2023年高三复习专项练习：第61练　几何法求空间角.pdf

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1、第61练 几何法求空间角础对遮练考点一异面直线所成的角1.（2022 长春质检）在长方体ABC。一A百G U中，A B=小,A D=,AA尸 啦，则异面直线4。与4 G所成角的余弦值为（）A坐B坐C堂D*答 案D解析 连接AC（图略），:A A/C G,A4i=CG,.,.四边形A A iG C为平行四边形,：.A C x/A C,则NO iAC即为异面直线A d与4 G所成的角或其补角，2.己知正四面体4 8 C Q,点M为棱AB上一个动点，点N为棱C。上靠近点C的三等分点,记直线M N与BC所 成 角 为 仇 则sin。的最小值为（）A遮2 巫D典a 19 D,19 17答 案A解析 不妨

2、设正四面体ABC。的棱长为3,则该四面体的高为黄，连 接AM BN,BN=AN=市,要求直线M N与BC所成的最小角，即为直线8 c与平面A8N所成的角,记点。到平面A8N的距离为加由等体积法可知Vc-A B N=VA-BCN3遮 i o 只所以直线B C与平面ABN所成角的正弦值为5=不 一=彳 得，D C J 1 y所以sin。的最小值为3.（2022 海口模拟）直四棱柱A8C-A|8iCQi的所有棱长均相等，ZADC=120,M是BBi上一动点，当4M+M C 取得最小值时，直线4 M 与 S C 所成角的余弦值为（）A粤B坐C.|D.嚅答 案 A解 析 如图，设直四棱柱ABC。一AIB

3、 C QI的棱长为2,当AiM+MC取得最小值时，M 为 的 中 点，连接A。，则4B C,则ND4iM 为直线AiM与 8 C 所成角（或其补角），此时4。=2/，A|M=小，V ZADC=120,.ABQ 为等边三角形，得 BQ=2,.D M=y5,则 为 等 腰 三 角 形，可得 COS/D 4IM=%2考点二直线与平面所成的角4.如图，在正方体A8CQAIBIG OI中，E,F,G 分别为棱A B，AD,C G 的中点，则对角线8 Q 与平面EFG所成角的大小为（）7 T 7 C 7t 7 1A%B C j D，2答 案 D解 析 如图，在正方体中取棱8C i,A4i,C）的中点M,N

4、,P,连接 EM,MG,GP,PF,FN,N E,得到正六边形 ENFPGM,连接 AC,B D,则 ACJLB。，X DD AC,BDCDDi=D,所以AC_L平面B O A,又 8iU平面B C G,故 A C _ L 8 5,又 ACP F,贝IJPF_LBOI,同理可得NF_LBQi,且P F C N F=F,故 8。平面ENFPGM,所以对角线BDi与平面E/G 所成角的大小为参5.已知E,F,。分别是正方形A8CO的边BC,A O 及对角线A C 的中点，将ACQ沿着AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线E F 与平面8 0。所成角的余弦值的取值范围为（）答 案 A解析 如图

5、所示，作 E_L08交。8 于 H,设直线E F 与平面B0力的交点为M,连接由 EHJLOB,E H L 0 D,且 0 D C 0B=。，0D,0 8 U 平面 B0。,则 4_L平面BOD,故/H M E 为直线E F 与平面8。所成的角，因为M/7U平面B O O,则所以 cos N H M E=,HE则 sinZHA/E=T77,iVltL令正方形A8CQ的边长为1,贝 ij A C=p,HE=goC=%C=*,在翻折过程中，石厂与平面80。的交点M 在平面A 5C内的射影，由点0 向点移动,即 EM 越来越小，且 EHEMOE=；,HE HE所以 7sin Z HMEr,U 匕 r

6、lL.y2即 VvsinNH M Ecl,7TTT所以 1N H M E2，贝 ij 0cos Z WA/E所以直线所 与平面2 0 0 所成角的余弦值的取值范围为0,6.在直四棱柱4BC。-中，已知/ABC=120。，四边形A8CD是边长为2 的菱形,且 A4i=4,E 为线段BC上的动点，当 BE=时，A|E与底面ABCD所成角为60。.答案粤 一解 析 如图所示，连接4E,因为A4i，底面A8C。，所以N 4 E 4 为AiE与底面A8CZ）所成的角，即NAiE4=60。,4l4、行又因为 A A i=4,所以A f=tan 60,解得 A E u、,4/3设 8E=m(0W mW 2)

7、,在ABE 中，A5=2,ZABE=120,4七=寸,由余弦定理可得(2 =22+序 2X 2X ZXCOS 120,整理得 3/w2+6/w4=0,解得 ni=2-1.考点三二面角7.如图，锐二面角。一/一 的棱上有A,B两点、,直线AC,8。分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AA已知A5=4,AC=BD=6,C O=8,则锐二面角a /一夕的平面角的余弦值是（）A.B.g C.D.,答 案 B解析 过点8作 B E A C,K B E=A C,连接力E,C E,因为 A C _ L A 8,所以 B E1A B,因为B D LA B,BDCBE=B,所以N OBE是二面角a/一4的

8、平面角,且 A 8 _ L 平面 D B E,所以 A B _ L )E,所以 C ED E,因为 A B=4,8=8,所以D E=C -C E 2=病 二 不=4 小，八 BP+BD-D序 36+36 4 8 1所以 c o s/O B E=2B EB D =2 X 6 X 68 .已知四棱锥S A B C O 的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设 S E 与 BC所成的角为仇，S E 与平面A 8 C D 所成的角为。2，二面角S A B C的平面角为优，贝W )A.0WfhW(hB.仇仇忘仇c.仇waw仇答 案 D解 析 如图所示,D.O 2W O 3W 2设

9、。为正方形A B C。的中心，M 为AB的中点,过 E作 BC的平行线E F,交 CD于 F,过。作 C W J _ E/于 N,连接 S。，SN,SE,SM,OM,0E,则 S O _ L 底面 A B C D,O M L A B,因此NS E N=6 i,ZSEO=02,N S M O i,“古 SN SN从而 t a n G-E N-OM，t a n（h=EO t a n 仇=6 而因为 S N e S。，E O N O M,所以t a n 6 t a n f t t a n&,即 仇。3仇.9 .（20 22长沙模拟）已知二面角a 一/一尸的大小为1 4 0。,直线a,人分别在平面a,

10、9内且都垂直于棱/,则。与 b所 成 角 的 大 小 为.答 案4010.（2022厦门外国语学校质检）已知正方体ABC。-4 8 1 G o i，则二面角A-8|O|一C的正弦值为.解析 如图，连接A）i,ABX,AC,Bi。，取8 1 A的中点居 连接AF,CF,Dt r.由于AOi,AB,都是正方体A B C D-A iB iG A的面对角线，所以AI=A8I=B QI,所以A B Q i是等边三角形，又F是 的 中 点，所以 A F L B Q i,同理 CPLBO i,所以NAFC是二面角ABD C的平面角，不妨设正方体ABCD的棱长为“，则易得A C=g a,A F=C F=a.同

11、尸+C尸一AC2 1在人；中，根据余弦定理得cosZAFC=2AF CF=5又 OvNAFCVi,所以 sin ZAFCyJ 1 cos2ZAFC ,即二面角A-B id C的正弦值为平.能力提升练11.（多选）如图，在棱长为1的正方体ABC。-中，点P在线段A A上运动，则下列命题正确的是（）C,1 BA异面直线G P和CBi所成的角为定值直线CP和平面A B C 所成的角为定值三棱锥D-B P C i的体积为定值直线CD和平面BPC平行答 案 ACD解析 对于A,因为在棱长为1 的正方体ABC。一A B iG A 中，点 P 在线段Ai上运动，则 CBi，平面A 8 G 9,因为CiPU平

12、面A B G Q i,所以C B JG P,故这两条异面直线所成的角恒为定值90。，故选项A 正确；对于B,令 B G 与 B C 的交点为。（图略），Z C P O即为直线C P与平面ABGOi所成的角，当点P 移动时，NCP。是变化的，故直线C P和平面A B G G 所成的角不是定值，故选项B 错误；对于C,三棱锥D-B P C t的体积等于三棱锥P-D B C 的体积，又DBG的面积为定值，因为PGA。，而 Ai平面8OG,所以点4 到平面。B G 的距离即为点P 到该平面的距离，所以三棱锥D-B P C i的体积为定值，故选项C 正确；对于D,直线CD平面ABC。1，则直线CD平面8

13、 P G,故选项D 正确.1 2.（多选）如图，在矩形ABCO中，AB=4,A D=2,尸为线段CD上一点，且满足。广=3尸 C,现 将 尸 沿 AF折起使得。折到。，使得平面A8。，平面ABC,则下列结论正确的是（）A.线段B。上存在一点P（异于端点），使得直线A。与 C P垂直B.线段B D 上存在一点P（异于端点），使得直线CP平面A。FC.直线0 F 与平面4 8 c 所成角的正弦值为当D.平面。BC与平面A8C所成锐二面角的正切值为当答 案 BCD解 析 如图所示，过点O 作。E L A B,垂足为E,因为平面A8。，平面A B C,则。E_L平面ABC,因为 AF_L。E,且 EH

14、。E=E,EH,D EU 平面 )EH,所以AF_L平面。E H,又 O H U 平面O EH,故 AF_L。H,因为 A=2,D F=3,则 A F=qi5,则 DH=AD DF_ 6AF y3AH=AD1_ 4AFyi?FHm-，E H-DH-,D E=W 2罚=唔A E A D 2-D E2=1,88 =4 AE=,连接E F,则NO F E为直线D F 与平面ABC所成的角,所以 sin NO FE,二?乎,D r V故选项C 正确；因为BC_LA8,平面AB。_L平面A B C,且平面AB。C平面ABC=AB,8C U 平面ABC,故 BCJ_平面A B O,又BD U平面48。，所

15、以 B C L B D,故N E B D 为平面 力 8 c 与平面ABC所成锐二面角的平面角，jy I E且 tanNEB。=V-故选项D 正确；当点P 位于靠近O 的线段D B 的四等分点时，过点P 作 AB的平行线交。A于点、R,则 PRC F,且 PR=CF,所以四边形PR尸 C 为平行四边形，故 CP 尸 R,又 CPC平面A。F,FRU平面A F,所以CP平面AD1 F,故选项B 正确；过点A 作 4Q_LB。，垂足为Q,因为8C_L平面AB。，且 BCU平面CB。，则平面BCD J_平面AB。，又平面BCD n 平面AB。=BD,4Q U 平面AB。，所以4QJ_平面B C D,

16、又 CPU平面B C D,故 AQJ_CP,假设 C PJ_A O,因为 A0AA。=4,AQ,AD U平面 AB。，则 CP_L平面AB。，又BD U平面A8。，所以，则点P与点B重合，这与题意矛盾，所以C P不 可 能 与 垂 直，故选项A错误.13.(2022.杭州高级中学模拟)在三棱锥。一A B C中，A B C是边长为2的等边三角形，DA=D B=市,二面角。一4 B-C为120。，则三棱锥。一ABC外 接 球 的 半 径 为.答 案 手解析 如图，取A B的中点E,连接CE,DE,又 DA=D B,CA=C B,所以。E_L48,CELAB,所以N C E D为二面角 -4 8 C

17、的平面角，又二面角D A B-C为120。,所以NCE=120。，因为。A=O B=也，A B=2,所以 A B 2=A 2+B O2,所以 AD LD B,所以ABQ为直角三角形，过点E作平面A8。的垂线，设ABC的外心为O i,过01作平面ABC的垂线，设两垂线交于O,则。为三棱锥。一ABC外接球的球心，连接OC,又NCE)=120。，O E L E D,所以/O E O|=30。，又产=小,1 、行所以在 RtAOOiE 中，OIE=1 C E=T，所以 OOi=O|E-tan/OEO尸 卓an 30。=/在 RtZXOOC 中，。|=,=斗 ,所以 O C=7 O iC 2+O(=yJ

18、三+曰二,所以三棱锥D-A B C外接球的半径为华.14.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角 形 底 边 上 的 高 与 底 面 正 方 形 的 边 长 的 比 值 为:侧面与底面所成二面角的余弦值为答案空印解析 如图，在正四棱锥 一A 8C C中，。为底面A8CD的中心，M 为 A。的中点，设底面边长为4 B=a,侧 棱%=?，因为侧面三角形的面积等于高的平方,所以;AZPM=PO后日相2 51解件/一 8又r 加 2)于1 12 八0=m/n2 1官 门.5+小所以“2 8a2 4P M于是侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为前/D1+小44因为PM_LA),0 M 1 A D,所以/P M。即为侧面与底面所成的二面角的平面角,