2022年中考数学压轴难题附答案.pdf

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1、2022年中考数学压轴题1.如图，C 为线段8 E 上的一点，分别以8 c 和 CE为边在8 的同侧作正方形”8 和正方形CEFG,M、N 分别是线段/尸和GQ的中点，连接(1)线段M N和 GD的数量关系是 MN=DG,位置关系是.MNLDG:(2)将图中的正方形CEFG绕 点 C 逆时针旋转90,其他条件不变，如图，(1)的结论是否成立？说明理由；(3)已知8 c=7,C E=3,将图中的正方形CEFG绕点C 旋转一周，其他条件不变,直接写出M N 的最大值和最小值.解：(1)连接可 并延长，与 交 于 点 S,如图.:四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形,:.ND=90,AD=DC,

2、GC=GF,AD/BE/GF,：.NDSN=NGFN.在和FGN 中，,/.DSN=Z.GFNZ.SND=乙 FNG,、DN=GN：.ASDNm 4FGN,：.DS=GF,SN=FN.：.MN/AS,MN=%S,:.NM NG=ND=90,MN=|(AD-D S)=1 (DC-GF)=1(DC-G C)=8 G.故答案为 MV=，)G,MNLDG；第1页 共1 2页(2)(1)的结论仍然成立.理由：过 点M作M7_LOC于7,过点M作A4R_L8C于R,连接FC、MD、M G,如图,则 Z、F、C 共线，MR/FG/AB,MT/EF/AD.：AM=FM,:.BR=GR=BG,DT=ET=DE,

3、11：.MR=(FG+AB),M T*(EF+AD).四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，:.FG=GC=EC=EF,AB=BC=DC=AD.:.MR=MT,RG=TD.在MRG和中，MR=MT乙 MRG=乙 MTD,、RG=TD：.4MRG经 4MTD,:MG=MD,NRMG=/TMD,：.ZRMT=ZGMD.V ZMRC=ZRCT=ZMTC=90,四边形MHCT是矩形，：.ZRMT=90,：.ZGMD=90.,:MG=MD,ZGMD=90,DN=GN,1：.MNLDG,MN=*G.(3)延 长GM到 点P,使 得PA/=G A/,延 长GA 4D交 于 点、Q,连接/P,DP,0 M

4、如图 ，在和FM G中，AM=FM乙4Mp=Z.FMG,、PM=GMJ 4AMp 咨 AFMG,:.AP=FG,NAPM=/FGM,第2页 共1 2页:.APGF,：.NR4Q=NQ,：ZDOG=ZODQ-ZQ=/OGC+/GCO,ZODQ=ZOGC=90,：.ZQ=ZGCO,：.ZPAQ=ZGCO.丁四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，：.DA=DC,GF=GC,：.AP=CG.在ZPD和CG。中，AP=CGZ-PAD=乙 GCD,.AD=CD：.ZPQ且CGO,：.PD=DG.:PM=GM,：.DMLPG.,:DN=GN,1：.MN=扣 G.：GC=CE=3,.点G在以点C 为圆心，

5、3 为半径的圆上，,:DC=BC=1,：.DG的最大值为7+3=10,最小值为7-3=4,：.MN的最大值为5,最小值为2.图第 3 页 共 1 2 页2.如图，四边形N8CD中，NZ=/8=9 0 ,A D+B C=C D,以N 8为直径作。.(1)求证：CD与。相切；Be(2)若 8 切。于 E 点，连接OE、4 c 交于R若F C=2 A F,求=的值.(1)证明：如 图 1 中，延长CO,D 4 交于点”，过点。作 OELC。于心:A O H Q X B O C CASA)：.AH=BC,H O=C O,第4页 共1 2页；AD+BC=CD,AH+AD=HD,：CD=DH,：.ZH=4

6、DCH,：NOAH=NOEC=90,HO=CO,:.AAHOq/XECO CAAS)；AO=OE,TOE 为 半 径，OELEC,C。与。O相 切；图2:/B=/T C B=9 0 ,NB+NTCB=180,：.AO/CT,CF CT,_ _=2 NF -0 4 一，:CT=2OA,:AB=2OA,:CT=AB,四 边 形/8C T是 平 行 四 边 形,N8=90 ,，四 边 形Z3 CT是 矩 形，A ZATC=90,:ATBC,AT=BC,第 5 页 共 1 2 页:ADBC,：.A,D,T共线，设 AD=OE=x,CB=C E=y,则。T=4T-ZD=y-x,TC。是切线，：.OT.L

7、CDf：.ZDET=ZDTC=90,:/TDE=/CDT,。出口/XT,.TD DEDC DTTN=DE，DC,/.(y-x)2=x(x+y),整理得：丁=3中，0,*y=3XfBC 3x：.=3.AD x3.如图，在Rt48 c中，ZACB=90,以 斜 边 上 的 中 线CO为直径作。0,与BC交于 点 与 力8的另一个交点为 过 作M NLZ8,垂足为N.(1)求证：A/N是。的切线；(2)若。0的直径为5,sin8=*求 即 的长.第 6 页 共 1 2 页【解答】(1)证明：连接0 M,如 图1,：OC=OM,J.ZOCMAOMC,在RtZ/8C中，C D是 斜 边 上 的 中 线,

8、：.CD=AB=BD,：.NDCB=NDBC,NOMC=ZDBC,C.OM/BD,:MNLBD,：.OMLMN,.,。历 过O,是。的切线;(2)解：连接。M,CE,；8 是。的直径,.ZCED=90,ZDMC=90,即 ZW_L8C,CErAB,由（1）知：BD=CD=5,为B C的中点，3V sinB=引第 7 页 共 1 2 页/.c o s 5=引在 R t员3 中，B M=B D sB=4,:BC=2BM=8,在 R tA C E B 中，BE=BCcosB=考，3 2 7：.ED=BE-BD=节-5=g4.已知NMPN的两边分别与。相切于点4 B,。0的半径为八（1）如 图 1,点

9、 C在点4 8之间的优弧上，ZMPN=80,求N/CB的度数；（2）如图2,点 C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形/P 8 C 为菱形，NZP5的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。于点。，求 第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.【解答】解：（I）如 图 1,连接。Z,08,图1：PA,P 8为。的切线，：.ZPAO ZPBO=90Q,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB360,1,：.ZAPB+ZAOB=ISO,V ZAPB=iO,A ZAOS=100,A ZACB=50；第8页 共1 2页(2)如图2,当/尸8=6 0 时，四边形/P 8 C 是菱形,连接

10、。4,OB,由(1)可知，N/O 8+N/P8=180,V ZAPB=60,A ZAOB=120,A ZACB=60=/A P B,.点C 运动到PC 距离最大，经过圆心，,：P A,尸 8 为。的切线，:.PA=PB,NAPC=NBPC=30,又：PC=PC,:.A P gtX B P C (SAS),：.ZACP=ZBCP=30,AC=BC,.N/PC=N 4C P=30,:.AP=AC,：.AP=AC=PB=BC,四边形/P 8 C 是菱形；(3);。的半径为r,.OA r,OP2r,：.AP=V3r,PD=r,V ZJO P=90-ZAPO=60a,而的长度=r,.阴影部分的周长=以+

11、尸。+崩=倔廿+$=(V 3+1+1)r.第9页 共1 2页5.如图，以 为。的切线，尸8 c为。的割线，4），。产于点Q,4 JC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接04,OB,OC,BD.：OAAP,ADA,0P,二由射影定理可得：PA2=PDPO,4）2=p。.。（5分）又由切割线定理可得PA2=PB-PC,：.PBPC=PDP0,:.D、B、C、。四点共圆，（10分）NPDB=a PC0=N0BC=NODC,NPBD=/COD,：./PBD/C0D,.P.D布=B布D，（15分）:.BD*CD=PD*OD=AN,BD ADAD=而又 NBDA=N

12、BDP+90=NOQC+90=A ADC,：.XBDA/ADC,:NBAD=NACD,：.AB是4ADC的外接圆的切线,：.ZBAE=ZACB.第 1 0 页 共 1 2 页6.如图，点/为夕轴正半轴上一点,4 8两点关于x 轴对称，过点/任作直线交抛物线y =#于 P,0两点.（1）求证：Z A B P=AABQ-,（2）若 点/的 坐 标 为（0,1）,且N P 8 0=6 O ,试求所有满足条件的直线尸。的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设 点/的 坐 标 为（0,/）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线P0的函数解析式为歹=h十八并设

13、尸，0的坐标分别为（xp,yp）,（x。，J 0）.由y=kx+ty=lx2x2 kx t=0,于是%P%Q=_|t,即t=xPxQ.BC yP+t|%p 2+t|%p 2一|xp%Q|xp(xp-%Q)2 =2 2 -2B D y Q +t-%Q2+t-XQ2-XpXQ-XQ(XQ-Xp)XpXQP C xP”,BC PC又因为而=一五所 以 访=而因为 N 8 C P=/8 O 0=9 O ,所以 BCPSB。,第11页 共1 2页故 N 4 B P=N A B Q；（2）解：设P C=a,D Q=b,不妨设a 2 6 0,由（1）可知ZABP=ZABQ=3 0 ,BC=V 3 a,BD=V 3 b,所以/C=V 5 a-2,AD=2-Wb.因为 P C。，所以ACPSAA D Q.于 是 些=9,即屋，DQ AD b 2-y/3 b所以Q+力=娼ab.由（1）中 p xQ=-9 t,即一a b=一去 所以ab=9，c i b 于是可求得a=2b=V3.将力=*代 入y=4%2,得到点0的 坐 标（g,二）.乙。Z L再将点。的坐标代入了=b+1,求得/=-*.所以直线尸。的函数解析式为y=-孚+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y=-苧x+1或y=x +l.第1 2页 共1 2页