人教版导与练总复习数学一轮教师用书:第六章第2节 平面向量基本定理及坐标表示.pdf
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1、第2节 平面向量基本定理及坐标表示睡 课 程 标 准 要 求1 .理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.必备知识课前回顾 嫡 教 材夯实四条的 知识梳理1.平面向量基本定理定理:如果eb e?是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1,入2,使a=X 1 6 1+X2e2.(2)基底:不共线的 向 量e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2 .平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a=(x i,yj,b=(x2,y2),则a+b=(x
2、 i+x 2,y),a-b=(x)-x2,y-y2),入a=(入Xi,人力),|a|R*+资.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.设 A (x i,y,),B (x2,y2),则 力B=(x2-x i,y2-yi),I AB|=J(%2 一%1)2+(为 一%)2-3.平面向量共线的坐标表示设 a=(x i,yi),b=(x2,y?),其中 a WO,b WO,a,b 共线 02kz m 包.I座 重 要 结 论1 .若a 与 b不共线,且入a+u b=0,则入=口 =0.2 .已知P为线段A B 的中点,若A(x i,y),B(X2,yl,则P点坐标为AI+
3、X2 yi+y22 2 .3.已知 A A B C 的重心为 G,若 A(xb y),B(x2,y2),C(x3,y3),则/%1+%2+%3 yi+y2+y3 3 ,3对点自测-1 .(必修第二册P 3 3 练习T 1 改编)已知平面向量a=(l,l),b=(l,-1),则向量衿|b 等于(D )A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)解析:因为 a=(l,l),b=(l,-1),所 以 色 吗 吗 一 所 以|b=|+|)=(-1,2).故选 D.2.(必修第二册P 3 3 练习T 5 改编)若P (1,3),P 2(4,0),且P 是线段P R的一个三等分点,则
4、点P的 坐 标 为(D )A.(2,2)B.(3,-1)C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)解析:由题意可知P$2=(3,-3).T 1 T若P1P、PIP2,则 P 点坐标为(2,2);若P1P=|P$2,则 P 点坐标为(3,1).故选D.3.已知向量 a=(2,3),b=(-l,2).若 ma+nb(m,nR)与 a-2b 共线,则n-,解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n).a-2b=(2,3)-2X(T,2)=(4,-1).因为(ma+nb)/(a-2b),所以-(2m-n)-4(3m+2n)=0,所以 2m+n=0,所以”=.n
5、2答案4.已知%B C D 的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D 的坐标为.解析:设D(x,y),则由n=发,得(4,1)=(5-x,6-y),即产=一:解得(1=o-y,(x=1,y=5.答案:(1,5)关键能力课堂突破类 中 溶 支法窠四算因考点一平面向量的坐标运算1.已知0 为坐标原点,点C 是线段A B 上一点,且A(l,1),C(2,3),|品|=2|品1,则 向 量 法 的 坐 标 是.解析:由点C 是线段A B 上一点,|B C|=2|/C|,BC=-2AC.设点 B 的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(l,2),即于7W解 喊-7=_4,(
6、y=7.所以向量O B 的坐标是(4,7).答案:(4,7)2 .如图所示,以eb e2 为基底,贝 I a=.解析:以e 的起点为坐标原点,e,所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则 e,=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),令 a=x ei+y e2,即(-3,l)=x(l,0)+y(-l,l),则 优 3,所以1=即a=-2 e1+e2.答案:-2 e】+e23 .已知 A (-2,4),B (3,T),C (-3,-4).设/8=a,B C=b,CA=c,且CM=3c,CN=2b.(1)求 3 a+b-3 c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求 M,N的坐标
7、及向量MN的坐标.解:由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3 a+b-3 c=3 (5,-5)+(-6,-3)-3 (1,8)=(1 5-6-3,-1 5-3-2 4)=(6,-4 2).(2)法一 因为 mb+nc=(-6 m+n,-3 m+8 n),所以M M k5二 解 得 仁i法 二 因 为a+b+c=O,所以 a=-b-c,又因为a=mb+nc,所以 mb+nc=-b-c,所 以 俨=:,in=-1.设0为坐标原点,因 为 盛=。命-鼠=3 c,所以0 M=3 c+0 C=2 4)+(-3,-4)=(0,2 0).所以 M(0,2 0).T T T又
8、因为 C N=ON-OC=-2 b,所以ON=-2 b+OC=(1 2,6)+(-3,-4)=(9,2),所以N 2),所以M N=(9,T 8).一题后悟通;向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.慢 考点二平面向量基本定理及其应用CWD,如图,在正方形A B C D 中,M,N 分别是B C,C D 的中点,若/C=入AM+P BN,贝 ij 入 +P=,解析:法一 由BN=AB+AD,得/C=入 AM+u BN=(入一 2 4 8+(”)AD,T y.AC=AB+AD,a-=i,所以 2
9、3 +=1,解得1 会所以入+u=/法二以A B,A D 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设正方形的边长为 1,则4 M=(1,3 ,BN=(-p 1),AC=(1.1),T T T 1 1因为/C=u BN=(X-j U,U),A-|i =1,(A=,所以h 2 解得 5打 1,T,1 2所以入+p =j.答案qR 邂题策喳1.先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.2 .在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.3 .建立适当的坐标系,利用向量的坐标运算.针对训练1 .
10、如果eb e 2 是平面Q内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A.e i 与 e i+e2B.e 2 e 2 与 e i+2 e?C.e 1+e 2 e i6 2D.e i+3 e 2 与 6 e2+2 e i解析:法一 选项A中,设 e i+e2=入 eb则 二 f无解;选项 B 中,设 e i-2 2 入(e i+2 e 2),则O无解;选项 C 中,设 e i+e2=入(e i-e2),贝 二。无解;选项D中,e i+3 e2=1(6 e2+2e i),所以两向量是共线向量.故选D.法二 只有D 项的eb e 2 的对应系数成比例.故选D.2.
11、0ARN如图,A,B分别是射线O M,O N 上的点,给出下列向量:小+2 晶;防;&+茄;晶,若这些向量均以0 为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是()A,B.C.D.解析:由向量共线的充要条件可得当点P 在直线A B 上时,存在唯一的T T T一对有序实数U,V,使得。P=u O/+v O B 成立,且u+v=l.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是满足0 P=u O 4+v 0 B,且u 0,v 0,u+v l.因为1+2 1,所以点P 位于阴影区域内,故正确;同理正确;而错误.故选B.感:考点三共线向量的坐标表示及其应用口 角 度-利用向量共线求参数(1)已知向量a=
12、(2,1),b=(x,-1),且 a-b 与b 共线,则x的值为.(2)已知向量 a=(l,2),b=(2,-2),c=(l,入).若 c (2 a+b),则入解析:因为 a=(2,1),b=(x,T),所以 a-b=(2-x,2),又因为a-b 与 b 共线,所以(2-x)X(-1)-2 x=0,所以x=-2.(2)由题意得 2 a+b=(4,2),因为 c=(l,入),且 c(2 a+b),所以 4 人 -2=0,即人告答案:-2 (2)!,解题策略I如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利 用“若a=(xb yi),b=(x2,y2),则 a/b 的充要条件是 X i y2-x2yi=
13、0n.幅度二利用向量共线求向量或点的坐标dO 在4 A B C 中,已知点T 1 T T 1 T0(0,0),A(0,5),B(4,3),0C=-OA,0D=-O B,AD 与 BC 交于点 M,则点 M4 2的坐标为.解析:因为点 0(0,0),A(0,5),B(4,3),所以点C(O,J),同理点D(2,;).4 2设M的坐标为(x,y),则(x,y-5),而4 0二 一,T 因为A,M,D 三点共线,所以A M 与4 0共线,所以-京-2(丫-5)=0,即 7 x+4 y=20,而 或 二(x,y-,(4-0,3-|)=(4,?,-因为C,M,B 三点共线,所以C M 与C B共线,所以
14、4-4(丫-9)=0,即 7 x-16 y=-20,4 4,19.(7x+4y=20,(x=,由匕犷16 y =-20,侍(y =2,所以点M的坐标为号,2).答案:号,2),解题策略引入参数表示出未知点的坐标,借助向量共线的坐标计算求解便可.针对训练1.已知向量a=(l,1),点A(3,0),点B为直线y=2x 上的一个动点,若后a,则点B 的坐标为.解析:设 B(x,2x),则力B=(x-3,2x).因为ABa,所以 x-3=2x,即 x=-3.所以 B(-3,-6).答案:(-3,-6)2.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-l,2),c=(4,1).若d 满足(d-c)/(a+b
15、),且|d-c|=V 5,求 d 的坐标.解:设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1),又 a+b=4),|d-c|=V 5,ma f 4(x-4)-2(y-1)=0,以 1(%-4)2+(y-1)2=5,解得::所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).息备选例题-C U D 在平行四边形 ABC D 中,A(l,2),B(-2,0),4 c=(2,-3),则点 D 的坐标为()A.(6,1)B.(-6,-1)C.(0,-3)D.(0,3)T -4 解析:4 B=(-3,-2)=D C,所以/D=4 C+C D=4 C-/B=(5,T),贝ij D(6,1).故选A.CD向量a,b,
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