 1 J J圆C的半径|c 用殍综上，存在满足条件的圆，其方程为:考点：1、椭圆的标准方程；2、圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量数量积的应用.2 1.已知项数为4 3）的数列 ,满足0 4 q 生 见，若对任意的 川

31、 4 区幻，%+4 与%-4 至少有一个是数列%中的项，则称数列%具有性质P.（I ）判断数列0,2,4,8 是否具有性质P,并说明理由；（I I ）设项数为10 的数列。“具有性质P,4（）=3 6,求4+生_|-+ai o;（I I I）若数列 ,具有性质P,且不是等差数列，求 我.【答案】（I ）数列0,2,4,8不具有性质尸,理由见解析：（I I）180；（I I I）4.【解析】【分析】（I）根据具有性质尸的定义直接判断即可求解；（I I）先证明项数为k的具有性质P数列 a“的前n项和q +a2-*-h ak-+&，再将A =10，40 =36代入即可求解；（I I I）分别检验=3

32、、k=4、攵2 5时是否符合题意，即可求解.【详解】（I）数列0,2,4,8不具有性质P.因为2+8 =10,8 2=6,它们均不是数列0,2,4,8中的项，所以数列0,2,4,8不具有性质P.（I I）考虑项数为人的具有性质P数列 4 .因为 Q 4 4%4-1%，a*+4 史 所以6 一4 e V,即OwA/,所以=（）.设因为q+勾 任 ，所以4 一qe.又 0 =4 -4 ak-ak_x-ak-a2 ak-at,所以4-4 =4，4 一/一1=2，4将上面的式子相加得履*-(a +&T+生+q)=q +%+ak -所以 q +a2-i-(ak_x+ak=.故当=10,4o=36 时，a

33、,+a,H-1-+a10=180.(I l l)一、当=3 时，由(I I),q=0,a3-a2=a2=a2-at,与数列 4 不是等差数列矛盾，不合题意.二、当左=4 时，存在数列符合题意，例如数列0,2,6,8,故左可为4.三、当 2 5时，由(n ),ak-=ai+l(0 /ak_t+a2=ak,所以a _+q 走M,ak_x-a M .又 =a*_|-4-i -ak-2 L%._-4 ak-a3=ak_2,0 =q%_3 ak_2,所以4T-%T=4，4T-%-2=%，%T-%=4-3所以a*T -&T=2,(1 ik-3).因为左之5，所以4T-%T=4，4-I-4-2=4.所以 4 T -4 =4 T，ak-a2=4-2，所以 由两式相减得，ak-t-i =aM-a,.(1 z /:-1).与数列%不是等差数列矛盾，不合题意.综上所述，k=4.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是对数列新定义的理解，数列%是一个有穷递增数列，最大值为4 ,累加法证明项数为人的具有性质P的数列的前项和公式，第(I H)问当 2 5时结合第(H)问考虑3 i k-l,再得一个结论即可.