2022年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学(全国甲卷).pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学考前须知：1.答 卷 前，考生 务 必 用 黑 色 碳 素 笔 将 个 人 的 姓 名、准 考 证 号、考 场 号、座位号填 写 在 答 题 卡 上，并认 真核 准 条 形 码 上 的 准 考 证 号、姓 名、考 场 号、座位号及科目，在 规 定 的 位 置 贴 好 条 形 码。2.答 复 选 择 题 时，选 出 每 题 答 案 后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需 改 动，用 橡 皮擦干净后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。答 复 非 选 择 题 时，将答案 写在 答 题 卡 上。写 在本 试卷 上 无 效。3.考

2、试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。I.假设z=l+J 5 i,贝4二一=（）ZZ-1A.-l+G i B.-1-亚 C.D.2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识 为了解讲座效果，随机抽取1。位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各答复一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下列图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确

3、率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3 .设全集。=2,1,0,1,2,3,集 合 人=-1,2,8 =何 4 犬+3 =0,则 Q/(A U 3)=()A.1,3 B.0,3 C.-2,1 D.-2,0 4 .如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体 积 为()A.8 B.1 2 C.1 6 D.2 05 .函数y =(3 -3 r)c o s x 在 区 间 一/,的图像大致为(b6 .当x =l 时，函数f(x)=a l n x +取得最大值一 2,则/(2)=()xA.-1 B.C.D.12 27.在长方体A B C。

4、-44GA中，与。和平面A 8 C。和 平 面 46所成的角均为3 0,则()A.A B =2 A D B.AB和平面ABJG。所成的角为30C.A C =C Bt D.BQ和平面BgCC所成的角为45。8.沈括的 梦溪笔谈 是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的 会圆术，如图，AB是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，。在43上，C D L A B.C D2会圆术 给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=A B +.当。4=2,NAO8=60O A时，s=()11-3/3 1 1-4 9-373 9-4A/3A.-B.-C.-D.-2 2 2 29.甲、乙两个圆锥的母线

5、长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为际和S乙,体 积 分 别 为%和%.假 设=2,则 言=()s乙 吃A./5 B.22 C./1()D.54X2 y210.楠 圆。：=+=1(人 0)的左顶点为4,点P,。均在。上，且关于y轴对称.假a Zr设直线AP,AQ的 斜 率 之 积 为 则C的离心率为()4G 0cl 1A.-B.-C.-D一2 2 2 311.设函数/(x)=sin(yx+g)在区间(0,兀)恰有三个极值点、围 是()两个零点，则。的取值范3 1 1 11 2.a-,Z?=cos,c=4 sin,则()3 2 4 4A.c b a B.b a c C.a b c

6、D.a c h二、填空题：此题共4 小题，每题5 分，共 20分。1 3.设向量a,b的夹角的余弦值为！，且|m=1,传|=3,则(2 a+0)1=.321 4.假 设 双 曲 线 2 一 二=1(加0)的 渐 近 线 和 圆f +y 2 4 y +3 =0相 切，则?=m1 5.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为.A r1 6.A B C中，点力在边8 c上，Z A D B=1 2 0 ,AZ)=2,C D =2 B D .当取得最小A B值时，BD=.三、解答题：共 70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试

7、题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答。(-)必考题：共6 0分.1 7.(1 2 分)2 s记S“为数列%的前八项和.一十+=2a“+1.(1)证明：a,是等差数列；(2)假设。4,%，佝成等比数列，求S“的最小值.1 8.(1 2 分)在 四 棱 锥 P-A B C D 中，PDA.底 面A B C D,C D A B,A D =D C =C B =,AB=2,DP=6.(1)证明：B D PAx(2)求P O和平面E 4 6所成的角的正弦值.1 9.(1 2 分)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个工程，每个工程胜方得1 0分，负方得0分，没有平局.三个工程比赛结

8、束后，总得分高的学校获得冠军.甲学校在三个工程中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各工程的比赛结果相互.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列和期望.2 0.(1 2 分)设抛物线。：/=2 0%(0 0)的焦点为尸，点。(,0),过F的直线交C于M,N两 点.当直 线 垂 直 于x轴时，|M F|=3.(1)求C的方程；(2)设直线M ,N 和C的另一个交点分别为A,B,记 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为a,/3.当a 尸取得最大值时，求直线4 B的方程.21.(12 分)ex函数/(x)=-l n x+x-a.(I)假设X)2 0,求a的取值范围

9、；(2)证明：假 设 有 两 个 零 点 玉,，则 环 中2 1.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系和参数方程(10分)-2+t在直角坐标系x O y中，曲线G的参数方程为1 6 1为参数)，曲线G的参数方程为y=4t2+sx-6 (s为参数).(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，尤轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。3的极坐标方程为2c o s 9s in 8=0,求C 3和G交点的直角坐标，及。3和G交点的直角坐标.23.选修4-5：不等式选讲(10分)a,b,c均为正数，且 片+4 2=3,证明：6 Z +Z?4-2C 3 ;(2)假设。=2 c,则