上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试卷（解析版）.pdf

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1、上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试题一、选择题i.已知在 中，NC=9 0,A C =3,BC=4,则 t a n A 的 值 为（）3A.-448?4D.-5【答案】8【解析】【分析】锐角A的对边。与邻边人的比叫做N4的正切，记作t a n A,据此进行计算即可.【详解】解：在用AABC中,l a加生，AC 3故选：B.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，解题时注意：在m A C 8中,Z C=9 0,贝i t a n A=3.b2.已知向量方和B都是单位向量，那么下列等式成立的是（）A.a=bB.a+b=2C.a-b=0D.向 明【答案】D【解析】【分析】根据

2、向量日和日都是单位向量,，可知国1=区|=1，由此即可判断.【详解】解：A、向量方和5都是单位向量，但方向不一定相同，则=5不一定成立，故本选项错误.3、向量5和5都是单位向量，但方向不一定相同，则4 +5 =2不一定成立，故本选项错误.c、向量m和5都是单位向量，但方向不一定相同，则-5 =o 不一定成立，故本选项错误.。、向量方和5都是单位向量，则|源=区 i=i,故本选项正确.故选：D.【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键3.下列函数中，属于二次函数的是()y =(x-2)-x2【答案】C【解析】【分析】形如y=a x 2+b x+c (a O),a,b

3、,c 是常数的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 为常数项，x 为自变量，y 为因变量，据此解题.【详解】A.y =一 一 右边不是整式，不是二次函数，故 A错误；x-2B.y =J x 2 一2右边是二次根式,不是整式，不是二次函数，故B错误：C.y =d 2是二次函数，故 C正确；D.丁 =(%-2)2-炉=%2-4%+4-%2 =_ 4%+4 是一次函数，故 D错误，故选：C.【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.4.将抛物线y =/一3向右平移2 个单位后得到的新抛物线表达式是()A y=x2-1 B.y =x2-5

4、 C.y =(x +2)2-3 D.y =(x-2)2-3【答案】D【解析】【分析】先利用顶点式得到抛物线y =3的顶点坐标为(0,-3),再利用点平移的坐标规律得到点(0,-3)平移后所得对应点的坐标为(2,-3),然后利用顶点式写出平移后得到的抛物线的解析式.【详解】解：原抛物线的顶点坐标为（0,-3）,y =/-3向右平移2 个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（2,-3）,.新抛物线表达式是y =（x 2）2-3.故答案为：D.【点睛】本题考查了二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点，用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数.S.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=

5、l:2.4,如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）传送带/777777777777777777777A.10 米 B.2 4 米 C.2 5 米 D.2 6 米【答案】D【解析】【分析】根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案.【详解】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=l：2.4,A E=10米，A E 1B D,1 I =-=-,B E 2.4；.B E=2 4 米，.在 R J A B E 中，AB=yjAE2+B E2=2 6 （米）故选：D.【点睛】此题考查了坡度坡角问题.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义.6.如图，在

6、 RS A B C 中，ZACB=90 ,。是边A 3 上一点，过。作 O F _ LA 8 交 边 于点 E,交 AC的延长线于点尸，联结A E,如果ta n/E 4 c=g,SACEF=I,那么以 c 的值是（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】1-1-1【分析】根据ta n/E 4 C =,可得=一，由 E F CSAA B。，可得相似比为上，3 AC 3 3从而得到面积比为,，进而求出答案.9【详解】V ZACB=90,.ZfiAC+ZB=90,又；DEL AB,ZADF=90,：.ZBAC+ZF=9O,：.ZB=ZF,又,?NECF=NACB=90,：./ECF/AC

7、B,EC CF/八 1 -=-=tanNL4C=,AC BC 3.SAECF _ J _,*1-9 ACS 7又：SAECF=1,S&ABC=9 ,故选：C.【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键.二、填空题7.如果。：。=3:2,那么-=.a+b3【答案】-【解析】【分析】设 a=3 k,然后用k 表示出b,最后代入，一计算即可.a+b【详解】解：设 a=3 k:a:b=3:2：.3k:b=3;2,即 3 b=6 k,解得b=2 k.a _ 3k _ 3 k _ 3a-vb 3k+2 k 5k 53故答案为.【点睛】本题主要考查了比

8、例化简求值，设出中间量、分别表示出a、b 成为解答本题的关键.8.计算：3 -1（2 -4 ）=【答案】2 a+2 b【解析】【分析】根据向量的线性运算法则进行运算，从而可得答案.【详解】解：3a2 a-4 b=3a-a+2 b=2 a+2 b.故答案为：2 a+2 b-【点睛】本题考查的向量的线性运算，掌握向量的加，减，数乘运算是解题的关键.q.如果抛物线y=V-a经过点（2,0）,那么”的值是【答案】4【解析】【分析】将 点（2,0）代入抛物线解析式y=Y-。即可求得a 的值.【详解】解：抛物线y=。经过点（2,0）,得：0=4-a.解 得,a=4,故答案为：4.【点睛】本题考查了二次函数

9、的性质，代入已知量即可求得未知量.如果抛物线y=(Z +l)f有最高点，那么左的 取 值 范 围 是.【答案】k =(4+l)f有最高点，得出抛物线开口向下，即k+l VO,即可得出答案.详解】解：.,抛物线y=(z +l)f有最高点，.抛物线开口向下，.,.k+l0,*k 故答案为：k =5 4,联结A O，即可得NO=1 5 ,如果设AC=f则可得CO=(2+6/那么cotl5=cot=C 2 =2+百，运用以上方A C法，可求得cot 22.5的值是【答案】J +l【解析】【分析】作使NC=90,Z A B C =45,再延长BC到点。，使 团 =84,联结A O,即可得/=2 2.5,

10、设AC=r,然后用t表示出C D,最后根据余切的定义作答即可.【详解】解：如图：作使NC=90,Z A B C =45,再延长CB到点。，使B D=B A,联结 A O,即可得 ND=22.5设 4C =f,则 BC=t,AB=BD=V2t所以 DC=BC+AB=t+Vt=(1+V2)t所以cot22.5o=生=+夜”=1+6A C t故答案为l+正.【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45。的直角三角形，再作辅助线得到22.5。角的直角三角形成为解答本题的关键.18.如图，在ZC=90,A C =6,B C=8,。是8 C的中点，点E在边A B k,将 5汨 沿直线O E

11、翻折，使得点8落在同一平面内的点8 处，线段夕。交边AB于点尸，联结A B,当AAB/Z是直角三角形时，8E的长为【答案】2或 一17【解析】【分析】分两种情况讨论，当乙4尸8=9 0。时，则NBED=9 0 ,利用锐角三角函数先求解DE,B F，B F,设B E=x,再表示BE,EF,再利用勾股定理求解x即可得到答案；当NA?尸=90时，如图，连接AD，过E作EH LBD于H,先证明:RtAD CAD B,再证明NAOE=90。，设BE=5 x,利用B8的锐角三角函数可得EH=3,BH=4x,DH=4-4x,AE=10-5x,利用勾股定理求解x可得答案.【详解】解：.AC=6,BC=8,ZC

12、=90,.AB=10,1。是3 c的中点,.-.BD=COMBD=4,当 NAFB=90 时，则/BFD=90，.sin/八、=竺AB 5 DB设 BE=x,则=EF=BF-x=-x,52/.x=2,即：BE=2.当NABN=90时，如图，连接AO，过E作石HJ L3D于“，同理可得：CD=BD=BD=4,AD=A D，NC=90，/.RM AD gAAD B(H L)：.ZAD C=ZAD B,;ZBDE=A B D E，：.ZADB+NBDE=90=ZADE,设 BE=5x,由sin八 把 二 二 里AB 5 BEEH=3x,BH=4x,.D H =4-4 x,.02=(3x)2+(”4x

13、)2,4炉=(1 0-5xA)2=62+42=52,.-.(10-5x)2=52+(3x+(4 _ 旬2,8BE=5x=竺17当NBAF=90。，不合题意，舍去.综上：8E的长为2或4,0.1740故答案为：2或万.【点睛】本题考查的是折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键，要注意分情况讨论.三、解答题工Q.计算:tan?45。cot 30-2 cos 45-2 sin 60.【答案】五【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.【详解】解：原式=三上外生息J-g2=百+6=啦.【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角

14、的三角函数值是解题关键.2.0.已知二次函数的解析式为丁 =:/一2.(1)用配方法把该二次函数 解析式化为y=a(x+m)2+Z的形式;(2)选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系X。)，内描点，画出该函数的图像.【解析】【分析】(1)直接利用配方法即可把该二次函数的解析式化为顶点式;(2)列表、描点、连线，画出函数的图象即可.1 ,【详解】解：(1)y=-JC-2 x2=1(X2-4X)1,=-(X2-4X+4-4)(X T-217y =/(x-2)-2 ；(2)填表如下:图像如下:.-20246.60-206.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确掌握配

15、方法以及画二次函数图象的步骤是解题关键.2，.如图，在A/WC中，点G是AABC的重心，联结AG,联结BG并延长交边AC于点。，过点G作G E B C交边AC于点E.(1)如 果 而=，A C h 用、B表示向量而;(2)当A G _ L 8 O,B G =6,N G 4 T =4 5 时，求AE的长.BGDC【答案】(2 1 r 1)BG=ci+b；(2)AE=42【解析】i 2 f【分析】(1)由G是重心，可得AO=力，BG=-B D,因 为 访=函+筋，可得-1 -BD=-a+b ,进而求出3 3；(2)根据G是重心，求出OG=3,因为AGO是等腰直角三角形，勾股定理计算出AZ)二3亚，

16、由4O=OC,Z)C=3Z)E求出Q E=0,相加即可.【详解】解：(1)-BD=BA+AD:点G是放 A8C的重心，：.AD=AC,AB=af AC=b 1-1 fAD=a,2f T 1 T BD=-a+-h2-2 f 2 1 BG=BD=(-a+b),3 3 2t 2fLBG=a+b.3 3(2)G是三角形的重心,；BG=2GD,AD=DC,：BG=6,:GD=3,V A G L B D,NGAZ)=45，：.AG=GD=3,=6+3 2 =3万:G E/BC,.DE GD D C B D 3：,DE=yj2，/.AE=AD+DE=4-72【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理

17、以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键.2 2.图 1是一款家用落地式取暖器，如图2 是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形ABC。是取暖器的主体，等 腰 梯 形 是 底 座，BE=C F,烘干架连杆G H 可绕边C O 上一点H 旋转，以调节角度，已知C=50C7，BC=Scm,EF=20cm,DH=U cm,GH=15cm,ZC F E =3 0 ,当 NG”Z)=53时，求点 G 到地面的距离.(精确到 0/c m)【参考数据：5m 530.80,cos530*06(),tan530-l.33,百 a

18、1.73 J图1图2【答案】点G 到地面的距离为50.5cm.【解析】【分析】过 H 作 H R L A B,在 RSH G R中，利用三角函数求出GR的长，再根据RB=CH=DC-DH,求出RB长，即可求出G 到 B 的长度，过 C 作 CT_LEF,过 B 作B Q E F,通过证明ABEQ之C F T,得出EQ=FT,在 RtaCFT中，利用三角函数求出CT=BQ的长，由GQ=GB+BQ即可求出答案；【详解】解：如图，过 H 作 HRLAB,V ZG HD=53,且 AB/CD,/.ZHGR=53,在 RtHGR 中，GR=COS53XGH=COS53X15=9,.GB=GR+RB=9+

19、(50-12)=47,过 C 作 CT_LEF,过 B 作 BQ_LEF,则NCTF=NBQE=90。,VBE=CF,ZE=ZF,.BEQ 丝CFT,.EQ=FT BQ=CT,.,BC=8cm,EF=20cm,EQ=FT=6cm,在 RtACFT 中，NCFT=30。,.CT=BQ=tan30 xFT=-x6=2 7 3，3GQ=GB+BQ=47+26 a 4 7+2x1.73=50.46 a 50.5(cm),答：点 G 到地面的距离约为50.5cm.【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形利用三角函数值求线段长.2 3.如图，在AABC中，

20、点。、G 在边A C 上，点 E 在边B C 上，D B =D C,EG/AB,A E、B D 交于点、F ,B F =A G.(1)求证：BEE C G E；(2)当ZAG=N C 时，求证：A B2=A G-A C.FDGB E【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）由EG/3易证a C G E s C A B,由性质 得 生=笠 由比例性质得CA CB,由已知BF=AG比例式变为2 9 =笠，由已知。5=心，利用等边对等角AG BE BF BE得NFBE=NGCE,利用两边成比例夹角相等知 B F E A C G E,（2）由EG 4 3,利用性质内错角相等/B

21、 A E=/A E G,由已知NAEG=N C,推出AB BEZ B A E=Z C,又/A B E=/C B A 共用，可证AABES C B A,由 性 质 一=，BC AB/B E A=/B A C,把比例变等积得A B J B G B E，由（1）利用性质ZBEF=ZCEG,ZB FE=ZC G E,推出/B A C=/G E C=/A B C=N E G C,利用等角对等边得 AC=BC,GC=EC,利用等量代换得AG=BE,可证AB?=AC.AG.【详解】（1）,/EG/AB,.NCGE=NCAB,ZCEG=ZCBA,.CGEs/xCAB,.CG CE C A C B CG CE

22、P 1tl CG CE.-=-即=:CA-CG CB-CE AG BEVBF=AG,C G _C EB F-B E DB=DC,，NDBC=NDCB,即NFBE=NGCE,ABFESACGE,(2),/EG/AB,.ZBAE=ZAEG,又NAEG=NC,；./B A E=/C,又.,NABE=NCBA 共用,.ABEcoACBA,AB BE-=-,NBEA=NBAC,BC AB AB2=BC.BE-由(1)ABFE/CGE,.*.ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,:EG/AB,NABC=NGEC,ZBAC=ZEGC,/.ZBAC=ZGEC=Z ABC=ZEGC,.AC=BC,GC=EC,

23、；.AG=BE,AB2=BC.BE=AC.AG.BE【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，会利用换比的方法证三角形相似，会利用相似证角等转化边角关系是解题关键.2 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点4(一1,0)、8(3,0)、C(0,3)，抛物线y+Z?x+c经过A、B 两点.(1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；(2)在(1)题的条件下，点尸为该抛物线上一点，且位于第三象限，当NPBC=NACB时，求点尸的坐标；(3)如果抛物线y=2+0 x+c的顶点。位于ABOC内，求。的取值范围.【解析】【

24、分析】(1)将点A(-1,0)、8(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=谒+法+。,利用待定系数法即可求解：(2)先证明 AOC丝aEOBlASA)得出E(0,-1),利用待定系数法求出直线PB的解析式，根据P是直线与抛物线的交点，联立解析式即可求出P点的坐标；(3)根据抛物线丁=。无2+以+。经过4(1,0)、8(3,0),求得抛物线解析式，从而表示出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，当x=l时，y=2,根据D位于ABOC内部，列出关于a的不等式即可求解.【详解】(1)将点A(T,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+ca-b+c=O得：b +c=0,c

25、=3a=-1解得：=2 ,c=3抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.(2)如图：.OB=OCZOBC=ZOCB当NPBC=/ACB 时，则NPBC-/OBC=NACB-/OCBE|JZPBO=ZACO设PB交y轴于点E,在4 AOC WA EOB 中ZPBO=NACO OB=OC,ZEOB=ZAOC：.AAOCAEOB(ASA)/.OE=OA=1A E(O,-1)设 P B 的解析式为y=m x+n将 B(3,0),E(0,-1)代入得 3m+n=0n=-1解得1m=3 ,n=-1直线P B 的解析式为y=；x-l,联立解析式彳 y =-3 x _ 1,y x+2 x +3x,解得IM=3

26、=o4x2 31 32 94P(71 3(3)如图，.，y=a x 2+b x+c 经过 A(T,0)、B(3,0)y=a(x+1 )(x-3)=a x2-2 a x-3a一2。对称轴为直线x=-=1 ,顶点D的坐标为(1,-4 a)2a由 B(3,0)、C(0,3)易得BC解析式为y=-x+3当 x=l 时，y=2因此当D位于ABOC内时0 -4 a 2解得一,V a V O2即a的 取 值 范 围 是a 0.2【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定，证得A A O C丝a E O B,从而得到E的坐标是解

27、题的关键.2 5 如图，在AABC中，Z A B C =9 0 ,AB=3,8 C =4,过点A作射线点。、E是射线4W上的两点(点。不与点A重合，点E在点。右侧)，连接3 D、BE分别交边AC于点/、G ,N D B E =N C.(1)当A D =1时，求F B的长(2)设A D =x,F G =y,求 关于的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)联结力G并延长交边8c于点H,如果 0 8 是等腰三角形，请直接写出A。的长.4 /4 V-+36 9 3 7【答案】(1)F B =-M；(2)y =(0 x 4)；(3)A O =一 或一或一.5.5x +2()4 2 8【解析】【分析】4(

28、f+9)4 x +9【详解】(1)在 R t z A B D 中，A D=1,A B=3,B D=A E r +A B1=712+32=V io-AM!IBC,.,.A D F A C B F,A D D F 1 -=-=-1C B B F 4/.B F=4 D F,/.F5=1Vio(2)VAADFACBF,.AF DF AD xBD=VAD2+AB2=&+9，.RF-4J尤+9 n F_ x&+94+x 4+x在 R t-B C 中，AB=3,BC=4,.AC=7BC2+AB2=5AAF=5x4+x.,AMBC,.ZCAD=ZC,4D B E =N C,.ZCAD=ZDBE,VZAFD=ZBFG,.,.ADFABGF,.AF DF-=-,BF FG A FFG=BF D F,FG=y,.5x 4&+9 x 6+9-y-4+x 4+x 4+x.*y 二4+365x+20 xAPHB,BP BD=BH AD,4(/+9)=2,解得*=2,4x+9 2 49 3 7综上，线段A D的长为一或不或力.4 2 8【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，分情况讨论问题进行解答，（3）多次证明三角形相似，目的是求出线段BH的长度，再根据等腰三角形的性质进行解答，如 用（2）的思路进行求解B H的长度，则无法进行求值，只能是通过其他方法求BH,这是此题的难点.