2023北京版数学高考第二轮复习--综合测试一.pdf

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1、2023北京版数学高考第二轮复习综合测试一（时 间:120分钟，分值：150分）一、选择题（共10小题,每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1.（2022 人大附中统练一,1）设 集 合 人=上 0,B=x|x42 或 xN5,则（CRA）D B=（）A.x|-2x2 B.x|-2x 5）答案 B 3即（x-4）（x+2）0,解得 x 4,故 A=x|x 4厕 RA=X124X*厕（CRA）D B=X卜24X42.故选 B.2.（2022北京一零一中学怀柔校区模拟,2）已知i为虚数单位，复数z=J（a W R）是纯虚数，则|隗-a i|=（)A.V5 B.4

2、 C.3 D.2答 案C由z若黯m=也 等 为 纯 虚 数,得di）。解得 a=2则I的+2i|=J（V5）2+22=3,故选 C.3.（2022顺义二模.3）在（一 一 6的展开式中常数项为（）A.-15 B.15 C.30 D.-30答 案B Tk+尸鹰(x2)6 C=(-1)1 0若f(a-l)项1+1),则实数a的取值范围是()A.-2,l B.-l,2C.(-o o,-2 U 1,+00)D.(-o o,-l U 2,+8)答 案A函数f(x)=：K W 2 八在各段自变量的取值范围内都是减函数，并且=1,-02-2x0+1=1,l-xz-2x4-l,x 0所以f(x)在R上递减，又

3、3 1)次出2+1),所以a-1 4疗+1,解得-24a 41,故选A.7.（2022东城期末.7）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为 C上一点，过 P作 I的垂线，垂足为M.若|MF|=|PF|则 P M|=()A.2 B.V3C.4 D.2V3答 案 C由抛物线的定义知：|PF|=|PM|,又|MF|=|PF|,PMF为等边三角形，易知|PM|=2p=4.故选C.8.（2021大兴一模,8）等差数列 a”的前n项和为S”.已知ai=-5,a3=-l.记 =学（11=12.）厕数列&的（）anA.最小项为AB.最大项为b3C.最小项为b4D.最大项为b4答案 C 设 a j的

4、公差为 d.ai=-5,a3=-l,.2d=4,d=2,Aan=-5+2(n-l)=2n-7,nGN*,Sn=-5n+-2=n2-6n,nWN*,，bn=4,nN*.f(x)=(x 0 且x 0?很f(x)=%V*&),，f(x)在(0,9，g+口)上单调递增，即当n=l,2,3时,b,为递增数 J,n 时,b“也为递增数列，其中 bi=l,b2=1,b3=9,b4=-8,b5=-1,.,.,.当 n=4 时,bn取得最小值，又 b25=b3,故 B错，故选C.9.（2022平谷零模,9）已知函数f（x）=Asin（cox+（p）（4 0,3 0,|*|/）的部分图象如图所示厕下列说法正确的是

5、（）A.函数f(x)的最小正周期为方B.f(l)f(2)C.函数f(x)的一个单调递减区间是管，詈)D.若 f(Xi)=f(X2)=V5(Xi WX2),则-X2启 勺 最 小值 是 三答 案C根据函数图象可得:A=2,1 rp T T IT IT 7 7T日 十 2 IT7 T=记=%，可信 T=兀,.o=y=2.又图象过点信2),2=2sin(2 x三+(p),解得(p=-92k 兀,kWZ,o由二 P=一.,f(x)=2sin(2%q).对于A.函数f(x)的最小正周期为兀,故A错误；对于B,函数f(x)的图象关于直线x=g对称，结合函数图象及殍-1|f(2),故B错误；对于C,令尹2

6、k W 2 x T鳄+2k7t,kGZ,解 曙+k W x彦+kn,kWZ,令k=l,得与4x4一，所以函数f(x)的一个单调递减区间是管，詈)，故C正确；对于D,令f(x)=2sin卜%-已)=6，即sin(2x5)=当 得2 x?=竺卜兀水夕或2x=y+2kit,keZ,#x=9 k兀,k W Z或x=*k兀,k W Z厕IxEl的最小值是瞪-牙屋，故D错误.故选C.10.(2022门头沟一模,10)新型冠状病毒肺炎(COVID-19严重影响了人类正常的经济与社会发展我国政府对此给予了高度重视,采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制.人类与病毒的斗争将是长期的，有必

7、要研究它们的传播规律.做到有效预防与控制.防患于未然.已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月2 0日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为i(t)=r!瑞(i表示自4月2 0日开始t(单位:天)时刻累计感染人数,i(t)的导数 表示t时刻的新增病例数,In 92.197 2),根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为()A.4月3 0日5月2日B.5月3日5月5日C.5月6日5月8日D.5月9日5月11日答 案A对 进)求导得0 2 r 1根据基本不等式l+9e u.，c (l+9e-0-2t)81屋.2 +1 8+4日 7/+、4 500 4 4 500

8、 4 5 0 0 1。二得：l(t)=-i.=-=125,81e-02t+18+5 2 J81e2t.W+1 8 3 6当且仅当81e2=*，即81(e02t)2=1.即中 总 即0.2t=ln 9,即tl 1时,i(t)取得最大值.故选A.二、填空题（共5小题,每小题5分，共25分）11.（2022丰台一模,11）函数f（x）=V 2 +lg x的定义域是.答 案x|0 x2解析 要使函数有意义，则1 2 0 ,0今42,.函数小）=7 =+也x的定义域为x0 0使 得f(x)在R上是增函数.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.答 案 解 析 因 为 f(x)=eHx+a|,所以

9、 f(x)=：(：氏：)叫对于，当a=时，侬 厘 蓝 笨)当x 0时,f，(x)=ex-l 2(),所以f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上单调递增，且f(-1 )=e-l (),所以函数f(x)有一个零点，故正确.对于，当勺时则优瑟与咒当 x e-2-2+l=-1 0,所以在(-8,-1)上函数f(x)有且只有一个零点，当 x-l 时,f，(x)=e、-l,令 f x)=0,解得 x=0,当 Jx0 时,f，(x)=eX-l 0 时,f，(x)=eX-l O,f(x)单调递增，所以当x-l时,网项0)=6。-0-1=0,所以在-1,+8)上函数f(x)有且只有一个零点所以当a=l时函数f

10、(x)只有两个零点，故不正确.对于，当a 0时，当x-a时,f，(x)=el 20,所以f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上单调递增曲知，当a=0时,f(x)在R上单调递增.所以V a),f(x)在R上是增函数，故正确.对于，当a O,BP-a O时，当xa时,f(x)单调递增，当 xN-a 时,f (x)=ex-l,令 f x)=0,解得 x=0,所以当-a x0 时,f (x)=eX-l 0 时,f 0,f(x)单调递增,所以当a 0时，函数f(x)在(-叫-a)和(0,+o o)上单调递增，在(-a,0)上单调递减，所以不存在a 0,使得f(x)在R上是增函数,故不正确.综上，正确结

11、论的序号是.三、解答题(共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)16.(2022 东城二模,18)如图，平面 PAC_L平面 ABC,AB_LBC,AB=BC,D,0 分别为 PA,AC 的中点,AC=8,PA=PC=5.设平面P B C H平面BOD=1,判断直线1与P C的位置关系，并证明；求直线P B与平面B O D所成角的正弦值.R解析 直线III PC证明如下：因为D,o分别为PA,AC的中点，所以DO II PC.又因为D O u平面BOD,PCC平面BOD,所以PC II平面BOD.因为PCc 平面PBC,平面PBCCI平面BOD=1,所以1 1 1 PC.连

12、接PO.因为PA=PC,O为 AC中点，所以POXAC.因为平面PAC_L平面ABC,平面PACO平面ABC=AC,所以POL平面ABC.因为O B c平面ABC,所以POOB.因为AB=BC,O为 AC中点，所以OB_LAC.所以OB、OC、OP两两垂直.如图,建立空间直角坐标系O-xyz,则 0(0,0,0),A(0,-4,0),B(4,0,0),P(0,0,3).所 以 丽=(4,0,-3),05=(4,0,0).因为点D为 PA中点，所以D(0,-2,|).所 以 而=设平面BOD的法向量为n=(x,y,z),则 刎 竺=0,n.0D=0,4%=0,即-2y+|z =0.令 z=4,则

13、 y=3彳 导 n=(0,3,4).设直线P B与平面B O D所成角为a,所以 sin a=|c o s丽,问=禺*=g-所以直线P B与平面B O D所成角的正弦值为其17.(2022顺义一模,17)在 A B C 中,a=l,c sin A=V3a c o s C.求C的大小；再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，判断 A B C是否存在.若不存在，说明理由;若存在，求出 A B C的面积.条件:c o s Ac o s C=；条件:b2-c?=a c;条件:a,b,c成等差数列.注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.解析 由-二-可得 a sin C=c

14、 sin A,又因为 c sin A=V3a c o s C,所以 a sin C=V3a c o s C,sin/i sin e即 ta n C=V5,又 0C b矛盾.故此时 A B C不存在.选择条件:a,b,c成等差数列.因为a,b,c成 等 级 列，所以2b=a+c,因为a=l，所以2b=1+c.由余弦定理可得c o s?=空=】化简得b2-c2=b-l.3 2ab 2联立11 1 c；可解得b=l或b=o（舍）.I-=b-1又a=l,C4所以可知 A B C为等边三角形，此时 A B C存在.所以 SA ABc=|a bsin C=*18.（2022海淀二模,18）P M I值是国

15、际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业P M I值趋势图.将每连续3个月的P M I值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测.%现从制造业的10个观测组中任取一组.求组内三个P M I值至少有一个低于50.0的概率；（i i）若当月的P M I值大于上一个月的P M I值，则称该月的经济向好.设X表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的P M I值低于上一年12月份的P M I值），求X的分布列与数学期望:用 皿=1,2,.,12）表示）月非制造业所对应的P M I值石表示非制造业12个月P M I

16、值的平均数请直接写出电而取得最大值所对应的月份.解析 设事件A为组内三个P M I值至少有一个低于5 0 Q则事件A包含的结果有（50.4,50.1,496）,（50.1,49.6,49.2）,（49.6,49.2,50.1）,（492,50.1,50.3）,共 4 个，贝!J P（A）=|.（ii）X的所有可能取值是0,1,2,X=0表Z F无经济向好月份，有（3月,4月,5月）,（4月,5月.6月）,（5月,6月,7月）,（6月,7月,8月）,（7月,8月,9月）,（8月,9月,1 0月），共6组.所以P（X=0）=郎=|,X=1表示有1个经济向好月份，有（1月,2月,3月）,（2月,3月

17、,4月）,（9月,1 0月,1 1月），共3组，所以3P（x=D=而X=2表示有2个经济向好月份，仅有（10月,1 1月,12月）一组，所以P（X=2）磊X的分布列为X012p3315ID1()所以X的数学期望E(X)=0 x|+1XA+2X=|.(2)8月份.详解：b=X(52.4+5 1.4+56.3+54.9+55.2+53.5+53.3+47.5+53.2+52.4+52.3+52.7)=52.925,由题图可知|与-ma x=l47.5-52.925|=5.425.19.(2022 海淀一模,19)已知函数 f(x)=ex(a x2-x+l).求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的

18、切线的方程；若函数f(x)在x=0处取得极大值*求a的取值范围；若函数f(x)存在最小值.直接写出a的取值范围.解析 由题意得,f (x)=ex(a x2-x+l+2a x-l)=ex(a x2+2a x-x),f (0)=0,f(0)=l,故曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的方程为y=l.(2)f f(x)=x(a x+2a-l)ex.当 a=0 时,f (x)=-xex,令 f (x)=0,得 x=0,f(x)与fx)的情况如下:X(-8,0)0(0,+8)f (X)+0-f(x)极大值此时,f(x)在x=0处取得极大值，符合题意.当a 0时，令L(x)=O得x=0或x=、2.a

19、当0a 0,f(x)与(x)的情况如下:L aX(-8,0)0(亭)-a-2 仔 2，+口)f (X)+00+f(x)/极大值极小值/此时,f(x)在x=0处取得极大值，符合题意；当a=g时,%2=0,L(x)20,f(x)单调递增，无极大值,不符合题意;当ag时,；-20,f(x)与L(x)的情况如下：X(Qr2)-2aQi,。)0(0,+o o)f (x)+00+f(x)z极大值极小值Z此时,f(x)在x=0处取得极小值，不符合题意;当a 0时.；20.f(x)与f x)的情况如下:X-2a(2)0(0,+8)f (X)-0+0-f(x)极小值/极大值此时,f(x)在x=0处取得极大值，符

20、合题意.综上,a的取值范围是(0,非详解:可以分四种情况讨论:a=O,a 0,0a g,a号由知，若a=0,f(x)无最小值；若a O,f(x)无最小值；若0a 0时,要使函数存在最小值，则f(F)=e k a+1=e宁(4a-l)40,解得0 b 0)长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率为串求椭圆C的方程；(2)P为椭圆C上异于A.B的动点.直线AP,PB分别交直线x=-6于M,N两点，连接N A并延长交椭圆C于点Q.求证:直线AP,AN的斜率之积为定值；(ii)判断M,B,Q三点是否共线，并说明理由.解析 由题意得a=2,e=郛斤以c=BM=a 2-c 2=l.所以椭圆

21、C的方程为9y2=l.证明:设 P(xo,yo)(xo H2,yo HO),因为P在椭圆C上,所以?+诏=1 .直线AP的斜率为鼻，直线BP的斜率为汽,XQ+Z XQ-Z所以直线BP的方程为y=(x-2).所以N点坐标为(-6,兼).-8.所以直线AN的 斜 率 为 需=*.-6+2 XQ-2所以直线AP,AN的斜率之积为心当%0+z%0-Z(ii)M,B,Q三点共线.设直线AP斜率为k,易得M(-6,-4k).由可知直线AN斜率为琮所以直线AN的方程为y=-/(x+2).联立或、4丁，可得(4+4k2)y2+8ky=0.所以，直线BQ的斜率为蒜.解得Q点的纵坐标为券k一2-2-Z1+Y因为直

22、线BQ的斜率等于直线BM的斜率,所以M,B,Q三点共线.21.(2022海淀期末,21)已知n行 n列(nN2)的数表A=（为1a21a12a22al na2n中，对任意的anlan2ann/niGl,2,.,n,jel,2,.,n），都有画 0.若当 ast=0 时，总有 aiti=ln+dsi 2J=1 1n nn,贝!l称数表A 为典型表，此时i己%=.口 口%./o 0 1(1)右数表8=1 0 0,C=1 1 0/1 1 0 o 1 1 0 0，请直接写出B,c 是不是典型表：0 0 1 10 0 1 1/当 n=6时，是否存在典型表A 使得S 6=17?若存在，请写出一个A;若不存

23、在,请说明理由；(3)求 S n 的最小值.解 析(DB不是典型表,C 是典型表.解法一，6不可能等于17.以下用反证法进行证明.证明:假设S 6=l7,那么典型表(a/6x6中有19个 0,在六行中至少有一行0 的个数不少于4,不妨设此行为第一行，且不妨设a u=a i2=a”=a g0.此时前四列中，每一列的其余位置中都至少有4 个 1，所以前四列中至少有 16个 1,所以a”与 a*中至多有一个1,即 a s与 a w中至少有1Q 为0,不妨设a”=0,则第五列的其余位置中至少又有5个 1,所以前五列中已经有不少于21个 1 了，与 S 6=17矛盾.所以假设不成立.所以S 6不可能等于

24、17.解法二S 6不可能等于17,以下证明S6 18.证明:因为当典型表()6X6中。的个数不超过18时的个数不少于18,所以S 6N18.以下只需证明当典型表()6X6中()的个数大于18时，也有S6 18成立当典型表(a)6x6中()的个数大于18时,在六行中至少有一行0 的个数不少于4,不妨设此行为第一行.6 6若第一行。的个数为6,则月知.+口产 1 18.综上18.所以S 6不可能等于17.(3)解法一在水平方向的n行和竖直方向的n列中,一定存在某一行或某一列中含有的1的个数最少，不妨设第一行中的1最少,并设其个数为k,其中kW0,1,2,3,.,n.且不妨设第一行中前k个 为1,后

25、(n-k)个为0.对于第一行中为1的这k列中.因为每一列都至少有k个1,所以共有k2个1;对于第一行中为0的(n-k)列中，每一列中都至少有(n-k)个1,所以 Sn k2+(n-k)2=2k2-2n k+n2=2(/c-+y.以下记 f(k)=2(2 y+q,当n为偶数时，则S A(k)N2仔 丁 +=算寸任意的k恒成立.22而且S可以取至吟.例如:当 国 岩 且14j专和 扣W A且共14j4n 时,a u=l,其他位置为0,此时S n吟.当n为奇数时，则S n 2f(k)N2(9-丁+9 =?对 任 意 的k恒成立.而且S”可 以 取 到?例 如:当 芋 且14j4竽 和 竽4 3 n且

26、 殍4j4n 时,a ij=L其他位置为0,此时cn2+lSn=-.“2综上,当n为偶数时,S n的最小值为与；当n为奇数时&的最小值为子.解法二:设典型表A的第i列有a 个0(i=l,2,3,.,n),A的第j列有6个()(j=l,2,3,.,1!),则典型表A中。的n n总个数为N=C =n.i=l j=ln n由定义可得自 0(11-0)+且1 0 4)口1 1 1 1,n n n n所以n N-口+n N-#n N,所以 c：+D r；2 i=l n n i=i J nN2n所以半AN,所 以 所 以 Sn雪.71 Z Z当n为偶数时S 可以取到。例如:当1M岑且1 4j W 和 殳

27、1 4i 4n且表1 4j4n时,au=l.其他位置为0,此n2时 s音.当n为奇数时舟念?,而且Sn可 以 取 到?例 如:当 IM瑞 且 14j4竽 和 等 4i4n且笠ij4n时倒=1,其他位置为0,此时Sn夸.综上，当 n 为偶数时,S”的最小值为9 当 n为奇数时S 的最小值为子.解法三:在水平方向的n行和竖直方向的n 列中，一定存在某一行或某一列中含有1的个数最少*不妨设第一行中的1最少,并设其个数为k,其中k0,1,2,3,.,n.且不妨设第一行中前k个 为 1,后(n-k)个为0.当n 为偶数时，若 k岑则工当产;若女岑,对于第一行中为 的这k列中,因为每一列都至少有k个 1,所以共有k2个 1 ;对于第一行中为0的(n-k)列中，每一列中都至少有(n-k)个 1,所以 Snk2+(n-k)2=y+2 Q-k)y.而且Sn可以取到q 例如:当 但 4 且 1 4j岑和 5 i .n i;若 kk2+(n-k)2=2k2-2nk+n2 .而且S“可 以 取 到?例 如:当【父 弯 喧 1伞 竽 和 等 W4n旦 写 4j4n 时=1,其他位置为0,此时_n2+lon-.综上，当 n 为偶数时S 的最小值为9 当 n为奇数时S 的最小值为子.