2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷四（学生版+解析版）.pdf

《2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷四（学生版+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷四（学生版+解析版）.pdf（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷四学校:姓名：班级：考号：题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、II两卷。第【卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一 单 选 题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合 A=%|1 vxv3,Z?=x|0 x 0)的一条渐近线方程为2xy=0,F.,外分别a 1 6是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|/Y|=5,则|P g|=(

2、)A.1 B.1 或 9 C.3 或 9 D.94.已知复数z,=l+i+/+为虚数单位，n e N*),若M=z|z=zz,(s/=1,2.,),从M中任取一个元素，其模为1的概率为()5.生物体的生长都经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢、在发展阶段速度加快、在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德 皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称 为“皮尔曲线”，常 用“皮尔曲线”的函数解析式为/(x)=J (K 0,a 1/1 B.孙 丁C.x|x|y|y|D.-0,

3、其前项和为5“，且$2 =6,.(1)求数列%的通项公式；(2)设勿=log.,2,且数列 满足 q=l,cn+i-cn=bn+ibn,求数列 c,J 的通项公式.从=3 0 ,S$-S 4=96，%是 邑 与2的等差中项,这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.21 8.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,cosA=，3b _ sin Bc V5cos A-sinC(1)求AABC的外接圆的半径R-.(2)求AABC的面积.1 9.在三棱柱ABC-A M G中，A4 J 底面ABC,AABC为正三角形，AB=AA=2,E是 的 中 点.(1)求证：

4、平面AEG J-平 面A41 G。；(2)求二面角B-A C.-E的余弦值.2 0.已知抛物线C：y1=4 x 的焦点为F,点 O为坐标原点，直线/过定点T（f,0）（其中f 0,与抛物 线 C相交于A,B两点（点A位于第一象限）.（1）当 f =4 时，求证：O A A.O B；（2）如图,连接AF,B F并延长交抛物线C于两点&Bl，设AAB/和AAB1/7的面积分别为5和 S 2,则3是否为定值？若是，求出S?其值；若不是，请说明理由.2 1.有一对夫妻打算购房，对本城市3 0 个楼盘的均价进行了统计，得到如频数分布表:均价x（单位：千元）4,5)5,6)6,7)7,8)8,9)9,1

5、0 频数221 11 041 若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数I作为的近似值,用样本标准差s 作为b的估计值，现任取一个楼盘的均价X,假定X N W d）,求均价恰在8.12 千元到9.24 千元之间的概率.（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球4 0个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球,则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球,则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5 个台阶（每平方米优惠0.3 千元）或第6 个台阶（每平

6、方米优惠3 千元）时（活动开始时的位置记为第0 个台阶）,游戏结束.设客户乙站到第（假 劭 6,”eN）个台阶的概率为与，证明：当 度 女 5时，数列 2-月_ 是等比数列.(ii)若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.参考数据：取J而=1.1 2,(-)5=0.1 3.若 X,则 P(-c r 4，,+b)*0.68,P(一 2cr +2cr)b 0.95,P卬-3(T +3 b)0.997.2 2.已知函数/(x)=alnx+x+l(a /?).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若不等式x (x)，对任意的X(1,KO)

7、恒成立，求实数。的取值范围.绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷四学校:姓名：一 一班级：考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、n两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第n卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一 单 选 题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 3.已知集合 A=x|-1 x 3,8=xOx4 ,则4 n吟)A.(-1,0)B.(0,3)C.(3,4)D.(-1,4)【答案】B【解析】解：,.

8、1 A=x|-1 x 3.B=%|0 x4,哨8=x1X3QX0 X0)的一条渐近线方程为2x y=0,6,入分别是双a 1 6曲线C的左、右焦点，尸为双曲线C上一点，若|P|=5,则|尸 鸟|=()A.1 B.1 或 9 C.3 或 9 D.9【答案】D【解析】解：由题意 知&=2,所以a=2,所以c=J4+1 6=2岔,a所以|尸|=5 0 1 1 1,即z,的取值只有四个数1+i,i,0,l,所以 M=0,1,1,i,2i,l+i,-l+z,M中共7个元素，其中模为I的有3个元素，故从历中任取一个元素，其模为1的概率为尸=3.7故选：B.推导出 z”的取值只有四个数 1 +i,i,0,1

9、,M=0,1,-1,i,2i,1 +i,-1 +z),M 中共 7个元素，其中模为1的有3个元素，由此能求出从M中任取一个元素，其模为1的概率.本题考查概率的运算，考查古典概型、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题.2 7.生物体的生长都经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢、在发展阶段速度加快、在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称 为“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为/(犬)=4厂(长0

10、,。1,攵0).一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为了(犬)=I岑 石(xeN),x表示果树生长的年数，/(x)表示生长第x年果树的高度，若 刚 栽 种 时 该 果 树 高 为 经 过 一年，该果树高为2.5 m，则/(4)一/(3)=()A.2.5 m B.2m C.1.5 m D.【答案】C【解析】解：根据已知/(O)=/(I)=2.5 m,得 1 +3=1O且l +3*+=4,解得b =2,k=-,所以/(x)=+：逅,从而/(3)=15m,/(4)=-7 =9 m.l +3-i 4 1 +3-2所以 f (4)一3)=1.5 m，故选：C.利用题中的条件，列出方程，解出函数/(x)

11、的解析式，即可解出结果.本题考查了函数模型的实际应用，指数方程的解法，考查运算能力，属于基础题.2 8.如图，圆台。01的上底面半径为。4=1，下底面半径为Q 4=2,母线长A A=2,过O A的中点8作O A的垂线交圆。于点C,则异面直线。与A C所成角的大小为()A.30 B.45 C.60 D.90【答案】B【解析】解：B在直角梯形0 Q4 A中，因为B为。4的中点，。4=2,所以 Q A =O B=AB=1,连接4 B,易证四边形。*田 为矩形，所以 O O J/AQ,所以N 8 41c为异面直线。01与4。所成的角，在直角三角形A A B中，A4,=2,所以4 3 =百；连接。C,在

12、直角三角形0 8 c中，由O B =I,0 C =2,得B ene；在直角三角形A C中，B C =A,B,所以 N BA1c =45 ,故选：B.连接AB,AC,N B4,C为 异 面 直 线 与A。所成的角，在直角三角形A B C中，BC=,从而可得答案.本题考查异面直线所成的角，考查作图、推理及运算能力，属于中档题.2 9.计算器是如何计算s i n x,c o s x,优，I n x,石 等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如s i n;c =x 二/+上r5 一X上7+，c o s x=l-x 2

13、+%-4-%6+,3!5!7!2!4!6!其中!=lx 2 x 3x x.英国数学家泰勒(H 7 h y/o r,168 5 17 31)发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的s i n x和c o s x的值也就越精确.运用上述思想，可得到c o s 1的近似值为()A.0.5 0 B.0.5 2 C.0.5 4 D.0.5 6【答案】c【解析】【分析】%2 x4 x6本题考查了新定义问题，根据新定义，取x =l代入公式c o s x =l二+一 一 匕+中，2!4!6!直接计算取近似值即可.【解答】=1-0.5+0.041 7-0.001 4+-0.54,故选：C.30.已

14、知点P在直线x+y =4上，过点尸作圆O：炉+2 =4的两条切线，切点分别为A,8,则点M(3,2)到直线A8距 离 的 最 大 值 为()A.72B.73D.V5【答案】D【解析】解：根据题意，点尸在直线x+y =4匕 设P(a,b),则。+=4,过点尸作圆。：f+y 2=4的两条切线，切点分别为A,B,则P B1 O B,则点4、B在以O P为直径的圆上，又由P(a,b),则以O P为直径的圆的方程是。一晟)2 +()，一)2 =；(/+),圆O的方程为x2+y2=4,联汇两个圆的方程可得：直线A B的方程为奴+勿=4,即依+切 一4=0,因为。+匕=4,所以。=4一。，代入直线A B的方

15、程，得a x +(4 a)y 4=0,即a(x-y)+4y-4=0,当x=y且4y-4=0,即x =l,y=l时该方程恒成立，所以直线A 3过定点N(l,l),点M到直线4 5距离的最大值即为点M,N之间的距离，M N =B即点加(3,2)到直线A 8距离的最大值为J?.故选：D.根据题意，设P(a,由圆的切线性质可得点4、8在以0。为直径的圆上，联立两个圆的方程可得直线4 B的方程，结合P的坐标可得直线A 3过 定 点 据 此 分 析 可 得 答 案.本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题.二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有

16、多项符合题目要求。全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得。分。3 1 .下列结论正确的有()A.公共汽车上有1 0位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有I O,种B.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是上C.若随机变量X服从二项分布X 8（5,；）,则pg效卜 m=黑D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,1 1,若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为1 2【答案】BCD【解析】解：对于A,根据题意，公共汽车沿途5个车站，则每个乘客有5种下车的方式,则1 0位乘客共有下。种下车的可能方式，故A

17、错误；对于B,两位男生和两位女生站成一排照相，基本事件总数 =A：=2 4,两位女生不相邻包含的基本事件个数机=8 A；=1 2,.两位女生不相邻的概率P 三啜卷故B正确;对于C,若随机变量X服从二项分布X 8（5,；）,3则效w-7)=P(X =2)+P(X =3)=C (-9)3(-1 )2+C (-7)2(-1 )3=言40故c正确;3 1+r对于O,设丢失的数据为x,则七个数据的平均数为f,众数是3.7由题意知，这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，3 1 4-X若 与,3,则中位数为3,此时平均数2上二=3,解得x=-1 0；73 1+r若3 x 5则中位数为X,此时2上二+

18、3 =2 x,解得x=4；73 +x若X.5,则中位数为5,此时士 上+3 =2 x5,解得x=1 8.7综上，丢失数据的所有可能的取值为-1 0,4,1 8,三数之和为1 2.故。正确.故选：BCD.利用分步乘法原理判断A,利用古典概型判断B,利用二项分布求概率判断C,利用平均数、中位数，众数进行讨论求解判断。.本题考查了分步乘法原理和古典概型，考查了利用二项分布求概率和平均数、中位数，众数的应用，属于中档题.3 2.已知两个不为零的实数x,），满足x 1 B.孙c.x|x|y|y|D,-0,所以3般习 1 ,则A正确；因为x vy,当y 0时，xy y2f则8错误；令/(%)=%|%|,易

19、知/(%)在 R上单调递增，又xv y，所以/(x)f(y)，即x|x|v y|y|,则C正确；对于。，法一：令g(%)=炉，x易知g(x)在(-8,0)和(0,+0 0)上单调递减，不妨设0 g(y),即,一亦即_ L _ J _e X-e 1则。错误；x y法二：取x =-l,y =l,-=-2 e-e,则，则。错误，x y故选：A C.直接利用不等式的性质，函数的单调性，赋值法的应用判断A、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：不等式的性质，函数的单调性，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.3 3.英国数学家牛顿在1 7世纪给出了一种求方程近似根的方法-牛顿迭代法，

20、做法如下：如图，设r是/(x)=0的根，选取X。作为r的初始近似值，过点(尤0，/(%)作曲线y =/(x)的切线/：y f(x0)=f(x0X x-x0),则/与x轴的交点的横坐标西=%-丛 立(/(%)声0)，称凡是 的一次近似值；过点(%,/(石)作曲线/V o)y =/(x)的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为马，称是，的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中x,用=当-为J(r(x.)H O),称七用是/的/区)+1次近似值，这种求方程/(%)=0近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程2的近似解，贝4()A.若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为二1 21

21、7B.若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为U1 2c._ ./（X。）/U i）/（2）七）r（x ）/“）r（x2）/（/）UD.Xr 一 r /（X。）+/（X|）/（）+/（X 3）A-xa-1-1-ru0）/&）fx2）f（x3）【答案】A B C【解析】解：A 8c构造函数/（x）=f 2,则/，（x）=2 x,取初始近似值%=1,则。-华=1 -J（犬0）2-2-1-2-=_3，Xy=X.-/-（-X-.-）=-3-4-二17，皿则 4 正”确；2 x 1 2 -尸（石）22X3 1 22取初始近似值x 0=2,则%=不 一 为 必=2七 匚=3,/（X。）2 x 2 2/

22、（%,）_ 3 4小）一 2 2 x 3 -1 2 2则8正确;根据题意，可知玉=x 0-巫2/（X。）/（）1八 为）/（刍）上述四式相加，得5 =垢 一 一地 一 迎/一 工 ，则。不正确，C正确./（/）广（王）f g）/v3）故选：A B C.把初始值代入公式计算即可解决此题.本题考查导数运算、二分法定义及应用，考查数学运算能力，属于基础题.3 4.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了 诵经典，获新知的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的体积为把，托盘由边长3为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图.则下列结论正 确 的 是()

23、B.平面5CE 平面AOET TC.直线AO与平面。EF所成的角为差3D.球面上的点离球托底面。EF的最小距离为百+如-13【答案】ACD图即是与AABC全等的三角形的外接圆，其半径为r=2xlxsin6()0=走，则其面积为万/=工，所以A正确;3 3 3对 于 如 图 取 中 点K,EF中点H,连接HK,DE中氤N,连接HK,HB,KC,NF,N A,由已知易证目7，面4。：,因为面CD/7,而 DEF,C K 1 D F,所以 CK_L面 EQF,所以 CK_LFN,又 K H H D E,所以 EV_LKW；又 阳|或=/,所以FN_L面C K H B,所以面AOE面C B K H,而

24、面CB尸又过直线BC,故过一条直线不可能有两个平面与已知平面平行，故8错误；对于C,如图，AN_L平面EQF,所以DE为AQ在平面QEF内射影，于是NA/犯 即 为直线AO与平面。EF所成的角，大小为2,所以C对；3对于 D,如图，。=lR-r-,OtG -R-00 -1,A N=2-sin 60=/3,所以球离球托底面DEF的最小距离为AN-GG=6 +如 一 1,所以。对.故选：ACD.A求出截面面积判断；3平移直线求成角余弦值判断；C求直线与平面成角判断；。求出最小距离判断.本题考查了球的体积计算问题，考查了异面直线成角和直线与平面成角计算问题，属于较难题.第n卷（非选择题）三 填空题：

25、本题共4小题，每小题5分，共20分。3 5.若向量G石满足|万|=出|,|M+2B|=G|即，则向量M石 的 夹 角 为.27r【答案】3【解析】解：设万,5夹角为6,由|汗+26|=百|万I，得|町2 +4团|5即，+4|5|2=3|万|2,结合|砧=|5|,解得cose=L,2又O iW兀，所以6=2二.3故答案为：3可设7 B的夹角为氏 对5+2 5|=6|万|两边平方，进行数量积的运算，并根据|引=|5|可求出cos。的值,进而可得出6的值.本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，考查了计算能力,属于基础题.3 6.请写出一个函数/*)=，使之同时具有如下性质：V x e

26、R,/(x)=/(4-x),V x e R,f(x+4)=/(x).T T【答案】c o s-x2【解析】解：性质：V x e/?./(x)=/(4-x),故函数/(x)关于直线x =2对称，性质：V x eR,/(x+4)=/(x),故函数/(x)的周期为4,考虑同时具有对称性和周期性的函数，常见的是三角函数，7 T故/(x)=c o s-x(答案不唯一).J T故答案为：C O S-X.2由性质确定函数的对称性，由性质确定函数的周期性，结合所学过的函数进行分析求解即可.本题考查了抽象函数的应用，涉及了函数的对称性以及周期性的理解和应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.3 7.已知椭圆C的左

27、、右焦点分别为巴，鸟，直线A B过片与椭圆交于A，B两点，当4工4?为正三角形时，该 椭 圆 的 离 心 率 为.【答案】32 2【解析】解：不妨设椭圆的方程为+二=1(。0),a b根据椭圆定义，l A-U Z a IAF J,=2a-B F2,为正三角形，A F2|=|3巴|,所以|4耳|=|6 6|,即耳为线段A8的中点，根据椭圆的对称性知A B垂直于x轴.设|百工|=2 c,则|A|=2 c t a n 3 0 0 =宜 至，|A居|=；=拽 .3 c o s 3 0 3因为|A/+|AE I=2 a,即 2&=2。，c 5/3所以e =二.a 3故答案为：.3设出椭圆方程，判断三角形

28、的形状，推出A8垂直于x轴，结合椭圆的定义，转化求解离心率即可.本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题.3 8.如图，在四棱锥PABCO中，Q4=P8=PC=PO=2,底面ABC。是边长为的A正方形.E是PC的中点，过点A,作棱锥的截面尸两点，则四棱锥P-A A侬 体 积的最小值为_ _ _ _ _r 1 23【答案】二 9【解析】解：连接M N,交4E于点F,连接AC、BD,AC=PAPC=2,如图所示：P,分别与侧棱P 8,尸。交于M,N交于点0,则尸为ABAC的重心，所以AE=2x =0,所以AE在底面的投影 为 迫=，2 A C 2、1 3 1所以%棱 锥P-/W EN=

29、咚棱锥A-MN户 +%棱 锥E-MNP=PJW N =S弁MN 当S 最小时，四棱锥P-A M E N的体积取最小值；设 丽=几 丽，丽=而，则需4需吃八次T 4方段两+犷或由M、F、N二点共线知，-1-1,32 3/z 1 6所以|PN|PM|2 2当且仅当=时 取 =,所以%棱锥p-“MN=g s,N=；x；x|PN|x|PM I x s i n g x；x x =./Z Z J Z Z 7 Z V即四棱锥P-AA板V体积的最小值 为 毡.9故答案为:2百9连接M N,交A E 于点、F,连接AC、8。,交于点。，则F 为的重心,且AC=Q4=PC=2,求出4E在底面的投影，得出小棱 怫-

30、M E N =匕梭他l-MNP+V三 极 锥E-MVP=/SAPM N，当久尸的最小时，四棱锥P-AMEN的体积取最小值；利用平面向量的线性表示和基本不等式求出I丽I I而71的最小值，即可求出四棱锥尸-A M E N体积的最小值.本题考查了棱锥体积计算问题，也考查了运算求解能力与推理和转化思想，是难题.四 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。39.在等比数列 ,中，公比40,其前项和为S“，且S2=6,.(1)求数列 凡 的通项公式；(2)设 勿=log.,2,且数列 q j满足q=l,c+l-c bn+bn,求数列 g 的通项公式.从凡=30,S6-S4

31、=9 6,的是S3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.【答案】解：(/)若选条件时，S4=30.由 S2=6及4=30,得 q+a2=6，q+4 +/+/=30，两式相减，得4 +%=24,即 cf(at+a2)=24,所以2=4,由4 0,解得4=2,代入4+%=6,得6+2 =6,解得q=2,所以数列4 的通项公式为%=2.若选条件时，S6-S4=96.因为 0 6 -4=96,+。2=6,所以+q g 5 =96,a+axq=6,两式相除，得/=16,结合q0,得4=2,所以q+2a=6,解得q=2,所以数列 4 的通项公式为%=2.若选条件时，的是3

32、与2的等差中项.由 生 是 邑 与2的等差中项，得2 a 3=83+2,则 2/=q+4 +q +2，由 4+g =6，得3=8,由通项公式，得4+q q =6,a1q2=8,消去 ,得3q2-4q-4=0,结合4 0,解得q=2,代入q+a闻=6,得。=2,所以数列 4 的通项公式为。=2.(2)山 ，得“=log 2=-cn+l-cn=bnhn+i=1-=-一一二log2 an log2 2 n/?(/?+1)n +l所以当九.2时,Cn 二仇+（。2-。|）+（。3-。2）+（。4-。3）+,+（%-%）=1 +（；-3）+（；一$/I、z 1 1、c 1+（G-7）-）=2.3 4 n

33、-n n又q=1也适合上式，故数列 c,J的通项公式是C,=2 L.n【解析】（1）选条件时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式，（2）利用裂项相消法的应用求出数列 q j的通项公式；选条件时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式，（2）利用裂项相消法的应用求出数列&的通项公式；（1）选条件时，利用等差中项的应用求出数列的通项公式，（2）利用裂项相消法的应用求出数列%的通项公式.本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.24 0.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已

34、知c=3,cos A=-,3b _ sin 8c 石 cos A-sin C(1)求AABC的外接圆的半径R；(2)求“IBC的面积.【答小#案、】、解s ：(1)因为一b=-s-in-B-由,正弦定理可得rz二 s一in B =7-s-in-B-c y/5 cos A-sin C sin C/5cosA-sinC2又 sin B 0,c-3,cos A=，3所以5抽。=逐 以）04-$1 1 1。，可得25皿。=6以）$24=&又2,可得sin C=,3 33 975所以由正弦定理可得AABC的外接圆的半径R2sinC 小 6 1 02x 3(2)因为c=3,sinC=*，cosA=23所以

35、 sin A=J1-cos?A=,可得。=c=3,32由余弦定理/=+。2 一z c o s A,可得32=+322 x b x 3 x*,可得。=4,3所以 AABC 的面积 S=LabsinC=L x 3*4*=2j.2 2 3【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可求sinC的值，进而根据正弦定理可得AABC的外接圆的半径的值.(2)利用同角三角函数基本关系式可求sin A,利用正弦定理可求得a=c=3,由余弦定理可求匕的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

36、4 1.在三棱柱A 5 C-4 4 G中，A4_L底面ABC,AABC为正三角形，A5=A A=2,E是 的 中 点.(1)求证：平面AC,1平面 M C,C；(2)求二面角B-A C.-E的余弦值.【答案】解：(1)证明：连接A C交AC1丁点F,取AC的中点G,连接EE FG,BG.四边形ACGA为平行四边形，.尸为A C中点，又G为AC中点，:.FG=AA,FG/AA,又E为5 g 中点，.BE=g7U1,8 E A41,.BE=FG,BEU FG,四边形BEFG为平行四边形，EFIIBG；A3C为正三角形，G为AC中点，.BG-LAC,._L 平面 ABC,3 G u 平面 ABC,.

37、BG_L/L4j,又A C n u A,AC,A u平面A41G C，.B G,平面A 4C C，又E尸3G,.EFL平面AAGC,EF u 平面 AEG,平面 AEC,1 平面 A AtCtC.(2)由 得，EG _L平面 ABC,B G 1 A C,则以G为坐标原点，GA,而，不 正 方向为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,则 3(0,0 0),A(l,0,0),C,(-l,0,2),E(0,百,1),尸(0,0,1),C(-1,0,0),.-.CF=(1,0,1),而=(一 1,6,0)，A q=(-2,0,2).ABC为正三角形，例=48=2,AC=A4,=2,又A A_L平面

38、ABC,.四边形A C G A为正方形，.A G A C，.平面 _L 平面 A4,GC，平面 A g n 平面，A。u 平面 A4tC。，4。，平面4。:，二平面A G E的一个法向量 为 方=(1,0,1)；设平面A B Cy的法向量n=(x,y,z),n-A B =-x+V3y-0 r r：._ _ _.,令 y=1,则 x=6,z=j3,n-A Ct=-2x+2z=0n-(V3,l,百),/.cos-方-=，|C F|.|n|V2xV7 7由图形可知，二面角8-A G-E为锐二面角，J42/.二面角B-A C.-E的余弦值为 干.【解析】连接A C交AC|于点F,取AC的中点G,连接E

39、F,FG,8 G证明四边形BEFG为平行四边形,得到E F U B G；说明BG _L 4 C,证明B G AA，推出B G，平面AA.C.C,证明EE_L平面A 4C C，即可证明平面A EG，平面A&GC(2)以G为坐标原点，瓦，砺，不 正 方向为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面A G E的一个法向量，平面ABG的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角8 A-E的余弦值即可.本题考查直线与平面垂直的判断定理，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力,是中档题.4 2.已知抛物线C：/=4尤的焦点为F,点0为坐标原点，直线I过定点T（r,O）（其中f 0,f R1）与

40、抛物线C相交于A,B两点（点A位于第一象限）.（1）当/=4时，求证：O A A.O B；（2）如图，连接A F,8 F并延长交抛物线C于两点4，%设AABF和AA B F的面积分别为S,和S2,则$2是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.【答案】证明：设直线/方程为=阳+4,A（%，x）,B（x2,y2）,x=my+4,联立直线/与抛物线C的方程，1 “y-=4x,消去 x,得 y 2-4 m y-16 =0,所以西 砺=（王，凶 （，%）=玉%2 +%=手.=+%2=（丝）Ty%=16-16 =0,即。4 _ LO B（2）解：设直线/方程为x =,A（X,y）,B（x2,y2）

41、,x=my+1,联立直线/与抛物线C的方程，1,y =4 x,消去x,得V -4/敌-4 f =0,故X%=一小.设4（下,为），鸟（4，”），A4的方程为x =y +l,联立直线4A与抛物线C的方程4 ,y=4 x消去 X 得 y 2-4 y 4 =0,4从而 乂 +丫3=4，y,y3=-4-则 为=，y4同理可得”=-，%。工|A F|B F|s i n Z.A F B.r.D r.2 2.=2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I A-尸 I _ I x%I _ X 必=/S2 g|A/|s i n N 4/4 8|y 3 y 4 1 16q即 立 为 定值.s?【解析】设

42、 直线/方程为了=冲+4,A（%，x）,5 1 2，%），联立直线/与抛物线C 的方程，J ：阳+4结合韦达定理以及向量的数量积求解即可.厂=4 x,（2）设直线/方程为x =+A（X|,y）,B（x2,y2）,联立直线/与抛物线C 的方程，推出,%=一 期.设 4（七,为），4（%4，%），4A的方程为 彳=胡+1,联立直线4A与抛物线 C 的方程 2，转化求解y 3=一;，同理可得以=-二，然后求解三角形面积7=4 尤 X%的比值.本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题.4 3.有一对夫妻打算购房，对本城市3 0个楼盘的均价进行了统计，得到如频数分布表:

43、均价x（单位：千元）4,5)5,6)6,7)7,8)8,9)9,10频数221 11 041 若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数（作为的近似值，用样本标准差s 作为b的估计值，现任取一个楼盘的均价X,假定X N（,（T2）,求均价恰在8.12千元到9.24 千元之间的概率.（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球4 0个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙

44、蹦上第5 个台阶（每平方米优惠0.3 千元）或第6个台阶（每平方米优惠3 千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.设客户乙站到第（砥 加 6,”?/）个台阶的概率为巴，证明：当 啜 上 5 时，数列 2-加 是等比数列.（ii）若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度,请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.参考数据：mVh25=1.1 2,($5=0.1 3.若乂 N(M，CT2),则 PQL O&,、/+cr)0.68,P _ 2b 4,/z+2cr)0.95,-3cr 4,+3cr)0.997.2 9 1 1 1 0 4 1【答案】解：(1)X=4

45、.5X +5.5X +6.5XL +7.5X，+8.5X +9.5X-5-=7,30 30 30 30 30 30992 7 1 1 9 1 0 9 452=(4.5-7)2X +(5.5-7)2X +(6.5-7)2X +(7.5-7)2X +(8.5-7)2X 30 30 30 30 3091+(9.5-7)2X=L25.30.=x=7,$2=1 25,（T=5=1.1 2,:,X N（,1.12）,P（8.1 2 X,9.24）=。1 352（2）a）证明：客户开始游戏时在第o个台阶为必然事件，故 凡=1,客户甲第次搅得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为，故客户乙迈入第”（2领jz 5

46、）个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种，2客户乙先到第一2格，客户甲又摸出红球，其概率为一乙2，3客户乙先到第-1格，客户甲又摸出黑球，其概率为 匕-3 T1 2 2匕=C i+3 匕+（|）3+（一|）=（-Io n-（-|）”,整理得=|+|(-|)所以鸟=|+1(_ g)5 =0.5 4 8 ,且 匕=乙=-(-)5=0.4 5 2.6 3 4 5 5 3设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米丫千元，则 E(y)=0.3 +3用=0.3 x 0.5 4 8 +3 x 0.4 5 2 =1.5 2 0 4(千 元),v 1.5 2 0 4 1.4,.该对夫妻应参与蹦台阶活动.【解析】

47、根据频数分布表的数据，分别计算出平均值和方差，再结合正态分布的对称性，即可求解.(2)(/)客户开始游戏时在笫0个分阶为必然事件，故4=1,客户甲第 次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为工，故 0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增;当a 0时，若0 x-a,则r(x)。，则/(x)0,所以/(x)单调递增，所以/(x)在(0,-。)匕单调递减，在(一。,+8)上单调递增.综上所述，当a.O时，/(x)在(0,+8)上单调递增；当a l,所以 al n x +x +L,x-e*，In x 0,所以a,x 1In x因为为它 一 x -1 =enxrex-x-l=e*i-x-1,设 g(

48、x)=e -x-l,贝ij g (x)=e*-1,当x 0时，g (x)0,则g(x)单调递增所以尤=0是g(x)的极小值点，也是g(x)的最小值点，所以 g(x)而n=g(0)=0,即对任意xwR，e、.x +l(当且仅当x =0时等号成立).所以-e l n x+1,即e i m x-x-L.L e l n x(当且仅当x e l n x =0时等号成立).。X 一。令/i(x)=x-e l n x,贝!l/z (x)=l =-x x所以/z(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，所以x =e是(x)的极小值点，也是g(x)的最小值点，所以(x)m i n =(e)=0，即

49、当且仅当x =e 时，x-e l n x =0.所以“x-e pe x x 1 e l n x x-ex x 1”1.卫x=e ,即(”e X 证=e(当且仅当x =e时等号成立)，In x In x In x所以q,-e时;e*对任意的x e(l,+oo)恒成立，故实数a的取值范围是(一8,-弓.【解析】(1)求出函数/(X)的定义域,求出广(x),然后利用导数的正负研究函数了(工)的单调性即可；(2)设g(x)=/-x-l,利用导数证明对任意x w R,e.x+l,将不等式恒成立转化为证明e*Tin，-x-L._einx,构造函数/2（x）=x-elnx,利用导数研究函数力（为 的最值，即可得到答案.本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题.