2023年高三复习专项练习：第56练　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积.pdf

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1、专题7立体几何与空间向量第 56练 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积基础对点练考点一基本立体图形1.（多选）给出下列命题正确的是（）A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形C.一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的答 案 BD解 析 只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，所以A 错；由圆锥的性质可知B 正确；直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以C

2、 错；由圆柱的定义可知D 正确.2.（多选）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则此正方形的面积可能为（）A.16 B.64C.32 D.无法确定答 案 AB解 析 根据题意，正方形的直观图如图所示，则原正方形的边长为AB=A B=4,所以该正方形的面积5=4X 4=16；若直观图中平行四边形的边A D=4,则原正方形的边长为A=2A D=8,所以该正方形的面积5=8X 8=64.3.（2022上海市徐汇区模拟）在四面体ABC。中，AB=BC=CA=,D 4 与直线AB,C 4均垂直，且。4=小，一只蚂蚁从AABC的中心沿表面爬至点D,则其爬过的路程最小值为（）A返 R返

3、+立A.3B.2 十 6 还 D 返J 3 3答 案 A解析 因为 D4J_AC,A8CAC=A,AB,ACU 平面 ABC,所以D4_L.平面A B C,又 D 4U 平面D 4 C,所以平面D4CJ_平面ABC,将底面ABC以A C为轴旋转，旋转至平面D 4C 与平面ABC共面，且平面D 4C 与平面ABC位于AC的异侧，如图，点。为ABC的中心，此时0。的直线距离即为最短距离，D设。到直线A C的距离为d,则 d=十一曲J，所以。=胡+（小+*）=隼考点二表面积与体积4.正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2小，则它的表面积为（）A.4（3小+4）C.12（2巾+1）B.12（小

4、+2）D.3（小+8）答 案 B解析 正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2小，则 高 为 产 叱 2小）2-（2义2）2=2,它的表面积为S 忌+6S.=2 X 6 X；X2X2Xsin；+6X 2X 2=125+24=12（7 5+2）.5.（2022苏州模拟）陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一.传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽.中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺.如图，一个正放的陀螺，下半部分为圆锥,上半部分为同底圆柱.其总高度为8 cm,圆柱部分高度为6 cm,已知该陀螺由密度为0.7 g/cm3

5、的木质材料做成，其总质量为70 g,则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为（）A.2.0 cm B.2.2 cmC.2.4 cm D.2.6 cm答 案 B解析 由题意知该陀螺由密度为0.7 g/cn?的木质材料做成，其总质量为70 g,可得该陀螺的总体积为7言0=1 OCXcnP）,设底面半径为r,则兀/X 6+$，2 x（8-6）=100,解得 2 2.2（cm）.6.某圆锥的侧面展开图是一个半径为4 的半圆，正方体ABC。-A 内接于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体ABCQA B iG。的体积的比值为（）A.4兀 B.邛 Wt C.4y3it D.24小兀答 案 B解 析 根据题意，

6、设圆锥的底面半径为r,则 2口=4兀，得 r=2,圆锥的轴截面是边长为4 的等边三角形，其内切圆半径为4X坐 X；=，设正方体的棱长为d 则 乂2=5 4,得 =64 正方体的体积为又圆锥的高=、4 2 2 2=2小,则体积为 嚓，圆锥的体积与正方体A B C。一AliGA的体积的比值为罕兀7.(多选)(2 02 2.济南一中模拟)下列说法正确的是()A.若球的表面积为3 6兀cm?,则其体积为3 6n:cm3B.正三棱柱底面边长为2,侧棱长为3,则其表面积为18C.正六棱台的上、下底面边长分别是2 c m和6 cm,侧棱长是5 cm，则其表面积为(6OJ 5 +2 4-72 1)cm2D.正

7、四棱锥的底面边长为3M L侧棱长为5,则其体积为2 4答 案A C D解析 对于A,设球的半径为R,因为球的表面积为3 6n cm2,可得4兀代=3 6兀，解得R=3 cm,4 4所以球的体积丫=铲/?3=铲乂3 3=3 6兀(cn P),所以A正确；对于B,因为正三棱柱底面边长为2,侧棱长为3,可得其表面积S=S5E+SM=2义乎X 2 2+3 X 2 X 3=2方+1 8,所以B不正确；对于C,正六棱台的上、下底面边长分别是2 c m和6 c m,侧棱长是5 cm,可得正六棱台的斜高/=与下底面所成的角为30。D.沿着该圆台表面，从点C 到 AD中点的最短距离为5 cm答 案 ABD解析

8、由 A B=A D=B C=2cm,且 C=2AB,可得C C=4 c m,高O Q 2=N 4仁 斗=小c m,则圆台轴截面4 8 c o 的面积为4X(2+4)X巾=35(err?),故A正确;圆台的体积丫=上:(1+4+2)*小=4 X r(cm 3),故 B 正确；圆台的母线4 0 与下底面所成的角为NAD。，其正弦值为登，所以乙4。0|=6 0。，故 C 错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4 c m,底面半径为2 c m,侧面展开图的圆心角为。27t-2=-4=lt9设 AD的中点为P,连接CP,可得NCOP=90。，0C=4cm,O P=2+l=3(cm),则 CP=、42

9、+32=5（cm）,所以沿着该圆台表面，从点C 到 中 点 的 最 短 距 离 为 5 c m,故 D正确.12.（多选）（2022 济南模拟）如图所示，正方体A8CDA B C 的棱长为1,E,尸分别是棱，C C 的中点，过直线 的平面分别与棱5夕，D D 交于点M,N,以下四个命题中正确的是（）A.W E F=0B.ME=NEC.四边形MENF的面积的最小值与最大值之比为2:3D.四棱锥4-M EN 尸与多面体A8C）-EJW W 的体积之比为1 ：3答 案 ABD解析 对于A 选项，如图，连接B D,D,MN.由题意得EF1.BD,EFLBB,BDCBB=B,所以EEL平面BOD B ,

10、又 MNu平面8。B ,所以EFLMN,因此疝.寿=0,故 A 正确；对于B 选项，由正方体性质得，平面BCC B 平面A。A,平面 8CC B n 平面 EM FN=M F,平面 A。4 C 平面 EM FN=EN,所以 MFEN,同理得MEN尸，又E F L M N,所以四边形MENF为菱形，因此|丽=|曲，故 B 正确；对于C选项，由选项B易得四边形M EN F的面积S=：MN.EF,所以当点M,N分题为BB,D D 的中点时，四边形M E N F 的面积S 最小，此时M N=E F=正，即面积S 的最小值为1；当点M,N 分别与点B（或点夕）,（或。）重合时，四边形M E N F 的面

11、积S 最大，此时M N=5,即面积S 的最大值为半，所以四边形M E N 尸的面积最小值与最大值之比为2:#,故 C 不正确；对于D 选项，四棱锥A 一例EN尸的体积为V V w-A E F+V i v-A E F=g o B-S A A E F=；X也 X j=/；因为E,尸分别是A A ,C C 的中点，所 以 8W=。N,D N=B M,于是被截面M E N F平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体4 8 C EA/FN的体积H-HWABCD-A B C A T=,所以四棱锥A M E N F 与多面体A B C D-E M F N 的体积之比为1 ：3,故 D

12、 正确.13.（20 22衡水中学模拟）如图所示，某几何体由底面半径和高均为5 的圆柱与半径为5 的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为答案4 0007127解析 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等且为5,下部分深入底部半球内.设小圆柱下部分的高为6（0 /7 5）,底面半径为4（X/5）.由于r,九和球的半径构成直角三角形，即 用+*=52,所以小圆柱体积丫=兀、（+5）=7 t（2 5-层）（+5）（0 /?5）,V=一兀（3/25）（+5）.当0 0,体积丫单调递增；当!人 5 时，V 24.8 弋13.39（立方米）.故浇制一个这样的预制件需要约13.39 立方米混凝土.