2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第九章平面解析几何第八节第1课时圆锥曲线中的最值、范围问题.pdf

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1、第八节圆锥曲线中的综合问题第1课时圆锥曲线中的最值、范围问题【考试要求】1 .会根据已知条件建立目标函数，研究最值、范围问题，注意应用数形结合思想、导数、基本不等式等知识求最值.2 .会证明有关的定值、定点问题.3 .能够与其他知识交汇，通过逻辑推理解答存在性问题.【高考考情】考点考法：圆锥曲线的综合问题是历年高考的压轴题，它时常与其他知识相结合进行命题，注重函数与方程，化归与转化思想的考查，试题难度大.核心素养：直观想象、数学运算、逻辑推理Q一 一才点探究二按法培优,-一。，考点一 圆锥曲线中的最值问题|多维探究角度1 几何法求最值2 2 典例1 设 P是椭圆条=1上一点，忆及分别是两圆：（

2、矛+4 尸+/=1 和龛-4）2+z o yV=1上的点，则|月川+|州的最小值、最大值分别为（）A.9,1 2 B.8,1 1 C.8,1 2 D.1 0,1 2【解析】选 C.如图，由椭圆及圆的方程可知，两圆圆心分别为椭圆的两个焦点4 B,由椭圆定义知|阳|十|如|=2 a=1 0,连接为，阳分别与圆相交于两点，此时I/W 1 +I 削 最小，最小值为|阳|+|%I 2/?=8；连接力，阳并延长，分别与圆相交于两点，此时1 A M+1 掰最大，最大值为I 阳|+|加|+2 仁 1 2,即最小值和最大值分别为8,1 2；已知点4是抛物线G 7=4 x 上的一个动点，点/到直线“一了+3 =0

3、的距离为d，到直线*=-2的距离为d2,则 d +4的最小值为（）A.平 +2 B.2 y/2C.2+3 D.2 y2+1【解析】（2）选 D.抛物线的焦点为61,0）,准线为x=-l,则&=|明+1.故 d +d=|1+l.显然，当点力为点尸到直线x y+3 =0的垂线段与抛物线的交点时，司+d取到最小值d=重3l=2 加.故d +d的 最 小 值 为+1.角度2 代数法求最值 典例2 （2 0 2 0 浙江高考）如图，已知椭圆G：y+/=1,抛物线G：了=29（0 0）,点/乙是椭圆G与抛物线G的交点，过点4的直线/交椭圆G于点反 交抛物线G于欣8,物不同于.若 =白，求抛物线C 的焦点坐

4、标;（2）若存在不过原点的直线1使 为线段4 6的中点，求 p的最大值.【解析】（1）由题意得，抛物线G的焦点坐标为，0）.设 4（x i,Z i）,B Q,%），欣品，%）,Cxx,y,）,则 Q I/a,必一 必+必k4 ko町 KAB knc-*-V -xl x2 x+x2Z2oX1乙则 k*y*kon=用一吊y-i 2P（%一%）=2 2泾 X i 一为%2P必+%22p 1,2一=-9 0 几 +必 必+8/7=0,Z3 4 32若为存在，则/=匕 一 32/20.2由于j 卜 2Pxi=1 0 功=-2p+/2+4户,2于是 乂 =2pxt=-4 4+2pj2+4p2,故4/+2m

5、 j2+4/232万=、2+4厅 218p=0V/?W .于是0 的 最 大 值 为 噜,此时 M=一 ，y,=，5 5/规律方法圆锥曲线中的最值问题的常见解法（1）几何法：即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数法：即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）变量的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.d 多维训练1.已知以圆a（X1）?+炉=4 的圆心为焦点的抛物线G与圆。在第一象限交于力点，6 点是抛物线G：*=8 y 上任意一点，为/与直线尸一2 垂直，垂足为必则|8M一|/8|的最大值为（）A.1 B.2 C.-1 D.

6、8【解析】选 A.圆。的圆心坐标为(1,0),所以，抛 物 线 G的 方 程 为/=4 x,联立f (x l)2+/=4,y=x,x 0,y 0,x=l,解得 可得点4 1,2),如图所示，1 尸 2,已知抛物线G的焦点为F(0,2),由抛物线的定义可得1 8M =|防|,所以1 8初一|AB=BF一|力 0 W|AF=yl(1-0)2+(2-2)2=1,当且仅当点A,B,/三点共线且点8 在点A的右侧时，|-|力创取得最大值1.2.若点尸在抛物线”=*上，点 0 在圆(x 3 y+/=1 上，则的最小值为.【解析】由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为4(3,0),PQPA-AQ=PA-1,

7、当且仅当只Q,4 三点共线时取等号，所以当|必|取得最小值时，|沟|最小.设产(如Jb)，2则/=吊，PA=7(m-3)+)当且仅当科=1时，I 例取得最小值火 ,乙 乙此时加0 取得最小值率-1.答案：半-13.（2021 长沙模拟）已知椭圆八%=l（a 6 0）的左、右焦点分别为,凡短轴的两个顶点与,E构成面积为2 的正方形.（1）求/的方程;（2）过右焦点 的直线交椭圆于4 8 两点，连接/。并延长，交 于点G 求/a 面积的最大值.【解析】（1）因为椭圆。的短轴的两个顶点与,构成面积为2 的正方形,所以b=c,S 正=4=2,则 a=y2 ,b=c=l,2X故椭圆的方程为5 +/=1.

8、乙（2）当直线4 6的斜率存在时,(y=k(x 1),设直线4?的方程为y=4(x l),联立 万+L L消去y 整理得（1+2）V-4 A?x+2左一2=0,设力（川，乂），B（X,用），4 则为+为=1 7 5 记 2分一21+2左 所以I/8=弋1+炉 7(为+及)-4 x i X?+必,2乃一21+22 m(1+8 1+2点。到直线kxyk=0的距离d=21 Al 1+力因为。是线段/。的中点，所以点。到直线力6 的距离为2d=所以4 7。面积 S=；AB 2 d_1(1 +)2|/6 0)的左、右焦点分别为E和 ,由欣一a,8),/V(a,6),和 这 4 个点构成了一个高 为 小,

9、面积为3 十 的等腰梯形.(1)求椭圆的方程；(2)过点 的直线和椭圆交于4 3 两点，求 面 积 的 最 大 值.【解析】(1)由 己 知 条 件 得 且 然 在X小=3小,所以 a+c=3.又才一/=3,所以 a=2,c=l,2 2所以椭圆的方程为.+f=1.显然，直线的斜率不能为0,设直线的方程为*=犯-1,4(冬，必)，B(x”y2).联立方程，得V，2X71,消去X 得,、x=my-1,(3/+4)”-6 叱一9 =0.因为直线过椭圆内的点,所以无论勿为何值，直线和椭圆总相交.在 i、i I 6m _ 9所以弘+必一3 序+4，弘%3 序+4 .所以五砌=)一必1=I%一%I ;-/

10、I f f+1K (弘+乃)一一4%先 =12(即+4)，/序+1=4aI 2 1 1-、/灯+1+/9(：+1)令 t=/+1 2 1,设/V)=t+a，易知 te(0,时，函数 f(t)单调递减，+j时，函数f 1)单调递增，所以当匕=序+1 =1,即/=0 时，f(t)取得最小值，F(t)mi n=W，此时，8/2/切取得最大值3./考点二范围问题|讲练互动2 2 典例3 (2 02 1 北京高考)已知椭圆E：a+p=l(a b0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4 季.(1)求椭圆E的标准方程；过点P(0,3)的直线1 斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线A B

11、交 y=-3于点M,直线A C 交 y =-3于点N.若|PM|+|PN|W 1 5,求k的取值范围.【解析】(1)因为椭圆E 过点A(0,-2),故b=2,以四个顶点围成的四边形面积为4季,故g X 2 a X 2 b=2 a b=4乖，得a=*,故椭圆E的标准方程为最+：=1；(2)由题意知，直线1的斜率存在，且直线1的方程为丫=1 3,设 B(x”y j ,C(x2,y2),联立y=k x 3,4 x2+5 y2=2 0,消去 y 整理得(5 1?+4)(一3 01 +2 5 =0,A =(-3 0k)2-4X(5 k2+4)X 2 5=4 0 0 X (k2-l)0故 k l 或 k

12、b 0)的离心率e=,直线x+/y l=O被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为十.(1)求椭圆C的方程；过 点M(4,0)的直线1交椭圆于A,B两个不同的点，且入=|M A|M B|,求人的取值范围.【解析】（1）原点到直线x+/y-l=o 的距离为;,由题得（目 2+（乎）2=b2（b0）,解得b=l,2 c?b 3X=1 一 7，得 a=2,a a 4v2所以椭圆C的方程为了+y2=l；当直线1 的斜率为0 时，直线1：y=0 为 x 轴，=|M A|MB|=12.当直线1 的斜率不为0 时，设直线1：x=m y+4,点A(x”y),B(x2,y2),x=my+4联立0,得 111212

13、,l+y=i一 12所以 y2=濯q q -人=|M A|*|MB|=yjm+l lyj nr+l|y21 =(m2+1)|yiy21 =12=12(1-常3 3 39由1 2,得。正，所以*VAV12.综上可得7 V 入W12即入12【加练备选】己知椭圆C：1 =l（ab。）的离心率为平,过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆C所截得的弦长 为 镜.（1）求椭圆C的标准方程；U U U UUIU若经过点（一1,0）的直线1与椭圆C交于不同的两点M,N,0 是坐标原点，求OM ON的取值范围.【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c.O k2因为过焦点且垂直于X轴的直线交椭圆C所得的弦长为镜,所以丁=也,

14、w-=亚，因为椭圆C的离心率2a所以士a乎，又ai+c?,由解得a=q ,b=l,c=l.2故椭圆C的标准方程是5+y2=l.(2)当直线1的斜率不存在时,直线1的方程为x=-l,联立x=-1,x2,2 解得5+y fx=-1,y=一 2则点M,N的坐标分别为|1,1,I,亚或1 2y=2 -应,1X2U U U UUIU所以O M O N =(-l)x(-l)+-2 ；当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x+l),M(x”y,),N(x”y2).联立y=k (x +1),I+y2=1消去y得(1+2”2+4 1 6 +2 1 2 2 =0,2v因为点(一1,0)在椭圆C：y+/=1

15、的内部,乙所以直线1与椭圆C 一定有两个不同的交点M,N.则 x,+x24 k22 k2-21 +2 1?X 1X 2=l+2 k2.所以 O M ,0 N =Xi X2+y i y 2=Xi X2+k(Xi +l)k(x2+l)，UUU-ULUU化简可得 O M -O N =(l+k x,x s+k x.+x 4-k2,U U U UUIU 2 k2 2则OM-ON=(l+k2)j-+k2,U U U UUUl 1 5化简可得OMs ON=2 一 寸p因为 2+4 1 2 2,5 5 5 5所以 一2+4 1?5 ,5 1 5 1 U U U ULUU 1所以5 5 -4i?2,即2 W -7 2，所以0M-ONe-2.5uuu uum综上，OM ON的取值范围是-1-2