2022年中考数学压轴题答案.pdf

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1、2022年中考数学压轴题1.如图，矩形的边N8=4,BC=3.一 简 易 量 角 器 放 置 在 矩 形 内，其零度线即半圆。的 直 径 与 边 重 合，点工处是0刻度，点 5处 是 1 8 0 刻 度.尸点是量角器的半圆弧上一动点，过尸点的切线与边8 C、C D(或其延长线)分别交于点、F.设点P的刻度数为，NPAB=a.(1)当“=1 3 6 时，a=22 ,求出a 与的关系式；(2)在尸点的运动过程中，线段E 8与 EP 有怎样的数量关系，请予证明；(3)在尸点的运动过程中，尸点在直线C。上的位置随着a 的变化而变化，当尸点在线段 CD上时、在 C。的延长线上时、在。C的延长线上时，对应

2、的a 值分别是多少？(参考数据：ta n 5 6.3 七 1.5)(4)连接8 P,在尸点的运动过程中，是否存在NB 尸与 C E E 相似的情况？若存在，求出此时的值以及相应的EF 的长；若不存在，请说明理由.解：(1)连接0 尸，如 图 1,由题可知：ZAOP=1 36 .：.Z P O B=4 4,.:.NPAB=22.：Z A O P=n 0 ,：.ZPOB=lO-n.：.Z P A B-=a=Z P O B=(1 8 0 -n )=9 0。.故答案为：22 ,a 与 的关系式a=9 0 .(2)EB=EP.第1页 共1 4页理由如下：如 图 1,.四 边 形 是 矩 形，N/8C=9

3、0.：.EB与半圆。相切.又 与 半 圆 0 相切，由切线长定理得：EB=EP.(3)如 图 2,此时点尸与点。重合，连接Q0.由切线长定理得：D P=D A =3,Z A D O ZPDO.：.DOAP.:.ND4P=90 -Z A D O=Z D O A.：Z D A O=9 0a,AD=3,N0=2,An Q/.tan Z D O A=衍=1.5.Vtan56.3 1.5,A Z D O A =56.3 .A Z D A P=Z D O A =56.3 .a=90-56.3=33.7.如 图 3,当N P O 8=90时，显然过点尸的切线与CO平行,此时，a=45.如图4,此时点 t与点

4、C 重合.同可得：a=56.3.结合以上临界位置可得：当点厂在线段C。上时，0 aW 33.7或 56.3 Wa90；当点尸在线段CZ)的延长线上时，33.7 a45；当点尸在线段O C的延长线上时，45 aOD,.当 0、D、三点共线时，。，的长度最小，最小值=。-OH=V5-1.(解法二：可以理解为点”是在直径的半圆脑上运动当。、H、。三点共线时，。长度最小)故答案为：V5 1.第7页 共1 4页3.如图，在 RtZZ8C中，Z A C B=90 ,以斜边Z 8 上的中线CD为直径作。0,与 8 c 交于点M,与力8 的另一个交点为E,过 作 M N _L/8,垂足为M(1)求证：MN是。

5、的切线;第8页 共1 4页：OC=OM,：.ZOCM=ZOMC,在R tAJSC中，CD是斜边Z 8上的中线,:.CD=AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.ZOMC=ZDBC,：.OM/BD,:MNLBD,：.OMLMN,过 O,是。的切线；是。的直径，：.ZCED=90,ZDMC=90,B P DMBC,CE1.AB,由（1）知：BD=CD=5,./为8 c的中点，3VsiaS=耳，4/.cosS=耳，在 例。中，BM=BD sB=4,:BC=2BM=8,29在 RtZCE8 中，BE=BC，cosB=-32 7：.ED=BE-BD=学-5=第9页 共1 4页4.已知NMPN的两边分别与

6、。相切于点4 B,。的半径为八（1）如 图 1,点 C 在点4,8 之间的优弧上，NMPN=80,求/C 8 的度数：（2）如图2,点 C 在圆上运动，当 PC 最大时，要使四边形/P 8 C 为菱形，的度数应为多少？请说明理由；（3）若 P C 交。于点。，求 第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.图1：PA,P 8 为。的切线，：.ZPAO=ZPBO=9Q,N4PB+NPAO+NPBO+NAOB=36Q,A ZAPB+ZAOB1SO,./P 8=8 0 ,；.N/08=100,A ZACB=50；(2)如图2,当NAPB=6 0 时，四边形/P 8 C 是菱形,连接O/,O

7、B,第10页 共14页M由 可 知,N A O B+N A P B=1 80 ,V ZAPB=6 0 ,/.Z A O B=200,A ZACB=6 0 =N APB,点。运动到P C距离最大，P C 经过圆心，：PA,为OO的切线,:.PA=PB,/APC=/BPC=30 ,又,：PC=PC,：./X A P C B P C(S),A ZACP=ZBCP=30 ,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30 ,：.AP=AC,：.A P=A C=P B=B Cf 四边形ZP 8 C是菱形；(3)。0的半径为广，C.OA=r,O P=2 ,：.AP=V3 r,PD=r,V Z A O P=90 -

8、4 PO=6 0 ,，前 的 长度=r.阴影部分的周长=2 4+尸。+而=百 出+货=(V3+1 +J)r.5.如图，以 为 OO的切线，P 8 C为。的割线，4 D L O P 于点D,力。C的外接圆与8 c的另一个交点为R证明：N B A E=N A C B.第1 1页 共1 4页*：OAA-AP,AD A.OP,，由射影定理可得：PA2=PDPO,AD?=PDO D.（5分）又由切割线定理可得PA2=PB-PCf:PB*PC=PDPO,:D、B、C、O四点共圆，（10分）A ZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODCf/PBD=/COD,:.丛 PBDsXCOD,PD BD 八:.=,（15

9、 分）CD OD:BDCD=PDOD=AN,9BD AD布布.又 NBD4=NBDP+90=NOOC+90=ZADC,：ABDAs/ADC,；./BAD=NACD,：.AB是4D C的外接圆的切线，:/BAE=NACB.6.如图，点力为y轴正半轴上一点,4,8两点关于)C轴对称,过点A任作直线交抛物线y=|%2第1 2页 共1 4页于 P,。两点.（1）求证：NABP=NABQ；（2）若 点/的 坐 标 为（0,1）,且NP8Q=60,试求所有满足条件的直线P。的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y 轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,f）,则点B 的坐标为（0

10、,-t）.设直线尸。的 函 数 解 析 式 为 并 设 尸，。的坐标分别为（X P，yp）,（XQ,yQ）.由y=kx+ty=|x2,2 7得石 d kx t=于是%P%Q=-t,即t=-XPXQ.于 是 些=BD yQ+t1%p2+t|%p 2-|xQ2+t|%Q2-|xp%Q2 z、-xp（xp-x（2）xp=2=一 ,-XQ（XQ-Xp）XQ又因为偏=一 方BC所 以 访=PCQD因 为/8。=/3。0=90,所以故 NABP=NABQ；（2）解：设 PC=a,D Q=b,不妨设a b 0,由（1）可知N4BP=NABQ=3Q,BC=V3a,B D=b,所以“C=V 5a-2,AD=2-V3b.因为 PC。，所以于是竺一些即2 _ 亘 二rD Q A D lVb 2-V 3b 第13页 共14页所以 Q+b =y/3ab.由（1）中p%Q=即一 a b=9，所以a +b =于是可求得a =2b=V 3.F5 7 J?1将代入y=9%2,得到点0的 坐 标（弁，-）.再将点。的坐标代入夕=筋+1,求得A =-字.所以直线P。的函数解析式为 丫=一*x+1.根据对称性知，所求直线P Q 的函数解析式为y=-亭 x+1或y=空%+1.第1 4页 共1 4页