十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国专题14平面解析几何解答题（解析版）.pdf

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1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题14平面解析几何解答题真题汇总1.【2022年全国甲卷理科2 0 1 设抛物线C:y2=2p x(p 0)的焦点为F，点D(p,O),过尸的直线交C 于N 两 点.当直线A/D 垂直于x 轴时，|M r|=3.(1)求 C 的方程；(2)设直线M D,N D 与 C 的另一个交点分别为4 B,记直线M N,4 B的倾斜角分别为a/.当a -取得最大值时，求直线Z8的方程.【答案】y2=4 x；(2M B：x=V 2y+4.【解析】(1)抛 物 线 的 准 线 为 当 MD与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为p,

2、此时|M F|=p +=3,所以p =2,所以抛物线C 的方程为V=4 x；出 设 做 4，丫 1),/7序 丫 2)，4 序 丫 3)，8(1/4),直线“:%=m y +1,x =m y+1_,D o由 y2 _ 4%可得y?_ 4 m y _ 4 =0,A 0,y1y2=由斜率公式可得AMN=汽 手=急，kA B=转=总,44 4-4-直线M :x=2 二 y+2,代入抛物线方程可得y2 一生出攵y-8 =0,yi yi 0,y1y3=-8,所以、3 =2丫 2，同理可得以=2yi，所以的月=-_ =-1=皿71 人 A B 为+必 2(yi+y2)2又因为直线MN、Z 夕的倾斜角分别为

3、a 邛，所以的B=ta n/?=等=詈，若要使a 6 最大，则夕6(05),FQ、_ ta na-ta n/?_ k _ _ 1 1 _ V 2设=2k 4 8 =2k 0，则 a n(a )i+ta na ta n0 l+2k2-+2k 9 f iT 7 4，k 2 尿 2k当且仅当沪2k 即k 时,等号成立，所以当a一夕最大时，kA B=y.设直线A B:x=V y+n,代入抛物线方程可得y2 一 4V2y _ 4 n=0，y3 y4 =_ 4 n=4 yl y2=一 1 6,所以几=4,所以直线4 8:%=&y +4.2.2022年全国乙卷理科20】已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为x

4、轴、y 轴，且过4(0,-2),B 俱,一 1)两点.(1)求 E的方程；(2)设过点P(l,-2)的直线交E于N两点，过/且 平 行 于 x 轴的直线与线段N8交于点7,点 4满足M T =T H.证明：直线 N过定点.【答案】(1 4+=14 3(2)(0,-2)【解析】(1)解：设椭圆 的方程为7nx2+ny2=1,过4(0,-2),8(|,-1),Wl Jh(m4 n+=n 1=l解得m=1，n=1,14所以椭圆E的方程为：+-=1.4 3(2)4(0,-2),呜-1),所以A B:y+2=|x,若过点P(l,-2)的直线斜率不存在，直线久=1.代入二+叱=1,3 4可得M(l,竺)，

5、N(l,-等)，代入4 8方程y=9 x-2,可得3 3 3T(V 6 +3,竽)，由 祈=77?得到H(2乃+5,苧).求得H N方程：y=(2-)%-2,过点(0,-2).若过点P(l,-2)的直线斜率存在，设k x-y-(k +2)=0,M(x1,y1),/V(x2,y2).(kx y (k +2)=0联立，+f t，得(3 k 2+4)/-6 k(2+k)x+3 k(k +4)=0,可得%1+x2Xi%2=_ 6k(2+k)-3k2+43k(4+k)3k2+4y i +y 2=-8(2+k)3k2+44(4+4k-2A2)y 2 y 2=3k2 工一且X 02+=2（*）y=乃y =l

6、 x-2，可得 T（争 +3,%），（3%+6 -x1（月）.可求得此时HN:y-y2=右,二二。一犯）,将(0,-2),代入整理得 2(/+%2)-6d+y2)+xty2+冷力-3 yl y2-12=0,将(*)代入，得 24 k 4-12k2+96 +4 8 k -24/-4 8-4 8/1）上，直 线/交 C 于 P,0 两点，直线4 P,4 Q 的斜率之和为0.求/的斜率；若 ta n/P A Q =2&，求A P A Q 的面积.【答案】（1）一1;（2喈.【解析】(1)因为点4(2,1)在双曲线*：/，三=1(Q 1)上，所以，-7 三 二 1，解得a?=2,即双曲线C:5 y?=

7、1易知直线/的斜率存在，设y=k +?n,P(%i，y D，Q(%2，y2)，Iy =kx +mx2 7 Y 可得，(1 2依)%2 47nk%2 2 2=0,y-y =1所以，+&=-=2丁+2,A =16 m2k2+4(2 m2+2)(2 k2-l)0=m2-l +2k2 0.c t K x Z A C -1所以由的p +攵 8 P =。可得，+即(%i 2)(f c x2+m 1)+(小2)(f c x j +m-1)=0,即 2kx i 0 4-(m 1 2k)(x1+x2)4(m 1)=0,所以 2 k x +(m -1-2 f c)(-怒)-4(m-l)=0,化简得，8k2+4 k

8、 4 +4 m(f c +1)=0,即(/c +l)(2 f c 1+m)=0,所以k=-1 或m=1-2 f c,当?n=l-2 k 时，直线=/ex+m=k(%-2)+1 过点4(2,1),与题意不符，舍去，故 k=一 1.(2)不妨设直线P4PB 的倾斜角为a,A 3 V 位，因为服p+ksp=。，所以a+/?=m因为 tanZ-PAQ=2/2 所以 tan(j5-a)=2后，即 tan2a=-2V2,即夜tan2a tana 一 四=0,解得 tana=V2,于是，直线P4:y=/(-2)+1,直线P8:y=-/(宛 一 2)+1，y=V2(x 2)+1 q联立x2 9 可得，x2 4

9、-2(1-2V2)x+10-4V2=0,-=1 2I 2)因为方程有一个根为2,所 以 孙=甘 名 丫=容，同理可得，XQ=&,y Q=二 零.所以PQ:x+y _|=0,PQ=y,点4 到直线PQ的距离d=W=逑，y12 3故4 PAQ的面积为 x 弓x 苧=竽4.【2022年新高考2 卷 21】已知双曲线C:捻一3=Ma 0,d 0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为y=伍.(1)求 C 的方程；(2)过尸的直线与C 的两条渐近线分别交于4,8 两点，点P(Xi，yi),Q(%2，y2)在。上，且Xi 到。，、1 0.过P 且斜率为-次的直线与过。且斜率为次的直线交于点 从下面中选取两个

10、作为条件，证明另外一个成立：河在AB上；PQ|AB；MA=MB.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1比2-1=1(2)见解析【解析】(1)右焦点为F(2,0),，c=2.渐近线方程为丫=百方，=，c2=a2+b2=4a2=4,Q=1,b=V3，C 的方程为：%2 Y=1；(2)由已知得直线PQ的斜率存在旦不为零，直线AB的斜率不为零,若选由推或选由推：由成立可知直线4 B的斜率存在且不为零；若选推，则M为线段4 B的中点，假若直线A B的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在%轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与 从 而 打=2，己知不符；总之，直

11、线4 B的斜率存在且不为零.设直线4 8的斜率为k,直线4 B方程为y =k(x -2),则条件M在4 B上，等价于y o =k(x()-2)=ky0=k2(x0-2)；两 渐 近 线 的 方 程 合 并 为-y 2 =0,联立消去y并化简整理得：3)x2-4k2%+4 1 =0设4。3，丫3)，8(%3，丫4),线段中点为可。地为;),则7 =,y w =k(XN-2)=设0，%)，则条件 14 M l =|B M|等价于(X。一 町)2 +(y0-y3)2=(x0-x4)2+仇 -y j,移项并利用平方差公式整理得：(叼-%4)2X0-(%3 +*4)+(7 3 -、4)2、0 -佻 +y

12、4)=0 2x0-(x3+*4)+T Z T 2 y o (7 3 +、4)=O,B P xo-xN+k(y0-yN)=0,“3兀4即&+ky0=黑；由题意知直线PM的斜率为-V 3,直线QM的斜率为我，由乃-y0=-V 3(xx-x0),y2-y0=V 3(X2-x0),y i -y i=-V 3(X i +x2-2x0),所以直线P Q的斜率m=上*=一题+xz二2x。)Xl-X2 Xi-X2直线P M:y =-V 3(x -%0)+y。，即y =y o +V 3 x0-V 3 x,代入双曲线的方程 3%2 一 y 2 -3 =o,B P(V 3 x +y)(V 3 x -y)=3 中，得

13、：(y()+V 3 x0)2 V 3 x -(y0+V 3 x0)=3,解得p的横坐标：/=嘉(舄 菰+即+8出),同理：X 2 =一嘉(五T瓯+y。一百x。)，.X1-x2=导 制 +y0),x1+x2-2x0=-展 均-x0.条件P Q 4 8等价于m=f c kyQ=3 x0综上所述：条件M在4 8 上，等价于k y。=12(%0 一 2)；条件P Q 4 8 等价于比必=3%0；条件|4 M|=|B M|等价于与+ky0=黑；选推：由解得：x0=菖 p 二通+ky 0=4 x0=要 二.成立；选推：由解得：x0=ky o=段，*.ky0=3%0 成立；选推：由解得：的=/，ky0=/，

14、；.%0-2=岛，.ky0=k2(x0-2),.成立.5.【2 0 2 1 年全国甲卷理科2 0】抛物线C 的顶点为坐标原点O.焦点在x 轴上，直线/：x =l 交 C 于 P,Q两点，S OP 1 OQ.已知点M(2,0),且0 M与/相切.(1)求 C,0 M 的方程；(2)设A，4，&是 C上的三个点，直线4 遇2,4 遇3 均与OM 相切.判断直线色 也 与。M 的位置关系，并说明理由.【答案】(1)抛物线C:y 2 =x,。时方程为。一2)2 +/=1；(2)相 切，理由见解析(1)依 题 意 设 抛 物 线=2p x(p 0),P(l,y0),Q(l,-y0),v O P 1 O

15、Q,O P-O Q=1-yo=1-2p=0,2p=1,所以抛物线C 的方程为y 2 =x,乂(0,2),。“与 苫=1 相切，所以半径为1,所以O M 的方程为(无 一 2 产+必=1；(2 )设4(*2,月)，4(*3,旷 3)若4 遇2 斜率不存在，则4 遇2 方程为X =1 或x =3,若4 送2 方程为x =1.根据对称性不妨设4 式1,1),则过冬 与圆M 相切的另一条直线方程为y =1,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在心，不合题意；若4遇2方程为X=3,根据对称性不妨设4式3,6),4(3,-V 3),则过久 与圆M相切的直线4遇3为y-百=弓0-3),又 做1血=?F =

16、v+v v=y -y3=，xi-x y i+门 vs+y 3 Jx3=0,4 3(0,0),此时直线4送3,4 A关于无轴对称，所以直线/A与圆M相切；若直线4 1 4 2,4送3,4 2 4斜率均存在，则 心 也=焉，心 也=六，方=六 所以直线A/方程为y-y i =五之(万一必)，整理得*-(y i +y2)y +y,2 =o-同理直线/hA的方程为x -(%+%)y+y，3 =o直线4 2 4 3的方程为X-(7 2 +旷3)丁+及丁3 =o,4通2与圆M相切，二总 嚼=1整理得(%-l)y|+2yly2 +3-*=0,A iA 与圆M相切，同理卬彳-l)y1+2yly3 +3-%=0

17、所以丁2，为 为方程C y彳-l)y2+2 y l y +3 -y|=。的两根,.2 y l 3 y?及+y 3 =一 行,旷2，为=布，M到直线出 北 的距离为：2+y2y3yji+(y2+y3)21 +(-2月)2_ 必+1|=X 1+1 _ 1J(y i-t)z+4 y i y,+1，所以直线7 1 2 4 3与圆M相切；综上若直线4送2，&43与圆M相切，则直线4公 与圆M相切.6.2 0 2 1年新高考1卷2 1】在平面直角坐标系x O y中，已知点尸式-7 1 7,0)、尸2(旧,0)1“尸1|-|M&I=2,点M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x =5上，过T的两

18、条直线分别交C于A、B两点和P,Q两点，且|7 4|-|7 B|=|7 P|7 Q|,求直线4B 的斜率与直线PQ的斜率之和.【答案】(1)x2-=l(x 1)：(2)0.16因为IMFj-MF2=2 0,b 0),则2a=2,可得a=l,b=V17-a2=4-所以，轨迹C的方程为二 一廿=l(x 2 1)；16(2)设点T(g t)，若过点71 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨直线AB的方程为y-t=k i C x-i),即y=klX+联立 =4I*+t 5自，消去y并整理可得(舷16)x2+%(2t ki)x+(t-ifc j2+16=0,16x2-y2=16 2设点4

19、 Q i，y。、B(x2,y2)则打 洱 M/由韦达定理可得%+尤2=专 驾，”2=常：吗所以，TA TB=(l+k l).|x1-i|-|x2-1|=(l+好)(石 小 一 空 +=(产 罂 产,设直线PQ的斜率为电，同理可得|TP|TQ|=丁+#)?.),2 lo因为|7川,|TB|=|TP|7 Q|,即器:好),整 理 可 得 暇=好，即 -fc2)(i+丸 2)=0,显然峪k2 于 0,故。+k2=0.因此，直线4B与直线PQ的斜率之和为0.7.【2021年全国乙卷理科21】已知抛物线。:必=2py(p 0)的焦点为F,且F与圆M:7+4尸=1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)

20、若点P在M上，P 4P B 是C的两条切线，4,B是切点，求APAB面积的最大值.【答案】(1)p=2；(2)20V5.(1)抛物线C的焦点为尸(0段)，FM=1+4,所以，尸与圆M:7+(y+4)2=1上点的距离的最小值为+4-1=4,解得p=2：(2)抛物线C的方程为/=4 y,即y=9,对该函数求导得y=a设点4（*i，%）、B（x2,y2）P（Xo J o），直线P 4 的方程为y -力=-*i）,即y =当 一%,即Xi%2 月 2 y =0,同理可知，直线P B 的方程为QX-2 y 2 -2 y =0,由于点P 为这两条直线的公共点，则-i-2 y o =o所以，点4、8的坐标满

21、足方程0 工一 2 y -2 y o =0,所以，直线4 B 的方程为项）比 一 2 y -2 y o =0,xox 一 2 y 2 y o =0联立 x2，可得冗2 -2x0 x+4 y 0 =0,丁 =了由韦达定理可得工i +尤 2 =2&,xtx2=4 y0,所以，|砌=J 1 +（即.J（X+&）2 _ 4 x 6 2 =F+（即.1 4 就 一 1 6 y o =.+4）（就一 4 y）,j 岛-4 y（）|点P 到直线A 8 的距离为d=一料+4所以，S&PA B =T AB,d=T J（就+4）（琢-4 y o）,=I（xo -4,0”，-4 y0=1 -（y0+4-4y0=-羽

22、-12y0-1 5 =-（y0+6）2+2 1,由已知可得一5 W y（）W-3,所以，当y（）=-5时，P 4 B 的面积取最大值：x 2 0 2 =2 0 遍.8.（2 0 2 1 年新高考2卷 2 0 已知椭圆C的方程为+，=l（a b 0）,右焦点为F（M,0）,且离心率为苧.（1）求椭圆C的方程；（2）设，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+产=。2（%0）相 切.证明：M,N,尸三点共线的充要条件是|M N|=V3.【答案】（1）-+y2=1；（2）证明见解析.3 J（1）由题意，椭圆半焦距c=四 且e=丑，所以a=6，a 32又万 2=02 2 =1,所以椭圆方程为三+y 2

23、=1；（2）由（1）得，曲线为/+y 2 =1（*0）,当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=l,不合题意；当直线MN的斜率存在时，设M（Xi，y D，N（*2，y 2），必要性：若 A A N,尸三点共线，可设直线MN：y =九（K 四）即k x y -=0,由直线MN与曲线/+y 2 =0)相切可得 笔 詈=1,解得上=1,y=(x -V2)0联立 x2 2 _ 可得4%2 6 企 +3 =0，所以%1 +也=九 2 =1三+y -所以|M N|=V 1 T 1 -J(%1 +无 2)2 _ 4 T.5=V3,所以必要性成立；充分性：设直线MMy=/u r+b,(k b 0)相切可得喘*

24、=1,所以严=1+1,y =k x 4-b联立 直+2=可得(1 +3 k2)x2+6 kbx+3 b2-3 =0,3 +y -所以1 +工 2 =6kb _ 3b2-3l+3fc2,X1 X1=I+3fc2,所以|M N|=Vl+k2-，(3 +皿)2 -4%i -2 =V1 +)2-4 -=行 中 播=百化简得3（土 2 一1）2 =0,所以九=1,所以%）1 或t 卷，所以直线M N:y =x 鱼或旷=x +&，所以直线MN过点尸（鱼,0）,M,N,尸三点共线，充分性成立：所以A/,N,尸三点共线的充要条件是|M N|=6.9.【2 0 2 0 年全国1 卷理科2 0】已知/、8分别为椭

25、圆氏+y 2 =i （a 1）的左、右顶点，6为 的上顶点，A G GB =S,P为直线6上的动点，必 与 E的另一交点为C,P B与E的另一交点、为D.（1）求 E的方程；（2）证明：直线C。过定点.【答案】（1）5+V =1；（2）证明详见解析.【解析】（1）依据题意作出如下图象：A G =（a,1）,=（1）:.A G GB=a2-1 =8 /.a2=9 椭圆方程为：9+y=1（2）证明：设P（6,y 0）,则直线4 P 的方程为：y =gy（x +3）,即：y =（x +3）（日+必=1联立直线A P 的方程与椭圆方程可得：1 9 ，整理得：卜=+3）（y0 z +9）/+6y 0 2

26、x+9y0 2-8 1 =0,解得：x=3 或x =3 y?字y o+9将x r：言7代入直线）=蓝a+3）可 得:，=泻%所以点C 的坐标为（若普，表）.同理可得：点D的 坐 标 为2+；,0名；）二直线6的方程为：y -（寿）=品髭 一 空 谷），yo 2+9 y0 2+1整理可得：y+r=f e g*）=H（x三）整理得”=+f=自1 号）故直线C D 过定点G，o）1 0.【2 0 2 0 年全国2卷理科1 9】已知椭圆C1：5+5=1（心6）的右焦点E与抛物线C2 的焦点重合，G的中心与C2 的顶点重合.过尸且与x轴垂直的直线交G 于 4 B两 点,交 C2 于 C,D两点,且|。|

27、=?|/用.(1)求G的离心率；(2)设 是Ci与C2的公共点，若|知 尸|=5,求Ci与C2的标准方程.【答案】(1)；(2)C1：-+-=1,C2-.y2=12x.L oo i n【解析】(1)F(c,O),AB l x轴且与椭圆Ci相交于4、B两点,则直线4 B的方程为x =c,c=+=2y_M2b次CQar=XyZill得解空a=用4抛物线。2的方程为f=4g 联立b广二：解得.|CD|=4 c,CD =A B ,即4 c =招，2 b 2 =3 a c,即2 c 2 +3a c -2a2=0,即2/+3 e 2 =0,-0e l,解得e=：,因此，椭圆Ci的离心率为去(2)由(1)知

28、a =2 c,b=W c,椭圆Ci的方程为弓+/-=1,1y2=4c x_ 消去y并整理得3/+1 6c x -1 2 c 2 =0,解得算=|c或工=一 6 c(舍去)，由抛物线的定义可得|M F|=C+C=y=5,解得c =3.因此，曲线Ci的标准方程为1+=L3 6 Z7曲线。2的标准方程为y 2 =12X.1 1.【2020年全国3 卷理科20】已知椭圆。总+5=1(0 1 5)的离心率为手，A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线贫=6上，且|BP|=|BQ|,B P 1 B Q,求 的 面 积.【答案】察=1：*【解析】(1)C:+-4=1(0

29、m b 0)的离心率为浮，且过点Z(2,1).(1)求 C 的方程：(2)点/，N 在 C 上，且A D L M N,。为垂足.证明：存在定点0,使得|。0|为定值.【答案】(1)+4=1；(2)详见解析.6 J【解析】(1)由题意可得：|,解得：a 2 =6,b 2 =c 2 =3,故椭圆方程为：+4=1./十庐一 6 3la2=b2+c2(2)设点 M(X 1，%),J V(x2,y2)-因为 AMAN,：.AM AN=0,即(与-2)(x2-2)+(yx-l)(y2-1)=0,当直线MN 的斜率存在时，设方程为、=k x +m,如 图 1.代入椭圆方程消去y并整理得：(1+2k2)x2+

30、4kmx+2m2-6 =0,4km 2mz-6 仆打+&=一 由，曰犯=/,根据%=kXi+m,y2=k x2+n i,代入整理可得：(k2+l)x1x2+(km k 2)(xj+x2)+(m l)2+4 =0将代入，(k2+1)+(比加一比 一 2)(-(舞 )+(m-l)2+4=0,整理化简得(2比 +3m+l)(2fc+m-1)=0,：A(2,1)不在直线MN上，.Zk+m-l O,/.2k+3m+1=0/k 丰 1,于是MN的方程为y=f c(x-g-1,所以直线过定点直线过定点E g,-J).当直线MN的斜率不存在时，可得N O i，-y j,如图2.代入O i-2)(X2-2)+(

31、%l)(y2-1)=0得g-2 7 +1-比=0,结合卷+=1，解得*1=2(舍),Xi=*此时直线MN过点E 你 一由于/为定值，且ZDE为直角三角形，/E 为斜边，所以NE中点。满足|QD|为 定 值（ZE长度的一半J（2-2 +（1+分2=苧）由于2（2,1）,E 痣,一 3,故由中点坐标公式可得Q g,i）.故存在点（?6；），使 得 为 定 值.1 3.【2 0 2 0 年海南卷2 1】已知椭圆C：/+=l（a b 0）过点（2,3）,点4为其左顶点，且的斜率为/，(1)求 C 的方程；(2)点 N 为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.【答案】捻+=1；12.Io 1Z【解析】(1)

32、由题意可知直线4W 的方程为：y-3 =1(x-2),即x 2 y=-4.当y=0时，解得x=-4,所以。=4,椭圆C:3 a=1(。b。)过点M 2,3),可得高+.=11解得廿=12.所以C 的方程：捻+5=L1O 14(2)设与 直 线 平 行 的 直 线 方 程 为：x-2 y =m,如图所示，当直线与椭圆相切时，与力M 距离比较远的直线与椭圆的切点为M此 时 的 面 积 取 得 最大值.联立直线方程x 2y=m 与椭圆方程盘+=1,16 14可得：3(m+2y尸+4y2=48,化简可得：16y2+12my+3m2-48=0,所以 4=144m2-4 x 16(3m2-48)=0,即/

33、n2=6 4,解得加=8,与 距 离 比 较 远 的 直 线 方 程：x-2 y =8,直线A M方程为：x 2y=-4,点 N 到直线A M的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =霜=詈，由两点之间距离公式可得1 4 Ml =J（2+4。+32=3V5.所以/M N 的面积的最大值：|x3 V5x=18.1 4.【2 0 1 9 年新课标3 理科2 1】已知曲线C：夕=竽，。为直线y=上的动点，过。作 C的两条切线，切点分别为4,B.（1）证明：直 线 过 定 点；（2）若以E（0,1）为圆心的圆与直线月 8相切，且切点为线段N 8的中点，求四边形N D 8 E 的面

34、积.【答案】解：证 明：尸苧的导数为/=x,2 2设切点4 （x i,y）,B（、2，/），即有，”=爸-，切线D4的方程为y-y i=x i （x -x i ）,即为歹=x i x-2 尹，切线D B的方程为y=、一等，联 立 两 切 线 方 程 可 得（X I+X 2），11可得。=2 制 2=-2,R P X X 2=7,2直线4 8的方程为、一号分（X-X 1）,即为 y*（x i+%2）（x-制），可化为y=,（x i+x 2）x+天可得力3 恒过定点（0,1）；（2）法一：设直线48的方程为尸质+参由（1）可得 X l+X 2=2 怎 X X 2=-1,AB中 点 （丸 F+W），

35、由H为切点可得E到直线AB的距离即为区可，|1_|_可得备%+（1 一 2）2,V l+f c2 V解得左=0或=1,即 有 直 线 的 方 程 为 产 我 尸 土 x+参由尸今可得|第=2,四边形4 D 8 E 的 面 积 为 肝 S“o=*x 2 X (1+2)=3；由 y x+g,可得只8|=V 1 +1*/4 +4 =4,I|l+j+|此时D(1,-4)到直线AB的距离为一?=V 2;z V 25|z-z|E(0,-)到 直 线 的 距 离 为 上 普=J 5,2 V 2则 四 边 形 的 面 积 为 广 S?o=；x 4 X (V 2 +V 2)=4 或；法二：(2)由(I)得直线4

36、 8的方程为尸田+1y =t x +ix 2,可得1=0.y =T于是 XI+X2=2/,XX I=-1,y +y i=t(x i+X 2)+1=2 +1,A B =V 1 4-t2|%i -x2=V 1 4-12 X y j d+小)2 -4%I%2=2 (P+l ).设力，心分别为点。，E 到直线N 8的距离，则力=VFE,J2=7j=.因此，四 边 形 石 的 面 积 5=m/8|(4+“2)=(?+3)V t2+1.设 M 为线段48的中点，则 M(f,於+分.由于E M 1.4 B,而E M =(t,t2-2),与 向 量(1,f)平行，所 以 什(?-2)t=0.解得=0 或/=1

37、.当 7=0 时，5=3；当 =1 时，S=4A/2.综上，四边形/O 8 E 的面积为3 或 4 a.1 5.【2 0 1 9 年全国新课标2理科2 1】已知点4 (-2,0),B(2,0),动点“(x,y)满 足 直 线 与的斜率之积为-摄 记”的轨迹为曲线C.(1)求 C的方程，并说明C是什么曲线：(2)过坐标原点的直线交C于 P,。两点，点 P 在第一象限，PE J _ x 轴，垂足为E,连结Q E并延长交C于点G.(力证明：P0 G 是直角三角形；()求A P O G面积的最大值.【答案】解：(1)由题意得y7 乂 上y =亍1x+2 x 2 2/y2整理得曲线c的方程：+=i(y

38、h 0),4 L曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆;(2)(/)设 尸(x o,加)，则 Q C -xo,-yo)fE(xo 0)G(X G，_V G),.直线。E的方程为：y=薨(x-x。)，/与1 +y =1联立消去夕，得(2与2+y02)x2-2x0y02x+x02y02-8x02=0,；.一xoxG与2打2_8而22x02+y02 Y(8-y02)x0 几一 2x02+yo2-y c畸(死 一&)=y o(4 r()2-yo2)2x02+y02kpGyyoxG-x0yo(4-xo2-yo2)2 xo2+yo2-yo飞(8-邓2)2xo2+yo2=4 0-丫0为2一%3_2%而2一,

39、038x0-x0y02-2 x03-x0y02y0(4-3x02-2 y02)-2x0(4-y02-x02)把&2+2%2=4代入上式，得 kpG=yo(4-3 x()2_4+xo2)2xo(4-yo2-4+2yo2)-y0 x2x0*1 2*2xo4+2y o4+5 xo2y o2令 仁 包+为，则，2,y。xoc8t 8$#。=五甲=码利 用“对号”函数/(f)=2f+*在 2,+8)的单调性可知,1 Q/（/）4 +|=J 口=2 时取等号）,:,SaQG三人=竽（此时%o =y o =21 6故 PQG 面积的最大值为c31 6.【20 1 9年新课标1 理 科 1 9】已知抛物线C：

40、/=3x的焦点为尸，斜率为 的直线，与。的交点为4B,2xoyo2=一桎，y。:kpQXkpG=2 X （一 微）=-1,C.PQLPG,故尸0G为直角三角形；）SPQG=1PE x （xc-飞）=现 OG+x（）=g（8-九2以2x02+y02+M1=尹 0&8-y02+2x02+y022x02+y02丫 0 刀 0（4+、2）2x02+y02丫 0 X 0（0 2+2 0 2+勺2）2x02+y022、0 勺（勺2+丫 0 2）2x02+y028y（）X o（X o 2+y o 2）（2x02+y02）（x02+2y02）8C y o X o 3+x 0 y o 3）8(班 给2浜部+1与

41、X轴的交点为尸.(1)若M F I+I 8用=4,求/的方程；(2)若G=3而，求|4 8|.【答案】解：设直线/的方程为产掾(X-/),将其代入抛物线炉=3 x 得：-X2-(-/+3)x+=0,设4(X,y ),B(X 2,”)，%+3 4则 x +x 2=J =2r+司，XIX2=/2(5),4由抛物线的定义可得：|力 月+|8月=不+切+P=2 什*+|=4,解 得 仁 ,直线I的方程为产|%-3 o(2)若4 P=3 P B,则川=-3”，A-(X 1 -t)=-3X挤(m-力，化 简 得 制=-3 x 2+4 3 2/由解得f=l，x i =3,X 2=g，.叫二+打4=型.x21

42、 7.【20 1 8年新课标1 理 科 1 9】设椭圆C：彳+刀2=1 的右焦点为尸，过 F的直线/与C交于，8 两点,点用的坐标为(2,0).(1)当/与 x轴垂直时，求直线4M的方程；(2)设 O为坐标原点，证明：N O M A =NO MB.【答案】解：(1 )c=V2-1 =1,：.F(1,0),门与x轴垂直,；x=l,(X =1(%=1 (X =1由 二,2 V解得&或 KV r+y=1 k=T：.A(1,),或(1,-乎)，2z.,.直线Z/W 的方程为y=-竽 什 V2,y=容 l V2,证明：(2)当/与 x轴重合时，N O M A =NO MB=0 ,当/与 x轴垂直时，为

43、的 垂 直 平 分 线，.N O A/=/O M 8,当/与 x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=k (x-1),左 H 0,A（x i,川），B（工 2，2），贝（J X i 夜，X 2 0）的直线/与C 交于 4,8 两点，|/8|=8.（1）求/的方程；（2）求过点4 3 且与C 的准线相切的圆的方程.【答案】解：（1）方法一：抛物线C：产=4 久的焦点为尸（1,0）,设 直 线 的 方 程 为：y=k（.x -1）,设/（x i，W），B（X 2，”），则匕 上 了 O,整理得:A2%2-2（X +2）x+/c2=0,则 x i+x 2=2（：.2）,X IX 2=,U _ 4 x

44、kz由M 8|=x i+x 2t P=2（专 产+2=8,解得：庐=1,则 A=l,二直线/的方程y=x-1；方法二：抛物线C V=4x的焦点为尸a,o）,设 直 线 的 倾 斜 角 为 0,由抛物线的弦长公式|4 8|=扁=s i g =8,解得：si n26=.。=今，则直线的斜率仁1,直线/的方程y=x-1:（2）由（1）可得Z8 的中点坐标为。（3,2）,则 直 线 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y-2=-（x-3）,即y=-x+5,设所求圆的圆心坐标为（x o,y o）,则0=一%0+5（孙+1）2=比 亨 正+16,解得:e：20）.（1）证明：k 线段/5 的中点为4（1,

45、m）9，XI+X2=2,y +y 2=2mx2 y2将 4 3 代入椭圆c：+=1 rl ,可得4 3 3/+4*=12（3x l+4y l=12，两式相减可得，3（x i+x 2）（x i -%2）+4 Cy +y 2）（川-”）=0，即 6 （X I-X 2）+8加（j“-”）=0,L-乃一、2 _ _ A -Ax1-x2 Sm 4m点 A/(l,m)在椭圆内，即1+一鼠VI,(m 0),解得O V m v|:k=?V -i.(T)4m 2 J(2)由题意得广(1,0),设 P(X 3,”)，则X I-1+X 2-1+X 3-1 =0,l-2+y 3=0,由(1)及题设得由=3-(x i+

46、%2)=1，”=-(y i+2)=-2加VO.Q 2 T 2又点尸在。上，所以?=本 从 而 尸(1,一/|F P|=2.于是向|=-1)2+力 2=J(X 1-1)2+3(1-午)=2-芬同理|而|=2-?.T T 1所以|F A|+|F B|=4 -+尤2)=3,故 向|+而|=2际即向 FP,|而|成等差数列.设改数列的公差为d,则2 d =|F B|-|/M|=|x i -x2|=1 J+冷产一 4 勺 工 2将/=%弋入得4=7.所以/的方程为V=-x+,代入C 的方程，并整理得7 x 2 14%+/=0.故X l+X 2=2,*2=点，代入解得Id=弓铲.所 以 该 数 列 的 公

47、 差 为 噤 或-嚼.2 2%y刀+法20.【20 17 年新课标1理科20】已知椭圆C：=1(。6 0),四点 P 1(1,1),P1(0,1),P3(-V3 V31,),P4(1,y)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求 C 的方程;(2)设直线/不经过尸2点且与C 相交于4 8 两 点.若 直 线 PM与直线尸28的斜率的和为-1,证明：/过定点./o【答案】解：(1)根据椭圆的对称性，B(-1，y),(1.y)两点必在椭圆C上,又尸4的横坐标为1，.椭圆必不过Pi(1，1)，V3 V3：.Pi(0,1),P3(-1,),&(1,y)三点在椭圆 C 上.1一振1_a2把尸2（0，1）,尸3

48、（-1,y）代入椭圆C,得：=1O ，解 得/=4,廿=1,+布=1x2，桶圆c 的方程为二+y2=i -4证明：（2）当斜率不存在时，设/：x=m,A（?,yA）,B （m,-划）,直线Pi A与直线Pi B的斜率的和为-1,k,i，_ y.T *y.-i _-2 _解得机=2,此时/过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.当斜率存在时，设/：y=kx+t,A（X I,以），B（x2 /）,联立匕=中：二 二，整理，得（1+41）f+8 M4产-4=0,-4 =0 8kt 4t2 4修+=LMF*X 2=则加2 A +kp?B =yl I y2T =%2(5+亡)-次+%1(2+)T 1/尤

49、2 _ xlx28肛 2 一佻-8 2+8kt1+42 _ 8k(t-l)4t 2-4 4(t+l)(t 1)1+4口又 f#l.；.f=-2 k-l,此时=-6 4k,存在k,使得()成立,二直线/的方程为夕=f cr-2 左-1,当 x=2 时，y=-1,./过 定 点（2,-1）.久 22 1.【2 0 17 年新课标2理科2 0】设 O为坐标原点，动 点/在 椭 圆 C：万+f=l 上，过 M 作 x轴的垂线,垂足为M点 P满 足 加=迎 血.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点0在直线x=-3 上，且d 花=1.证明：过点尸且垂直于。的直线/过C的左焦点F.【答案】解：（1）设 M（x

50、 o.y o）,由题意可得N （即，0）,设 尸（x,y）,由点P满 足 启=夜 薪.可 得（x-x o,y）=V 2 （0,y o）可得 x-x o=O,y=y/2y o,即有x o=x，y o=2，V 2X 2 x 2 V2代入椭圆方程万+产=1，可得万十万=匕即有点P的轨迹方程为圆?+/=2；(2)证明：设 0 (-3,初)，P(V 2cosa,夜 since),(0a 则(yi_V2)2=4X I X2，贝 UX I X2=4,贝!j04*OB=xiX2+yiy2=0,则 小，而，则坐标原点。在圆M 上，.坐标原点。在圆M 上；4k2+2 2(2)由(1)可知：XIX24,x+x2=2