2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第12讲-三角形的有关概念和内角和(含详解).pdf

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1、第 12讲三角形的有关概念和内角和i.理解三角形的有关概念及三角形的分类，体会分类思想：2 .理解三角形内角和定理的是如何推导出来的，能够熟练的运用三角形内角和定理解决一些常见的计算问题；3.灵活运用三角形的内角和性质及三角形的外角的性质进行简单的几何推理.动探索1 .三角形的分类：按角分类:按边分类:2 .三角形的主要性质：(1)三角形的任何两边之和 第三边，任何两边之差_ 第三边；(2)三角 形 的 内 角 之 和 等 于;(3)三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 和 它;三角形的一个外角_ 任何一个和它不相邻的内角。(4)三角形的外角和等于 o小练习：1 .A B C中，如果/B=N

2、 A+/C,那么这个三角形是_ 三角形；2 .在已知N B =35。，Z C=5 5,则 此 三 角 形 是 _三角形。3.在A 4 B C中，已知N A：Z B：Z C =1：2：3,则最大的一个角度数是 度。4.如果等腰三角形两边长分别为3,7,那么三角形的周长是:5 .A B C中，AB=9,B C=4,那么A C的取值范围是；6 .等腰三角形周长为1 6,且边长都为整数，则能构成不同形状的三角形共有（）（A）1 个（8）2 个7.一个三角形的两边长分别为3和8,（A）3 或 5 （B）5 或 78 .下列说法正确的是（）（A）直角三角形的高只有一条（C）三角形中至少有一条高在形内9 .

3、下列说法错误的是（）（A）三角形的三条中线交于一点（C）三角形的三条高交于一点1 0.下列说法正确的个数有（）个（C）3 个（）4 个第三边的长为奇数，那么第三边的长为（C）7 或 9 （D）9 或 1 1（B）三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部（D）直角三角形的三条高不能相交于一点（B）三角形的三条角平分线交于一点CD）三角形的三条边的垂直平分线交于一点（1）三角形的外角大于它的任何一个内角（2）外角都是钝角的三角形是锐角三角形（3）三角形的外角和是指三角形所有外角的和（4）外角中有一个角为9 0 的三角形是直角三角形A 1 B2 C 3 D 4精讲提升例1.锐角三角形A 8 C中，Z

4、 C=2 Z B,则 的 范 围 是（）A.10ZB20B.20 Z B 30C.30 ZB 45D.45 ZB 60试一试：已知：三角形的一边是另一边的两倍，周长为12o求它的最小边的长取值范围。例2.已知：如图，在A4BC中，Z C=90,N E A B、乙钻。是AABC的外角，AR BF分别平分NEAB及/AB。，求NAFB的度数。试一试：已知：AA3C中，N B A C =N B C A =a,0点 在8 c的延长线上，Z B =Z D,4 C A D =b,求a、间的关系。例3.如图，平面上有六个点A、B、C、D、E、尸构成一个封闭折线图形,求/A+/8+/C+/O+/E +/的度数

5、。试一试：如图，求出任意一个五角星的顶角/A+N B+N C+N Q+N E的度数?达标PK1.（2021上海市向东中学七年级期末）如果一个三角形的两边长分别为3 和 7,则第三边长可 能 是（）.A.3 B.4 C.7 D.102.（2021上海市南洋模范初级中学七年级期中）在长度分别为12厘米、10厘米、5 厘米、4 厘米的四条线段中，任选三条线段可以组成三角形的个数为（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.（2。21 上海 九年级专题练习）已 知,关 于 x 的不等式组2至少有三个整数解，且存在以3,。,5为边的三角形，则 a 的整数解有（）A.3 个 B.4 个 C.5 个 D

6、.6 个4.（2021 上海徐汇七年级期中）其中两条边长分别为近和4,第三条边长为整数的三角形共有 个，5.（2021上海市第二初级中学七年级期中）如图，加油站A 和商店5 在马路MV的同一侧，A 到MN的距离大于B到 MN的距离，A8=700米.一个行人?在马路MN上行走，当户到A 的距离与尸到8 的距离之差最大时，这个差等于 米.6.（2021 上海华东理工大学附属中学七年级期末）如图，中，ZB=40,ZC=30,点。为边BC上一点，将AAOC沿直线AD折叠后，点C 落到点E 处，ZBA=30,则/D 4C的度数为.7.（2021上海浦东新七年级期中）不等边三角形的最长边是9,最短边是4,

7、第三边的边长是奇数，则第三边的长度是8.（2 0 2 1 上海民办浦东交中初级中学七年级期末）一个三角形的两边分别是3 和 7,如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是.9.（2021上海市西南模范中学七年级期中）如图，E为 A 8 C 的 边 上 一 点，。在区4 的延长线上，DE交 AC于点F,/8=45。，/C=30。，Z E F C=7 0%的度数是10.（2021上海市文来中学七年级期中）如图，角 A等于6 5度，角 B等于7 5度，将纸片的一角折叠，使点C落在三角形A 8 C 内，则4 +N 2 的度数.11.（2021上海普陀七年级期末）如图，已知AABC中，Z B A C

8、 =9 0,根据下列要求画图并回答问题（1）画 B C 边上的高AO,过点A画直线A E/B C.（不要求写画法和结论）在（1）的图形中，如果8 C =“，点 B到直线AC的距离是3,点 C到直线4 8的距离是4,那么直线AE与间的距离等于.（用含a的代数式表示）12.（2021上海市风华初级中学七年级期中）（1）如 图 1,在AABC中，已知Z A 8 C 和N 4C B的角平分线8。、CE相交于点0,若 NA=80。，求 NBOC的度数，并说明理由.A(2)如图2,在AABC中，ZABC.N 4C 3的三等分线交于点。、02,若 4 4 =加。，则N B O2c-N B O、C=(用含有机

9、的代数式表示，直接写出结果).13.(2021 上 海市风华初级中学七年级期中)在AABC中，G是边8c上一点，D、E分别在边 A B、4 c上，DE/BC,M为直线OE上一点，N为直线GD上一点，/D M N =N B.如 图 1,当点M在线段OE上，点 N在线段DG上时，N B D N 与 Z M N D 相等吗,为什么？(2)当点M在线段即的延长线上，点 N在线段GO的延长线上时，请在图2 中画出相应的图形，并直接写出N B Z W 与的数量关系.(3)在 第(2)题的条件下，直线OG交 AC的延长线于点尸，若 N A =6 0。，N M N D =75。,则ZF=.（直接写结果）14.

10、（2021 上海金山七年级期末）如图，已知在AA8C中，N A=2 0。，Z B=6 0,8 平分/A C B 交 AB于点。，求/CDS的度数.Q课后作业15.（2021上海市第二初级中学七年级期中）下列说法中正确的是（）A.三角形的三条高交于一点B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直16.（2021上海金山七年级期末）如图，已知 A B C 中，B D、C E 分别是 A 8 C 的角平分线,BD与CE交于点、O,如果设/B A C=。（0 /E 8 C.若 Z B =5O,求 Z B

11、 Z W 的度数，并说明理由.28.（2021 上海市风华初级中学七年级期末）中，ZA、D B、N C 的外角的度数之比是2:3:4,求 NA的度数.第 12讲 三角形的有关概念和内角和学习目标i.理解三角形的有关概念及三角形的分类，体会分类思想；2.理解三角形内角和定理的是如何推导出来的，能够熟练的运用三角形内角和定理解决一些常见的计算问题；3 .灵活运用三角形的内角和性质及三角形的外角的性质进行简单的几何推理.互动探索（以提问的形式回顾）i .三角形的分类：按角分类：锐角三角形（三个内角都是锐角的三角形）直角三角形（有一个内角是直角的三角形）钝角三角形（有一个内角是钝角的三角形）按边分类：

12、不等边三角形（三边互不相等的三角形）等腰三角形（有两边相等的三角形）2 .三角形的主要性质：（1）三角形的任何两边之和 第三边，任何两边之差 第三边；（2）三 角 形 的 内 角 之 和 等 于；（3）三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 和 它;三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角。（4）三 角 形 的 外 角 和 等 于。（1）大于，小于；（2）1 8 0 ；（3）不相邻的两个内角和，大于；（4）3 6 0 小练习：1 .A B C中，如果+那么这个三角形是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _三角形；2 .在A4BB，已知N 8 =3 5。，Z C =5 5,则

13、此 三 角 形 是 _ _ _ _ _ 三角形。3 .在A 4 B C中，已知N A：Z B：Z C =1：2：3,则最大的一个角度数是 度。4.如果等腰三角形两边长分别为3,7,那么三角形的周长是:5 .A B C中，AB=9,B C=4,那么A C的取值范围是；6 .等腰三角形周长为1 6,且边长都为整数，则能构成不同形状的三角形共有（）(A)I 个(8)2 个(C)3 个 3)4 个7 .一个三角形的两边长分别为3和8,第三边的长为奇数，那么第三边的长为（）（A）3 或 5 （B）5 或 78 .下列说法正确的是（）（A）直角三角形的高只有一条（C）三角形中至少有一条高在形内9 .下列说

14、法错误的是（）（A）三角形的三条中线交于一点（C）三角形的三条高交于一点1 0 .下列说法正确的个数有（）个(C)7 或 9 (O)9 或 1 1（8）三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部（。）直角三角形的三条高不能相交于一点（8）三角形的三条角平分线交于一点（）三角形的三条边的垂直平分线交于一点（1）三角形的外角大于它的任何一个内角（2）外角都是钝角的三角形是锐角三角形（3）三角形的外角和是指三角形所有外角的和（4）外角中有一个角为9 0 的三角形是直角三角形A 1 B2 C 3 D 4参考答案：1、直角：2、直角；3、9 0；4、1 7；5、5 A C 1 3 ；6、C；7、C；8、C

15、；9、C；1 0、B“精讲提升（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.锐角三角形A B C中，Z C=2 Z B,则N 8的范围是（）A.1 0 Z B 2 0 B.2 0 ZB 3 0 C.30 ZB 45D.45 ZB 60解析：因为AABC为锐角三角形，所以0N390又NC=2/8,.02NB9().1.0ZB45又；N4 为锐角，,NA=180-(NB+NC)=180-3ZC 为锐角.0180-3Zfi90二3 0 /3 6 0,综上.300NB45,故选择C试一试：已知：三角形的一边是另一边的两倍，周长为12。求它的最小边的长取值范围。分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找

16、出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。解：如图，设A4BC的三边为“、b、c,其中a=2c,-a-cba+c,a-2 c:.cb3c因此，C,是最小边，h n-a-c =n-3 c所以：c12-3c3c,解不等式得，2C3例2.己知：如图，在A4BC中，NC=90,NEAB、。是AABC的外角，A尸、BF分别平分/E4B及/A BO,求 尸8的度数。FACE解：,：ZEABZABC+ZCZABDZCAB+ZCNA8C+NC+NCA8=180,ZC=90/E A B+/ABD =ZABC+ZC+ZCAB+ZC=180。+90。=270：AF、BF分别平分NE45及NA8D/./FAB+ZFBA

17、=g(/EA B +ZABD)=；x 270=135在 AABb 中，ZAFB=180-(ZFAB+ZFBA)=45试一试：已知：A46C中，NBAC=NBCA=a,。点 在BC的延长线上，ZB=ZD,NCAD=b，求。、匕间的关系。解析：a=/D+bNB=/D=a-bNB+ZBCA+ABAC=180n,ZBCA=ZBAC=a3a-/?=18O例3.如图，平面上有六个点A、B、C、。、E、F构成一个封闭折线图形,求/A+/8+/C +/O+/E +/F的度数。参考答案：360试一试：如图，求出任意一个五角星的顶角/4+/B+/C+/O+/E 的度数?参考答案:180I.（2021.上海市向东中

18、学七年级期末）如果一个三角形的两边长分别为3 和 7,则第三边长可 能 是（）.A.3 B.4C.7D.10【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边之间的关系即可判定.【详解】解：设第三边长为X,则4x10,所以选项中符合条件的整数只有7.故选：C.【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边.2.（2021上海市南洋模范初级中学七年级期中）在长度分别为12厘米、10厘米、5厘米、4厘米的四条线段中，任选三条线段可以组成三角形的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】从4条线段里任取3条线段组合，分4种情况讨论，看

19、哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可.【详解】根据两边之和大于第三边才能组成三角形，可知能组成两个三角形，分别为：12厘米，10厘米，5厘米；12厘米，10厘米，4厘米.故选：B【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键.f x 2a 3,再根据存在以3,a，5 为边的三角形，可得2 “8,进而得出的取值范围是3 “8,即可得到的整数解有4 个.【详解】卜-2 a 0 x L：解不等式，可得x2a,解不等式，可得后4,.不等式组至少有三个整数解，又 .存在以3,&5 为边的三角形，：.2 a a的取值范围是3 a/7 x/7 第三条边长为整数，.A=2或 3 或

20、 4 或 5 或 6.第三条边长为整数的三角形共有5个.故答案为：5.【点睛】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.也考查了无理数的估算，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.5.（2021上海市第二初级中学七年级期中）如图，加油站A 和商店8 在 马 路 的 同 一侧，A 到 的 距 离 大 于 8 到 的 距 离，4?=700米.一 个 行 人 户 在 马 路 上 行 走，当户到A 的距离与尸到B的距离之差最大时，这个差等于 米.M P N【答案】700【解析】【分析】当A、B、P构成三角形时，吩 与 8尸的差小于第三边A 3,所以A、B、P 在同一直线

21、上时，A尸与8 P 的差最大，算出这个最大值即可.【详解】当A、5、尸三点不在同直线上时，此时三点构成三角形.两边”与8 P 的差小于第三边AB,：.A,B、P 在同一直线上，尸到A 的距离与尸到B 的距离之差最大，:此时，PA-PB=AB 当P 到A 的距离与尸到B的距离之差最大时，这个差等于700米故答案为:700.【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题.解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大.6.（2021.上海华东理工大学附属中学七年级期末）如图，AABC中，N8=40。，NC=30。，点。为边BC上一点，将AADC沿直线AE 折叠后，点C 落到点E 处，NBAE

22、=3O,则ND4C的度数为.A【答案】40#40度【解析】【分析】根据三角形内角和定理，可 得 的 C=110。，可得NE4C=8O。，再根据折叠的性质，即可求得【详解】解：V ABCV，ZB=40,ZC=30,ZfiAC=1800-ZB-ZC =180o-40o-30o=110,ZBAE=30,ZEAC=ABAC-NBAE=110-30=80,由折叠性质可知ND4C=NEAD=|z E 4 C =40.故答案为：40.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，根据折叠的性质，得到/D 4C =/E4=；NE4C=是解决本题的关键.7.（2021.上海浦东新.七年级期中）不等边三角形的

23、最长边是9,最短边是4,第三边的边长是奇数，则第三边的长度是-.【答案】7【解析】【分析】由题意根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由不等边三角形和奇数的定义确定第三边的长度.【详解】解：设第三边长是c,则 9-4 c 9+4,即 5c13,又.第三边的长是奇数，不等边三角形的最长边为9,最短边为4,故答案为：7.【点睛】本题考查三角形的三边关系，注意掌握已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于己知的两边的差，而小于两边的和.8.（2021上海民办浦东交中初级中学七年级期末）一个三角形的两边分别是3 和 7,如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是一.【答案】9【解析】【分析】

24、根据三角形的三边关系”第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围：再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值.【详解】解：设第三边为m根据三角形的三边关系，得：7-3V aV 3+7,即 4 a+2,B C =a12所 以4 9 =二，a因为 A /B C,A D L B C12所 以 直 线AE与3 c之间的距离等于亍12故答案为：-a【点 睛】本题考查了三角形的高，点到直线的距离，等面积法求三角形的高，掌握三角形的高的意义是解题的关键.12.（2 02 1 上海市风华初级中学七年级期中）（1）如 图1,在中，已知Z A B C和Z A C B的 角 平 分 线8。、C E

25、相 交 于 点O,若N A =8 0。，求N B O C的度数，并说明理由.（2）如 图2,在AABC中，Z A B C.Z A C B的三等分线交于点。、02,若/4 =济，则Z B O2C-Z B O,C=。（用含有机的代数式表示，直接写出结果）.【解 析】【分 析】(1)先根据三角形内角和定理算出N/WC+NAGS=100。，根据角平分线的定义得出NCBO+NBCO=50。,根据三角形内角和定理算出N 80C 的度数即可；(2)先根据NA=m。，结合三角形内角和定理，用 m 表示出NBQC和N B&C,算出NBOQ-NBO。斗180-m)。即可.【详解】(1):在 AABC 中，ZA=8

26、0,:.ZABC+ZACB=100,：8。平 分/48(7,CE 平分 ZACB,NCBO+ZBCO=g(ZABC+NACB)=50,在 ABOC 中，ZBOC=180-ZCBO-NBCO=180-50=130,故 NBOC=130。.(2)在“ABC中，：ZA=m0,：.ZABC+ZACB=(180-/n),BO-80?为 NA8C的三等分线，CO,CO?为 ZACB的三等分线，2 2/.NCBO+NBCOi=-(ZABC+ZACB)=-(180-/n),NCBQ+NBCO?=；(NABC+NAC8)=g(180-,)。，2/.NBOC=l 80。-ZCBONBCq=180。-(180-,N

27、BO2c=180-ZCBO,-ZBCO2=180-g(180 ,I 2 1ZB02C-ZBOlC=180-(180-/M)0-1800+-(180-w)=-(180-m)0,故 NBQC-NBOC=g(180-?)。.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，根据角的等分线的性质结合三角形内角和定理找出规律是解决本题的关键.13.(2021上 海市风华初级中学七年级期中)在AABC中，G 是边BC上一点，D、E 分别在边AB、4 c 上，D E/B C,朋为直线DE上一点，N 为直线GO上一点，4DMN=4 B.(1)如 图 1,当点M 在线段OE上，点 N 在线段OG上时，NBON与NMNO相

28、等吗，为什么？(2)当点M在线段E O的延长线上，点N在线段GO的延长线上时，请在图2中画出相应的图形，并直接写出N B Z W与的数量关系.在 第(2)题的条件下，直线OG交A C的延长线于点/，若N A =6 0。，Z M N D =1 5,则NF=,(直接写结果)【答案】(1)相等，证明见解析(2)A B D N+Z M N D =18 0 15【解析】【分析】(1)根据可得N B =N A E,从而得到N A O E =N Z W N ,进而得到A B M N,即可求解；(2)根据。E 8 C,可得N B =N 4 0 E,从而得到N A D =/O W N ,进而得到即可求解；(3)

29、由(2)可得：A B/M N,从而得到N/W?V )=N A W =7 5。，再由三角形外角的性质可得 Z A+N F =Z A D N =75。,即可求解.(1)解：相等，理由如下：,JDE/BC,Z B =ZADE,：Z D M N =N B,Z A D E =N D M N,：.AB/MNf：.ZBDN=ZMND.(2)解：画图如下，ZB=ZADE,:/DMN=/B,:ZADE=ADMN,:ABMN,：.NBDN+/MND=180,故答案为：ZJ2N +ZMM9=18()。.(3)解：如图，由(2)得：AB/MN,：.4MND=ZADN=Q5。,：.Z A+Z F =ZADN=75,/Z

30、A=60,ZF=15.故答案是：15.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理是解题的关键.14.（2021上海金山七年级期末）如图，已知在A A 8C中，/A=2 0。，NB=60。,CD平分/A C B交A 8于点D,求/C C B的度数.【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出N C的度数，根据角平分线的性质求出NAC。的度数，再根据三角形的外角性质求得答案.【详解】解：在AABC 中，ZA=20,ZB=60,ZACS=180-ZA-ZB=1 （X）,；C）平分乙4C8,ZACD=-ZACB=50,2，NCDB=ZA

31、CD+ZACB=70.【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，角平分线定理，外角定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键.课后作业15.（2 02 1上海市第二初级中学七年级期中）下列说法中正确的是（）A.三角形的三条高交于一点B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直【答案】D【解析】【分析】分别对每个选项进行分析，即可解题.【详解】A选项：三角形的三条高所在直线交于一点，所以本选项不符合题意，故 A错误；B选项：有公共顶点且两边互为反向延长线两个角是对顶角，所以本选项不符合题意，故 B错误；C

32、选项：两条平行直线被第三条直线所截，所得的内错角相等，所以本选项不符合题意，故C错误；D选项：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，本选项符合题意，故 D正确.故选：D.【点睛】本题考查了三角形的高线所在直线交于一点，时顶角的定义，平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键.16.（2 02 1上海金山七年级期末）如图，己知 A 8 C 中，8 、C E 分别是 A B C 的角平分线，与 C E 交于点O,如果设N B A C=。（0 b,a b+c,HP0,a-b-c b,a 0,a h c-c)故 选A.【点睛】本题主要考查了三角形三边的关

33、系，平方差公式，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解.18.(2021上海普陀七年级期末)如图，AB/CD,NA=56,ZC=27,那 么NE=【答 案】29【解 析】【分 析】由平行线的性质可得H E=N A，NDFE是ACE/的外角，根据外角的性质即可得到答案.【详 解】解：V AB/CD,V NC=27,/NE=ZDFE-ZA =56-27=29.故答案为：29【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，准确把握各个角之间的关系是解题的关键.19.（2021.上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，A B/C D,ZA=30,NC=50。，则 NE=度.【答案】20【解析】【分

34、析】由4 8。得 到/7为=/。=50。，再利用三角形的外角定理可以求出ZE.【详解】A B/C D,：.ZC=ZEFB,；/C=5 0。，ZEFB=50,又：/尸8=/4+/,而/4=30。，./E=/E F 8-/A=5 0-3 0=2 0,故答案为：20.【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到N E=N EFBNA是解题关键.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.20.（2021上海市向东中学七年级期末）如图，在ABOE中，Z=90,ABCD,ZABE=2 2 ,则 NEOC=.ABE【答案】6 8#6 8 度【解析】【分析】根据直角三

35、角形两锐角互余可得/E B Q+N E Q B=9 0。，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解.【详解】解：，/Z=9 0,NEBD+NEDB=9G0,A B/CD,：.N A 8 Q+N C O 8=1 8 0,ZEDC=1 8 0-（Z E B D+ZEDB）-NABE=1 8 0o-9 0-2 2o=6 8 故答案为:6 8 .【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.2 1.（2 0 2 1 上海市民办文绮中学七年级期中）已知梯形A 2 C Z）的面积是1 2,A D/B C,且3 c =2AD,点 E为 80的中点，则 3

36、E C 的面积为.【答案】4【解析】【分析】利用平行线间的距离处处相等，结合3 c =2 A 3 得到S.ngs4e，再由S 四 边 形 A B C。=S&AKD+SN BCD=1 2 解题即可.【详解】解：V AD/BC.B C =2AD,SABD=/S&BCD 又 S四 边 形AfiCD=S&ABD+S&BCD=1 2,SBCD=8,:BE=DE,故答案为：4.【点睛】本题考查平行线间的距离，涉及三角形面积等知识,是基础考点，掌握相关知识是解题关键.22.（2021上海杨浦七年级期末）如图，在AABC中，AB=AC,Nfi4C=4 0 ,点。是边A8上一点，将 3 8 沿直线C。翻折，使点

37、B 落在点E 处，如 果 即 3 C,那么NAC）等于【答案】15【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180。求出NB=NACB=70。，由折叠可得ZB D C=ZED C,由 DEA C 可得NEDC=NBCD,在等腰三角形BDC中求出/B C D 的度数，根据角度关系可求NACD的度数.【详解】B解：如图,AB=AC,ZBAC=40:.ZB=ZACB=10,由 折 叠 可 知=ZEDC,-.DE/BC,2BCD=ZEDC=ABDC,.ZB=7()。，:.NBCD=NBDC=55。,:.ZACD=ZACB-/BCD=70-55=15.故答案为：15【点睛】本题考查了折叠问

38、题，涉及到平行线的性质和等腰三角形的性质，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键.23.(2021上海市川沙中学南校七年级期末)如图，直线a 乩 在R s A8C中，点C在直线a上，若N l=56。，Z 2=29,则/A的度数为 度.【答案】27【解析】【分析】如图，Z3=Z 1,由/3=/2+乙4 计算求解即可.【详解】解：如图：a/b,Z l=56Z 3=Z 1=56V Z 3=Z 2+Z A,Z2=29/.Z A=Z 3-Z2=56-29=27故答案为：27.【点睛】本题考查了平行线性质中的同位角，三角形的外角等知识.解题的关键在于正确的表示角的数量关系.24.（2021.上海市西南模范中学

39、七年级期中）在 ABC中，如果NA=g/8 =g N C,那么NA,NB,N C 分别等于.【答案】30。，60,90【解析】【分析】根据/C 设出/A =x,则/B =2 尤，Z C=3 x,再根据三角形内角和定理求出各角的度数即可.【详解】Z A=1Z B=Z C,设N A=x,则N8=2x,ZC=3 x,.*.x+2x+3x=180,x=30,ZA=30,ZB =60,ZC=90,故答案为：30,60,90.【点睛】本题比较简单，考查的是三角形内角和定理，解答此题的关键是根据三角形内角和定理列出方程，求出各角的度数.2 5.(2 0 2 1 上海徐汇七年级期中)如图，AABC中，/B A

40、 C=6 0。，A。平分/8A C,点 E在A B 上，EG/AD,E F L A D,垂足为尸.(1)求N1和N2的度数.联结。E,若 SMOE=S筋 形 E F D G,猜想线段EG的长和4 尸的长有什么关系？说明理由.【答案】30 ；6 0(2)相等，理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得44D,然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得/2,再利用平行线的性质即可求得/I 的度数.根据S A D E S梯彩E F D G可得A D=D F+E G,结合图形即可求解.(1)V Z BAC=6 0,A O 平分/BAC,Z B A D =-Z B A C =30,2又；EF_

41、 LA。，Z 2 =9 0 0-Z BAD=6 0 .JEG/AD,：.Z 1 =/B A D=30 .Q)相 等.理 由 如 下:SAADE=A。EF，S 梯形EFDG=(DE+EG)-EF SAADE=s 梯形 EFDG.-A D E F =-(DE+EG)EF2 2：.AD=DF+EG,：ADAF+DF,：.DF+EG=AF+DF,即 AF=EG.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键.2 6.(2 0 2 1 上海民办建平远翔学校七年级期末)如图，已知N&4 C =7 0。，。为A A 8 C 的边8

42、C 上的一点，且 N C 4 D =N C,Z 4 DB=6(r.求乙8 的度数.【答案】80【解析】【分析】根据三角形外角的性质解得N C =C =；x 6(r =30。，再利用三角形内角和1 80。解题.【详解】解：V ZC4D=ZC,Z A D B =2NC,NC=ZADB2 2,?ZBAC=70,=lx60=30：.Z B=1800-A B A C-ZC=180-70-30=80故N 8 的度数为80。.【点睛】本题考查三角形外角性质、三角形内角和定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.27.（2021上海市第二初级中学七年级期中）折叠三角形纸片A 3 C,使点A 落在3 c 边上的

43、点尸，且折痕。E 8 C.若 ZB=5O,求 ZBZ）F 的度数，并说明理由.【答案】Z B D F=8（）。，证明见解析【解析】【分析】根 据 折 叠 的 性 质 可 得 再 由 平 行 的 性 质 可 得 再 由 平 角 的 定 义 可得出/8 C F 的度数.【详解】解：ZBDF=S0,理由如下：由折叠得，X A D E 会/FDE,：.N A DE=NFDE,DE/BC,：.ZADE=ZFDE=ZB=50,：.ZBDF=180-/A D E-N F D E=1800-2ZB=180-l00=80.【点睛】本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，由 折 叠 得 到 是 解 题 的 关 键

44、.28.（2021.上海市风华初级中学七年级期末）AABC中，NA、D B、NC的外角的度数之比是2:3:4,求乙4 的度数.【答案】ZA=100【解析】【分析】根据题意设NA的外角为2x,DB的外角为3x,NC的外角为4 x,再由多边形的外角和为360。,得出乙4的外角，即可得出结论.【详解】；乙4、D B、NC的外角的度数比为2:3:4,可设NA的外角为2x,DB的外角为3x,NC的外角为4x,任意多边形的外角和为360,2x+3x+4x=360,解得x=40。，.N A 的外角为80。,ZA=100.【点睛】本题主要考查了多边形的外角和为360。及外角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键.