山东省济南市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（B卷）（解析版）.pdf

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1、山东省济南市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（B 卷）一、单项选择题：（本大题共8 小题；每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的）71.已知，-=1 +6,其中a e R,i 为虚数单位，则“=（1 +;A.-1 B.1 C.-2D.22(D(1+0(1-0R解 析=l-i =l+ai则 a=-l.K答 案 A2.为宣传城市文化，提高城市知名度，我市某所学校5 位同学各自随机从“的突腾空”、“历山览胜”、“明湖汇泊”三个城市推荐词中选择一个，来确定该学校所推荐的景点，则三个推荐词都有人选的概率是（）A.丝 B.型 C.I L D.二81

2、 81 125 125K解 析设三个推荐词都有人选为事件A,基本事件总数为35=243,事件A 包含两种情况,5 位同学分为1,1,3 三组，为:qC.A；=60,5 位同学分为2,2,1 三组，为禺=90,A；事件A包含的基本事件数为150,则三个推荐词都有人选的概率是P=243 81K答 案 X A3.已知 AABC 中，7sin2 B+3sin2 C=2sin2 A+2sin Asin BsinC,A.典10B.Violo-则 cos(A-)=()4D.侦5K解 析 H 7sin2 B+3sin2 C=2sin2 A+2sin Asin Bsin C,十口 f 2/2 c 2 ,2 7/

3、?2+3c2-2/?csin A由正弦定理可得：7/r+3c=2cr+2仪?sin A,z.a=-2又 2+E 7 +3,2=n A=/+-2/,ccosA ,“、L 5Z?2 4-c2 5b c、化为：2(sin A-2cos A)=-=一+一.2,be c b警=2 5当且仅 当 及=c 时取等号.2忑即 2 6$出(4-。).2石，其中 tan6=2,sin8=COS6=A.即 sin(A-6).1 ,又 sin(A-0,1 ,/.sin(A-0)=1.jr jr:.A-0 =-2 k;r,即 A=e+2 +2Z,k e N .2 2/.sin(A+)=sin(6?4-+2ATT)=co

4、s(9+)=争8 s 岭 皿=条(专 一 言=需.,A Q 九、c i z 4 冗、J l。cos(A?)=cos(?A)=sin(A+)=-4 4 4 10K答 案 H B4.函数/(x)=sin(3x+e)(0 O,O e 0)个单位长度后，K解 析 11由图象知，T=-y =7 i,即 生=乃，得 0 =2,6 6 3由五点对应法得2x(-2)+夕=0,得 9=工，则f(x)=sin(2x4-)，6 3 3将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变)，得至ljy=sin(4x+q),再向右平移。(6 0)个单位长度后，得到 =皿 4(%-。)+2 =&口(4X+。一 4。)，

5、此时所得到的图像关于原点对称，即至-46=0，k e Z,3则。=三一”，k e Z ,12 4.当无=0时，。取得最小值为二.1 2K答 案H C5 .已知一组数据：%,x2,&的平均数是5，方差是4,则由2玉+1,2 x2+1 ,2七+1和1 1这四个数据组成的新数据组的方差是（）A.1 6 B.1 4 C.1 2 D.1 1K 解 析 由已知得 N +%+毛=1 5 ,（%-5）2+（工2-5）2+（玉-5）2=1 2,则新数据的平均数为:（2玉+1 +2毛+l +2 x,+l +l l）=l l .所以方差为：:（2%+1-1 1）?+（2+1-1 1）?+（2毛+1-1 I f+（1

6、 1-1 1）?=1 2.K答 案H c6 .如图是世界最高桥贵州北盘江斜拉桥.如图是根据如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆R 4,PB,P C,电的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A,B,C,。与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知 A 8=8w,80 =1 6?，PO=2 m,PB PC=0.根据物理学知识得-(PA +PB)+-(PC+PD)=2 PO,则 8=()2 2A.2 8 z B.2 0帆 C.3 1 mD.2 2?K解 析H由2（胡+尸方）+1（方+所）=2尸。，2 2则+丽-2丽 碇+而-2两=2可，即 砺+砺+说+历=6,

7、2 2又已知/1 5=8/，B O =1 6/j 2,PO=2 m,PB PC O,则 O A =2 4,0 8=1 6,OC=9,即 8=3 1,则 CD=3 1 9=2 2.K答 案 D7.已知长方体A B C O-A A G A中A B nA A,=4，BC=3,M为A 4t的中点，N为G O的中点，过 片的平面a与。M,4 N都平行，则平面a截长方体所得截面的面积为（）A.3后B.3而c.45/22D.5N/T TK解 析 设E为CG的中点，F为CD的中点，连 接 做，BE,EF,AF,则 EF/CQ 又 C Q/A B,所以 E/L/AB-所以E,F,A,B1四点共面，四边形Ag所为

8、过点用的平面截长方体A fiC O-44G q所得的一个截面四边形.设为8旦的中点，连接M”，CH,因为M 为 A4,的中点，所以 M/A8/DC,MH=AB=DC,所以四边形CDMA为平行四边形，所以DM/CH,因为 C E/H 4，CE=HB,所以四边形CH8为平行四边形，所以4 E/C H,所以O M/BE，又。0仁平面AgEF,q E u平 面 做E F,所以 “/平面世 所，连接4 N,FN,因为N为G。的中点，尸为C的中点，所以 FN/DDJ/怏,FN=DD、=朋,所以四边形例NE为平行四边形，所以AN/A尸，又A N C平面A4印，A Fu平面所以平面AB1F.所以平面AgEF为

9、过4且与ZW,4%都平行的平面a,则四边形AgEF为过点片的平面a截长方体ABC。-4 4 G A所得截面四边形，又 AB、=CQ=J16+1 6=4 7 0,EF=-Q D =2y/2,AF=B、E=0 且 0,若工+工的最小值为3,m n则正数f 的值为（）A.2 B.3 C.-D.3 3K解 析 .点O 是线段3 c 上的点，且满足|0。=3|0 川，.丽=4 肥=(林 一 丽),4 4 .A d =A B+B d =A B+-(A C-A B)=-A B +-A C,4 4 4又A B=m A E ,A C =nA F,其中帆0 且 0,A O -A E+-A F,4 4E、。、尸三点

10、共线，3/H n.+=1 ,4 4故，+=让+3(网+3,(3 +/+网+巴)1(3 +/+2技)m n/?n 4 4 4 n m 4当且仅 当 网=4,即”=打?时，等号成立，n m故,(3+/+2/37)=3,解得 t=3.4AK答 案 U B二、多项选择题：（本大题共4 小题；每小题5 分，共 2 0 分.每小题有多个选项符合题目要求.全部选对得5 分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9.从含有3 道代数题和2 道几何题的5 道试题中随机抽取2 道题，每次从中随机抽出1 道题，抽出的题不再放回，则（）A.”第 1 次抽到代数题 与 第1 次抽到几何题”是互斥事件B.“第 1 次抽到代数

11、题”与“第 2次抽到几何题”相互独立c.第 1 次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是a1 0D.在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是,3K解 析 U对于A,“第 1 次抽到代数题”与“第 1 次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，为互斥事件，故 A正确，对 于 B,“第一次抽到代数题”发生时，“第二次抽到几何题”的概率是工，2“第一次抽到代数题”不发生时，“第二次抽到几何题”的概率是1,它们不独立，4故 B错误，对于C,第 1 次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是3 x 4 =2,故 C 正确，5 2 1 0对于D,抽取两次都是几何题的概率为2x1=,因此有代数题的概率是1-

12、工=2,5 4 1 0 1 0 1 0在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是（答 案 U A C Di o.在棱长为1 的正方体中，已知E为线段8 c 的中点，点厂和点P分别满足。尸=2 c；，D =D/,其中3/G 0,1 J,则（）A.当4 =，时，三棱锥P-EF D的体积为定值21-3-3一109一10B.当=，时，四棱锥尸-A 8C D的外接球的表面积是公2 47 IC.若直线C P与平面A8CD所成角的正弦值为(，则=(D.存在唯一的实数对()，使 得 平 面EFPK解 析U对于A,当几=；时，F是R G的中点，连接B C,与交B C 于点、E,则 为 8G 的中点，.M/B。

13、，.8。/面 EED,又点P 在 B D 上,.点P到面E7Z)的距离为定值，三棱锥尸-E阳 的 体积为定值，故A正确；对于B,当=；时，点P为8。的中点，设四棱锥P-A B C D的外接球的半径为R ,则球心。在P M延长线上，由OP=R,得OM=R=!，2由 O +C M2=OC?,W(/?-)2+()2=/?2.2 2解得R=3,.外接球的表面积为2万，故B正确；4 4对于C,连接班),过点P作尸M_L3于连接C M,BB、1 平面 A B C D,平面 B D D、4 J.平面 A B C D,平面 BDD,4 C 平面 A B C D=3。，.PM _L 平面 A B C D,N P

14、 C M为C P与平面ABCD所成角，BM=y/2(-p),PM=1-,在4W B中，由余弦定理有GW=j2(l )+2_1,在RtACPM中由勾股定理有PC=j3(l-y+2 _ i,sin ZPCM=PC1 M3(1 +2/J-1211 ,解得=：,故C正确.对于。，.点尸在。G，上，又E在8 G上，P在B R上,平面P E F即为平面BCtDtA,又易证4 c 1平面BC.D.A,8 c是平面B G R A的法向量,.欲。尸，平面EF P,须 与 丽 共 线,即 须 耳;与 丽 共 线，显然不可能,不存在实数对(4)使得DP，平面EFP，故 D错误.K 答 案 2 A B C1 1.已知

15、函数/0)=5 亩(“优+9)(0 0,e c R)在区间(-，一)上单调，且满足1 2 6有下列结论正确的有()A.樽)=0B.若/(2 _ x)=/(x),则函数/(x)的最小正周期为乃6C.关于x 的方程/(x)=l 在区间 0,2万)上最多有4个不相等的实数解D.若函数f(x)在区间 女，史)上 恰 有 5个零点，则 的取值范围为(,3 3 6 3K 解 析 A,.(左,组)U (卫,包)，(x)在(左,9)上单调，1 2 4 1 2 6 1 2 47 7 r 3)又瑶)=寸苧耳专樽)=。故 A正确;B,区间(卫,2)右端点x =2关于 =上的对称点为x=-,1 2 6 6 3 2 争

16、=0 (x)在(卷序)上单调,3 1 2 o根据正弦函数图像特征可知f(x)在(生，组)上单调，2 6当-g =g,=：二(T 为/(x)的最小正周期)，即|0|,3,6 2 3 2 2 a5 4又 6 9 0,/.0 6 ,3 .若/(-X)=f(X)96则/(x)的图象关于直线x 若 对 称，结合f 号)=0，徂 2乃5 471 2Z +1 2攵+1得-=-T=-兀*G z),3 1 2 4 4 2即 0 =2A +l（A:e Z）,故左=0,3=2,T=兀,故 B 正确.O r rC,由0 q,3,得T.r y,.（X）在区间 0,2万）上最多有3个完整的周期，而/（刈=1在1个完整周期

17、内只有1个解，故关于X的方程/（x）=l在区间 0,2外 上最多有3个不相等的实数解，故C错误.D,由/（二）=0知，至 是函数f（x）在区间 二，巫）上的第1个零点，3 3 3 6而/（x）在 区 叫 女，臣）上伶有5个零点，则27臣-生,，卫，3 6 6 3 2结合T =冽，得当 电，又0 ,3,6 9 3 3.0的取值范围为（*3 ,故D正确.K答 案H A B D1 2.已知等边三角形A 3 C的边长为6,M,N分别为A B,A C的中点，如图所示，将A4W沿MN折起至 A M N,得 到 四 棱 锥 则 在 四 棱 锥A-M N C B中，下列说法正确的是（）A.当四棱锥4-M V

18、C 8的体积最大时，二面角A-MN-8为直二面角B.在折起过程中，存在某位置使8N _ L平面A W CC.当四棱锥4-M N C B体积的最大时，直线A B与平面M N C 3所成角的正切值为上7D.当二面角A-MN-3的余弦值为时，A N C的面积最大3K解 析 如图，取MN中点F,易得AF L M N,由于四边形3 C M W的面积为定值，要使四棱锥A-M V C B的体积最大,即高最大，当46，面以7/加 时，此时高为4F最大，二面角A-MN-8为直二面角,A 正确;若 8N_L 平面 A N C,则 BN J_ A W,又 BN =五 一 3=3 瓜 A:N=3,则 AB=-JAN2

19、+NB2=6，又AB=6,A 8 j_ 8 C,且五。=3 叵，2故 BF=yBD2+D F2=卜 2 +（手 产=亨，3百又 A F _ L M,故 tanNABF=Z =叵，C 正确；BF 2 1如图，取 中 点 尸，易得A F _L M V,取 BC中点。，易得F D L M N ,故 4V F7)即为二面角A-M V 8 的平面角，即cosNA/=1,3故 Ar2=AF2+D F2-2A F)Q cosZ A F r,又 AF=F=迪，解得 AO=3,2又 A 3=AC,A D Y B C,故 Q=厅+D C。=3),1g又 K N =C N =3,此时 AWC为等腰直角三角形，面积最

20、大为ANNC=,故 D 正确.2 2K答 案 X ACD三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.已知向量1=(4-3),6=(1,4).若 m+b)_L。，则/=K解 析 H v a+b=(2+1,2-3),(+0j_L。，(+/?)-b=2+l+(2-3)/l=0,解得;1=1.R答 案 H 114.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5 个白球、5 个红球，乙箱中有8 个红球、2 个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5 或 6,从甲箱子随机摸出1 个球；如果点数为I,2,3,4,从乙箱子中随机摸出1 个球.则摸到红球的概率为.K解 析 X 掷到点数为1,

21、2,3,4 的概率为&=2,从乙箱子摸到红球的概率为&=6 310 5掷到点数为5,6 的概率为2=1,从甲箱子摸到红球的概率为=，6 3故摸出红球的概率P=2*+_L*_L=Z3 5 3 2 1010 2K答 案-1015.已知三棱锥2-他。的四个顶点在球O 的球面上，且满足条件R4=3,PB=4,P C =5,Afi=5,AC=J ,8C=T，则球O 的表面积为.K解 析由题意可知，PA=3,P B=4 AB=5,可得尸+PB?=AB?,所以乙4P8=巳，即2同理可得，P A Y P C,PB PC,以点P 为一个顶点，PA,PB,PC 为三条相邻棱，构 造 长 方 体 归-CEFG,E

22、F由于点P,A,B,C 都在球O 的球面上，显 然 长 方 体%CENG内接于球O,其对角线P F 长就是球O 的直径，所以2R=，32+4?+52=回=5&,=辿,2所以球O 的表面积5=4万炉=4zrx”=50乃.K答 案 2 50万16.已知A、B、C 为AA8C的三内角，且角A 为锐角，若 tan8=2 ta n A,则一 一+!tan B tan C的最小值为K解 析 在 AABC 中，tanC=tan(A+8),1 1 1 1 1 1-tanAtanB1 =-=-，tan 3-tanC-tan 5 tan(A+B)tanB tan A+tan B.tan8=2tan A，1 1 -

23、tan 71 tan B 1 -2 ta n2 A 1 2 tan A-=-=-1-tan B tan A+tan B 2 tan A 3 tan A 6 tan A 3：A 为锐角，/.tan A 0,1 2tan A _/tan A 2 tan A 2-+.2 J-,6 tan A-3 V 6 3-3当且仅当短=誓即皿人4时等号成立11-1-tan B tan C的最小值为2.3K答 案-3四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知A4BC中，角 A,B,。所对的边分别是Q,b,c ,向量/=(b +a +c,6 b),H=(6

24、c,b -a +c),m =(b +a +c9 V3Z?),n=(/3c,b-a +c)，且玩/斤.(1)若 加=3成，4)=1,求&46。面积的最大值.；(2)若 AABC为锐角三角形，且 =3,求 AABC周长的取值范围.(1)解：因为玩/万，所以 S +a+c)S a+c)3bc=0=/+。2/=Z?c,由余弦定理可得：c os A =-f而OVAVTF,所以A=工，2 37JD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-A C,4 4 4 4-2 1 3,-2 9-1 ,2 3.-A D =(-A B+-A C)2=A B+A C +-A B A C4 4 16 16

25、 8=4 1 而 f+-|A C|2+：|通 II 尼 Icosg,lo lo O JI n 3 c2+Z 2+b e=1 即+9 b2+36 c=16,16 16 16KU c2+9 b2.6 b c,当且仅当 c=3b时 取“=c2+9 b2+3hc.9 hc =l 6,当且仅当 c=3A时取“=”，:.b e,，.二 AABC 的面积 S=L c sin =/?G,生叵，9 2 3 4 9故当c =3 6时，A A B C面积取得最大值为勺叵.9(2)解：由正弦定理得也=-=28，s i n B s i n C yj3T所以=2 6s i n B,c =2 s i n C ,贝！J b

26、+c =2 G s i n B+s i n(斗-8)=2V 3(s i n B+等c os 8 +；s i n 8)=6s i n(B +看),TC0 B-因为A 4 B C是锐角三角形，所以 2，:.土 B 土,则2 3+2 竺，八 2 1 n l 6 2 3 6 30-B 2,.派甲参赛获胜的概率更大.9 20(2)由(1)知，设。=甲 赢 得比赛”，D=乙赢得比赛”,-5 4 9 11v P(C)=l-P(A A)=l-=-,P(D)=1-P(B1B2)=1-=,于是C|jo=两人中至少有一人赢得比赛”，.-4 11 34P(C|J。)=I-P(CD)=1 -P(C)P(D)=1 -x

27、=.19.(12 分)如图 1,在平行四边形 中，43=2,AD=3+,ZABC=30,A E Y B C,垂足为.以AE为折痕把AABE折起，使点8 到达点P 的位置，且平面B4E与平面 AC所成的角为90。(如图2).图1图2(1)求证：PELCD-,(2)若点F 在线段PC 上，且二面角F 一 AZ5-C的大小为30。，求三棱锥尸-ACD的体积.(1)证明：.平 面 与 平 面 AECD所成的角为90。，平面 平面 AEC,平面 R 4 C 平面=又 PE L A E,P E u 平面 R4E,.PE_L平面 AEC,C D u平面 AECD,:.P E工CD.(2)解：.,PE_L平面

28、 AEC,.-.PEA.AE,PEA,CE,-,-EAVEC,：.EA,EC,EP两两垂直，以E 为坐标原点，以E 4所在直线为x轴，EC所在直线为y 轴，砂所在直线为z 轴，建立在 RtAABE 中，/W=2,ZABE=30,：.A E l,BE=C ,:.CE=2 6，D(1,3 6,0),C(0,2也,0),P(0,0,扬，A(l,0,0),PF=APC,(xf.,yF,zt.-/3)=A(0,2 6 ,-G),F(0,2&,V 3-V 3 2),设平面A E D 的一个法向量为元=(x,y,z),A D =(0,3 ,0),A F =(-1,2+入,V 3(l-2),”-A )=3 6

29、 y -0(n-A F-x+2 拒入y+A/3(1-2)z =0取 z =l,得为=(6(1-2),0,1),平面ACO的一个法向量沅=（0,0,1）,.二面角F ADC的大小为3 0。,c os 3 0 =.1=,解得彳=2,：.PE=y/3,I 沆 I 问 J3d+1 2 3F到平面A E C D的 距 离 为 述，SMCD=工x 36 x 1 =主叵，2 2 2三棱锥 FA C D 的体积为：VF AC D=-x x =-F A C D 3 3 2 220.（12分）以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在5 0 4 00h M 之间，进行适当

30、分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中x 的值；（2）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；（3）从用电量落在区间 3 00,4 00）内被抽到的用户中任取2 户，求至少有1户落在区间 3 5 0,4 00）内的概率.解：（1）由（0.0004 +0.0008 +2 x+0.003 6 +0.004 4 +0.006）x5 0=1 ,得 x=0.002 4,（2）平均值（0.002 4 x 7 5 +0.003 6 xl 2 5 +0.006 xl 7 5 +0.004 4 x 2 2 5 +0.002 4 x 2 7 5 +0.0008 x3 2 5 +

31、0.0004 x3 7 5)x5 0=18 7 ,用电量落在区间 5 0,2 00)的频率之和为(0.002 4 +0.003 6 +0.006)x 5 0=0.6 ,中位数落在区 15 0,2 00),设中位数为，则0.002 4 x 5 0+0.003 6 x 5 0+0.006 x(-l 5 0)=0.5 ,解得a=18 3.3 .(3)易知用电量落在区间 3 00,3 5 0)的用户有4户，用电量落在区间 3 5 0,4 00)用户有2户，记事件E=“至少 有 1 户落在区间 3 5 0,4 00)内”.从A，4,A&,打 中这6个元素中任取2个元素共C；=15 个基本事件，事件E 共

32、 9个基本事件，:.P(E)=尚=(，即至少有1 户落在区间 3 5 0,4 00)内的概率为:2 1.(12 分)已知向量。=(2 sin9,sin，+cos。)，b=(cos 0,2-tn),函数/(6)=d d.(1)当m=0 时，求函数/)的值；(2)若不等式/(。)+-2 m-3对所有6 e 0,生 恒成立，求实数机的范围.sin 0+cos 0 2解：(1)-ab=2 sin6 cose +(2-M(sine +cose),当=0 时,/()=2 sincos +2(sin +cos)=2 x x +2 x(+-)=+1.6 6 6 6 6 2 2 2 2 2(2),/(sin+c

33、os0)2=l +2 sin6 cos。,/.不妨令/=sin6 +cos6,则 2 sin cos0=/2-1 ,此时，=sin6 +cose =/5 sin(e +?),.夕 0,+.，V 2 ,2 4 4 4.原问题等价于不等式/-1 +(2-加,2?-3 对所有r G 1 ,血 恒成立，t74t+2 t H z w(r +2)2 ,t/+2，+2 ，+2)+(2 +，)2f+2 0,in -=-=f H，f+2 +2 t+后=2a,当且仅当/=：,即/=加 时，等号成立，止 匕 时 任+力 的=2 0,m/平面AEC；(2)解：由题意，底面ABCZ)为等腰梯形，作AGLBC于点G,由于

34、 BC=2A8=2AO=6上，则 8G=迪,CG=迪,AG=勿 夕 -AG2=也,2 2 2以AG,A D,所 在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,/=(孚孚。)，通=(祟率令，南=(0,6&,0),丽=(一 手，/),设平面A E C的一个法向量为n=(x,y,z),平面P B C的一个法向量为m =(a,b,c),则屈 2/n AE=-x-y d-z =02 2 3一会3瓜 9夜 .n-AC=-x+-y =02 2，则可取元=(3,-6,-3),同理1m-BC=6j2h=0 3在 3夜 八，八m-BP=-a-b+tc=02 2,则可取比=(后,0,2),由平面A E C _ L平面P8C,得丽万=3面 一 竿 生=0,解得f=3,小、中Q 瓜3 7 2 q标.7 6 7及 ,2),DC=(,0),DE=(-,2),2 2 2 2 2 2设平面E OC的一个法向量为=(4,p,q),贝 人_ /3 7 6 .372 0Zz DC=-k+-p=02 2 E瓜 卜1五q nU DE=k p+2q=0则可取=(6,-3,-6四),又”=(3,G,3后),cos =_ 3/14111/|14，锐二面角A-C E-。的 余 弦 值 为 噜