2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷九（学生版+解析版）.pdf

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1、绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷九学校:姓名：班级：考号：注意：本试卷包含I、n 两卷。第 1 卷为选择题，所有答案必须用2 B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。第 n 卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第 I 卷(选择题)一、单选题：本题共8小题，每小题5 分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集1/=%6 心+|-2%0,0&0,-1 b 0C.a 0,1 /?0D.a 0,0 b 0,b 0),圆M：(尤+3+y2 =4 与双曲线C 的一条渐近线相交所得弦长为2,则双

2、曲线的离心率等于()A.V2B.V3D.红k _ z.-函数y=蓑黑的图象大致为(7.已知双曲线C的左、右焦点分别是为0,F2,过尸2的直线与。交于A，B两 点.若 函=3”，|荏|=|丽卜则C的离心率为（）A.2 B.3 C.4 D.58 .已知实数a,b,c e R,满 足 詈=-奈”1,则a,b,c大小关系为（）A.a b c B.a c b C.b c a D.b a c二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。9 .已知 +y 0,且 V 0,则（）V XA.x2 -xy B.x I g

3、 y2 D.+-a时，截口曲线为椭圆;当。=a时，截口曲线为抛物线;当。a时，截口曲线为双曲线.（如下左图）现有一定线段4B与平面/?夹角w（如上右图），B为斜足，6上一动点P满足/B A P =y,设P点在0上的运动轨迹是r,贝式）A.当w =*y =?时，是椭圆4 OB.当,近，丫 =看时，是双曲线C.当 0),若f在(0,1)内取值的概率为0.4,则6在(0,2)内取值的概率为0.8D.对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判 断“x与y有关系”的把握程度越大1 2.在AABC中，角4、B、C的对边分别为a,b,c,且a=2,s讥B=2sinC,则以下四个命题中正确的是(

4、)A.满足条件的ABC不可能是直角三角形B.AABC面积的最大值为?C.已知点M是边BC的中点，则拓T通的最大值为3D.当4=2C时，若。为 ABC的内心，则AHOB的面积为更匚3第 I I 卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.写出一个能说明“若 函 数 的 导 函 数/(x)是周期函数，则f(x)也是周期函数”为假命题的函数：/(%)=-14.已知数列 an的首项的=1,前n项和为,且满足2即+1+Sn=2(n N*),则.1 5 .若(x+222=a0+axx+a2x2 H-1-a2 0 2 2x2 0 2 2,则a。+a2+a4.+CI2022被4除得的余

5、数为.16.已知函数/(x)=(sincox)2+gsin23X-；(3 0,3 R),若/(x)在区间(兀,2兀)内没有零点，则3的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.在 任+空 +1=三，(a+2b)cosC+ccosA=0,Vasind/=csin4这三个条件中任选一个，补J smB sin4 ab K z 2充在下面的横线上，并解答.在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且_.(1)求角C的大小；(2)若，=V7,sinAsinB=求 A ABC的面积.18.已知等差数列%和等比数列%满足的=5,d=2,a2=2b

6、2+l,a3=b3+5.(1)求 an和%的通项公式；(2)数列 0 和 九 中的所有项分别构成集合4、B,将集合4 u B中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列&,求数列 0 的前50项和S5o.19.某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对期末考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计(该校全体学生的成绩均在60,150)，按下列分组60,70),70,80),80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140),140,150作出频率分布直方图.如图，样本中分数在70,90)内的所有数据是：72,75,77

7、,78,81,82,85,88,89.根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表.分数60,80)80420)120,150)可能被录取院校层次专科本科自招(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取1人，求此人能被专科院校录取的概率；(2)在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用f 表示所抽取的3名学生中为专科的人数，求随机变量f 的分布列和数学期望.20.如图，三棱柱的底面力BC为正三角形，D是4B的中点，AB=6 0,平面44出 8 J_底面ABC.证明:平面DC _L平面4&B1B：(

8、2)求钝二面角B -CBi-&的余弦值.2 1 .在平面直角坐标系x O y中，椭圆C：捻+、=l(a b 0)的离心率为：，且过点(2,3).(1)求椭圆C的方程;(2)设4为椭圆C的左顶点，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线，交椭圆C于P,Q两点，连接A P,4 Q分别交直线 =日于M,N 两 点,若直线M R,N R的斜率分别为七,后，试问的心是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由.2 2 .己 知 函 数 人 乃=四 中 庄 巴，其中?n是常数，且弓是函数/(X)的极值点.(1)求m的值；(2)当x e (0,+8)时，求证：y =/(x)的图象恒在直线y =x的下方.绝密启

9、用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷九学校:姓名：班级：考号：题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、n两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2 B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第n卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一 单 选 题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知全集/=%6村+|2%所 以=2 i;所以，数列a 是周期为4的周期数列；所s A j Q i o=2 =i-1，故选B.3.函数/(x)=2增 的 图 象 如 图 所 示，则()A.

10、a 0,0 b 0,-1 b 0C.a 0,-1 b 0D.a 0,0cb 1【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数图象的应用，属于基础题.先由函数的对称性可得6 6(0,1)，再由函数图象可知当x趋向正无穷大时，f(x)趋向0,由指数函数的单调性，可得a 0,从而得到答案.【解答】解：函数/(X)=2噌 图 象 关 于 直 线 =对称，故0 b 1,又当趋向正无穷大时，f(x)趋向0,即函数在(b,+8)上为减函数，可得a 即 五+方=乙 则 有0+方)2 =(一再2,变形可得：有2 +石2 +2 1.1=1 2,则有 os。=一$又由o w e w兀,则。=拳故选：c.5 .双曲线C：

11、-冬=l(a 0,b 0),圆M：(x+3 +y 2 =4与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2,则双曲线的离心率等于()A.V 2 B.V 3 C.在 D.叱2 2【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线离心率的求法，考查数学运算的核心素养，属于基础题.直接根据圆的弦长公式求出圆心到渐近线的距离，从而建立关于a,h,c的方程，化简即可求得离心率.【解答】解：双曲线的一条渐近线a x-b y =0,圆的半径为2,圆M：(x+3)2+y2 =4与双曲线。的一条渐近线相交所得弦长为2,由条件知圆心(一3,0)到渐近线的距离d=厉=V3，从而4 =反=用=代，e=g,故选：B

12、.6 .函数)/=云 黄 的 图 象 大 致 为()【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的判断，一般从函数的定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性、单调性等排除法，特殊值法运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.利用函数的奇偶性即可判断选项C,由特殊的函数值/(-兀)的正负即可判断选项A,由XT+8时，/(%)的正负即可判断选项B,D,从而得到答案.【解答】解：设y=/(%)=合 署，则其定义域为(8,+8),则/(-X)-x-sin(-x)ex+e-xx-sinxex+ex=-fM，故函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故选项C错误;又一 兀)=一 就 号 0,所以/1(x)0,故选项D

13、错误，选项B正确.故选：B.7 .已知双曲线C 的左、右焦点分别是为F,F2,过 尸 2 的直线与C 交于4,8 两 点.若 丽=3 欧，|同|=|丽卜则C 的离心率为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线定义和简单性质，余弦定理以及数形结合的解题思想方法，考查计算能力，属中档题.由题意知过尸2 的直线与C 的右支交于4,B 两点，可设内8|=3 则|4 尸 2|=3 3|4 B|=43由双曲线的定义2a=I B F J -BF2 =t,由余弦定理得1 6 2 +9 产-2,4 口 34=4。2,解得c =t,即可求出双曲线的离心率.【解答】解：由题意得：过

14、 尸 2 的直线与C 的右支交于4 B 两点，可设尸2 8|=3 则|4 F 2|=3 t,AB=AFr =4t,由双曲线的定义得2 a =-AF2 =t,同理2 a =|B FI|-|B F2I=t，且|尸 20=t,所以=t+BF2=2 t.在 Z F i B 中，由余弦定理得c o s/F i A B =产=彳在A A F i F?中，由余弦定理得1 6 t 2+9 t 2 2-4 t-3 t 1 =4 c 2,解得c =t,o所以 2 a =t =c,所以C 的离心率为;=2.故选A.8.已知实数a,b,c E R,满 足 詈=/=-/1,则a,b,c 大小关系为()A.a b c B

15、.a c b C.b c a D.b a c【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，转化思想，构造函数，比较大小，属于中档题.由己知可得a 1，c 1),利用函数的单调性可得b i a 摄，构造函数%(x)=W，即可比较a，b大小.【解答】解：因为长=一，61,所以捺 0,0所以a c 则a 1,c 0,所以Q 1,即QC,对于函数f(x)=x -/n x(x 1),f(x)=l-i 0,可得“X)在(l,+8)上单调递增，所以 f(x)f(l)=l 0,所以，naa,即当 长，令函数=则 九 (乃=詈 0,当x 0,则八(x)在(一8,1)单调递增，当X1时，(x)0,则

16、M X)在(1,+8)上单调递减，可得h(x)的图象如下：1 a a c,故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9.已知x +y 0,且x -xy B.x Igy2 D.T+-y2,得到结果，对于0,由 已 知 利 用 基 本 不 等 式（+=（-9+（-3 0,则x -y,又因为x V 0,所以y 0；选项A,因为%y等价于 -y,故+yvo,矛盾，所以选项A错误；选项B,|%|0,满足条件，所以选项B正确；选项C,因为函数y =1 g%在（0,+8）上为增函数，所以l g%2 g

17、y 2等价于 2 y 2 ,则（x +y）（x -y）0,即x-y 0,不满足条件，所以选项C错误；选项D,由已知条件x y,又y 0,可知一1：0,所以（+=一 （一乡+（一号 a时，截口曲线为椭圆;当。=a时，截口曲线为抛物线;当9 y,P点在/?上的运动轨迹r是椭圆；p=Y，r是抛物线；w 3=y,根据题设条件可知P点在夕上的运动轨迹 是椭圆，故A正确；对B,同4可知r是椭圆，故B不正确；对C,因为W=y=%所以 是抛物线(半顶角45。=截而与轴夹角45。)，故C正确；对。，因为9=g?=y,所以r是椭圆，故D正确.故选：ACD.1 1.以下四个命题中正确的是()A.8道四选一的单选题，

18、随机猜结果，猜对答案的题目数X 8(8,0.25)B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1C.在某项测量中，测量结果f服从正态分布N(1Q2)9O),若 在(0,1)内取值的概率为0.4,则f在(0,2)内取值的概率为0.8D.对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判 断“X与y有关系”的把握程度越大【答案】ABC【解析】【分析】本题为基础定义类型题目，属于基础题.可以使用定义进行逐项判定即可得出结论.【解答】对于4 四选一的选择题中，猜对答案的概率为;，且只有对与不对，故满足二项分布.4所以8道四选一单选题中，猜对答案题目数X B(8,0.25)，故 A

19、正确；对于B.根据线性相关性的性质，可知，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数绝对值接近于1,故 B正确；对于C.在某项测量中，测量结果f 服从正态分布N(l,a2)(a 0),若f 在(0.1)内取值的概率为0.4,则6在(1,2)内取值概率也为0.4,故f 在(0,2)内取值为0.4+0.4=0.8,故 C正确；对于。.根据分类变量的性质，可知，对分类变量X 与丫随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与丫有关系”的把握程度越小，故 D错误.故选：ABC.1 2.在 ABC中，角4、B、C的对边分别为a,b,c,且a=2,sinB=2sinC,则以下四个命题中正确的是()A.满足条件的

20、 ABC不可能是直角三角形B.ABC面积的最大值为gC.已知点M是边BC的中点，则祈汗 丽 的最大值为3D.当4=2C时，若。为AABC的内心，则AOB的面积为由匚3【答案】BD【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，考查数量积，正弦定理以及余弦定理的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想体积计算能力，属于较难题.判断三角形是否可能为直角三角形判断出求出轨迹方程，然后求解三角形的面积的最大值判断B；求出4 的轨迹方程，判断福福的最大值判断C：通过两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理，转化求解AAOB的面积判断D即可.【解答】解：对于4：a=2,sinB=2sinC,即b=2 c,设b

21、=23 c=t,由4+2=4产，可得3满足条件的 ABC可能是直角三角形，故 A错误；对于B：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，BC中垂线所在直线为y轴，可得B(-l,0),C(l,0),sinB=2sinC,可得b=2 c,则B C,设4(m,n),可得 1)2+必=2y/(m+I)2+n2.化简得m?+n2+y m +1=0,化为(m+1)2+n2=()2,则4 的轨迹为以(一|,0),半径为3的圆，可得4BC的面积的最大值为:x 2 x g =(故 B正确；对于C：a=2,sinB=2sinC,即b=2 c,点M是边BC的中点，建立如图直角坐标系，设A(x,y),且y M 0,

22、贝 lj+1)2+y2=2J(x 1)2+y2,可得A的轨迹方程为：(x-$2 +y2=g(y 4 0),则圆心(|,0),半径为%则 而 丽 的 最 大 值 为 3,因为y K O,所以C错误：对于D：v a=2 sinB=2sinC,A=2 C,可得8=TT 3C,由正弦定理可得：6=2c,由s i n（7 T 3 C）=2smC,可得：sinCcos2C+cosCsin2c=2sbiC,由s i n C W 0,可得：4 c o s 2。-1 =2,解得：c o s2C =p 故c o s t =,sinC=可得=2sinCcosC=2 x-x =,2 2 2 2由a=2 可得：c =b

23、=则Q+b +c =2 +2 /5，3 3c 1.1 4/3 2y3 y/3 273SABC=-bcsinA=-x x Xy=设 A B C的内切圆半径为R,则R=2Sg职=登 箜=咨a+b+c 2+2V3 3B0=1c/?=ixx=,故 D 正确.故选：BD.第n卷(非选择题)三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3 .写出一个能说明“若 函 数 的 导 函 数 f (乃是周期函数，则f(x)也是周期函数”为假命题的函数(%)=.【答案】/(x)=sinx+x【解析】【分析】本题考查函数求导以及函数的周期性，属于基础题.举例/(x)=sinx+x,则/()=cosx+1

24、是周期函数，利用函数周期性证明f(x)不是周期函数，得到答案即可.【解答】解：/(%)=sinx+x,则:(x)=c o s x +l,其最小正周期为2 k，是周期函数，而+7)=s i n(x +T)+x+T 丰/(x),(T W 0)所以/(x)不是周期函数.所 以“若函数f(x)的导函数f(x)是周期函数，则f(x)也是周期函数”为假命题，故答案为：f(x)=sinx+x.1 4 .已知数列 6 的首项由=1,前n 项和为男,且满足2 册+1 +S”=2(n G N*),则Q 4 =.【答案】：【解析】【分析】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，主要考

25、查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出结果.【解答】解：数列 an 的首项由=1,前n 项和为无,且满足2 a n+i+S n =2 ，当nN 2 时，2 a n +S”_ i =2 ，得：2 册+1 2an+an=0故 乎=n?2),an/当？1 =1 时,2 a 2 +1 =2,则02 =5即言=所以数列 a n 是以1为苜项，为公比的等比数歹小所以a n =1x(广=(广，所以。4 =G)3=故答案为：O1 5 .若。+2 7 2 2 =劭+a +。之/+。2 0 2 2%2 0 2 2,则g +%+。4+。2 02 2被4除得

26、的余数为.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查利用二项式定理证明整除问题，赋值计算，体现转化的数学思想，属于中档题.分别令=1%=1，可得+。3+。2 02 2和。0+。2 02 2 的值，进而可得的+。2 +02 02 2的值，再运用二项定理展开，除以4得到余数，即詈除以4的余数即是所求结果.【解答】解：由(%+2)2 02 2 =a。+arx +a2x2 H-F a202 2x20 22令X =1,可得。0+%+%1-b。2 02 2 =32 02 2,令 =1,可得。0 1 +。2 。3+。2 02 2 =1，两式相加除以2,可得劭+电+。4+a20 2232022+191 01 1+

27、1 _ (8+1)1 01 1+122-2=C，O II8K HI+GO II81()I+-+C 8+1+12 分子中，除了最后2项外，其余各项都能被8整除，故。0+02 +。4 +2 02 2除以4的余数，即 工”除以4的余数为1,故答案为：1.1 6 .已知函数/(%)=(s i r i 3x)2+/山2 3 0,3 R),若/(%)在区间(区2兀)内没有零点，则3 的取值范围是.【答案】(4 1u E41【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质、不等式的解法与应用问题，考查推理与计算能力，属于中档题.整理解析式，由/(x)=0,可得s i n(2“x -=0,由f(x)在区间(m2兀

28、)内没有零点，利用k为整数，求解不等式组,进而求出3 的取值范围.【解答】解：函数/(%)=(sina)x)2+s i n 2 a)x 1=-(1 cos2a)x)4-s i n 2 t o x -1 1=-sin2a)x-c o s2a)x=y s i n（2 a x ：），由/（x）=0,可得s i n（2 o）x-g）=0,解得工=亨 1 任（,2T T），因为f （x）在区间（兀,2 兀）内没有零点，所以 之兀，即f 2兀，解得2 z c o 2又因为3 0,所以令兀 竺 2 兀，k e z；2 3解得：+23 +,k e z；当k =0时，3 七 当k =l 时，3（2,|）;所以有

29、解时3 的取值范围为信*）U （卷，3因为f（x）在区间（兀,2 兀）内没有零点，所以3 的取值范围是（0,全 U故答案为：（0,3 呜却四、解答题：本题共6小题，共 7 0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 7.在 任上+空+1=三，（a+2 b）co s C +cco s Z =0,V as i n d署=cs i n 4 这三个条件中任选一个，补J s m B s i n 4 ab 2充在下面的横线上，并解答.在 A BC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且_ _ _ _ _ _ _ _ _ _（1）求角C 的大小;(2)若 =V 7,s i n A s i n

30、 B=求 4 8 C 的面积.【答案】解：（1）选择条件由 也+随+1 =及正弦定理，可得：+2+i=q,s i n B s i n?!ab b a ab则 a?+h2 C2=ab,由余弦定理，得C O S C =a%/-ablab1一,2因为0 V C T T,所以C =,选择条件由(Q+2 h)co s C +ccosA=0 及正弦定理，可得(s i n 4 +2 s i n B)co s C +s i n C co s A =0,即s i n 4 co s c+co s A s i n C =2 s i n Fco s C,即 s i n(4 +C)=2 s i n Bco s C,在A

31、BC中，A+B+C=兀，所以sin(A 4-C)=sin(7r-B)=sinB,即 sinB=2cosCsinB,因为B为三角形内角，所以sinB H 0,所以cosC=-%因为0 V C V 7 T,所以。=家选择条件由百asing=csirtA及正弦定理，可得JsinAsing=sinCsin/l,因为sin4#0,所以g s in =sinC,在48C中，A+8+C=TT,可得gin4,B=gin肚=coeg,2 2 2故 75cosc _ 2sin-cos-,2 2 2因为0，三角形面积公式的计算S=：absinC,求出ABC的面积.1 8.已知等差数列 5 和等比数列%满足%=5,&

32、=2,a2=2b2+l,a3=b3+5.(1)求 d 和 匕 的通项公式;(2)数列 即 和%中的所有项分别构成集合4、B,将集合4 U B中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 d，求数列%的前50项和Sso.【答案】解：(1)设等差数列%的公差为小等比数列 b 的公比为q,J 5 +d=2 2q+1-rzn,由n 2 r,可得4=2，d=4，(5+2d=2q“+5，an=4n+1,=2n；(2)当%的前50项中含有 bn 的前7项时,令4几 +1 27=1 2 8,可得？1 一,第32项为 128,4当 cn 的前50项中含有%的前8项时,令4n+1 28=2 5 6,可得n 烟，可

33、得第50项为256.4则 d 的前50项中含有 5 的前7项旦含有 斯 的前43项,c r.4 3 x4 2 4、.2(1-2 7)550=(43 x 5 4-2-x 4)+=4081.【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.(1)设等差数列 an 的公差为d,等比数列 当 的公比为q,由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出 b,J的通项公式；(2)推得 7 的前50项中含有出n 的前7项 且 含 有 的 前 43项，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出S5。.1 9.某普通高中为了解本校高三年级学生

34、数学学习情况，对期末考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计(该校全体学生的成绩均在60,150)，按下列分组60,70),70,80),80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140),140,150作出频率分布直方图.如图，样本中分数在70,90)内的所有数据是：72,75,77,78,81,82,85,88,89.根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表.分数60,80)80420)120,150)可能被录取院校层次专科本科自招(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校

35、高三年级学生中任取1人，求此人能被专科院校录取的概率；(2)在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用f 表示所抽取的3名学生中为专科的人数，求随机变量f 的分布列和数学期望.【答案】解：(1)由题意知分数在70,80)的学生有4名,又由图知，频率为：0.008 x 10=0.0 8,则：7i=?=50,能被专科院校录取的人数为：50 x(0.004+0.008)x 10=6人抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：捺=*二从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的率为高.(2)选取的样本中能被专科院校求取的人数为6人成绩能过自招人数为:50

36、X(0.012+0.004+0.008)x 10=12人,乂随机变量f 的所有可能以值为0，1.2,3,.m 或翼2 _ 220 _ 55 C lc l2 _ 396 _ 33 一 )一 直 一 赢 一 戏 一 高 一 胡 一 定C lC2 180 15 C i 20 5P代=2)=不 一=市=而;%=3)=尸=布=而;Cf8 o J L o Oo。8 o J L O NU4二随机变量6的分布列为:0123P5520433681568520455 33 15 5.)=0 x-+lx-+2x-+3x-=1.【解析】本题考查频率直方图得应用，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，对立事件概率计算

37、公式，排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.(1)由题意知分数在 7 0,8 0)的学生有4名，又由图知，频率为：0.0 0 8 x 1 0 =0.0 8,则：n =-=5 0,即可得解；0.08(2)选取的样本中能被专科院校求取的人数为6 人，得到成绩能过自招人数为1 2 人，又随机变量 的所有可能以值为0,1，2,3,分别得到其概率，即可得到随机变量f 的分布列，从而得到数学期望.2 0.如图，三棱柱力的底面Z B C 为正三角形，。是4 B 的中点，AB=6 0,平面人为当_ L底面A B C.(1)证明：平面1 平面4 4 1 B 1 B；(2)求钝二面角B -C B i

38、的余弦值.【答案】(1)证明：因为三棱柱4 B C-&B 1 C 1 的底面4 B C 为正三角形，。是4 B 的中点，所以C D 1 4 B,又在三棱柱A B C-48传1 中，=AABB1=6 0 ,则三角形A B 名为等边三角形，所以1 AB,因为C D CBiD =D,且C D u 平面BtD u 平面B/C所以AB，平面&D C.因为A B u 平面所以平面/DC，平面人口中；(2)解:因为平面A A/i B _L 底面A B C,平面C 底面4 8 c =AB,BD 1 AB,所以1 底面A B C.故以。为坐标原点，D B,D C,所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间宜

39、角坐标系。-xyz.设A B =2,则4(一 1,0,0),B(1,0,0),C(0,V3,0).8 式0,0,7 5),则 前=(-1,百,0)，BC=(0,V3,-V3).BA=BA=(-2,0,0).设平面B C B i的法向量为五=(%i，yi，Z i),平面C B 1&的法向量为4=(X2,y2，z2)-.出。得 思 L忌 L 0 取 小=。飒=(V3,U)；1 n。得*=M 取为=1,得 荻=(0,1,1).-BtC=0,W 3 y 2 V3Z2=0,石济一的运rllkrl=高落=云=粤，由图知二面角B-CB1 是钝二面角，所以二面角8-CBi 4 的余弦值为一手.【解析】本题主要

40、考查线面垂直、面面垂直的判定以及利用空间向量求二面角，属中档题.(1)利用线面垂直证明SB 1平面为D C,再由AB u 平面A A/iB 得到面面垂直；(2)由(1)证明，底面4 B C,以D为坐标原点，DB,DC,)/所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-x y z,利用法向量，求解二面角即可.2 1.在平面直角坐标系工Oy中，椭圆C：+，=l(a b 0)的离心率为：，且过点(2,3).(1)求椭圆C的方程;(2)设4 为椭圆C的左顶点，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线，交椭圆C于P,Q两点，连接4P,42分别交直线x=日于M,N两点，若直线MR,NR的斜率分别

41、为心,心，试问幻心是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c,椭圆的离心率为也即=5 .!=2c,二 b2=a2-c2=3c2,所以椭圆。的方程为三+m=1,4c2 3c2代入点(2,3)得 京+5=1，得c2=4,椭圆C的方程为江+=1；16 12(2)设 P(Xi，y)Q(X2，y2)，由题意知直线PQ斜率不为0,设其方程为x=my+3,由 行+卷=1,lx=my+3得(3m2+4)y2+18my-21=0,(3,0)在椭圆内，则4 0 恒成立，18m 21.乃+旷2=许 乃 九=际 y y由A,P,M三点共线可知，g=Q:,所以VM=g 热，同

42、理可得y N =g 含;3 X2 十，rrrIj,匕 _ YM*VN-9 VMVN所以-i r-X i s-7 T-3 J 勺？16 y ly 2(X1+4)(X2+4),因为 QI+4)(2 +4)=(m yr+7)(my2+7)=巾2 y ly 2 +7m(y1+y2)+4 9,16 x(；)所以k1k2=16 y ly 2m2y1y2+7m(y1+y2)+49 m2x il5)+7 mx(5)+4 9127故自心是定值，为-,【解析】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线与椭圆的联立以及定值问题，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于较难题.(1

43、)运用椭圆的离心率公式即:=(和椭圆过点(2,3),解方程可得椭圆方程；(2)设P(%i，y i),0,万(,兀)时，f(x)0),只需证g(x)0 即可，因为令八0)=3磬-1,则/l(x)=2 sin x-2 c osx-i _ 2 您sin(x-1)-l.当x 6(0 1时，h M o 0,g (x)单调递减，所以 g (x)g (0)=l-l=0,所以g(x)在(0申上单调递减，所以g(x)0)所以当 e&+8)时，/(x)m a x=/(x)x恒成立，综上，/(X)X恒成立，所以y =的图象恒在直线y =X的下方.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式恒成立的证明，考查逻辑推理与运算求解能力，属于较难题.(1)求出导函数(x),由/(=0,求出m,并验证，即可得解；(2)令g(x)=/(x)-x,利用导数可证得x G(0序 时，g(x)0恒成立，当x G,+8)时，分析可得/机g=p即可证得/(x)x恒成立.