2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷十四（学生版+解析版）.pdf

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1、绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I 卷数学模拟卷十四学校：姓名：一 一班级：考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、H两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足iz=l-i(其中，为虚数单位)，则复数2在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限2.已知集合4=xx2 4x+3 0,A.(l,e B.1,33.若

2、数列 斯 是等比数列，公比为g,A.充分不必要条件C.第三象限 D.第四象限B=x|lnx 1”是“斯 为递增数列的()B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.如图所示，正方体的棱长为V 5,以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为()A 江A.-6B.7 1D.4兀5.北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5 名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1 名志愿者，则不同的安排方法共有()A.90 种 B.125 种 C.150 种 D.243 种6.已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试

3、成绩X近似服从正态分布N(100,225),从中任取3 名同学，至少有2 人的数学成绩超过100分的概率为()A.-B.-C.-D.-2 3 4 87.已知抛物线C:y2=4 x,圆尸:(x 1)2+y2=1,直线Z:y=1)(=0)自上而下顺次与上述两曲线交于M,M2,M3,“4四点，则下列各式结果为定值的是()A.MrM3|M2M4|B.FMr-FM4C.MM2I|M3MJ D.|FMi|MM2I-1 0%0 时，/(x)=i,二、)一，若关-Z),X Z于 x 的方程 x)2-(a+l)f(x)+a=0(a 6 R)恰有4 个不相等的实数根，则这4个实数根之和为()A.4 B.4 C.8

4、 D.一 4或 8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。9.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据:选物理 不选物理数学成绩优异207数学成绩一般1013由以上数据，计算得到22=*!*2工。：7)2 4 8 4 4,根据临界值表，以下说法正确的是()参考数据：a0.10.050.010.0050.001Xa2.7063.8416.6357.87910.828A.有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关B.在犯错误的概率

5、不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关C.95%的数学成绩优异的同学选择物理D.若表格中的所有数据都扩大为原来的1 0倍，在相同条件下，结论不会发生变化1 0 .已知x 0,y 0,2x+y=l,则下列说法正确的是（）A.孙的最大值是（B.：+：的最小值是8C.4 x2+*的最小值是:D.x2+好的最小值是:1 1 .已知函数f（X）=C O S（3 X 令（30）,则下列说法正确的是（）A.若将/（X）图象向左平移9个单位长度，所得图象与原图象重合，则3的最小值为4B.若/（力=/）,则3的最小值为1C.若/在（Q）内单调递减，则3的取值范围为E序D.若/（X）在（泉兀）内无

6、零点，则3的取值范围为|,曰1 2 .长方体Z B C D-a B i G D i中，底面A 8 C D是边长为2的正方形，A At=1,则下述结论正确的是（）A.若点P为底面四边形必勺口以内的一个动点，且4 P =2,则点P的轨迹长度为%2B.若点P为侧面四边形C i G C D内的一个动点，且A P L D i C,则点P的轨迹长度为个C.若点尸为侧面四边形&GCB内的一个动点，且4尸与平面A B C D所成的角为3 0。，则点尸的轨迹为双曲线的一部分D.若点尸为底面四边形&当 口。1内的一个动点，且平面A B P与平面A B C D所成的角为4 5。，则点P的轨迹为椭圆的一部分第n卷（非

7、选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3 .曲线/（x）=ln（2 x）+/在点处的切线方程为.1 4 .某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.98 1 的处理，经过思考，他决定采用精确到0.0 1的近似值，则这个近似值是.1 5 .已知在A A B C中，A B=3,A C=5,其外接圆的圆心为O,则 布 能 的值为1 6.已知双曲线/一?=1的左、右焦点分别为0,F2,过点FI的直线与双曲线的左支交于A,3两点，设SS 2分别为4打 尸2，A B F i F 2的内切圆的面积，则S 1+S 2的取值范围为四解答题：本题共6小题，共7 0分。解答应写出文字说明

8、，证明过程或演算步骤。1 7.在4 4 B C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知V 5 t a n A t a n B t a n 4 t a n fi =V 3,角C的平分线C 交A 8于D.(1)求证：宗=专+专;(2)若C D =C B =2,求 A B C的面积.1 8.已知数列。九 满足每T 一 a九=Q九 一 an+1(n 2),且的=1,a7=1 3;数列 b 的前项和为Sn,且=(1)求数列 Qn和 g 的通项公式；若数列为 偶 数 求数列&的前,项和加19.如图，四边形ABC。为梯形，A D/B C,AD1 AB,侧面PA8为等边三角形，平面A B P A B

9、C D,4。=2BC=2,点 M 在边 PC 上，且PM=2MC.(1)证明：2 4/平面(2)当二面角C-BM-。的平面角的正切值为历时，求四棱锥P-力 BCD的体积.20.购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一.每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.某礼品店2021年 1月到8 月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份1月 2 月 3 月4 月 5 月6 月 7 月8 月月销售量/千个3456791012月利润/万元3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9

10、9.1(1)求出月利润y(万元)关于月销售量千个)的回归方程(精确到0.01);(2)2022年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4 个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4 个装有“雪容融”玩偶的盲盒,从中随机选出3 个作为元旦礼物赠送给同学.用X表示3 个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求 X 的分布列和数学期望.参考数据：空=1数=4 6 0,%L=379.5附：线 性 回 归 方 程 方 战+科，屋端涉=要策署，旌 歹 一 航21 .已知椭圆(:塔+=1(16 0)的左右焦点分别为生(一1,0),尸2(1,0).过 尸2与x轴垂直的直线与椭圆C

11、交于点。，点。在x轴上方，且|。京|=苧.(1)求椭圆C的方程；(2)过点尸2的直线/与椭圆C交于A,B两 点,是否存在一定点M使得k时.+为定值，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.22.已知函数f(x)=皿：+,g(x)=x s i n x l n(x +1).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)证明：当%甘,兀|时，x s i n x 2c o s x +1;(3)判断g(x)在区间C，2TT)上零点的个数.绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I 卷数学模拟卷十四学校:姓名：一 班级：.考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、n 两卷。第 I 卷为选

12、择题，所有答案必须用2 B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第 I I 卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 3 .若复数z 满足i z=l-i（其中i 为虚数单位），则复数2 在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，复数的运算及复数几何意义，属于基础题.先求出复数z 的值，再求其共朝复数对应点位置即可.【解答】解：z =-l-i,从而，=l

13、+i,故其对应点（一1,1）位于第二象限.故选B.2 4 .已知集合4 =（xx2 4 x +3 0 ,B =x|l nx 1 ,则A n B=（）A.（l,e B.1,3 C.（0,e D.（0,3【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式，对数不等式，交集运算，属于基础题.根据元二次不等式和对数不等式解法，求出集合A,B,根据交集运算即可求得答案.【解答】解：,；4=xx2 4 x +3 B=x|l nx l”是“an为递增数列的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件及等比数列，考查考

14、生的逻辑推理能力，考查的核心素养是逻辑推理.分 别 取 即=-2 3 an=-（）n,求出相应数列的公比，结合充分条件、必要条件的相关定义进行分析即可得解.【解答】解：取时=-2”,该数列的公比q =2 1,但该数列是递减数列；取=-G）n，该数列的公比q =1 1 是 数列 6为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选。.2 6 .如图所示，正方体的棱长为百，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（）D.4 7 rA疗 B.兀 C*【答案】B【解析】【分析】本题考查了球的表面枳，属于中档题.由题意知这个八面体的棱长均为手，求出内切球的半径，由此求得它的表面积.

15、【解答】解：由题意知这个八面体的棱长均为当，设内切球的半径为r,内切球的球心为0,则该正八面体可以分割成8 个以0 为顶点，八面体的各个面为底的全等的三棱锥，易求得构成八面体的两个四棱锥的高都为当，2 2所以正八面体为8 x;x x g）x 务/x（当）x 当 X2所以内切球半径为r=%内切球表面积为471T=n,故选B.27.北 京 2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5 名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.90 种 B.125 种 C.150 种 D.243 种【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的综

16、合应用，属于中档题.根据条件可分两类考虑，第 1类，5 个同学分3,1,1进行分组分配，第 2 类，5 个同学分2,2,1分组分配，计算即可求得结果.【解答】解：分两类：第 1类，5 个同学分3,1,1进行分组分配，有 麾 胆=60种安排法；第 2 类，5 个同学分2,2,1分组分配，有绛90种安排法，A2一共有60+90=150不同安排法.故选C.2 8.已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X 近似服从正态分布N（100,225）,从中任取3 名同学，至少有2 人的数学成绩超过100分的概率为（）A.-B.-C.-D.-2 3 4 8【答案】A【解析】【分析】本题主要考

17、查正态分布概率计算以及正态分布曲线性质，属于基础题；根据己知条件首先确定至少有2 人的数学成绩超过100分的情况，再分类讨论，结合正态分布曲线性质和正态分布概率计算每种情况下的概率，最后再相加，得出结论.【解答】解：P（X 1 0 0）=I，至少有2人的数学成绩超过1 0 0 分的情况如下:恰有2人的数学成绩超过1 0 0 分的概率：xixi=-八2，27 2x1 4 2 83 人的数学成绩均超过1 0 0 分的概率：碗A=,二至少有2人的数学成绩超过1 0 0 分的概率为:3.1 1 I-=8 8 2故选42 9.已知抛物线。:必=钛，圆尸:（x l）2 +y 2 =i,直线,：丫 =上。-

18、1）（卜。0）自上而下顺次与上述两曲线交于M i，M2,M3,“4 四点，则下列各式结果为定值的是（）A.MM31TM2M/B.FMr FM4C.I 3 M/D.F M.-M M【答案】C【解析】【分析】本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，属于中档题.解题时注意抛物线定义的两种应用：（1）当己知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d,则|M F|=d,有关距离、最值、弦长等是考查的重点；（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.利用抛物线的定义和：|M iF|=X i+1 就可得出1 MlM 2I =同

19、理可得|M 3 M 川=X 4,将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得.【解答】解：由，y f 轨“消去丫整理得k?-（2k 2 4-4）x+k2=0（k 丰0）,设时1（*1，%）,“4（*222），则*1 +#2=爷 ，*1*2=1.过点M,“4 分别作直线小X =的垂线，垂足分别为4 8,贝 1 1 尸|=%+1,|“4 尸 1=2+1.对于 A,|M1M3|M2M4|=（|M/|+1）（|M4F|+1）=（巧+2）（x2+2）=%i%2+2（%i+小）+%不为定值，故 A不正确.对于 B,FMr FM4 =（%1 +1）（无 2+1）=xix2+%2+1，不为定值，故 B

20、不正确.对于 C M.M2|M3M4|=(I M I -1)(|M4F|-1)=X iX2=1,为定值,故 C 正确.对于D,|F M J “M 2I =M W (MW T)=(%+I)/不为定值，故D不正确.故选C.-L O 0时，/(x)=i,若关于x万/(%z),x 乙的方程f(x)2-(a +l)/(x)+a =0(a e R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根 之 和 为()A.4 B.4 C.8 D.4或 8【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.先设t =f(x),求出方程/0)2-9 +1

21、 (幻+。=0的解，作出函数/(X)在X 2 0时的图象，利用数形结合求得结果.【解答】解：作出函数f(x)在x 2 0时的图像，如图所示，设/(x)=t,则关于f(x)2(a +l)f(x)+a=0(a e R)的方程等价于严-(a +l)t 4-a =0,解得：1 =。或1 =1,当t =l 时,即 f(x)=1 对应一个交点为=2,由/(x)是 R 上的奇函数，又原方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：(l)t =a =|,即f(x)=涧 应 3个交点，且冷+冷=2,X 4 =4,此时4个实数根的和为8,(2)t =：=-：,即/(x)=寸应3个交点，且不+与=-2,x4=一 4，此时4

22、个实数根的和为-4.综上可得这4个实数根之和为-4 或8.故选D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。3 1.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了 50 名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：选物理 不选物理数学成绩优异207数学成绩一般1 01 3由以上数据，计算得到/=笔答喏=4.84 4,根据临界值表，以下说法正确的是()参考数据：A.有9 5%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关a0.10.0 50.0 10.0 0 50.0 0 1Xa2.7

23、0 63.84 16.6 3 57.87 91 0.82 8B.在犯错误的概率不超过0.0 5 的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关C.9 5%的数学成绩优异的同学选择物理D.若表格中的所有数据都扩大为原来的1 0 倍，在相同条件下，结论不会发生变化【答案】A B【解析】【分析】本题考查独立性检验，属于基础题。根据独立性检验的原理逐项分析即可.【解答】解：因为*2 右4.84 4 3.84 1,所以有9 5%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关，在犯错误的概率不超过0.0 5 的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关.故选4 B.3 2.已知x 0,y 0,2x+y=l,则下列说法正确的是

24、（）A.犯 的最大值是5 B.|+；的最小值是8C.4x2+y 2的最小值是:D.x2+y 2的最小值是:【答案】A C D【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值以及二次函数的性质，属于中档题.利用基本不等式求出x y的最大值可判断A正确;利用“1”的代换可判断B错误；根据基本不等式可判断C正确.由消元法以及一元二次函数的性质可判断D正确；【解答】解：对于A,2 x +y =1 2 2/再，.孙，当且仅当1即 =寸等号成立，故A正确；/-2y _ 2x对于 B,-+-=（-+-）（2 x +y）=5 +-5+2 V 4 =9,当且仅当 工 即=x y x y x y（2x+y=l 3y=（时

25、等号成立，故B错误；对于 C,因为 x y 1 4 x（=（,当且仅当x =%y =：时等号成立，故C正确.对于 D,因为 x 0 y 0.2 x +y =l,故 0 x 0）,则下列说法正确的是（）A.若 将 图 象 向 左 平 移:个 单 位 长 度，所得图象与原图象重合，则3的最小值为4B.若/（0=/），则3的最小值为1C.若/（X）在6，兀）内单调递减，则3的取值范围为E勺D.若/（X）在G，兀）内无零点，则3的取值范围为|,3【答案】B C【解析】【分析】本题主要考查函数y 4 c os（3 X +9）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题.由题意利用函数y =4 c o

26、s 3 x +w）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论.【解答】解：对于A,显然二为周期的整数倍，所以巳=上.生，4 4（0即：3 =8k,k e z,所以3的最小值为8,故A错误；对于B,由 展)=f C)得：c os瓷-令=C O S(等-所以丝一 =经一巳+2/OT,k e z或-=2/c w k G Z,3 4 6 4 3 4 6 4所以3 =1 2 k或 0)=1 4-4/c,k E Z,又o)0,所以c o最小值为1,故B正确;对于C,显然詈a)x-a)n 所以有4 4胃 无 产，a)7i 71+2kn,4即：4$K 71-对于D,由2 n 2 得：一；+2女工3工F k

27、f k W Z,con -4-kn,2 44 2当k =0时，034三，当k =l时，-a)-,4 2 4所以3的取值范围为(o,j u|j,故D错误.故选B C.3 4.长方体4 B C D-4当 口/中，底面A B C。是边长为2的正方形，力&=1,则下述结论正确的是（）A.若点尸为底面四边形A 1B 1G 5内的一个动点，且4 P=2,则点P的轨迹长度为4 7 rB.若点尸为侧面四边形D i G C。内的一个动点，且4 P_ L D C,则点P的轨迹长度为当C.若点P为侧面四边形B i G C B内的一个动点，且4 P与平面A B C。所成的角为3 0。，则点P的轨迹为双曲线的一部分D.

28、若点尸为底面四边形4 B 1G D 1内的一个动点，且平面A 8 P与平面A B C D所成的角为4 5。，则点P的轨迹为椭圆的一部分【答案】A C【解析】【分析】本题考查立体几何中的轨迹问题，属于较难题.建立空间直角坐标系，对于每个选项，分别设出点P的坐标，从而由轨迹方程判断轨迹形状，即可得解.【解答】解：以点A为坐标原点，分别以A B,A D,4 必 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，A,设P(x,y,1),则 而=(x,y,1)，故+y2 +i =4,.x2+y2=3,则点P 的轨迹为四分之一圆，半径为VI长度为苧兀，故 A对；B:设P(x,2,z),则 布=(x,2,z),D C

29、=(2,0,-1).A P D C =2x-z=0,则点P 的轨迹为线段，长度为1 3 =建 故 B不对；C:设P(2,y,z),则 存=(2,y,z),平面A B C D 的法向量为记=(0,0,1),A 1I s i n I=I/“I=即3/y2=4,1 1 j 4+y 2+z 21 2 J所以点P 的轨迹为双曲线的一部分，故 C对；。:设P(x,y,l),平面A B P的法向量设为沅=(a,b,c),平面A B C D 的法向量为五=(0,0,1),Q =A B =(2,0,0),1 te-=a=0 八，可取沆=(o,i,_ y),.|c o s(记 元|=|=今 解 得A P -m =

30、ax+by c =0 v1+y 2y =1,所以点P 的轨迹为线段，不是椭圆，故 D不对.故选24 c.第n卷(非选择题)三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。3 5.曲线f(x)=l n(2x)+/在点(i/(i)处的切 线 方 程 为.【答案】3 x-y +l n 2-2=0【解析】【分析】本题主耍考查了导数的几何意义，属于基础题.利用导数的几何意义即可求解.【解答】解：(x)=1+2x,k=/f(l)=3,又/(1)=1+l n 2,所以切线方程为 y -(1+l n 2)=3(x -l).B|J3 x-y +l n 2-2=0.故答案为：3 x-y +l n 2-2=0

31、.3 6 .某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.9 8 1。的处理，经过思考，他决定采用精确到0.0 1的近似值，则这个近似值是.【答案】0.8 2【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，属于容易题.利用二项式定理展开0.9 8 1=(1-O.O2)1 0,再求精确到0.0 1的近似值.【解答】解：O.9 810=(1-O.O2)10 1-C/o X 0.0 2+C f o x 0.0 22 0.8 +0.0 18 0.8 2,故答案为：0.8 2.3 7 .已知在 4 B C 中，AB=3,AC=5,其外接圆的圆心为O,则 布 品 的值为.【答案】8【解析】【分析】本题考查平面向

32、量的数量积运算，属于中档题.过点0作 B C 的垂线，将向量的数量积通过向量加减法表示成己知的两个向量的模，再进行计算即可.【解答】如图所示，取 BC的中点D,连接0D,AD,OD 1 BC,.-.AOBC=（AD+Dd）BC=ADBC+DOBC=AD-BC_ _k=2(近+硝 函-AB)1 2 2=(4C-48)1=2 (52-32)=8.故答案为：8.3 8.已知双曲线/9=1的左、右焦点分别为F ,F2,过点F 的直线与双曲线的左支交于A,8两点，设SS 2分别为 40F 2，BF/2的内切圆的面积，则S i+S 2的取值范围为.【答案】2兀,等)【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质及

33、几何意义，直线与圆的位置关系，涉及对勾函数的性质及正切函数的性质，属于较难题.设 40尸2，8片 尸2的内切圆与*轴切于点比N,可求得故点M,N重合于双曲线左顶点.不妨设乙4尸1尸2=。e G，?),求得$+$2=兀(t a M+为)，令t=t a n 25e 根据3 3 2 t a n 2 2 32函数的性质即可求得答案.【解答】解：设A A a F z，8&F 2的内切圆与X轴切于点M，N,.|尸2Ml =中=&+0,同理可得I F 2M=a +c,故点M,N重合于双曲线左顶点.双曲线的渐近线为y =H x,又过点片的直线与双曲线C左支交于A,B两点，令乙4尸/2=6 e,4)，设AF 1

34、F 2，a BF i F 2的 内 切 圆 的 半 径 分 别 为r2,则 S i +S 2=7(在+域)=7 T(t a n2 5+t a n2 与马=z r(t a n21 4-广 )，因为3 所以 t a n E 即亡=t a n2|6(g,3),Z O o L J Z D因S 1+S 2=7 T(t +在0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以S +52 e 2n,故答案为：2兀,等).四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。39.在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知遍t a n力t a n B-t a n X -t a

35、 n B=V 3,角C的平分线C D交4 8于。.求证：然 力 表;(2)若CD=CB=2,求ABC的面积.【答案】(1)证明：因为H t a n At a n B t a n X -t a n B=V 3,所以 t a n A+t a n F =V 3(l t a n/t a n B),故 t a n C=t a n(/l +B)=t a n 4+t a n g=痘 1-tanAtanFC是三角形内角，故角C的平分线为CD,故乙4CD=乙 B C D=g6则=S u e。+SBCD故工C A CBs i n-=-C A-CDs i n-+-C B -C D sin2 3 2 6 2 6BP

36、V 3C/1-C B =C A-C D +C B C D C D =C A +C B,证毕；(2)解：由结论焉=+结合C D =C B =2,C*U D可得出=-+=Ci 4=/3+1,2 2 C A故三角形 ABC 面 积 为-CBs i n g=|x 2x(V 3+l)x =字.【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用.(1)直接利用三角恒等变换与两角和的正切公式求出角C,再结合面积公式即可完成证明;(2)利用(1)的结论，求出CA,再由面积公式求解即可.40.已知数列 册 满足an_ -一册+乂兀1 2),且臼=1,a 7 =13;数列 bn的前-a n

37、 _ f项和为S n，且S n =-.(1)求数列%和%的通项公式;(2)若数列4=,优慧3求数列G 的前 项和加【答案】解：(1)数列 斯 满足册_1 一 即=Qn an+1(n 2),即 20n=an-i +o，n+i所以数列/J为等差数列，设公差为d,由臼=1,a7=1 3可得6 d =1 2,d =2,所以 a 舞=1 +2(n -1)=2n 1；由%=W-，当n =l 时，b=S i =l；当n 2时，bn-Sn-S n-i -3n I-3n-1.又因为瓦=1 适合公式，所以%=3 T.=O,(n 为 奇 数)=2n -1,5为奇数)“，=机,(n 为 偶 数)=3-1,(n 为偶数

38、)(2)因为，根据题意，数列 0 的奇数项构成一个以首项为1，公差为4 的等差数列,数列 7 的偶数项构成一个以首项为3,公比为9的等比数列，TIn故当n为偶数时，Tn=用 彩+7-+=与2+史 产，当 n为奇数时，Tn=Tn_r+cn(n-l)(n-2),3n-3,n】n2+n,3n-3-1-r z n i =-1-，2 8 2 8吆异+M二g”为偶数=，.n?+3 -3 .岁 jy-+,n 为奇数【解析】本题考查的知识要点：等差和等比数列通项公式的求法，用分类求和的方法求数列的前n项和，属于中档题型.(1)利用题中的已知条件由递推关系式求数列的通项公式，注意对首项的验证.(2)根据(1)的

39、结论利用分类的方法进行求和，注意数列的项数.4 1.如图，四边形AB C 力为梯形，A D/B C,A D .A B,侧面P A B 为等边三角形，平面4B P J _平面 AB C ,A D =2B C=2,点 M 在边 PC上，且P M =2MC.(1)证明：巴4平面B D M;(2)当二面角C -B M-D的平面角的正切值为遍时，求四棱锥P 4 B C D 的体积.【答案】Q)证明：连结AC 交 B D 于 N,再连结MN,I c u r e r K I A A-r-i C AF 1 T-J MC 1 r*r*i CN M C由 B N C A D M 4 知 一=-,又 一=所以一=一

40、,AD NA 2 PM 2 NA PM所以4 P M N,又P A C平面B D M,MN u 平面B D M,所以P 4平面B D M；作 P 0 1 4 B 于 0,平面4B P _L 平面AB C D,平面力B P C I 平面4B C。=4B,P。u 平面 AB P,二 P。_L 平面 AB C D,以 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设48 =a,BC=(0,1,0),RM=(一,|，钓丽=(-a,2.0),设平面B C M的一个法向量记=平面B D M的一个法向量元=(%2，、2*2)贝愕瓢 除+条令 为 1=1,得沆=(1,0,?),n-BD=0n-BM =0ax2+2y2

41、0a,2,43a n 7o X2+s h 2 +o-7-z2=0，令亚=得元-(l,p-y);设二面角C-BM-D的平面角的平面角为。，则t a n =d,即c o s O=j,cos(jin,n)=-=g,解得a=2,m尺71 1+2 L LVP-ABCD=x 2 x 2 x v 3 =v3.【解析】本题考查空间线面平行的判定以及空间几何体体积的求法，考查利用向量求二面角的方法.连 结 AC 交 B D 于 N,证明4 P M N,由线面平行的判定定理即可证得P A平面8 0”;（2）作P 0 L 4 B 于 0,设AB=a,以0 为坐标原点，建立空间宜角坐标系，求出平面BCM的法向量沅，平

42、面BDM的法向量元，由cos伉 滂=日解得a,即可求得体积.4 2.购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一.每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.某礼品店2021年 1月到8 月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份1月 2 月 3 月4 月 5 月 6 月 7 月 8 月月销售量/千个3456791012月利润/万兀3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1（1）求出月利润y（万元）关于月销售量工（千个）的回归方程（精确到0.01）;（2）2022年冬奥

43、会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩 和 雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4 个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4 个装有“雪容融”玩偶的盲盒，从中随机选出3 个作为元旦礼物赠送给同学.用X 表示3 个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求 X 的分布列和数学期望.参考数据：E L 蜡=460,乙%=379.5附：线性回归方程 会+8 中,邕 渭；”=黑躇,=歹 一 舐【答案】解：（1）由参考数据可得，_?=1%防 一 联 歹 _ 379.5-8X7X6 _ 43.5 A 人*=1 阳 2故2 460-8X 72 68：,a =y-b -x=6-0.64 x 7 1.52.二月利润y 关于销售量

44、%（千个）的线性回归方程为y=0.64%+1.52;(2)由题中数据可知，X的值可能为0,1,2,3,P昔=P(%=1)=萼=2,I 7 Cl 7P(%-2)-C3 -7,Cl 1P(x=3)=-.x 的分布列为:X0123p137371U数学期望 E(X)=0 x+lx1+2 x 1 +3xi=|.【解析】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.(1)根据题中数据，求出a 与8 即可；(2)由题中数据可知，X的可能值为0,1,2,3,求出各自的概率进行求解即可.4 3.已知椭圆。捻+2=l(a h 0)的左右焦点分别为尸式一1,0),尸 2(1,0).过

45、F?与 x 轴垂直的直线与椭圆C交于点。，点。在 x 轴上方，且|。生|=竽.(1)求椭圆C的方程；(2)过点尸 2 的直线/与椭圆C交于A,8两点，是否存在一定点M使得口4 +丽 8 为定值，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)由题意得I D F 2 I =(苧)2 一 2 2 =?=?，且 炉=_ 1,解得 a =y/2,b2=1,y.2故椭圆C的方程+y 2 =1；(2)当k =0时，kM A+kM B=0,若存在定点M,根据对称性设y2设x =+1,代入万+V=1 得(严+2)y2+2ty 1=0,设 4(时,外),8 a2,为)，故为+丫2=后|，丫1.=

46、Up故+M Byi ii y2 _ y i,yix1-m x2-m ty j+l-m ty2+l-m2t y i、2+(1 m)O i +丫2)12y l y 2+(1-+y2)+(1-m)2又因为 Z t y i%+(1-m)(7i +、2)=-2t+(l-7n)x(-2t)_ -2 t(2-m)d+2 -tz+2当m=2时,kM A+kM B 0.故存在M(2,0),使得+k“B 为定值0.【解析】本题考查椭圆方程，定值问题，属于较难题.(1)由题意得|也|=J(券)2 _ 22=曰=/且b2=a2 l,解得即可;(2)当k=0时，=0；设设=土 丫 +1,代入 +y2=i 得2+202+

47、2卬一1=0,利用韦达定理，1+%=言;+占=缶+缶2 0，2+(1-)(%+为)12yly2+(1-m)(Vi+V2)+(l-m)2m=2时，kMA+kMB 0.4 4.已知函数/(x)=)(：),g(x)=xsinx-ln(x 4-1).(1)讨论函数/(%)的单调性;(2)证明：当 e g,兀 时，xsinx 2cosx+1;(3)判断g(%)在区间(1 2 江)上零点的个数.【答案】解：(l)f(%)=9 等，定义域(-1,0)乂 0,+8),.ln(x+l).y,11 一 x，令h(%)=u _ ln(x +l),-=令(%)=0,得 =0,所以九(%)在(-1,0)上单调递增，在(

48、0,+8)单调递减，/i(x)h(0)=0,即(x)W 0,所以f(%)在(一 1,0),(0,+8)上单调递减.(2)u(x)=xsinx 2cosx 1,=xcosx+3sinx,x G pr,令if(%)=xcosx+3sinx=m(x),则m(x)=4cosx xsinx 0，U(7 T)=1 0,所以“(X)0,KPxsinx 2cosx+1.(3)g(%)=sinx+xcosx 一 士，令/(%)=sinx+xcosx-=n(x),几 ()=2cosx xsinx+(二/2cosx+1,nQ)=2cosx-xsinx+-1 0,g(X)ln(；+1)0,g(n)=-l n(7r +1)0,3/?G a,7r ,使得g(/7)=0；%W 7T,2兀)时，g(x)=x s i n x -l n(x 4-1)0，(兀)=1 0,所以“(%)0,x s i n x 2c o s x +1;(3)对g(%)求导和零点存在定理可得m a 倚,兀)，g (a)=0,g(%)单调递增，x G (%五)，g(x)单调递减，g g)=-l n(14-1)0,g(ji)=-l n(7r +1)0,3 6 a,n,使得g(/?)=0,%G n,2兀)时，g(%)=x s i n x -l n(x 4-1)0,此时无零点，求得结果.