2022年上海中考数学真题卷（含答案与解析）.pdf

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1、2022年上海市初中学业水平考试综合测试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3.非选择题的作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷上无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一.选择题1.8 的相反数是()C 1 1A-8 B.8 C.-D.8 82.下列运算正确的是()A.a a a6 B.(a

2、b)2=ab2 C.(q+b)2=4+炉 D.(a+b)(a-b)=a2后3.已知反比例函数尸七(原0),且在各自象限内，y 随 x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上X的 为()A.(2,3)B.(-2,3)C.(3,0)D.(-3,0)4.我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6 元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是()A.平均数 B.中位数5.下列说法正确的是()C.众数 D.方差A.命题一定有逆命题B.所有的定理一定有逆定理C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题6.有一个正边形旋转900后与自身重合，则 为

3、()A 6B,9 C.12 D.15二.填空题7.计算：3a2a=.8.已知f (x)=3 x,则/(I)=.x+y=19.解 方 程 组 2 2 的结果为1 0 .已知x-2&x+，w=0 有两个不相等的实数根，则，”的 取 值 范 围 是.1 1 .甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则 分 到 甲 和 乙 的 概 率 为.1 2 .某公司5月份的营业额为2 5 万，7 月份的营业额为3 6 万，已知5、6 月的增长率相同，则增长率为1 3 .为了解学生阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1 小时4

4、人，1-2小 时 1 0 人，2-3 小 时 1 4 人，3-4 小时 1 6 人，4-5 小时6人），若共有20 0 名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是1 4 .已知直线产丘+6 过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线:1 5 .如图所示，在Z7 A B C O 中，AC,8。交于点。，旃=,直=则 反=1 6 .如图所示，小区内有个圆形花坛。，点 C在弦AB上，4 c=1 1,B C=21,0 c=1 3,则这个花坛的面积为.（结 果 保 留 ）1 7.如图，在 A B C 中，NA=3 0。，ZB=9 0,。为 AB中点，E在线段4c上,ADA

5、BDE n.AE，则一=BC A CA,nB-xc1 8.定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2 的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这 个 圆 的 半 径 为.三.解答题1 9.r1 -1 2-计算：|-V 3|-(T)2+-p1223 V3-13xx-420.解关于x的不等式组4+x-x+2I 321.一个一次函数的截距为1,且经过点A (2,3).(1)求这个一次函数的解析式；(2)点 4,8在某个反比例函数上，点 8横坐标为6,将点B向上平移2 个单位得到点C,求 c os/A 8 C的值.22.我们经常会采

6、用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长.(1)如 图 1 所示，将一个测角仪放置在距离灯杆A 8 底部 米的点。处，测角仪高为6 米，从 C点测得A点的仰角为a,求灯杆AB的高度.(用含a,6,a的代数式表示)(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2 所示，现将一高度为 2 米的木杆CG放在灯杆4 8 前，测得其影长C”为 1 米，再将木杆沿着BC方向移动1.8 米至。E的位置，此时测得其影长。尸为3 米，求灯杆AB的高度23 .如图所示，等腰三角形A B C 中，A B=A C,点 E,F在线段3c上，点。在线段A B 上，且 C F=8 E,

7、A 氏 A Q AB求证:Q（1）/C A E=N B A F；（2）C F F Q:A F B Q24 .已知：y =5f c 经过点 A（2,1）,8（0,3）.（1）求函数解析式；2）平移抛物线使得新顶点为P（a,）（切0）.倘若SA”B=3,且在尤=A的右侧，两抛物线都上升，求女的取值范围；P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于。，N 6 P Q =1 2 0。时，求产点坐标.2 5 .平行四边形A8CD,若 尸 为 中 点，A P交B D于点、E，连接C E.（1）若 A E=C E,证明A 3 C O为菱形；若A 8 =5，A E =3,求8。的长.（2）以A为圆心，AE为半径，B为圆

8、心，防 为半径作圆，两圆另一交点记为点E，且AnC E =y f 2 A E-若F在直线C E上，求一二 值.BC参考答案一.选择题1.8的相反数是（）1 1A.8 B.8 C.D.8 8【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.【详解】解：8的相反数是-8,故选A.【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.2 .下列运算正确的是()A.a2+a3-a6 B.(ab)2=时 C.(a+b)cP+b2 D.(“+/?)(a-b)-a1-b2【答案】D【解析】【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运

9、用平方差公式计算并判定D.【详解】解：A.a 2+“3没有同类项不能合并，故此选项不符合题意：B.(ah)2=a2b2,故此选项不符合题意；C.(a+b)2=+2 46+，故此选项不符合题意D(a+b)(a-b)=a2-b2,故此选项符合题意故选：D.【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键.3 .己知反比例函数尸工(厚0),且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上x的 为()A.(2,3)B.(-2,3)C.(3,0)D.(-3,0)【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数性质求出4

10、 0,再根据上外，逐项判定即可.【详解】解：反比例函数产工(原0),且在各自象限内，y随x的增大而增大，x.,.k=xy 0,.点(2,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；B、.2 x 3 0,.点(2,3)可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；C、3 x 0=0,.点(2,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；D、-3 x 0=0,.点(2,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；故 选:B.【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.4.我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的

11、总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】D【解析】【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案.【详解】解：将这组数据都加上6得到一组新的数据，则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变；故选：D.【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义.理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，方差时的内在规律，掌 握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键.5.下列说法正确的是（）A.命题一定有逆命

12、题 B.所有的定理一定有逆定理C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【解析】【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案.【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查

13、了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键.把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.6.有一个正边形旋转90,后与自身重合，则 为（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】C【解析】【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90 一致或有倍数关系的则符合题意.【详解】如图所示，计算出每个正多边形 中心角，9 0是30。的3倍，则可以旋转得到.A.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90。后能与自身重合故选C.【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度

14、数并与旋转度数建立关系.二.填空题7.计算：3a-2a=.【答案】a【解析】【详解】根据同类项与合并同类项法则计算：3a-2a=(3-2)a=a8.已知/(x)=3 x,则/(1)=.【答案】3【解析】【分析】直接代入求值即可.【详解】解：=3x,：.f(1)=3x1=3,故答案为：3【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可.x+y =19.解方程组 2 2 c 的结果为_ _ _ _ _.厂-y=3【答案】x-2，y=_【解析】【分析】利用平方差公式将分解因式变形，继而可得x-y =3，联立利用加减消元法，算出结果即可.x+y =1 【详解】解：2 2|/_ y 2=3 由，

15、得：(x+y)(x-y)=3，将代入，得：l x(x -y)=3,即x-y =3，+，得：2 x =4,解得：x=2,一，得：2 y =-2,解得：丁 =一 1，x+v =1 x-2.方程组 2-2 .的结果为 ,x 7 =3 y=-l【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键.1 0 .已知片26万+机=0 有两个不相等的实数根，则 加 的 取 值 范 围 是.【答案】?0,即(-2 6)2-4?0,求解即可.【详解】解：六 2G+=0 有两个不相等的实数根，.J=(-2V3)2-4/M0解得：?3,故答案为:?0;当方程有两个相等

16、的实数根，/=0;当方程没有实数根，/故答案为：-2a+b【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则.1 6.如图所示，小区内有个圆形花坛。，点C在弦A B上，AC=11,8c=21,0 C=1 3,则这个花坛 面积为_ _ _ _ _.（结果保留4）【答案】400万【解析】【详解】解：过点。作O O L A 8于。，连接。8,如图,.A8=AC+BC=32,OOJ_A8 于。，：.AD=BD=AB=6,：.CD=AD-AC5,在放AOCD中，由勾股定理，得OD=yj0C2-CD2=7132-52=12,在心AOB。中，由勾股定理，得O

17、B=BET+CD1=V162+122=20，这个花坛的面积=2。2片400万，故答案为：400%.【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键.AO DE AE1 7.如图，在 ABC中，N4=30。，Z B=90,。为AB中点，E 在线段AC上，=，则一=AB BC AC【答案】兄【解析】【分析】由题意可求出取AC中点自，连接。臼，则力晶是AABC的中位线，满足2D E B C,进而可求此时 罪 号，然后在AC上取一点反，使得。叱皿则耍心证明 OE总是等边三角形，求出E总 二：A C 即 可 得 到 筌 问 题 得 解.【详解】解：.。为

18、 AB中点,-A-D-=-D-E-=1 ,即un DcEl=1 BC,AB BC 2 2取 AC中点E i,连接。E”则。Ei是AABC的中位线，止 匕 时。EiB C,。4.AE.AD*AC-2在 AC上取一点及，使得DEI=DE2,则。V ZA=30,ZB=90,，NC=60。，BC=-AC,2：DE/BC,：.NDEIE2=60,.。氏 是等边三角形,:.DEi=DE2=EIE2=二 BC,2：.EIE 2=-A C,4AEt=AC,：.AEy=-A C,即 股=,-4 AC 4A/7.1综上，的值为：另或一,AC 2 4故答案为：J或一.2 4【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行

19、线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30。角的直角三角形的性质等，根据DE=-B C进行分情况求解是解题的关键.218.定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_ _ _ _.【答案】2-V2#-V2+2【解析】【分析】如图，当等弦圆。最大时，则OO经过等腰直角三角形的直角顶点C,连接CO交AB于尸，连接OE,D K,再证明QK经过圆心，C F 1 A B,分别求解AC,BC,C F,设。的半径为，再分别表示Eb,OF,OE,再利用勾股定理求解半径r即可.【详解

20、】解：如图，当等弦圆。最大时，则 经 过 等 腰 直 角 三 角 形 的 直 角 顶 点C,连接CO交AB于F,连接 OE,DK,QCD=CK=EQ,?ACB 90?,COD 2 coK 90?,QK 过圆心 O，CF AB,QAC=BC,?ACB 90?,AB 2,A C =B C =y/2,AF=BF=C F =-A B =,2设Q O的半径为八，C D=7r2+r2=j2r=EQ,OF=-r,OE=r,C F _L AB,EF=Q F=r,整理得：r2-4r+2=0,解得：q=2+夜，5=2-夜，Q O C x-420.解关于x的不等式组,4+x 汽-x+2I 3【答案】-2x x-4【

21、详解】解：4+x c g，-x+2I 3解得：x-2,解得：-2v=275，,将点B 向上平移2 个单位得到点C,：.C(6,3),BC=2,VA(2,3),C(6,3),AC方轴，：B(6,1),C(6,3),.BC_Lx轴，:.ACLBC9：.NAC8=90。，二ABC是直角三角形，./BC 2 加 cos NABC=-f=-.AB 2V5 5【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得ACL8C是解题的关键.2 2.我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆A 8的长.(1)如 图 1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a 米的点。处，测角

22、仪高为h 米，从 C 点测得A点的仰角为a,求灯杆AB的高度.(用含a,b,a 的代数式表示)(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2 所示，现将一高度为 2 米的木杆CG放在灯杆A 3前，测得其影长CH为 1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至OE的位置，此时测得其影长。尸为3 米，求灯杆A 3的高度【答案】(1)atantH匕米(2)3.8 米【解析】【分析】Q)由题意得BO=a,CD=b,ZACE=a,根 据 四 边 形 为 矩 形，得 至U BE=C=6,BD=CE=a,在RfAACE中，由正切函数tana=，即可得到AB的高度；CEED AB(2

23、)根据ABE,得至必ABF E O F,根据相似三角形的对应边成比例得到=,又根据DF BFAB/G C,得出AABHAGCH,根据相似三角形的对应边成比例得 到 出=空联立得到二元一次方程组BH CH解之即可得；【小问1详解】解：如图图1由题意得 8。=。，CD=b,ZACE=aZB=ZD=ZCEB=90四边形CQ8E为矩形，则 BE=CDb,BD=CE=a,*q AE在 RtACE 中，tana=-，CE得 AE=CE=CExtana=a tan而 AB=AE+BE,故 AB=a tana+6答：灯杆AB的高度为atana+6米【小问2详解】由题意可得，AB/GC/ED,GC=ED=2,C

24、H=,DF=3,CD=1.8由于 ABE,：.ABF-EDF,L ED此时=DFABBF即2=3ABBC+1.8+3,JAB/GC：.ABHGCH,“2 AB此时BHGCCH2TABfiC+1联立得AB _ 2BC+4.8 3I BC+1解得:AB=3.8BC=0.9答：灯杆A B的高度为3.8米【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质.2 3.如图所示，在等腰三角形A B C中，A B=A C,点E,尸在线段B C上，点。在线段A B上，且 CF=BE,A氏A Q A B求证：(1)Z C A E=Z B A

25、 F；(2)C F F Q=A F B Q【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)利用S A S证明MCE丝z M B F即可；(2)先证AA CES AAF。可得N AEC=/AQ F,求出Z 8 Q F=N A F E,再证 CA FSBF。，利用相似三角形的性质得出结论.【小 问1详解】证明：AB=AC,:B=N C,:CF=BE,：.CE=BF,AC=AB在CE 和BF 中，Z C =Z B,CE=BF：.LACELABF(S A S),J ZCAE=ZBAF；【小问2 详解】证明：V AACEAABF,：.AE=AF,ZCAE=ZBAF,U：AE7=AQAB,AC=AB

26、fAE AB AE AC-=-,B P-=-AQ AE AQ AF：.&ACEsAFQ,ZAEC=ZAQF9：.NAEF=NBQF,AE=AFf：.ZAEF=ZAFEf：.ZBQF=ZAFEf;NB=NC,:.bCAFsXBFQ,CF AF拓=瓦，Q P CF.FQ=AF.BQ.【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.2 4.已知：y =5无*+8 x+c 经过点,B（0,-3）.（1）求函数解析式；（2）平 移 抛 物 线 使 得 新 顶 点 为（m 0）.倘若5 全9=3,且在x =Z 的右侧，两抛物线

27、都上升，求化的取值范围;尸在原抛物线上，新抛物线与N 轴交于。，N B P Q =1 2 0。时，求P点坐标.1 ,【答案】（1）y=-x2-3（2）Q 2尸的坐标为（2上,3）或（-2 g,3）【解析】【分析】（1）把 4（-2,-1）,8（0,-3）代入y=g Y+O x+c,求解即可;（2）由y=gf 3,得顶点坐标为（0,-3）,即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了机个单位，根据S。朋=（x3加=3,求得胆=2,在=人的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出上取值范围；把）代入 =1/一3,得3,则（m,lm2-3）,从而求得新抛物线解析式2 2 2为：yy（x-m

28、）2+n-yx2-i?ix+m2-3,则。（0,m2-3）,从而可求得 8Gm 2,Bp2=m2+（m2-3 +3）2=m2+m4,PQ2=m2+（m2-3）-（w2-3）2=m2+m4,即可得出 BP=PQ,2 4 2 4过 点 P作 PCLy轴于C,则PCm,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得N B P C=g N B P Q=gLm2x 120=60,再根据tan NBPC=tan 60。=_ _2_百 即可求出，值，从而求出点P坐标.P C m 、【小 问 1详解】解：把人（一 2,-1）,3（0,-3）代入丁=：/+法+以 得一 l=2-2 b +c b=0 C 解得：，

29、3 =c c=-3.函数解析式为：y=-x2-3;2【小问2 详解】解：0 y x2 3,顶点坐标为（0,-3）,即点8 是原抛物线的顶点，.平移抛物线使得新顶点为尸（机,“）（0）.抛物线向右平移了加个单位，*,S&OPB=2 x 3 m=3,777=2,平移抛物线对称轴为直线k 2,开口向上，在X=左的右侧，两抛物线都上升，又 原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，Q 2,把 尸（?，n）代入y =,x2-3,得=L 2-3,-2 2.1 2 c、P（，n,-m 3 ）2根据题意，得新抛物线解析式为：丫=3（片加）2+=9 2 _ 蛆+/_ 3,.Q（0,加-3）,：B（0,-3）,BQ=m1

30、,BP2=I TT+（g%/-3 +3y=加？+；加4 ,3）?=+海:.BP=PQ,如图，过点P作 P C J _y 轴于C,则 P C=|词，解得：m=2也，=m2 3 =3,2故 P的坐标为（2 6,3）或（-2 6,3）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般.2 5.平行四边形A8Q9,若 P为6c中点，A P 交B D 于点E，连接C E.AD(1)若 A =C E,证明A8C D为菱形；若A8=5,A =3,求8。的长.(2)以A为圆心，AE为半径，8为圆心，8 E为半径

31、作圆，两圆另一交点记为点E，且AnC E =2 A E-若尸在直线C E上，求 之 的 值.BC【答案】(1)见解析；6及半【解析】【分析】(1)连接AC交BD于0,证AAOE好 C0E(SSS),得NAOE=NCOE,从而得NCOE=90。，则A C L B D,即可由菱形的判定定理得出结论；先证点E是 8 C的重心，由重心性质得8E=2O E,然后设O E=x,贝ij BE=2x,在放 O E中，由勾股定理，得 O42=42-O=32-x2=9-x2,在即“OB 中，由勾股定理，得 O42=A B2-O82=52-(3X)2=25-9X2,从而得 9-声2 5-9/,解得：户 夜,即 可

32、得08=343夜，再由平行四边形性质即可得出BQ长；(2)由。A与。B相交于E、F,得A B_LE凡 点E是A A BC的重心，又尸在直线C E上，则CG是A A BC的中线，则 A G=8G=：AB,根据重心性质得 G E=?C E=2/IAE,C G=C E+G E=A E,在 A GE 中，22 2 2由勾股定理，得 曰 A E)2=gA 2,则 A G=A E,所以 AB=2 AG=0 AE,在 R M G C中，由勾股定理，BC2=BG2+CG2=A E2+(A E)2=5 A ,则B C=AE,代入即可求得丝的2 2 BC值.【小 问1详解】证明：如图，连接AC交于0,AD/E /

33、I 、/1 、/Z 1、/f/11 s f/B P C 平行四边形ABC。，；.OA=OC,:AE=CE,OE=OE,：.A A OEACOECSSS）,.NAOE=N C O E,?NA OE+/COE=180。，；./COE=90。，J.ACLBD,.平行四边形ABCD,；.四边形ABC。是菱形；.Q=0 C,；.。8是 A BC的中线，P为3 c中点，；.AP是AA 3C的中线，.点是A A BC的重心，：.BE=2OE,设 0 E=x,则 BE=2x,在放ZkA OE中，由勾股定理，得。42=人2一02=32.2=9.2,在 RfA A OB 中，由勾股定理，得。4 2=A B 2-O

34、 8 2=5 2 _（3X）2=2 5-9X2,9-/=25-9/,解得：尸 血，OB=3x=3 y/2,.平行四边形ABC。，：.BD=2OB=6y/2；【小问2详解】解：如图，与。B相交于E、F,：.ABEF,由（1）知点E是“8C的重心，又产在直线CE上，.,.C G是“BC的中线，：.AG=BG=AB,GE=；CE,：CE=y/2AE,：.GE AE,CG=CE+GE=AE,2 2在放A A G E中，由勾股定理，得AAE？-GEAE1 AE）2=；A E2,2 2行：.AG=AE,2:.AB=2AG=6AE,在R/ABGC中，由勾股定理，得BC2BG2+CG2AE2+(Zl/A E)

35、2=5 A 2,2 2：.BC=4AE,.AB_=也AE=叵 BC 亚AE 5【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目.25.平行四边形ABC。，若P为3 C中点，A P 交 B D 于点、E,连接CE.(1)若 A E=C E,证明ABC Q为菱形；若A8=5,A E=3,求区D的长.(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且C E =y/2 A E.若F在直线C 上，求 叱 的 值.BC【答案】Q)见解析；6人回5【解析】【分析】(1)

36、连接AC交于。，证A OE丝AC O E I S S S),得N A O E=N C O E,从而得/COE=90。，贝IA C B D,即可由菱形的判定定理得出结论；先证点E是A A BC的重心，由重心性质得BE=2OE,然后设O E=x,则B E=2r,在R/AAOE中，由勾股定理，得在 RtAOB 中，由勾股定理，得 O A 2=AB2 _0B2=5 2 _(3X)2=2 5-9X2,从而得 9-声2 5-9 9,解得：产 血，即可得08=34 3夜，再由平行四边形性质即可得出8。长；(2)由。A与O B相交于E、F,得AB L E F,点E是A A BC的重心，又F在直线C E上，C

37、G AABC的中线，则A G=BG=；AB,根据重心性质得GE=JCE=2AE,C G=C E+G E=2 A E,在即AAGE中，22 2 2由勾股定理，得A G A -G E A E2 AE)2=；4杼,贝lj A G=A E,所以 AB=2AG=72 A E,在 R m B G C2中，由勾股定理，得BG=BG2+CG2=5AE2+o历AD(*A E)2=5 A ,则8 C=AE,代入即可求得的2BC值.【小 问1详解】证明：如图，连接AC交于0,AD/E /I 、/1 、/Z 1、/f/11 s f/B P C 平行四边形ABC。，；.OA=OC,:AE=CE,OE=OE,：.A A

38、OEACOECSSS）,.NAOE=N C O E,?NA OE+/COE=180。，；./COE=90。，J.ACLBD,.平行四边形ABCD,；.四边形ABC。是菱形；.Q=0 C,；.。8是 A BC的中线，P为3 c中点，；.AP是AA 3C的中线，.点是A A BC的重心，：.BE=2OE,设 0 E=x,则 BE=2x,在放ZkA OE中，由勾股定理，得。42=人2一02=32.2=9.2,在 RfA A OB 中，由勾股定理，得。4 2=A B 2-O 8 2=5 2 _（3X）2=2 5-9X2,9-/=25-9/,解得：尸 血，OB=3x=3 y/2,.平行四边形ABC。，：

39、.BD=2OB=6y/2；【小问2详解】解：如图，与。B相交于E、F,：.ABEF,由（1）知点E是“8C的重心，又产在直线CE上，.,.C G是“BC的中线，：.AG=BG=AB,GE=；CE,：CE=y/2AE,：.GE AE,CG=CE+GE=AE,2 2在放A A G E中，由勾股定理，得AAE？-GEAE1 AE）2=；A E2,2 2行：.AG=AE,2:.AB=2AG=6AE,在R/ABGC中，由勾股定理，得BC2BG2+CG2AE2+(Zl/A E)2=5 A 2,2 2：.BC=4AE,.AB_=也AE=叵 BC 亚AE 5【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目.