2022年四川各地(成都德阳南充等)中考数学真题按知识点分类汇编 专题05 二次函数及其综合应用（解析版）.pdf

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1、专题0 5二次函数及其综合应用1.（2 02 2 成都）如图，二次函数 =如 2+版+。的图像与x 轴相交于A（T,0）,8 两点，对称轴是直线x =l,下列说法正确的是（）C.点 B 的坐标为（4,0）B.当X -1时，y的值随X 值的增大而增大D.4 a +2/7+c 0【答案】D【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即。l,V随x的增大而减小：当xl,）随x的增大而增大，故当TX i,y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；C、根据二次函数？=以 2+法+。的图像与x 轴相交于A（-l,0）,B 两点，对称轴是直线x =l,可得对称轴x=解得/=3,即5（3,0）,故该选项不符合题

2、意：D、根据3（3,0）可知，当x=2 时，y =4 a +2 b+c0,故该选项符合题意；故选：D.2.（2 02 2 自贡）已知A（-3,-2）,8（1,-2）,抛物线产公+灰+式心。）顶点在线段川?上运动，形状保持不变，与 x 轴交于C,。两 点（C 在。的右侧），下列结论：c h 2 ；当x 0时，一定有y 随 x的增大而增大；若点。横坐标的最小值为-5,点 C 横坐标的最大值为3；当四边形ABC。为平行四边形时，a=g.其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【详解】解：.点A，8 的坐标分别为（-3,-2）和（1,-2）,.线段A 8 与y 轴的交点坐标为（0,-2）,又 抛物线

3、的顶点在线段A B上运动，抛物线与)，轴的交点坐标为(0,c),.6-2,(顶点在y轴上时取“=”)，故正确；.抛物线的顶点在线段A8上运动，开口向匕.当x l时，一定有y随x的增大而增大，故错误;若点D的横坐标最小值为-5,则此时对称轴为直线4-3,根据:次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3,故正确；b c令=0,则O Y2+/?A+C=0,设该方程的两根为X/,必 则M+X2=-,X/X2=，a a*.CD2 XI-X2)2=(X/+X2)2-4xiX2=(-)2-4 x=-,a a a根据顶点坐标公式，处 二2=-2,A 4 a Cb2=-8,即-4ac=8,4a a aQ1

4、,四边形AC B为平行四边形，CD=AB=1-(-3)=4,=4 2=16,解得。=彳，故正确；a2综上所述，正确的结论有.3.(2 02 2 泸州)抛物线y =-g/+x+i经平移后，不可能得到的抛物线是()A.1 2V =X+X21 、B.y =x 42C.y =-x2+2 02 1x-2 02 2D.y=-x2+x+l2【答案】D【详解】解：抛物线y =-g f+x +i经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以。不变，而D选项中a=-,不可能是经过平移得到，故选：D.4.(2 02 2 广 元)二次函数丁=以2+版+0(在0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,

5、下列结论：(1)曲c 2b；(3)3b-2 c 0；(4)7若点 A(-2,y/)、点B(-；,”)、点 C(5,”)在该函数图象上，则(5)4a+2bm(am+b)(?为常数).其中正确的结论有()A.5 个 B.4 个 C.3 个D.2 个x【答案】C【详解】解：由图象及题意得：对称轴为直线X =2,与 x 轴的个交点为(-1,0),/.b=-4a0,a-b+c=0,，a+4a+c=0,即 c=5a,abc0,故(1)(3)正确；由图象可知当x=2 时，则有4a-2Z?+c%，故(4)错误；由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2*+c,.当广，时，(”?为常数)，则有y

6、=m?+Zwi+c,*-Aa+2b+carrr+bm+c 即为4a+2bW，(a/n+b),故(5)正确；综上所述：正确的有(1)(3)(5)共 3 个；故选C.5.(2022 南充)已知点”(西,),阳程必)在抛物线丫=g 2-2 而+(?=0)上，当当+4且芭 电时,都有,丫2,则 ，的取值范 围 为()A.0 /n2 B.2 m 2 D.m -2【答案】A【详解】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为1=-椀 蚊=加，2m当o，X 时，必 丫 2恒成立；当司 ，0 时，,必 恒不成立；当04，y 恒成立，二?台；乜，.,./2,0 m 2,当弓?0时，恒不成立；综上可得：0/7?()；*;对

7、 于 任 意 实 数 加，都 有 机 力。+力成立；若(-2 2)，(；,%)，(203)在该函数图象上，则为%0,c=-l,一 =1,.b=-2a 0,故正确：2a令y=-2 a L i =0,解得*=也记三=1土 近 I L2a a由图得，解得?，a3 .抛物线的顶点坐标为(1,-a-D,由图得，2 a1 1,解得0 a a+。可化为”?(S M-2a)a-2a,即皿，w-2)-1,(m-1)2 0,若?(。?1 +/?)4+。成立，则 .1,故错误；当x i时，y 随x 的增大而减小，C 1：-2 力，对称轴为直线X=l,，x=2 时与x=0 时所对应的y 值相等，必%0 时，ax2+b

8、x-vc-k=Q .%+%,=-=2,a ab 2a当o x 2+6 x+c 0B.a+b 3C.抛物线经过点（一1,0）D.关于x的一元二次 方 程 以+加+,=1有两个不相等的实数根【答案】C【详解】解：A、根 据 抛 物 线 丫=#+云+。（a*0）经 过 点（1,0）和 点（0,3）,且对称轴在y轴的左侧可知。0,该说法正确，故该选项不符合题意；a+6 +c =0B、由抛物线j u d+b x+c （“w 0）经 过 点（1,0）和 点（0,3）可知 ,解得“+6 =3,该 c =-3说法正确，故该选项不符合题意；C、由 抛 物 线 丫=加+加+。（声0）经 过 点（1,0）,对称轴在

9、），轴的左侧，则抛物线不经过（一 1,0）,该说法错误，故该选项符合题意；D、关于x的一元二次方程ax2+b x+c=-1根的情况，可以转化为抛物线尸泼+版+（好0）与直线y =-l的交点情况，根据抛物线y=ax 2+b x+c （a*0）经 过 点（1,0）和 点（0,3）,-3 -1 0,结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线卜=浸+云+。（区0）与直线y =-l的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；故选：C.8.（2 02 2 成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间f （秒）之间满足函数关系6 =-5/+加+

10、”，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面2 0米，物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到r秒时的值的“极差”（即0秒到r秒时力的最大值与最小值的差），则当O V fV l时，卬 的 取 值 范 围 是；当2VK 3时，卬 的 取 值 范 围 是.0 w5 5 w 0，=-5产+10/+15,;对称轴为止-丁;、=1,a=-50,；.0 W 1 时，随r 的增大而增大，2x（-5）当 f=l时，/?最大，且心=20（米）；当 U 0 时，/?最最小，且%n=15（米）；iv=储-KM=2 0 7 5 =5,，卬的取值范围是0 4 卬4 5,故答案为：0 4 w 4 5.当2W/V3时

11、，.对称轴为片 一 丁 外 川，=-5=办2+灰+。（a,h,c 为常数）的部分图象如图所示，设/n=a-6+c,则 m 的取值范【详解】解：；抛物线开口向上，,。0,抛物线对称轴在y:抛 物 线 经 过(1，0),.a+%+c=0,.,.a+b=2,b=2-a,.,.y=ax2+(2-a)x-2,当户-1 时，y=a+a-2-2=2a-4,:b=2-a0,.0a2,-42a-4故答案为：1 0.（2 02 2 南充）如图，水池中心点。处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点。在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱

12、落点距。点2.5 m；喷头高4 m 时，水柱落点距。点3 m.那么喷头高 m 时，水柱落点距【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5 m时，可设y=ax2+bx+2.5,将（2.5,0）代入解析式得出2.5 a+h+l=0，喷头高4 m 时，可设y=ax2+bx+,将（3,0）代入解析式得9“+36+4=0，联立可求出 =2 b=2,3 3设喷头高为人时，水柱落点距。点 4m,此时的解析式为-；4+x+/i,2 2将（4,0）代入可得；x 4l+；x 4+=0,解得=8.故答案为：8.3 31 1.（2 02 2 成都）如图，在平面直角坐标系X。），

13、中，直线=依-3（%m 0）与抛物线y =-V相交于人，B两点（点A在点8的左侧），点8关于 轴的对称点为(1)当A=2时，求 A,8 两点的坐标;备用图连接OA，OB,AB,BB，若VBAB的面积与AOAB的面积相等，求人的值；(3)试探究直线A/T是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】点 A 的坐标为(3,-9),点 B的坐标为(1,-1)；(2)日 或-乎；(3)是，(0,3)【解析】(1)根据题意，得整理得至ij/+2 x-3 =0,解方程，得玉=-3,刍=1,y=-x当J C=3时，y=-9；当 户 1时，y=-1；点A在点B的左侧，点A 的坐标为(

14、3,9),点5 的坐标为(1,-1).兄 6 是抛物线y=-f 图像上的点,设人(加，-m*2),B(nf-n2),则S(-,-n2),y=Ax-32，整理得到/+日 3=o，7,n是收-3=0 的两个根，./%+=一 左，irui 3,1 3设直线产区-3与 y 轴的交点为。，则点。(0,-3)；=。5-一 加)，S 必 8=-一%)=万 x 2 x(-/?2+m2),当%0时，彳2-根据题意，得3171 x(n AH)=x2Hx(H2+m2)=x2nx(m+ri)(tn ri),3=x(m+ri)-2nk，/.2nk=mn，2 2 2Vn/O,：.m =-2k,n=k,：.-2kxk=-3

15、,解得上巫 或4-(舍去)，故 仁 亚2 2 2当&vo时,根据题意，得y=kx-32y=-x,整 理 得 至 履一3=0,.?，是/+乙_3=0 的两个根，m+n=-k,mn=-3,设直线卢质3与y轴的交点为Q,则点D(0,-3)3 1 1SAOAB=-OD.(n-m)=x(n-m),S,A I=-BB.(%-%，)=5 x2 x(？-加)，31 x(n-tn)=x2nx(；?2-/n2)=x 27z x(/H+n)(n-ni),3=2 x(2+n)-2nk,-Ink=-mn,:.m=2k,n=-3k,2kx(-3k)=-3,解 得 七 或=2 (舍去)，故 k=-立；2 2 2综上所述，”

16、的值为血或一巫.2 2(3)直线4 5 一定过定点(0,3).理由如下：VA,8是抛物线y=-V图像上的点，.设A（加，_疗），8（，_/）,则&一川）,y=kx-3-根据题意，得 o ，整理得到 +依3=0,7,是/+履3=0的两个根，加+=一七 以=3 2设直线A 9的解析式为产p x+q,根据题意，得一利=呻+,解得-n=-np+qp=n-mq=-mn.直线A B 的解析式为广（n-m）x-mn,ntn-3,-mn-3,.,.直线 A 8 的解析式为 y=（n-m）x+3故直线A B 一定过定点（0,3）.1 2.（2 02 2 自贡）已知二次函数丫 =以 2+笈+。（4/0）.图 备用

17、图二若a =T,且函数图象经过（0,3）,（2,-5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x 轴交点及顶点的坐标;（2）在图中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值v 2 3 时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c =0 且”b c,一元二次方程加+6 x+c =0 两根之差等于a-c,函数图象经过。（1 +交,力）两点，试比较加%的大小.【答案】（1）。，0）,（-3,0）；（-L 4）；见 详 解:-2 4 x 1 0：（3）%.【解析】解：；a =-l，且函数图象经过（0,3）,（2,-5）两点,a=-lc =3 n-5 =4。+2 +c =-1。=3,二次函数的解析

18、式为y =-f 2 x +3,h=-2.当y =0 时，则0=-/-2 +3,解 得%=1,X2=-3,.抛物线与x 轴交点的坐标为（1,0）,（-3,0）,V丁 =一/一2 +3=-（工+1）2+4,.抛物线的顶点的坐标为（一 1,4）.（2）解：函数的大致图象，如图所示:图由图象可知：当-2 W x W 0 时，函数值）后 3.（3）解：。+/?+。=0 且力 c,0,c 0,b=-a-c,且一元二次方程0=依2+区+。必有一根为百=1,.一元二次方程以2+bx+c =0 两根之差等于a-c,s.xtx2=-c,，=1 ,/?=1 c,y =-(1 +c)x+c,2(万一仁乃)，Q(l +

19、3 c，N2)，：X-(l +c)(g-c j +c =2 c?+；c-；,2y2=(l +3 c)(l +c)(l +3 c)+c =6c2+3 c.为-%=+3 )-(2/+/=4 卜+总一卷,bc,.-cc,.,.c 4+-0.%X.2 I 16 J 6413.（2 02 2 泸州）如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线y =a?+x+c 经过A（-2,0）,网0,4）两点,直线x =3 与x 轴交于点C.（1）求。，c 的值；经过点。的直线分别与线段A8,直线x=3 交于点。，E,且 8 Q O 与（%的面积相等，求直线 E 的解析式;(3)户是抛物线上位于第一象限的一个动点

20、，在线段0 C和直线x =3上是否分别存在点F,G,使8,尸，G,P为顶点的四边形是以所为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)a=一:，c =4；(2)y =-：x；(3)存在这样的点尸，点F的坐标为(2,0)或(1 1七 叵,0)2 3 4、/.f 4 -2 4 c=0 d=【解析】(1)解：抛物线y =or 2+x +c经过A(2,0,B(0,4两点，.“，解得 2 .C =4 4I c =4(2)解：由题意，设直线。石的解析式为、=丘(Z 0 (不符题意，舍去)，经检验，力=-：2 是所列分式方程的解，所以直线 E的解析式为y =-：2x.I 1 9(

21、3)解：抛物线尸-5/+4 =-5(的对称轴为直线x =l,则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(2 x 1(-2),0),即为(4,0),.8(0,4),.Q B =4,设点尸的坐标为尸(肛0)(0 4机4 3),点尸的坐标为P(t,n)(0 /4),由题意，分以下两种情况：如图，当以8尸 为 一边的矩形是矩形B F G P时，则。尸=机,CF=3 加，NBFG=90。，NOFB+NCFG=90。,ZOFB+ZOBF=90,/./CFG=NOBF,在CFG和 。所 中,ZCFG=ZOBFf八 厂 MC，：NCFG:YOBF,NFCG=/BOF=900手=要，即丝=口，解得CG=M2,;.G（3,

22、即二史）,OF OB m 4 4 4m+t 0+3-=-2 2 t=3-m 矩形HFGP的对角线互相平分，“3%-机2,解 得/3切-/+16,n,4+-n=-+4 4,2 2将点 PQ,”）代入y=；/+x+4 得：_，3_ 加）2+3_?+4=3艺16,解得帆=2 或%=3,当机=2 时，r=3 加=3 2=1,符合题意，当机=3 时，t=3-m =3-3=0,不符题意，舍去,则此时点F 的坐标为（2,0）,如图，当以8尸为一边的矩形是矩形8FPG时，过点8 作BQ LCE 于点。,则 8Q=OC=3,CQ=O3=4,同理可证：7QBG:YOBF,.史=皎，即OF OB0+r?+33n?+

23、16 3tn+16.CG=C0+Q G =T，G（3,丁），矩形B Q G 的对角线互相平分,，22八 3m+16,解0+-4+42得t=m+33m，n=4I、1 377将点 2人)代入丫=一 一x+x+4得：一 一(/?+3)2+777+3+4=-,2 2 4解得七 师或加 =-9/2(Hfr+,Q -I I +V20T a 1 +V201.舛人箭工 m=-时，t=m +3=-+3=-2；(2)4；(3)jy【解析】(1)：直线V=-x+2与坐标轴交于点M、E,令 x=0 时，)=2；令 y=0 时，x=2,.M点坐标为(2,0),E点坐标为(0,2),；G(5,-3),且点G、设射线M F

24、的解析式为y=h+3 x2,(2k+b 0 k=.M点坐标为(2。)，心3),=3 解得：L-(1)如图，求射线M F的解析式；设两个交点的横坐标是X/,X2(-V,2,(2)根据题意可知射线M E的解析式为：y=-x+2,x2,y x2+4 x+a 的对称轴为A 2)又：M点(2,0),二M点刚好在y =-/+4 x+a 的对称轴为42上，抛物线y =-r+4 x+a 与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，个点落在射线/凡.,为，此时交点的坐标为(士,-%+2)、(X2,X2-2),且占4 2、x2 2 ,；(西,-再+2)、(为/2-2)在抛物线、=-/+4 工 +。上，*,

25、+4 +-+；-x,+4%2 +a=x2-2 由-，得：x；+x；+4(%,x,)=4%,x2,整理得：(玉-9 1)4 (X+%)=0演 4 2、x2 2,X j x2+1,/.xt-x,-K O,4-(+x2)=0 ,/.x+x2=4 ；：抛物线y =r?+4 x+a 过点C(0,5),.代入C点坐标可得a=5,.抛物线解析式为y =*+4x +5,令 y=0,得一 x+4 x+5 =0,解得：2=-1,%=5,.A 点坐标(-1,0)、B 点坐标为(5,0),.。点在抛物线丫=-犬+4 苫+5上，二设P 点坐标为(a,-/+4 a+5),显然A、P 不重合，即的M,。点在工轴上方，-1

26、4 5,设直线AP 的解析式为丫 =辰+，.即有-k+b=O3+。=一+4,+5,解得k=5-ab=5-a即直线AP 的解析式为：y=(5-a)x+(5-a),联立y =(5-g+.)，解得y=-x+2a-3x=-6-a15-3ay=6 -aN 点坐标为a 3 1 5 3。6-6-a点坐标为(a,-/+4“+5),A点坐标(-1,0),.I 4 储=(手 +1)2 +(网)2=型 浮 写 辿，6 。6-a(6 一。).-+,6-a 6-a(6-a)2(-a2+5 a+3)2(5-a)2+l J2.PN,(6-4)2 (-后+5 a+3)2A N7-9 1(5-4 +1 -9-(6-。)2r3

27、7 .5、2 2Z.”=(-/+5“+3)2 =(一()AN1 9 -9：-K a -x+2 即一*2+5 刀+3 0，.,.即 有+5 a+3 0 ,PN =-a-+5 a+3=4 2，AN 3 -3-5 PN 3 7 _(5 _ 5)2.当。=三时，取的最大值，且最大值为：PN 4 T 2-2)3 7,2 AN =-=-即PN 的最大值为337.AN 121 5.(2 0 2 2 广元)在平面直角坐标系中，直线y=-x-2 与x 轴交于点A,与 y 轴交于点8,抛物线y=ax2+bx+c(a 0)经过 A,B两点，并与x 轴的正半轴交于点C.求 小 b 满足的关系式及c 的值;(2)当时，

28、若点P 是抛物线对称轴上的一个动点，求以B周长的最小值：4(3)当a=时，若点0是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点。作 Q O J _ A B 于点D,当 Q。的值最大时,求此时点。的坐标及。的最大值.【答案】2。=1,c=-2；(2)附8的周长最小值是26+2近；(3)此时Q (-1,-2),。最大值为 正.2【解析】(1)解：直线y=-x-2与x 轴交于点A,与y 轴交于点8,4a-2b+c=0 点 4的坐标为(2 0),点8的坐标为(0,-2),抛物线产以2+加+(。0)经过4 8两点，。，c=-2/.2a=b+1,c=-2；(2)解：当 用;时，则 匕=-；,.抛物线的解析式为 产

29、;抛物线的对称轴为直线4 1,点A的坐标为(-2,0),.点C的坐标为(4,0),y以8的周长最小,B 4 B 的周长为：PB+PA+AB,且 A B 是定值，当 P8+用最小时,点A、C关于直线4 1 对称，连接8c 交直线41于点P,此时P8+出值最小,AP-C P,的周长最小值为：PB+PA+AB=B C+AB,V A (-2,0),B(0,-2),C(4,0),：.O A=2,O B=2,O C=4,由勾股定理得B C=2 石，4 8=2 拉，出8的周长最小值是：2 班+2 夜.(3)解：当。=1 时，6=1,.抛物线的解析式为广N+x-2,过点。作轴交于F点，交直线AB于点E,(-2

30、,0),B(0,-2),：.O A=O B,：.Z O A B=4 5,Q D 1.AB,：.ZAE F=Z Q E D ZE Q D=45,：.Q D E D E Q,2设。(f,t2+t-2),E (/,-t-2),：.Q E=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t,：.D Q=叵 Q E=-也(F+2 f)=-巫 +1 产+巫，2 2 2 2当片-1 时，。有最大值 正，此时。(-1,-2).1 6.(2 0 2 2 广元)为推进“书香社区”建设，某社区计划2购进一批图书.己知购买2本科技类图书和3 本文学类图书需15 4 元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需2 8 2 元.(1)

31、科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动(文学类图书售价不变)：购买科技类图书超过4 0 本但不超过5 0 本时，每增加1 本，单价降低1 元；超过5 0 本时，均按购买5 0 本时的单价销售.社区计划购进两种图书共计10 0 本，其中科技类图书不少于3 0 本，但不超过6 0 本.按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【答案】（1）科技类图书的单价为3 8 元，文学类图书的单价为2 6 元.（2）社区至少要准备2 7 0 0 元购书款.【解析】（1）解：设科技类图书的单价为x 元，文学类图书的单价为y 元，由题意得

32、：（2 x+3 y=15 4 ,f x=3 8 4 x4-5 7 =2 8 2,解得：y=2 6：答：科技类图书的单价为3 8 元，文学类图书的单价为2 6 元.（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书根本，则文学类图书有（10 0-/n）本，由（1）可得：当3 0 4 m 0,.当a=3 0 时，卬有最小值，即为卬=3 6 0 +2 6 0 0 =2 9 6 0：当 4 0（机 0,当,=5 1 时，w 有最小值，即为.=10 2+2 6 0 0 =2 7 0 2；综上所述：社区至少要准备2 7 0 0 元的购书款.17.（2 0 2 2 遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐

33、标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”.例如（-1）,（2 0 2 2,-2 0 2 2）都是“黎点”.求双曲线y=/上 的“黎点”；X（2）若抛物线y=4/-7 x+c （a、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求 c,的取值范围.【答案】（1）y=上的“黎点”为（3,-3）,（-3,3）；0 c ,0 C B、N 到 AM 的距离相等.又：B、N 在 AM 的同侧，Z.AM/BN.设直线3C的解析式为y=+m,则-3=m.直线8 c 的解析式为 光-3,k=0=3氏+“加=一 3，设直线AM 的解析式为y=工+.V A(-l,0)，,设直线AM的解析式为y=x+1,y=x+x2-2

34、 x-3 解得玉=一|71=X2=4%=5y.M的坐标(4,5).：点 N 在射线8 c 上，设 N 的坐标为(tJ-3).：A（-l,0）,“（4,5）,N（r,f-3）,过点M 作 x 轴的平行线I,过点N 作 y 轴的平行线交x 轴于点P,交直线/于点Q,则易得4 M =5夜，A N =1)2+3)2时，血+1+,_3)2 =5亿 解得%=1 +万，t2=l-五I./VW =MZV时，4)2+(-8)2 =5五,解得4=6+T,t2=6 V 2 T.A N =M N时，J(f+l)2+6 3/=J(-4/+8)2，解得/=(YN在第一象限，f3,7.1 的取值为5,i+&T，6+72 1

35、.N的坐标为(O 或(1 +应?,-2+)或(6 +,3 +收).1 9.(2 0 2 2 乐 山)如 图1,已知二次函数y=+b x+c(a 0)的图象与x轴交于点A(l,0)、8(2,0),与y轴交于点C,且(1)求二次函数的解析式：(2)如图2,过点C作C O x轴交二次函数图象于点。,P是二次函数图象上异于点。的一个动点，连接P以P C,右 SAPBC=S&B C D 求点P的坐标;如 图3,若点尸是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接0P交3c于点Q设点P的横坐标为3试用含/的代数式表示器的值，并求器的最大值.【答案】（l）y=x 2-x-2；（2）P（1 +a,&）或（1-血,一

36、&）；（3）：【解析】（1）：A （-1,0）,：.O A=l,o cXV Z AO C=9（）,ta n ZOA C=2,.。=2。4=2 即点 C的坐标为（0,-2）,O A设二次函数的解析式为广。（x+1）（x-2）,将 C 点坐标代入得：=1,.*.y=（x+I）（x-2）-x-2；如图所示，当点P在第三象限时，作PE A B交8 c于E,：B (2,0),C(0,-2),.直线 8 c 的解析式为：y=x-2,.,当 y=a 2-a-2 时，x=y+2=a2-a,.PE=c -a-a =a1-2a .,.SAPBC=-PEOC,:抛物线的对称轴为 产;，C C x轴，C(0,-2),

37、.,.点 0(1,-2),；.8=1,：.S B C D=C D O C,P E O C=C D O C,.a2-2a=,W f#/=l +/2 (舍去)，”2=l-0；当 x=l-&时，y=/-2 =a-l=-&,：.P(1-&，-血),如图，当点P在第一象限时，作PE_Lx轴于点E,交直线8 C 丁凡/.S PB C=1PF O B=|C D O C,：.a2-2a=,解得卬=1 +应，2=1-0（舍去）；当=1 +后 时，）=储一一2=0,:P0+亚,及），综上所述，。点坐标为（1 +6五）或（1-起,一及）；(3)如图，作尸于M交 B C于 M,由题意可知,P(3 产一，一 2),M(

38、/,r-2),.*.PM=(z-2)-(r2-t-2)=-t2+2t，又/W OC,尸QMS/OQC,=2=1(f-1)2 +1f，当=1 时，(f|)最大=1.2 0.(2 0 2 2 南 充)抛 物 线 y=；/+/，x+c 与 x 轴分别交于点A 8(4,0),与)，轴交于点C(0,-4).(1)求抛物线的解析式.(2)如 图 1,Y 8 C P Q 顶点尸在抛物线上，如果Y B C P Q 面积为某值时，符合条件的点P 有且只有三个，求点尸的坐标.(3)如图2,点 M 在第二象限的抛物线上，点 W在M O 延长线上，OM=2 ON,连接8 N并延长到点。，使N D =N B .M D

39、交x 轴于点E,N D E B 与N D B E 均 为 锐 角,ta n ZDEB =2 ta n ZDB E,求点M 的坐标.【答案】(l)y=gx 2-gx -4；(2)(2,-),(2+2 0，2 夜一：)或(2-2 斤 -2/2)Q(3)(-4,-)【解析】解：；抛物线y=+版+C 与 X 轴分别交于点8(4,0),与 y 轴交于点C(0,-4),A -3 ,解得：3,即抛物线解析式为丫 =29 一 x-4.c=-4 c=-4 3 3(2)解：由题意知，三角形3 c p 面积为平行四边形8 C P Q 面积的一半，设直线BC下方抛物线上有一点P,过户作平行于BC的直线/,作直线/关于

40、BC对称的直线由图知，直线M N与抛物线必有两个交点，根据平行线间距离处处相等知，当三角形8 c p 面积取最大值时即直线/与抛物线只有一个交点时，符合题意的P 点只有三个，过尸作尸”_Lx 轴于 H,交 B C于 E,则 SAB C S C E+SAPBE=LXOBXPE=2PE,2设 P(，”,3 3则 E (in,m-4),o i n.当布=2时，ABCP 面积取最大值，最大值为,此时，直线BC下方抛物线上的P 点坐标为（2,-y ）,同理，设直线BC上方抛物线上P 点横坐标为小 则：2 -2-n-4-（w-4）=-,解得：=2 +2 正 或 行 2-20，即 尸（2 +2 忘，2/2-

41、）或（2-20，2A/2-）,3综上所述，满足题意的。点坐标为（2,-弓），（2 +20，2 五-g）或（2-2 及，-2 逝-|）.（3）解：过点N作轴，过。作 O PJ _”轴，过 M作 M Q J _ x 轴，垂足分别为“、P、Q,如图所示，O H _OM _ H N =1 O Q O N Q M 2:N M E Q二 N PE D,.ME Q必DEP,:Q E=PE,B H H N B N B P P D B D 2,4 x 4 x 4+x设 O P=x,贝IJ8P=4-JG PH=B H=-y-,O H=O P+PH=x+=-y,00=2 0=4+x,2。=4+2 占 PE=2+x,

42、P D PD：t a nZ D E B=2 t a nZ D B E ,=2 x,即尸B=2 PE,：.4-x=2(2+x),解得：.0,PE PBQ即尸点为坐标原点，。在 y 轴上，O Q=4,即。(-4,0),(4,-2 1.(2 02 2 眉山)在平面直角坐标系中，抛物线y =-/-4 x +c 与x 轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与)轴交于点C,且点A的坐标为(-5,0).(1)求点C的坐标；(2)如 图 1,若点尸是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC距离的最大值；(3)如图2,若点用是抛物线上一点，点 N是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以A ,C,M ,N为顶点的四

43、边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(0,5)；(2)P E 最大为交 臣；(3)存在，M 的坐标为(-3,8)或(3,-16)或(一 7,-16)8【解析】(1):点4 一 5,0)在抛物线3；=-/-4 +。的图象上，0=-52-4X5+C.c =5,.点 C 的坐标为(0,5)；(2)过户作P E _ L A C 于点E，过点P 作尸尸，x 轴交AC于点”，如图：.当P“最大时，P E最大,设直线AC解析式为丫=人+5,将 4 5,0)代入得0=5氏+5,.4=1,.直线4 c解析式为y =x+5,设 2(租,一 机 2 _ 4帆 +5)

44、,(5 A 2?0),则+5),机+g4。=-1+9，抛物线的对称轴为直线A2,设点N的坐标为(-2,m),点例的坐标为(x,-X2-4X+5)分三种情况：当4 c为平行四边形ANMC的边时，如图,A(-5,0)C(0 5)/.xc XA=XM-XN =/+法+2的图象经过点4（-1,0）,8（3,0）,.抛物线的对称轴为x=l,如图，过点C作关于x=l的对称点尸，:.CP/AB,APCB=ZABC,.C（0,2）,，P（2,2）,x 轴 上 取 一 点 使 得 C=C,则 N)C3=NABC,设。(d,0),则 CD=A/F 京,30=3-d，5-k+b=0,设直线CQ的解析式为=去+，6h

45、=2,k=-，解得 5b=2.2 2+/=(3-4)2,解得 d =|,即6,解得过点Q作。轴于点尸，则尸。,0）,x=0 2或28x=一5286y=-252 2 4 Qt+/+2,1 f =一/+法 经 过 点 A (-1,0)和点B (0,3),顶点为C,点。在其对称轴上，且位于点C下方，将线段OC绕点。按顺时针方向旋转9 0。，点 C落(1)求抛物线的解析式;(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O,这时点P 落在点E的位置，在 y 轴 上 是 否 存 在 点 使 得 MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(l)y =-x 2 +2 x +3；(2)P(

46、2,3)；(3)存在，M(0,1)1/?+?=0 f/?=2【解析】解：将点A(-l,0),B(0,3)代入)，=*+法+c 得：。，解得|c =3|c =3则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)解：抛物线丫 =一 X 2+2、+3 =-(-1)2+4的对称轴为直线工=1,其顶点C的坐标为C(L4),设点D的坐标为D(l,)(=一(工一1)2+4 得：一(5 。一 +4=。，解得。=3 或 a =4(舍去)，当a=3时,5-=5-3 =2,所以点尸的坐标为P(2,3).解：抛物线y =+2 x +3的顶点C的坐标为8,4),则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点。,这时点P落在点E的位置，且尸(2,3),;.E(2-l,3-4),即 恰 好 在 对 称 轴 直 线x =l上,如图，作点E关于了轴的对称点,连接PE ，由两点之间线段最短可知，PE 与y轴 的 交 点 即 为 所 求 的 点 此 时 的 值 最 小，即MP+ME的值最小，由轴对称的性质得：E (T-l),设直线PE的解析式为丫=+，2k+m=3将点 P(2,3),(-l,l)代入得：k+m=-1一3解得:，m=34 1则直线PE的解析式为y=-x+-,当x=0时，y=g,故在y轴上存在点M,使得M P+M E的值最小，此时点”的坐标为M(o,g).