2023年高考一轮复习精练必备第7讲 函数与方程（解析）.pdf

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1、2023年高考一轮复习精讲精练必备第7讲函数与方程一、知识梳理1.函数的零点(1)概念：一般地，如果函数y=/U)在实数a处的函数值等于零，即贝a)=0,则称竺为函数y=/(x)的零点.函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：有零R-入陶 瑟=/&)而於一公 簪，实数 也 J2.函数零点存在定理如果函数y=*x)在区间。，切上的图像是连续不断的，并且式。)次公幺)(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y=/(x)在区间(a,份中至少有一个零点，即mxoG(a,。)，於o)=O.二、考点和典型例题1、函数零点所在区间的判断【典 例 1-1(2022 天津红桥一模)函 数/(x

2、)=e+2 x-6 的零点所在的区间是()A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)【答案】C【详解】函数.f(x)=e，+2 x-6 是R 上的连续增函数,/(l)=e-4 0.可得 f。2)0,所以函数/(x)的零点所在的区间是(1,2).故选：C【典 例 1-2】(2021山西 太原五中高三阶段练习(文)利用二分法求方程log3X=3-x 的近似解，可以取的一个区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【详解】解：设/(x)=l o g 3 X-3 +x,当连续函数/(X)满足/(a)/(b)0时，X)在区间(。,切上有零点，即方程l o

3、g,x =3 -x在区间(0向 上 有解，又(2)=l o g32-l 0,故/(2)/(3)0J(1 4)6 5)=-0.0 5 2 0g（x）=/x）+2 +2的零点个 数 为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【详解】令 f=/（x）+2,当 XV-1 时，/（犬）=工+，（-8,-2）且递增，此时，（-8,0）,X当-l x0时，/(x)=x+-e(-o o,-2)且递减，此时，(-,0),x当0 c x e 4时，f(x)=l n xe(-o o,-2)且递增，此时/(-,0),e 当时，f(x)=l n xe(2,+o o)且递增，止 匕 时，e(0,+8),e-所以，g(

4、x)的零点等价于与y=-2交点横坐标f对应的X 值，如下图示:由图知：/与 y=-2有两个交点，横坐标4=-1、0r2 i:当=一1,即 x)=-3 时，在 X(T)、(7,0)、(0,J 上各有一个解：当 即-2 /(x)v 1 时，在xe (1,+?)有.个解.综上，g(x)的零点共有4 个.故选：B【典例2-3】(2016天津市红桥区教师发展中心高三学业考试)函数/(x)=2 a+4.若在-2 内恰有一个零点，则加的取值范围是()A.-1,2 B.C.(o o,2 UL+)D.2,1【答案】C【详解】解：当”=0 时，函数为常函数，没有零点，不满足题意，所以/(x)=2 z r+4 为一

5、次函数，因为/(%)=2mt+4在-2,1 内恰有一个零点，所以/(-2)1)40,即(5+4)(2 1+4)4 0,解得/4-2 或小27.故”?的取值范围是(9，2 ULk).故选：C当-0）,己知/（x）在上单调递增，则 x）在（0,2乃）上的零点最多有（）A.2 个B.3 个C.4 个 D.5 个【答案】A【详解】1 c,1 n 1兀,.,rt 2K 2k 兀 11n 2kn,由-2k7v cox-i W 卜2k 兀，k GZ,得-1-W xW-1-,k wZ,2 6 2 3。3。取&=0,In n-W-可得-34 x 4 在.若/在 上 单 词 递 增，则 3 3co 4解得.若（0

6、,2万），则s+工 工,23 r+工设 I=（OX H ,贝。1 一,2,（071 H ,因为 1（071 H-6 6 6）6所以函数 皿 在 信 2初r+2）上的零点最多有2 个.所以“X）在（0,2句上的零点最多有2 个.故选：A3、图像零点的综合应用【典例3-1】（2022安徽模拟预测（文）已知函数 x）=若 g（x）=/（x）-a 有 4 个零-X 2x,x S 0点，则实数”的取值范围是（）A.（0,1）B.（0,1 C.0,1 D.1,同【答案】A【详解】解：令g(x)=/(x)-4=0,得x)=a,在同一坐标系中作出y=/(x),y=a的图象，如图所示:由图象知：若g(x)=f(

7、x)-a有4个零点,则实数的取值范围是(0,1)，故选：A【典例3-2】(2022黑龙江哈师大附中三模(文)已知有且只有一个实数无满足/如7=(),则实数的取值范围是()A.(-w,2)B.F,C.(-o o,2 D.【答案】D【详解】x=0显然不是x3-o v-1=0的根.所以x w 0因此只有一个实数x满足*3-改 _1=0等价于方程。=2一2只有一个实数根.X令/(x)=%2 F(X)=2X+4,令/(%0)=2工0+=()=0=-7,故可知：xx%o -y/2当 8,-y=H J ,f(x)(),此时 A x)单调递增，当xe(0,+8)时，f(x)0，此时，(x)单调递增,且当杵 1

8、00时，/(x)=K)o o o+上，4 100时，/=i(xx)0-L,当产 一 工 时，/=-1 +100,当1UU100 ()0 1C XJ O U户 士 时，f(X尸 7，故/(X)图像如图:1 ()0 1 ()(X)0【典例3-3】(2022河南安阳模拟预测(理)已 知 函 数 小)=加小工&，。且 的)，若函数y =/(x)-a的零点有5 个，则实数。的取值范围为()A.a=2 B.I n 2av l 或 1。2C.0W l n 2 或 l v av 2 或。=2 D.I n 24av l 或。=2【答案】D【详解】解：依题意函数y =/(/(x)-。的零点即为方程/(x)=a 的

9、根，当01时 函 数 的 函 数 图 象 如 下 所 示:所 以 有 两 个 根，t2(0z,l ),当1。2时函数/(x)的函数图象如卜所示:4#-1-2所以/(，)=4 有三个根，G，G，(0 4 1,z30),而4=f(x),芍=/卜)，？3=/(可 分别对应2、2、0 个根，即共四个根，所以不满足题意；综上可得实数。的取值范围为l n 24a)【答案】D【详解】函数/(力=以 2 一皿了一/有.两个零点，即-x l n x)-e*=0 有两根，X.x2-x l n x =x(x-l n x)0,故可转换为a=-旦 一 有两根，令g(x)=r-则V-x l n x x2-xnx，/、ex

10、(x2-xnx-2x+nx+i er(x-l)f x-l-l n x),、y-1,、W =_7T-3-L=八_令M x)=x l-l n x,则/(x)=U,故可力(尤-x l n x)(x -x l n xj x在(o,l)上单调递减，在(I,”)上单调递增，A(l)=J 当且仅当x =l 时等号成立，故在(o,l)I-.g x)0,g(x)单调递增，所以g m i n(x)=g6=e又当X 0*与X -+8 时g(x)+8,故实数a的取值范围为(e,+00)故选：D(x x 4 0【典例3-5】(2022.山东济宁二模)已知函数f(x)=一 ,若函数g(x)=x)-x)有 5 个零I L

11、X 1 1 1 h x x点，则实数a 的取值范围是()A.(-e,0)B.1(，C.(-c o,-e)D.卜陶-力【答案】C【详解】y=f(-x)与 y=x)关于y 轴 对 称,且/=0,要想g(x)=/(x)/(x)有 5 个零点，则当x 0 时，-x =al n x 要有2 个根，结合对称性可知x 。得：0 c x 1,l x e,令g (x)e,故g(x)=-自 在(O,l),(l,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，且当x e(O,l)时，g(x)=-m。恒成立，I n xgGb-T在x =e 处取得极大值，其中g(e)=-e,I n x故a e (-c o,-e),此时与g(x)=-丁匚有两个交点.I n x故选：C