2023年高三复习专项练习：第57练　球的切、接问题.pdf

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1、第57练 球 的 切、接问题基础对点练考 点 一 定 义 法1.（2022荆州中学模拟）已知三棱锥。-ABC的四个顶点在球。的球面上，若 AB=AC=BC=D B=D C=,当三棱锥。-ABC的体积取到最大值时，球。的表面积为（）A 5兀 c C -L C 207tA.-B.2K C.5兀 D.每一答 案 A解 析 如图所示，当三棱锥。一ABC的体积取到最大值时，则平面ABC，平面OBC.取 BC的中点G,连接AG,D G,则 AG_LBC,D G Y B C,分别取ABC与QBC的外心E,F,分别过E,F 作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于点。，连接80,O G,则。为三棱锥O-A 8C

2、 外接球的球心，由 A 8=A C=B C=O 8=O C=1,得正方形OEGF的边长为坐，贝（1 OG=*，三棱锥。一ABC的外接球的半径R=y）O G2+B G2=.球。的表面积为4nx号2.（2022云南师大附中模拟）已知在直三棱柱A B C-A B iG 中,ABLBC,A8=3,BC=4,AAt=3,设该直三棱柱的外接球的表面积为S”该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为S2,则义等于（）A.l34-17B.g C，2 D.答案D解析易知RlZABC的外接圆直径为A C,所以半径长为|,设外接球半径为七 则居=/.SI=4T TR2=34 兀,设R l Z X A B C的内切圆半径为

3、r,则3 r=T x3X 4,；.r=l,；2r=2=1,A O 1,。尸=，所以正 A B O的边长为小，因为 BC1.C D,所以 C F=；8 ）=坐，因为平面A B D 1.平面BCD,7 T所以/A F C=1,所以 AC=y/CF2+AF2=考 点 二 补 形 法小=9-4+3-44.（20 22 广州模拟）已知直三棱柱A B C-A由Q 的6个顶点都在球O的球面上.若ABLAC,A B=1,A C=3,A A i=#,则球 O 的体积为（）Ac c 16兀-i、3 2兀A.8兀 B.-y C.16兀 D.-y答 案 D解析 在直三棱柱ABC4 B 1 G 中，4B_LAC,将直三

4、棱柱ABC补成长方体A B O C-A iB O iC i,如图所示,所以球O 的直径为2 R=、A B 2+A C2+A 4彳=4,可得R=2,因此球o 的 体 积 为 丫=平=苧.5.蹴 鞠，又 名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，类似今日的足球.2006年5 月 2 0 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已 知 某“鞠”的表面上有四个点A,B,C,D,满足4B=CO=9cm,BD=AC=5 cm,A O=B C=13cm,则 该“鞠”的表面积为()入 475 2 D，A.-yn cm/B.235兀 carcm2 D_ 23On cm2

5、答 案 A解 析 将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示,则“鞠”的表面积为四面体A-BCD外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为 a,b,c,则有“2+32=92,a2+(r l52,&2+专 时，Vr 0,所以当3=与时，圆柱体积取得最大值，此时力=2/=2 =之?.10.一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2,底面边长为2,则该球的表面积为.答 案 9兀解 析 如图所示，。为底面正方形的中心，P则。尸=2,A 5=2,则正四棱锥的外接球的球心O 在 O P上,则外接球的半径R满足（2 炉+（也）2=R2,解得R=该球的表面积5=4

6、兀/?2=9兀.能力提升练11.（2022南昌质检）九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵ABC481G中，A4i=AC=5,AB=3,B C=4,则在堑堵A B C-A B C 中截掉阳马Ci-A8B|A i后的几何体的外接球的表面积是（）A.50兀3i s产 D.200兀o答 案 A解析 在堑堵ABC-AtBtC i中截掉阳马后，剩余的几何体为三棱锥A-BCC,该几何体与堑堵ABC的外接球是同一个球，因为 AB=3,BC=4,AC=5,所以 A82+BC2=AC2,所以NABC=90。，所以RtABC的

7、外接圆直径为力C=5,所以堑堵ABC-ABxC的外接球的直径为2R=、A C 2+C C m所以R=平，因此，在堑堵A B C-4B C 1中截掉阳马C i-ABBtAt后的几何体的外接球的表面积是 W=50兀.1 2.（多选）我国古代数学 名 著 九章算术中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方链,方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为1 8,则关于半球的说法正确的是（）A.半径是3 B.体积为18兀C.表面积为27兀 D.表面积为187r答 案 ABC解 析 如图，B4C是正四棱锥的对角面，设半球的半径为r,AC是半球的直径，则正四棱1 9锥底面边长为啦r,棱

8、锥体积为Vzi=X（、R r）2X r=1r3=1 8,得 r=3,2 2半球体积为 V2=7rr3=,j7tX33 18TI,表面积为 27tX32+7tX32=277t.1 3.（多选）（2022.重庆模拟）已知三棱柱ABCA S G 的 6 个顶点全部在球。的表面上，AB=AC,ZB A C=20,三棱柱A B C-ABC的侧面积为8+4小，则球O 的表面积可能是（）A.4兀 B.8兀 C.16兀 D.32兀答 案 CD解析 设三棱柱A B C-A 81cl的高为，AB=AC=a.因为/B A C=120。，所以8 c=/“，则该三棱柱的侧面积为（2+小）Rz=8+4小，故“=4.设 N

9、,M 分别是三棱柱上、下底面的外心，则三棱柱外接球球心。是 M N的中点，设ABC的外接圆半径为r,则MC=r=.”广=&设 球。的半径为R,则OC2=R2=/+(3)2=2+与=普+牛 4,当且仅当/7 =2吸时取等号，故球。的表面积为4兀/?2216TL14.(2022 西安模拟)A,B,C,。为球面上四点，M,N分别是AB,C Q的中点，以、M N为直径的球称为AB,C的“伴随球”，若三棱锥A-BC的四个顶点在表面积为647r的球面上，它的两条边AB,CO的长度分别为2巾 和4小，则AB,C。的伴随球的体积的取值范围是.答 案 苏甯解析 由题意知，三棱锥ABCQ的外接球。的半径为4,故OA=OQ=4,且OMLAB,ON LCD,由勾股定理得 0 M=,0摩一AA/2=3 ONy OD2-D N2=2.由题意知，AB,CO的伴随球O i以AB,C D为切线,O M-ONWMNWOM+ON,故M N的最大值和最小值分别为5和1,当。，M,N三点共线且。在线段M N之间时取得最大值，当O,M,N三点共线且。在线段M N之外，满足0M0 N=l时取得最小值,故球O的半径的取值范围为兵RW|,所以A8,CD的伴随球的体积的取值范围是已，噜 斗