2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第21讲 数列中的公共项问题（解析版）.pdf

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1、第21讲数列中的公共项问题一、单选题I.（2021.全国高二课时练习）已知两个等差数列5,8,11,302与 3,7,II,399,则它们所有公共项的个数为（）A.23 B.24 C.25 D.26【答案】C【分析】求得新数列的首项以及公差，然后根据等差数列的通项公式进行求解.【详解】设两数列的所有相同的项构成的新数列为%,G=11，又数列5 8,1 1,302的公差为3,数列3,1,11,399的公差为4,所以数列 c j 的公差为1 2,所以c,=12-1 4 3 0 2,解得“425；,所以两数列有2 5 个公共项.故选：C二、多选题2.（2022,全国高三专题练习）己知将数列 4 +1

2、 与数列 5,的公共项从小到大排列得到数列 4 ,则（）A.=5 B.a”=5C.q 的前.项和空二D D.4 的前 项和为5（25 T）4 24【答案】BC【分析】先分析出数列f 为数列 4n+1 的子数列，从而判断出乙=5 ,求出an的前 项和.【详解】令 4 +1 =5（n,m 6 N*j,所 以 =-=A-L-=-m-m,-e N=2,3,），4 4 4 当加=1时，=1,所以数列 5 为数列 4+1 的子数列，所 以%=5（=1,2 3-），所以%的前“项为 （二5）=5（5二）1-5 4故选：BC.【点睛】等 差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质.三、双空题3.

3、（2 0 2 1 江苏苏州市苏州高新区第一中学高二开学考试）已知两个等差数列 4：5,8,1 1,与他,：3,7,1 1,它们的公共项组成数列&,则数列&的通项公式:若数列 叫 和 低 的项数均为1 0 0,则 g 的项数是.【答案】c=2 n-2 5【分析】根据等差数列 “,%得到 c,J 是等差数列及其公差，写出 c“的通项公式，根据数列 4和 他 的项数均为1 0（）,由 9 的项是 4,%的公共项，利用通项公式求解.【详解】因为等差数列 ”：5,8,1 1,的首项为5,公差为3,所以通项公式为。“=3”+2,他,：3,7,I I,的首项为3,公差为4,所以通项公式为仇=4-1,所以它们

4、的公共项组成数列%是等差数列，且首项为1 1,公差为3 x 4 =%所以数列 g 的通项公式4=1 1 +1 2（-1）=2 1；因为数列 q 和 2 的项数均为1 0 0,所以1 2/1-1 L.-1 为奇数设4=二 声 伸 将，”,=1,ln 2 9,则数列勺&勿的所有项的和等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2,“为偶数设4=5”,a=4”-1,I 4 2 9,则数列a&hn与bn&,有 个公共项.【答案】1 9 2【分析】由题意可以得到数列为&勿 的通项公式，然后根据。,、的通项公式可以知道2 9 个项里面有9个 1,1 0 个-1,1 0 个 2,从而得到问题解答；由题意

5、可以得到数列a,&b 和超&a,的通项公式,再令a&b,=bm&am即可得到的关系式，最后根据5的倍数与4的倍数的特征可以得到解答.【详解】由题意可得：z 7 w 3k k e NJ,1,*，.当掇加2 9 时，数列4,&2的所有项的和为：b“,n=3k,k w N9 x l+(1 5-5)x(-l)+(1 4-4)x 2 =1 9；由题意可得：c ,5n,n#3k,k w N ,3k,k w N”a&,=,b,&a,=(q+1 2),解得4 =6.故。=2 九 +4.。是1 和S”的等差中项，则2 2=1 +S”,当九=1 时，2 与=i+S =i+4,解得4=1；当 心 2 时,3“7=1

6、+S,I，也=1 +5 ，两式相减得到耽-纥1T =3 即故 是首项为1 公比为2的等比数列，=2 T,验证九=1 时满足.故仇,二2 2.令%=2 +4 =2“=2 i,即=2 加 一 2 _ 2,当 7 7?=4 时，=2 ；当机=5 时，=6；当 2 =6 时，7 2 =1 4 ；当/%=7 时，=3 0 ；当?=8 时，=6 2 ；当m=9 时，n 1 2 6.故数列佃,的 前 1 0 5 项中有5项需要剔除，分别为8,1 6,3 2,6 4,1 2 8.故数列%的前 1 0 0 项和为 105x 6+x 2-876-3 2-6 4-1 2 8 =1 1 3 0 2.9.(2 0 2

7、0 江苏高二期中)已知数列仅“为首项为8,公差为4的等差数列，数列 么 满足：对任意的 W N*,都有。自+a 也+她,=-2 *3 .(1)求数列 4,的通项公式；(2)将数列 4,出“中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列匕,求数列 0 的通项公式以及数列也叫的前 项和.【答案】(1)a=4n+4,b=2n-(2)nx2n+s【分析】(1)依题意可得。“=4 +4,再利用作差法得到“；(2)由(1)可得%的首项为8,公比为2,即可得到q,、anc ,再利用错位相减法求和即可；【详 解】解：(1)依 题 意=8+4(-1)=4+4因为 aA+A +。也=.2+3,即幽+1 次+.+(4+4

8、)bn=23.所 以 跖+1也+.+4也”=(-1)-*.一 得，(4 n+4)6 =n-2n+3-(n-l)-2,+2=(M+1)-2W2,所以a=2 ,故a“=4 +4,b“=2(2)由(1)可 知%的首项为8,公 比 为2,故C,=8X2 T=2 2,所 以4 ,=(4 +4)X2 +2设 4 ,的前 n 项和为 S“，则 S“=。+a2c2+-+ancn-8 x23+1 2 x24+-+(4 r t+4)x2n+2；2 S=8 X 24+1 2 X 25+-+(4M+4)X2,+30;-W-S=8X23+4X(24+25+.-+2,+2)-(4H+4)X2+3=8X23+4X24(1-

9、2,_|)1-2-(4 +4)x2n+3=26 x-(4 +4)x2W+3所以=(4+4)x 2n+3-26X 2T=n x 2,+51 0.(2 0 2 1 广东横岗高中高三月 考)已知数列 a,的前项 和5“满 足2 5“-/=，n w N”,且%=3 .(1)求 证：数 列 一三卜2 2)是常数列；(2)求 数 列 a,的 通 项 公 式.若 数 列 也 通项公式a=3-2,将 数 列 4与 ,的公共项按从小到大的顺序排列得到数列%,求 ，,的前 项和.【答 案】(1)证明见解析；(2)3 n2-2 n.【分 析】(1)根 据S,与4的关系式得到。用=”?(2 2),然 后 证 明 二1

10、-&=()即可；(2)根 据(1)求 出 数 列 4的通项公式，然后根据数列“与 2的通项公式得到新数列%是 以1为首项，以6为公差的等差数列，从而根据等差数列的前项和公 式 求 匕,的前项和.【详 解】(1)证 明:由2 5“一氏=,得2 s“+1-(+1)4用=+1,将上述两式相减，2 an+l-(n+l)a+1+na =1,即 陷,-(”-1)%=1.n+i=-Y（n 2）,n-.数 歹！I a 5 2 2）是常数歹I；（2）由（1）可知，当“2 2时，芸=今?=2,n-2-1:.an=2 n-l（n 2）,检验当 =1 时，=2-1 也适用，an=2 -1（e N*）,数 列 伍“是

11、以1为首项，以2为公差的等差数列，又数列他,是 以1为首项，以3为公差的等差数列，.这两个数列的公共项所构成的新数列 c“是 以1为首项，以6为公差的等差数列，.（）的前八项和为x l +皿 x 6 =3 n2-2n.21 1.（20 21 全国高三专题练习）已知等差数列%及关于x的方程a,/-2“向”+勺+2 =0（e N*）,且数列?的公差d w O,（1）求证：这些方程有一个公共根；（2）若方程的另一根为乙，求证：数 列 为 等 差 数 列；（3）若数列%的任意两不同项a”、ak（m、j t e N ）之和都是数列%的项，求4与d满足的充要条件.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

12、；（3）4=0,1/0或q=S d （S N-l,SeZ）.【分析】（1）一元二次方程系有公共根，结合%成等差数列，必有2a N=q+%,2,与方程比较显然可以发现x =l是方程系的公共根；（2）使用韦达定理，求出土,进一步表示出一 二，通过等差数列的定义证 明 工 是等I 1%-l J差数列；（3）假设存在f w N,使4”+4 =4成立，寻找与d满足的关系式（其中任意?、e N ）.【详解】（1）证明：因为 4为等差数列，所以2向=q +an+2,因此x =1是方程 x2-2a“+B+all+2=0的一个公共根.（2）若方程的另一根为x“，则由韦达定理得lxx“=乙，即乙=巴业,a.aa1

13、 1=4故怎 一 1=-1,即 x“T 组包_1 2d,故 数 列，；是等差数列，得证.（3）设存在 1（fwN*）,有4+必=4,即q+（机-l）d+q+（左 一 l）d=q+l）d,所以%+（?+kT l）d=0,存往t e N,对任意m,ZwN 恒成立，若4=0,则加+攵一，-1 =0,即，=6+攵 一 122,故4=0,dw 0.若q H O,则?+（m+上_/-1）=0,由m,k,tw N*,故幺为整数，设3 =S（5 e Z）,即q=S d,a a因 1 1 匕（m+攵 一，-l+s）d=0,即机+Z，一 l+S=0,即m+Z-l+S=，Nl,又fsN 对任意刀k,fwN*恒成立，

14、即加+攵2 2-S 对7,kwN*恒成立，所以3N2 S,BPS-1,SGZ.综上所述，为与d 满足的充要条件是：q=（）,dwO或4=S d （S -1,SGZ）.12.（2021 全国高三专题练习）设数列 为 与 色 的通项公式分别是凡=2 ,2=3 +2,将它们的公共项从小到大排列成新数列 q j,求 q j 的前项和.【答案】s=8Q J）.“3【分析】先将所给数列 q 与,的前若干项一一列出，找出它们的公共项中的前几项，由这几项进行分析，猜想%的项可能是 q 中除去前两项的所有奇数项，构成以8 为首项，以4 为公比的等比数列.再证明猜想，可得出答案.【详解】解：由题意可知 4 的前几

15、项是：2,4,8,16,32,64,128,256,的前几项是：5,8,11,14,17,20,23,26,29,3 2,.（即被 3 除余 2 的数）.由此可知，数列 g 的前三项是8,32,128.回到数列 4 中，不难发现%的项可能是 4 中除去前两项的所有奇数项，构成以8 为首项，以4 为公比的等比数列.对此猜想证明如下：设数列 1 中的第项在 中是第“页，在他,中是第A项，由数列 g 的定义可知，。=8,故有=2加=3人+2,则应 中的第 m+1 项为%=2*2 2=2 +2)=3(2%+1)+1.显然，%,“不是数列 仇 中的项，从而不是 q,中的项.而 4 中的第机 +2项为：限

16、=22=4 2”=4(3%+2)=3(4 +2)+2,显然它是数列 ,中的项，从而是%中的第 +1项，且如=等=4,Cn 2故，是以8 为首项，4 为公比的等比数列，且其前项和为$=8(二 1).313.(2021上海市复兴高级中学高一期末)已知各项均为正数的等差数列%与等比数列他,满 足 出=打=4,又、%、+30成等比数列且优=他.(1)求数列 4 、2 的通项公式；(2)将数列 4 、0/0,解得：4=l,d=3,b=2,q=2.(2)旦=4,刍=16,名=32,34=64，用 是以4 为首项，4 为公比的等比数列，则其前2021项和为4 0一4 一 人士7)1-4 3V 7(3)c =

17、(3n-2)2 -n(3n-2)-k-2 ,c+,=(3 n+l)2n+l-(n+l)(3n+l)-k-2n+1,：.c+l-cn=(3+4)2”(6 及+1)一%-2 ,%是严格递增数列，；.q 川-c”0 恒成立，即人0,即/()严格单调递增，=.丘(-0 0,11 4.(2 0 1 5 江苏高三月考)已知等比数列 q 的首项4 =2 0 1 2,公比4 =-；，数列 4 前 n项和记为S“，前 n 项积记为7；.(1)证明：S2 Sn S,;(2)求 n 为何值时，T,取得最大值；(3)证明：若数列/中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从大到

18、小的顺序依次记为4,内,4,则数列 4 为等比数列.【答案】(1)见解析；(2)1 2；(3)见解析.【解析】试题分析：(1)只要证 明%+4+0 即可，由等比数列前八项和公式易得；(2)由于数列的项正负相间，因此 7；中从第2项开始两项负两项正出现，因此可先求园的最大值，为此求得Z J=巫*&/=|*|=驾，可 见 园 中的最大值 是 川，只I Tn|ata2 2 是 因 此 比 较 与 它 最 接 近 的 正 值 7；和兀，知兀 最大：(3)由于数列 4 是正负相间的，因此其相邻三项4,a1,a*”重新排序(按从小到大顺 序)时要按上的奇偶性分类，注意到 以|是递减的，不论人为奇数还是偶数

19、，总 有 a*+4 T=2 4+2，且 当 人为奇数时，&=*-4吟 产-(-景 =1 ,当上为偶数时,dk=ak+2-ak=(-g 产=翁，固有数列 4 成等比数列.试题解析：(1)证明:。2 口-（-；）J Js“=*+-2 _=s 础 一（产 4 5/1-（-）J 2当=1 时，等号成立,S2 5W S,(2)解：|=1 1T I 2”.2 0 1 1 ,2 0 1 1.当“4 1 0 时，当Nil时，I&J V 7 J,故1 KlM =I Z J又几 0，4 0，G0，?.T”的最大值是乙和兀中的较大者，,午=1 0 1 1 1 2 =2 0 1 1（-1）1 03 1 ：Tl2 T9

20、,因此当 =1 2 时，刀,最大.（3）证明：4,=2 0 1 1（_ g）T，随 n 增大而减小，册奇数项均正，偶数项均负,当 k 是奇数时，设%中的任意相邻三项按从小到大排列为4 小,a?，4，则aM +ak=4（_ g）*+4（_：）“=/2 a+2 =2 4（_ g）M=祟，%+=2 嗫，因此%,%2，见成等差数列公差 d*=ak+2-aM=4K-g）*-（-g 力=翁当k是偶数时，设 q 中 的 任 意 相 邻 三 项 按 从 小 到 大 排 列 为 则4+1 +ak -a（_ g）+q（_ g）z=_ 学，2%+2 =2q=_/，%+4 =2 a*+2，因此q+”%2，a*成等差数

21、列，公差d*=a*,2-见=4 （-g）+-（-g）i =翳,综上可知，”“中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且4=斗，；&时=_ 1,.数列 4,为等比数列.2 +dn 2考点：等比数列的前项和，数列的最大（小）项，等差数列与等比数列的判断.【名师点晴】1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前”项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.2.有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用作差法，作商法，图象法.求最大项时也可用满足 向；若求最小项，则用4 满足产本题中数列出 中的

22、正负依次出现，因此首先研究 圜 的单调性及最大项，再考虑 1,的最大值.15.(2020江苏苏州高三期末)已知数列 可 满足2S“=4+q,%=4,其中S“是数列 4 的前n项和.(1)求卬和的的值及数列%的通项公式；(2)设=-1-1-1-1-(n e N)以 “S,+2 5,+4 Sj+6 S+2n 若7；=7；7；,求女的值；求证：数 列(雹 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.【答案】(1)4=。，%=2,4=2 -2；(2)1,见解析【分析】(1)利用递推关系式求出数列的前几项，同时求出数列%的通项公式：(2)结合第一问的结论求出7；=-J,直接代入7；=二即 可 求 解;对

23、 于 给 定 的 若 存 在%,工 工 ，k,t c N*,使得/广北“，只要找到相应的整数，即可证明.【详解】(1)=2 时，2s2=22+4=2(4+%)，所以4=。，=3 时，2s3=30)+4=12,所以 4+4+%=6,所以=2.由 2S=+4=na,所以 2“=(+1)%，由-得为,用=(+l)a+i-可，即“卬=(-1)。用，当“W2时，=(n-2)an,由-得(T)%+(T)*=2(M-1),即 a“+i+a,i=2/，所以数列 4,是首项为0,公差为2 的等差数列，故数列%的 通 项 公 式 是=2 n-2.Sn 4-2n n(n+1)n n+T=-1-1-k 4-=1-1-

24、h -=1-=-.一”S+2 S2+4 S3+6 Sn+2n 2 2 3 n n+n+1，,二 =与x小对于给定的w N,若 存 在3k,IGM,使 得q=小7；k t -X-.1 k+f+1两边取倒数，即叫=a+?a+?,即 消%+：+后n k t ktU i kt=nt+nk+n,t=-+；取=”+1,贝I J r =(+2)；对数列J中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积.【点 睛】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力,属于难题.1 6.（2 0 1 6上海市晋元高级中学高三期 中）已知递增的等差数列 ,的首项4=1,且 为、生、小成等比数

25、列.（1）求 数 列 见 的通项公式4;（2）设数列匕,对 任 意“，都 有 尹 品+=%成 立，求q+q+0 23 2的值.（3）若求证：数列仍“中的任意一项总可以表示成其他两项之积.【答 案】（1）%=（e N*）；（2）2叫（3）见解析.【分析】（1）根据解出公差，即可得到通项公式；（2）当“2 2时，由+*=+1，及 +冬 1 1方合=，两式作差求出q,=2,即可求解；（3）通过数列通项公式关系对数列电 中的任意一项勿=，都存 在 以 尸 当 和外等 使 得”即可得证.【详 解】（1）4 是递增的等差数列，设公差为d（d 0）.、出、/成等比数列，由（1 +4）2 =l x（l+3 d

26、）及 4 0 得 d=l：.an=n（n e N*）(2)：a,*=，?+1,寸+才 1-1才=“+l 对 e N*都成立当 =1 时，=2 得。=4当 2 2 时、由 尹 卷+会=+1及+会+需=一得 1,得%=24(”=1)2 (2 2)q+2 +C2012=4+22+23+.+2202=4+22(二；)=220 13（3）对于给定的 wN*,若存在使得6,=瓦也：b=,只需n +1n即 i+L(i+(i+l),n k t即女=m +成+，t=*取左=+l,则，=（+2）k-n对数列 纭 中 的 任 意 一 项,都存在心 产 当 和心”=；2；+1n n+1 n+2n n+2 n使得 b,

27、=b,+b“、2,【点睛】此题考查求数列通项公式以及数列求和，考查对数列通项公式的理解认识，证明相关结论.17.（20 21.上海交大附中高二期中）已知数列 为 的前n项和为S“，我们把满足条件。，用W E,（为任意正整数）的所有数列 “构成的集合记为M.（1）若数列 4 的通项为4=，i（0 q l），判断 g 是否属于M,并说明理由；（2）若数列/是等差数列，且 q+加，求生以的取值范围；（3）若数列 ,的各项均为正数，且 a,w M,数列,中是否存在无穷多项依次成等差数列?若存在，给出一个数列%的通项；若不存在，说明理由.【答案】(1)q 属于M,理由见解析.(2)20 21,4-o o

28、)(3)数列 一4卜 中不可能存在无穷多项依次成等差数列，理由见解析.【分析】利用等比数列前项和公式计算，再比较用与S 大小关系即可判断作答.(2)设等差数列 4 的公差d,求出数列。“+的前项和,列出不等式，借助恒成立探求出 d 与的取值即可计算作答.(3)根 据 给 定 条 件 探 求 出 数 列 具 有 的 性 质，再借助反证法思想并结合等差数列通项即可判断作答.(1)因数列 为 的通项为q=q T(O q l)，则数列%是首项为1，公比为g的等比数列，其前n项和S,有：Sn=,因。0,-q-q-q即 4+i S“恒成立，所以 q 属于M(2)设等差数列 4 的公差d,则数列血+今 是等

29、差数列，首项为0+1,公差为d+1,令 T”为 a”+的前n项和，因%+6 例，贝+1+n+T,当=1 时,出+2 41=4+1,于是得4 一 1,V n e N*,4 +1+”(/+1)4+)+(；D.(d +1)=+(q -|0,当 等 0 时，二次函数y =等 f +(4 5d一(4 +1)开口向卜，则必存在某个正数A,当时，y 2021,所以a2M的取值范围是【-2021,+8).(3)因数列 q 的各项均为正数，且 q,w/,则%的前项和S,有：,+监5,对2 成立，于是得S“+“o 42,则S向=2兴沪-当今2%,“-2 32 5显 然%+24S“M42，当 23 时，an 2,恒

30、有 a“4 2”2q,4 4”4 4 4对 V/iwN,2 2时，=2 ,当=1 时，=一,*2-4%af l%、假设数列 一“I 存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为5+0(c,bM J为常数)，4 4 4则存在mwN*,加使得5 +=一之一2N 一2 ,即怎4+O/N2”，4%当“e N 23 时，令 f()=g，则 f (+1)-f ()=掾3一 条=2 北 /0,9即/(+1)/()&/(3)=方 n2,从而有当 e N*，23 时，c +砧 /,ip n1-c a-atb 0,依题意，不等式2-四 -岫 4时,yO,从而得不等式“2-四 -砧 0在 上 的 整 数 解

31、 不 会 超 过A o,只有有限个，不可能有无穷多个解，因此，假设数列 一4中存在无穷多项依次成等差数列是错的，lan 所 以 数 列 中不可能存在无穷多项依次成等差数列.山【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.18.(2021江苏高二专题练习)己知数列 q 前 项 和 为S”数列 q 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2 的等比数列，且满足“9=%+4，54=25(1)求数列 ,的通项公式；(2)若q a,2=am+2,求正整数机的值；(3)是否存在正整数相，使得J 也恰

32、好为数列%中的一项？若存在，求出所有满足条件的，值，若不存在，说明理由.n,n=2k-l,k w N”【答案】(1)n,；(2)m=2；(3)存在；6=1或m=2.2-32,n=2k,kwN*【分析】(1)设等差数歹式/“_ 公差为乩等比数列%“公比q,由题设列出方程组求出d,q 值即可作答；(2)利用(1)的结论，按 m 为奇数和偶数两种情况讨论计算作答；(3)假定存在m 满足条件，算 出 声 的表达式，并探讨其范围，再分情况讨论作答.【详解】(1)设等差数列他一 公差为d,等比数列他“公比4,则=&q=2q,%=4+d=1 +d,%=1 +4d,JS4=2S3 J4=53 j 2g=l+2

33、+(l+d)jd =2%=%+&q+4 d =4+d+2g 3d=2q g=3，于是得*=1+2(-1)=2-l,出 =2 3T,n,n=2 k-l,k w N*所以“=n 1；2-32/=2 k,keN 2(2)因4”“用=%+2，若 相=22 1(%),则(2%-1)2 3 1=2 攵 +1,即23 1=1+:;,2K-12因为23 i 为正整数，所以 J二为正整数，即兼-1=1,解得女=1,此时23。3,不成立，2K-I舍去，若m=2 k(k w N*),则23L(2k+l)=23 ,解得2=1,有?=2,成立，综上得利=2；S S(3)假定存在正整数机使三”为%中的一项，则三”为正整数，因 S2m 7=(4+%+吁|)+(2 +。4+。2吁2)=+=3，+机？-1，2 3-1于是得 Sn=$2七I +%=1 +52m.,S2m.,M3,T-x+nr要A为 4 中的某一项，则白只能为,见,生之一,32加-1若 黑瑞 即后二r 1 得 出0,无解,若3-2：广 二1)=2 n -I)T n s f m-l n g Z,3m-+m2-i 3ra-+m2-l综上得加=1或2 =2,所以存在正整数m使得巨恰好为数列 4 中的一项，w =1或加=2.