人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第二章第3节　函数的奇偶性与周期性.pdf

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1、第 3节 函数的奇偶性与周期性课程标准要求1 .结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2 .结合函数的周期性、最小正周期的含义,会判断应用函数的周期性.必 备 知 识 课 前 回 顾 散 材夯实四基微知识梳理1.函数的奇偶性偶函数奇函数定义一般 地,设 函 数 f（X）的 定 义 域 为 I,如果Vx L 都有-x l且 f （-X）=f（X）,那 么 函 数 f （x）就叫做偶函数且 f （-x）=-f（X）,那么函数 f（X）就叫做奇函数图象特关 于 y 轴对称关于原点对称征释疑函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.2.函数的周期性周期函数:一般地，设函数f(x)的定义域为D,

2、如果存在一个非零常数T,使得对每一个xe D,都有x+T D,且f(x+T)=f(x),那么函数f (x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.释疑 若T是函数f (x)的一个周期,则nT(ne Z,nW O)也是函数f (x)的周期.不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f (x)=c(c是 我)是周期函数，但没有最小正周期工重要结论1.奇偶性的四个重要结论如果一个奇函数f (x)在原点处有定义，即f (0)有意义,那么一定有 f (0)=0.如 果 函 数f (x

3、)是偶函数，那 么f (x)=f (-x)=f(|x|).(3)若函数满足f (x)=0或解析式可化简为f (x)=0(x D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.(4)在公共定义域内有:奇土奇=奇，偶土偶=偶,奇乂奇=偶，偶乂偶=偶,奇义偶=奇.2.周期性的常用结论设函数 y=f (x),xR,a 0.若 f (x+a)=f (x-a),则函数的一个周期为2 a.若 f (x+a)=-f (x),则函数的一个周期为2 a.若 f (x+a”/则函数的一个周期为2 a./(x)(4)若 f (x+a)=-J：,则函数的一个周期为2 a.3.对称性的三个常用结论(

4、1)若函数y=f (x+a)是偶函数，即f (a-x)=f (a+x),则函数y=f (x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2 a-x)=f (x)或 f (-x)=f (2 a+x),则y=f (x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数 y=f (x+b)是奇函数,即 f (-x+b)+f (x+b)=0,则函数 y=f (x)的图象关于点(b,0)中心对称.对点自测1 .(必修第一册P 8 4 例 6 改编)下列函数中为偶函数的是(B )A.y=x3 B.y=x2C.y=I In x|D.y=2 解析:A为奇函数,C,D 为非奇非偶函数,B为偶函数.故选B

5、.2.(必修第一册P 2 0 3 练习T 4 改编)设f(x)是定义在R 上周期为3的函数，当 OW xW l 时，f(x)=x2-x,则 f (，等 于(B )A.-B.-C.i D.-4 4 4 2解析：因为f(x)是定义在R 上周期为3 的函数，所以 f (1)=f (|-3)=f (|).又当 0 时,f (x)=x2-x,则 f G)=9 9 一 3故选2 4 2 43.若函数f(x)=x2+(a+5)x+b 是偶函数,定义域为 a,2 b ,则a+2 b=.解析:因为f(x)是偶函数，函数的定义域关于原点对称，所以a+2 b=0.答案：024.(2 0 2 0 江苏卷)已知y=f

6、(x)是奇函数,当x 2 0 时,f (x)=%i,则f (-8)的值是.2 2解析：由题意可得 f (-8)=-f (8)=-8 3=-(23)3=-22=-4.答案：-45.(2 0 2 1 山东日照高三模拟)写出一个满足f(x)=f(2-x)的奇函数：f (x)=.解析:取f(x)=s i n 下面为证明过程:显然，其定义域为R；由 f (-x)=s i n(-/x)=-s i n/x=-f (x),故 f (x)=s i n 为奇函数;X f (2-x)=s i n(2-x)=s i n(n-x)=s i n x=f(x).答案:s i n/x(答案不唯一)关键能力课堂突破类小考点既实

7、四翼慢 考点一函数奇偶性的判断及应用1.已知定义在R 上的奇函数f (x)满足当x 0 时,f(x)=2 x2-2,则f(f(T)+f(2)等于(B )A.-8 B.-6 C.4 D.6解析:法一 因为当x0时,f(x)=2x?-2,所以f(-l)=O,又函数是奇函数，则 f(0)=0,f(-2)=2X(-2)-2=2 X 4-2=8-2=6=-f(2),即 f(2)=-6,所以 住(-1)+(2)=-6.故选 B.法二 因为当 x0,贝 h x 0.所以f(-x)=2(-x)2-2=2x2-2.又因为函数满足f(-X)=-f(x),BP-f(x)=2x-2,因此 f(x)=2-2x2,故 f

8、(2)=2-2X22=-6,故f(f(-l)+f(2)=-6.故选 B.2.(2021 陕西渭南模拟)已知函数f(x)=3a-3.是奇函数，则 f(2)等于(D )A.-B.-C.-D,-9 9 9 9解析:法一 根据题意，函数f(x)=3 a-3”是奇函数，则f(-x)=-f(x),即 3x+a 3 x=-(3+a-3),变形可得(a+1)(3)3-)=0,解得 a=-l,则f(2)=3 2-32=-.故选 D.9法二 由于函数f(x)=3a-3是奇函数且定义域是R,因此f(0)=0,即 l+a=0,因此a=-l,贝 I f(2)=3-2 3=四.故选D.93.已知f(x),g(x)分别是定

9、义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+2,贝!J f(x)=,g(x)=.解析：由f(x)-g(x)=x 3+x 2+2 以及函数f(x)和 g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,可得 f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+2-X3+X2+2,即f(x)+g(x)=-X3+X2+2,解得 f(x)=X2+2,g (x)=-x3.答案:x?+2 -x4.判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)=ln-;(3)f(x)=-xz+2x+1,x 0,x2+2xl,%0,得即f(x)=lnF 的定义域为(-1,1),关于原点对l+x 1+X称.又 f(-x)=ln=ln

10、()1=-ln=-f(x),故 f(x)为奇函数.l-x l+x l+x(3)法一(定义法)函数的定义域为 x|x WO,关于原点对称，当 x 0 时,-x 0,f(-x)=x2-2 x-l=-f(x),当 x 0,f(-x)=-x2-2 x+l=-f(x),所以f(-X)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.法二(图象法)作出函数f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.因为；屋 3=一 2交 且 杼。,所以函数的定义域关于原点对称,所 以 f(x)=yj 4-x2 yJ 4-x2%4-3-3 X又 f(-X)界-=-,-xX所 以 f(-X)=-f(x),即函数f(X

11、)是奇函数.一 题 后 悟 通1 .判断函数奇偶性的方法(1)首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-X)与 f(X)之间的关系.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-X)与 f(x)的关系，只有各段上的X 都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.2 .利用函数的奇偶性求函数值的方法:将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.3 .根据函数的奇偶性求解析式中参数的方法:根据f(x)f(-x)=O得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得出参数的值.4 .涉及两个奇偶函数的和或差的解析式求奇偶函数的解析式需要用-x代

12、 替 x后利用奇偶函数的性质构造方程组求解.注意:根据函数的解析式判断函数奇偶性时，若函数解析式不是最简形式,需要先化简函数解析式，化简时要注意等价变形.慢 考点二函数的周期性及其应用am 设 f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当 x 0,2 时,f(x)=2 x-x2,则 x G 2,4 时函数 f(x)的解析式为解析：当 x -2,0 时,-x 0,2 ,由已知得 f(-x)=2 X(-x)-(-x)2=-2X-X2,又 f(x)是奇函数，所以 f(-x)=-f(x)=-2 x-x2,所以当 x -2,0)时，f(X)=X2+2X.又当 x 2,4

13、 时,x-4 e-2,0 ,所以 f(x-4)=(x-4)2+2 (x-4).又 f(x)是周期为4的周期函数，所以 f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2 (x-4)=X2-6X+8,故当 x 2,4 时,f(x)=x -6 x+8.答案:f(x)=x 2-6 x+8(x 2,4 )典例迁移1 设 f(x)是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)且 f(l)=2,则 f(0)+f(l)+f(2)+-+f(2 0 2 2)+f(20 2 3)=.解析:依题意函数的一个周期是4,且 f(1)=2,所以f(3)=f(3-4)=f(-l)=-f(l)=-2,又 f(2)

14、=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0.由奇函数的定义 f(-x)=-f(x),可知 f(0)=-f(-0)=-f(0),则f(0)=0,因此 f(4)=0.故 f +f(2)+f(3)+f(4)=24-0-2+0=0,结合 2 023=4X505+3,可知 f(0)+f(l)+f(2)+f(2 022)+f(2023)=505 f +f(2)+f(3)+f(4)+f(l)+f(2)+f(3)=2+0+(-2)=0.答案：0 典例迁移2 设 f(x)是定义在R 上的函数,且恒有f(x+2)=-京,你/(X)认为函数f(x)可以是奇函数吗？解：函数f(x)不可能是奇函数.因为对任

15、意xe R,都有f(x+2)=-2，/(X)所以 f(x+4)=f(x+2+2)=-1 4-=f(x),所以 f(x)的一个周期为fx+2)4.假设函数f(x)是奇函数,则由奇函数的定义f(-x)=-f(x),可知 f(0)=-f(-0)=-f(0),则 f(0)=0,且 f =f(2-4)=f(-2)=-f(2),故 f(2)=0.结合f(2)=f(0+2)=-奇y,因此函数f(x)不可能是奇函数.，解 题 策 略 I1.根据函数在给定区间上的解析式,结合函数周期性与奇偶性的求值问题,应根据函数的性质将待求的自变量的值转化到已知的函数解析式上后，结合函数解析式求值.2.若函数具有奇偶性以及关

16、于直线(或点)对称时，函数也具有周期性,求解时首先利用周期性的定义确定出函数的周期.3.若函数y=f(x)是奇函数且T 为其一个周期,则f(乡=0.针对训练1 .已知f(X)是定义在R 上的奇函数,且满足f(x)=f(X),则 f(20 2 0)+f(2 0 2 1)+f(2 0 2 2)等于()A.-l B.0 C.1 D.2解析:因为f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x)=f(1-x),所以 f(x+l)=f(-x)=-f(x),所以 f(x+2)=f(x),所以 f(x)的周期为 2,所以 f(2 0 2 0)=f(0+2 XI 0 1 0)=f(0)=0,f(2 0 2 1)+f(

17、2 0 2 2)=f(2 0 2 1)+f(1-2 0 2 2)=f(2 0 2 1)-f(2 0 2 1)=0,所以 f(2 0 2 0)+f(2 0 2 1)+f(2 0 2 2)=0.故选 B.2 .(2 0 2 1 安徽皖江名校高三模拟)偶函数f(x)满足f(p x)=f(x+?,且在 x e 4 时，f(x)=lo g2x-l,则 f(-2 一)等于()A.lo g27-2 B.1C.lo g23-2 D.lo g27-l解析：因为函数f(x)是偶函数以及f(3 x)=f(x+|),所以f(-X)=f(x+|+1)=f(x+1)=f(x),所以函数的周期为1,所以 f(-2H)=f(

18、-1)=f(|)=f()=lo g2-l=lo g27-2.故选 A.3.若函数 f(x)满足 f(x+l)=-f(x),且 x T,1 时,f(x)=x2,则 x e 7,9 时的函数解析式是.解析：由函数 f(x)满足 f(x+l)=-f(X)可知 f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),因此函数的周期是2.设x 7,9 ,则TWX-8W1,因此f(x-8)=(x-8)；根据函数的周期是2 可知f(x-8)=f(x),因此f(x)=(x-8)J答案:f(x)=(x-8)2(X 7,9 )慢 考点三函数性质的综合应用h角度一函数的单调性、奇偶性的应用(例 匠 D(1)函数f(X)在(-8

19、,+8)上单调递减,且为奇函数,若f(l)=T,则满足-1 6-2)忘1 的 乂 的 取 值 范 围 是()A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,3已知函数f(x)=x2+log2|x|,则不等式f(x+l)-f0 f(x)=x2+log2x,故其在(0,+8)上单调递增,又因为函数的定义域为x|xWO,f(-x)=(-x)2+log2.|-x|=x，log21 x|=f(x),故其为偶函数,综上可得f(x)在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增且图象关于y 轴对称,f(x+l)-f0即f(x+l)f等价于%+|且 x W T,即不等式的解集为(-3,-1)U(%+1 W

20、 0(T,1).故选 C.解 题 策 略 I1.求解与奇偶函数有关的不等式问题要考虑奇偶函数关于原点对称的定义域两侧的单调性;利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反,转化到同一单调区间上求解.2.求解与偶函数有关的不等式问题,为避免出现错误以及分类讨论，可利用偶函数的性质(幻=六七)=(卜|)将问题转化为偶函数在 0,+8)上的单调性求解.口 角 度 二 函数的奇偶性(对称性)与周期性(S O (2 0 2 1 黑龙江佳木斯高三三模)已知y=f(X)为奇函数,若f (x+1)是偶函数,且当 x G 0,1 时,f (x)=lo g2(x+a

21、),则 f (2 0 2 1)等于()A.-l B.0 C.1 D.2解析：由函数f (x+1)是偶函数以及y=f(x)为奇函数可知f (x+l)=f (-x+1),即 f (x+2)=f (-x)=-f (x),所以对任意 x R,f (x+4)=f (x).当 x 0,1 时,f (x)=lo g2(x+a),所以 f (0)=lo g2a=0,所以 a=l,则 f(2 0 2 1)=f(5 0 5 X 4+l)=f(l)=lo g22=l.故选 C.一 解 题 策 略 I1 .若函数y=f (x+a)是偶函数,则函数y=f (x)关于直线x=a 对称;若y=f (x+a)是奇函数,则函数

22、y=f (x)关于点(a,0)对称.2 .函数图象的对称与周期关系常见结论若函数y=f (x)的两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|;(2)若函数y=f (x)的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T =2|a-b|;(3)若函数y=f (x)的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4 1 a-b|.fl 角度三单调性、奇偶性与周期性的综合问题建 (多选题)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数,V x R,f (x T)=f (x+1)成立，当 x (0,1)且 x Hx 2 时，有/出“皿 0

23、,则下X2-%1列命题中正确的是()A.f(l)=08，&)在-2,2 上有5 个零点C.直线x=2 0 2 2 是函数y=f(x)图象的一条对称轴D.点(2 0 2 2,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心解析：令 f (x-l)=f (x+1)中 x=0,得 f (T)=f (1),又 f (T)=-f (1),所以2 f (1)=0,所以f =0,故A正确;由f (x-l)=f (x+1),得f (x)=f (x+2),所以f (x)是周期为2 的周期函数,所以f (2)=f (0)=0,又当x (0,1)且 X 1 W X 2 时，有“冷)十七)0,X2-X 1所以函数在区间(0,

24、1)上单调递减,可作函数的简图如图.由图知B,D也正确,C不正确.故选A B D.解题策略函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.针对训练1.(2021 全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(l+x)=f(-X).若 f(q)q,则 f(|)等于()A.-B.

25、-i C.-D.-3 3 3 3解析:因为f(X)是定义域为R 的奇函数,所以f(-x)=-f(x).又f(l+x)=f(-X),所以f(2+x)=f l+(l+x)=f-(1+x)=-f(l+x)=-f(-X)=f(x),所以函数 f(x)是以2为周期的周期函数,f(|)=f(|-2)=f(q)q.故选c.2.(2021 江西赣州高三期末)设定义域为R 的奇函数f(x)在(0,+8)上为增函数,且f(-4)=0,则不等式上父至 0的 解 集 是()XA.(-4,0)U(4,+8)B.(-8,-4)U(0,4)C.(-4,0)U(0,4)D.(-8,-4)U(4,+8)解析：因为函数f(X)为

26、奇函数，则 f(-x)=-f(x).若 x o 等价于f (x)0,因为f(-4)=0,f (x)在X X(0,+8)上为增函数,则f(x)在(-8,0)上为增函数,所以由f(x)0 得-4 x 0,则X)=2/t x)0 等价于 f(x)0,由题知 f(x)在(0,+8)上X X为增函数,所以由f(x)0 得 0 G 0 的解集为(-4,0)U (0,4).故选C.X3.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为:R(x)=，当x =/(p,q 都是正整数，器是既约真分数)，(0,当 =0,1 或 0,1 上的无理数，若函数f(X)

27、是定义在R 上的奇函数,且对任意X 都有f(2-x)+f(x)=0,当 x 0,1 时，f(x)=R(x),贝！J f(In 2)-f(1)=.解析:因为f(x)是定义在R 上的奇函数,且对任意x 都有f(2-x)+f(x)=0,所以 f(2-x)=f(-x)，所以 f(x+2)=f(x),即 f(x)的周期为 2,因为当 x 0,1 时,f(x)=R(x),故 f(ln 2)-f(|)=f(ln 2)-f(1)答案:q虐 备选例题C 1。(2 0 2 1 广东揭阳高三一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=f(2-x),且对任意 1WXKX2均有(x X 2)f(x j-f(X 2

28、)O 成立,则满足f(2 x T)-f(3-x)20的x的取值范围是()A.-2 U|,+8)B.(-8,o U p +8)C.-2,|D.0,解析:因为函数f(x)满足f(x)=f(2-x),所以函数f(x)关于直线x=1对称，因为对任意1 W x X 2 均有(x-x2)f(x i)-f(x2)0,K nx24所以A 选项错误,D 选项正确.故选D.4.(2 0 2 1 福建厦门一模)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x 2 0时,f(x)=log2(x+2)+t,则 f(-6)等于(A)A.-2 B.2 C.-4 D.4解析:根据题意,f(x)是定义在R 上的奇函数，当x 2 0 时

29、,f(x)=log2(x+2)+t,则 f(0)=log22+t=t+l=0,则 t=T,则当 x 2 0 时，f(x)=log2(x+2)-l,则 f(6)=log28-l=3-l=2,又 f(x)为奇函数,则 f(-6)=-f(6)=-2.故选 A.5 .(2 0 2 1 河南郑州高三一模)设f(x)是定义在R 上的奇函数且满足f(x-l)=f(x+1),当 O W x W l 时,f(x)=5 x(l-x),则 f(-2 0 2 0.6)等于(D)A.-B.-C.-D.-25 10 5 5解析:对任意的 x R,f(x-l)=f(x+1),即 f(x)=f(x+2),所以函数f(x)是以

30、2 为周期的周期函数,所以f(-2 0 2 0.6)=f(-o.6).由于函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且 当 OWxWl 时，f(x)=5 x(1-x).因此 f(-2 0 2 0.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-5 X0.6 X(1-0.6)=.故选 D.6 .函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+l)=-f(x),若f(x)在 T,0 上是减函数,则函数f(x)在 3,5 上是(D)A.增函数 B.减函数C.先增后减的函数 D.先减后增的函数解析:根据题意，因为f(x+l)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+l)=f(x),所以函数的周期是2.又 f(x)是定义

31、在R 上的偶函数,且在-1,0 上是减函数，所以函数f(x)在 0,1 上是增函数.所以函数f(x)在 1,2 上是减函数，在 3 上是增函数，在 3,4 上是减函数，在 4,5 上是增函数,所以数x)在 3,5 上是先减后增的函数.故选D.7.(2 0 2 1 四川南充高三三模)已知f(x)是定义在R 上的以5 为周期的偶函数,若f f(2 0 2 1)=落 则 实 数 a的取值范围是2 a-4(c )A.(-8,争B.(2,+8)C.(-8,争 u (2,+8)D.(2)解析:因为f(X)是定义在R 上的以5 为周期的偶函数，所以 f(2 0 2 1)=f(5 X 4 0 4+1)=f(1

32、)=f(-1),因为 f(22a4所 以 衿-6,整 理 得 竽 l0,2 a-4 2 a 4解得a 2,所以实数a的取值范围是(-8,1 I)U (2,+8).故选C.8.(多选题)已知y=f(x+1)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(2-x),当x T,1)时，f(x)=2 1 则下列说法正确的是(ABD)A.y=f(x)图象的对称中心为称0)B.y=f(x)图象的对称轴方程为x=3C.4 是函数的周期D.f(2 0 2 1)+f(2 0 2 2)=1解析：因为f(x+1)是定义在R 上的奇函数,所以y=f(x)图象的对称中心为(1,0),且 f(1)=0.因为f(x+4)=f(2

33、-x)，所以y=f(x)图象的对称轴方程为 x=3,故 f(x)的周期 T=8,f(2 0 2 1)=f(5)=f(l)=0,f(2 0 2 2)=f(6)=f(0)=l,从而 f(2 0 2 1)+f(2 0 2 2)=1.故选 ABD.9.(2 0 2 0 新高考I 卷)若定义在R 的奇函数f(x)在(-8,0)单调递减,且 f(2)=0,则满足x f(x T)2 0 的x的取值范围是(D)A.-1,1 U 3,+oo)B.-3,-1 U 0,1 C.-l,0 U l,+8)D.-1,0 U 1,3 解析：由题意知f(x)在(-8,0),(0,+8)上单调递减，且 f(-2)=-f(2)=

34、f(0)=0.当 x 0 时,令 f(x-l)2 0,得 0 W x T W 2,所以 1WXW3;当 x 0 时，令 f(x-l)W 0,得-2 W x T W 0,所以T W x W l,又 x 0,所以T W x 0,则下列不等关系成立的是(C)A.m+nl B.m+n-l D.m-n0 得，f(2 m-n)f(n-2),所以 2 m-nn-2,所以 m-n-l.故选C.1 4.(多选题)已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x),则下列说法正确的是(ABC)A.f(x)在(-2,1)上单调递增B.f(x)在(1,4)上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=l对称D.f(x)的图象

35、关于点(1,0)对称解析：由 f(x)=ln(x+2)+ln(4 r)可得:二 解 得-2 x 4.因为 f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)=ln(-x2+2 x+8),令U(X)=-X2+2X+8,则函数u(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=l.所以函数u (x)在(-2,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减，根据复合函数的单调性可得f(x)在(-2,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减，因为f(l-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(l+x),所以函数f(x)的图象关于直线 x=l对称，因此A,B,C 正确,D 错误.故选ABC.1 5.若称函数f(x)为“准奇函数”，则

36、必存在常数a,b,使得对定义域内的任意x 值，均有f(x)+f(2 a-x)=2 b,请写出一个a=2,b=2 的“准奇函数”(填写解析式)：解析：由f(x)+f(2a-x)=2b,知 准奇函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,若a=2,b=2,即 f(x)的图象关于点(2,2)对称,如y 4 向右平移2X个单位长度，向上平移2 个单位长度,得到f 6)=2+吃=等,其图象关x-2 x2于点(2,2)对称.答案:f(x)3(答案不唯一)C 级应用创新练16.(2021 新 高 考 II卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+l)为奇函数，则(B)A.f(-|)=0

37、B.f(-1)=0C.f(2)=0 D.f(4)=0解析：因为函数f(x+2)为偶函数，则 f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因为函数f(2x+l)为奇函数,则f(2x)=-f(2x+l),所以f(x)=-f(x+l),所以 f(x+3)=-f(x+l)=f(x-1),即 f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4 为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+l)为奇函数，贝！F(0)=f(1)=0,故 f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.故选B.17.(2021 江苏启东高三模拟)已知定义域为R 的函数f(x)在 2,+8)上单调递减,且f(4-x)+

38、f(x)=0,则使得不等式f(x2+x)+f(x+l)0成立的实数x 的取值范围是(C)A.-3 x lB.x 3C.x l D.xW-l解析:f(4-x)+f (x)=0,则 f(x)关于点(2,0)对称,因为&)在 2,+8)上单调递减，所 以 f(x)在 R上单调递减，所 以&+1)=-六3 七)，由f (x2+x)+f (x+1)0 得 f (x,xA f (3-x)0,所以 f (x?+x)3-x,解得 x l 或 x-3.故选 C.1 8.已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数,满足f (x+2)=f (-x),且当x e 0,1 时，f (x)=l o g2(x+1),则函数 y=f (x)-x:i 的零点个数是(B )A.2 B.3 C.4 D.5解析：由f (x+2)=f (-x)可得f (x)关于直线x=l 对称，由函数f (x)是定义在R 上的奇函数,所以f (x+2)=f (-x)=-f (x)=-f(x-2)=f(x-2),所以f (x)的周期为4,把函数y=f (xA x?的零点问题转化为y=f (x)-x3=0 的解的问题，即函数y=f (x)和丫=(的图象交点问题，根据f(x)的性质可得如图所示图形,结合y=(的图象，由图象可得共有3 个交点,故共有3 个零点.故选B.