五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题20立体几何多选、填空(解析版).pdf

《五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题20立体几何多选、填空(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题20立体几何多选、填空(解析版).pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题2 0 立体几何多选、填空一、多选题1.（2022新高考全国II卷 第11题）如图，四边形ABC。为正方形，平面A8CD，=记三棱锥E-A C D,F-A B C,/一ACE的体积分别为匕,匕,匕，则)设 A B =E D =2 F B =2 a,因为 E）J_平面 ABC。，F B E D,则乂=；皿山8=；叫。心#,jI2%./.（2。连接3。交A C于点“，连接易得B）_L A C,又 E_L 平面 A B C D,AC u 平面 A B C D，则 ED，AC,又 D 8。=。，E。,B。u 平面 B D E F,则A C,平面B

2、 D E F，又 B M =D M =L B D =g a,过 F 作 F G 工D E 于G ,易得四边形B D G F为2矩形，则 FG=8D=2缶,EG=a,则 EM=4 2 a+（伍y=痘,F M =+（亚a=&a，E F =相+（2 6 a j=3。，E M2+F M2=E F2 则 _1根，S E FM=-E M-F M =a2,A C =2，2 2则匕=%.上视+匕一0”=（4。.用=2。3,则2匕=3匕，匕=3%,%=%+%,故A、B错误；C、D正确.故选：CD.【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积 空间几何体的体积【题目来源】2022新高考全国II卷 第11题2.（

3、2022新高考全国I卷 第9题）已知正方体48co-A B C Q,则（）A.直线BG与 所 成 的 角 为90。B.直线BG与CA所成的角为90。C.直 线 与 平 面BBQ。所成 角为45 D.直线8 c与平面A8CD所成的角为45【答案】ABD解析：如图，连接g C、BC、,因为Q A J/B C，所以直线BG与 瓦。所成的角即为直线BG与。A所成的角，因为四边形B gC C为正方形，则耳C J.B C，故直线BG与DA所成的角为90,A正确;连接A C，因为4瓦_L平面B 4G C,4与 J.B Q ,因为4 C L 8 G，4 4 0 4。=片，所以8 0，平面A g e,又4。u平

4、面4 4 c，所以B G C A，故B正确；连接4 G，设A G n g Q=。，连接8。，因为 BB1 1 平面 4 5 G。，G。U 平面 4耳G A ,则 G。l BtB,因为 C。18,0,B,D,c BXB=B,所以G。，平面88QQ,所以ZC.B O为直线B G与平面BBQ Q所成的角,设正方体棱长为1，则C Q =白，B C、=母,s i n Z C,5 6）=-1 =i所以，直 线 与 平 面8片口。所成的角为30。，故C错误;因为平面A B C O,所以N G B C为直线8 G与平面ABC D所成的角，易得N G B C =4 5。,故D正确.故选：ABD【题目栏目】立体几

5、何 空间角直线与平面所成的角【题目来源】2022新高考全国I卷 第9题3.（2021年新高考全国H卷 第10题）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N 为正 方 体 的 顶 点.则 满 足 的 是 （）【答案】BC解析:设正方体的棱长为2,对于A,如图（1）所示,连接A C,则MNAC,故NPOC（或其补角）为异面直线OP,MW所成的角，在直角三角形OPC,OC=&，CP=1,故tan Z.POC=1 _y/2，故MN J_。尸不成立，故 A错误.对 于 B,如图（2）所示，取 N T的中点为Q,连接尸Q,O Q,则 OQLNT,P Q L M N ,由正方体SB。/-N4

6、DT可得SN L 平面4V D T,而 O Q u 平面4V D T,故 SN L O Q,而 SNnM7V=N,故 OQ1 平面S N 7 M,又 Wu 平面SN7M,O Q 1 M N ,而（9。口 尸。=。,所以MV_L平面O P Q,而 P O u 平面O P Q,故M N 工O P,故 B正确.故O P_LM V,故 C正确.对于C,如 图 ，连接B D,则B D H M N,由 B的判断可得O P V B D,对于D,如图（4）,取 4）的中点Q,的中点K,连接AC,PQQQ,PK,OK,则 AC/MN,因为O P=P C,故 P Q/A C,故 PQ/M N,所以NQP。或其补角

7、为异面直线PQ,MN所成的角,yf图（4）因为正方体的棱长为2,故PQ=；AC=夜，O Q =ylAO2+A Q1=/1+2=73,P0=4PK2+OK-=R=后，QO-（0,2,0）,C,（2,2,2）,.（0,2,2）,因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E（2,l,0）,F（l,2,0）,所 以 方=（1,0,-2）,后=（2,2,0）,平=（2,1,-2）,设平面A gG的一个法向量为石=（M，X，zJ,m-AC=2x,+2y.=0 一/、则 一 L，令 与=2，则加=（2,2,1）,m-A1E=2芯 +%2Z=0因 为 印 而=2 2=0,所以*_L而，因为。尸且平面A E

8、G，所以。/平面A E G；（II）由 得，福=（2,2,2）,设直线AG与平面A EG所成角为6,则 2_3x2百 一 9；（III）由正方体的特征可得，平面441G的一个法向量为丽=（2,2,0）,8_ _ 2/23x272 3所以二面角A -AG-E的正弦值为J l-c o s 2（而中=1.【题目栏目】立体几何 空间角 二面角【题目来源】2 0 2 1 高考天津第1 7题8.（2 0 2 0 年高考课标I I 卷 文 科 第 1 6题）设有下列四个命题：P i：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.P 3：若空间两条直线不相交，则这两条直

9、线平行.P 4：若直线/U 平面a,直 线 平 面 a,则 m J J则 下 述 命 题 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.P l 人 P 4 P|人 P 2 V P 3 V P4【答案】【解析】对于命题P-可设4 与4相交，这两条直线确定的平面为a ；若4与4 相交，则交点A在平面a内，同理，4与4的交点B也在平面a内,所以，AB ua，即ua,命题P 1 为真命题;对于命题 2,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个,命题P为假命题;对于命题小，空间中两条直线相交、平行或异面，命题P 3 为假命题；对于命题p4,若直线m_ L 平面a ,则团垂直于平面a内所有直线，直线/u平面，直线

10、加_ L 直线/,命题P 4 为真命题.综上可知，马，R 为真命题，尸2，打 为假命题，。1 人。4 为真命题，。1 人。2 为假命题，-1 2 V P 3 为真命题,Py V 1 P 4 为真命题.故答案为：.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.【题目栏目】立体几何 空间点、直线、平面之间的位置关系、空间中点线面的位置关系【题目来源】20 20 年高考课标H卷 文 科 第 1 6题9.（20 20 年高考课标I H 卷 文 科 第 1 6题）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.【答案】也乃3【

11、解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中8 c =2,A 3 =AC=3,且点M 为 B C 边上的中点，设内切圆的圆心为。，由于 A M=/32 I2=2V 2,故 A A B C =5 X 2 X 2夜=2夜,BMC设内切圆半径为r,则:=S a A O B +S a B o c+S a A o c=gx A B x r +g x BCx r +；x A C x r =g x(3 +3 +2)xr=2V2,切出 V 2 .m 4 3 正解得：r=-，其体积：V -7rr3-7t-2 3 3故答案为：.3【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解

12、题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.【题目栏目】立体几何 球的问题 球的其它问题【题目来源】20 20 年高考课标H I 卷 文 科 第 1 6题1 0.（20 20 年新高考全国I 卷（山东）第 1 6题）已知直四棱柱A 8C D-4 81 GD 1 的棱长均为2,ZBAD=60.以Q 为球心，亚为半径的球面与侧面BCCIBI的交线长为【答案】也.2解析：如图:取 g G 的中点为E，的中点为E，C0

13、的中点为G,因为445=60。，直四棱柱A B C。Ag G。的棱长均为2,所以 2 4G 为等边三角形，所以=/3 R E 工 B|C|,又四棱柱A B C。44G A为直四棱柱，所以8 4，平面A4G 2,所以B q_ L B|C|,因为6 瓦 ng G=g,所以R E _ L 侧面4 G C B,设P为侧面B g C B与球面的交线上的点，则D,E 1 E P,因为球的半径为6，*=6,所以|P|=_ 田 初 2=拒,所以侧面B C B与球面的交线上的点到E的距离为V 2，因为|EF|=|E G =C，所以侧面B C B与球面的交线是扇形E F G的弧F G，71 71因为N 4 E F

14、 =N G EG =i，所以NFEG=z，所以根据弧长公式可得FG=-x V 2 =2 2【题目栏目】立体几何、空间距离【题目来源】2020年新高考全国I 卷（山东）第 16题1 1.（2020年新高考全国I 卷（山东）第 15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A 是圆弧AB与直线AG的切点，B 是圆弧A8与直3线 BC 的切点，四边形 OEFG 为矩形，B C L D G,垂足为 C,tanZODC=1,B H/D G,EF=12 cm,DE=2cm,A 到直线OE和 EF的距离均为7 c m,圆孔半径为：L em,则图中阴影部

15、分的面积为【答案】4+算2解析：设 O B =O A =r,由题意 AM=AN=7,E F =1 2,所以 N/=5,因为 AP=5,所以 NAGP=45，因为B H U D G,所以4 4 0 =45，因为A G 与圆弧A B 相切于A 点，所以O A L A G,即4 H 为等腰直角三角形；在直角。中，O Q =5 一 与 r，D Q =1 一 号 r，因为ta n“D C =,=|所以2 哈=2 5-聆,解得r=2V 2；等腰直角。4 的面积为 =1 x 2 7 2 x 2 7 2=4；2扇形A Q B的面积邑=J x?%x（2及=3万，1 5 7 r所以阴影部分的面积为S i +S?耳

16、乃=4 +：.【题目栏目】立体几何 简单儿何体的表面积和体积 空间几何体的表面积【题目来源】2 0 2 0年新高考全国I卷（山东）第1 5题1 2.（2 0 2 0年新高考全国卷H数学（海南）第1 6题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧A B所在圆的圆心，A是圆弧4 8与直线A G的切点，B是圆弧A 8与直3线 8 c 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG,垂足为 C,t a n Z O DC=1 ,BH/DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和E F的距离均为7 c m,圆孔半径为1 c m,则图中阴影部分的面积为 cm2.解析

17、：设O 3 =Q 4 =r,由题意A A/=A N =7,E F =1 2,所以N r =5,因为 A P =5,所以 N A G P =4 5，因为 B H /D G,所以 NA”O=4 5，因为AG与圆弧AB 相切于A点，所以。A,AG,即 Q A H 为等腰直角三角形；在直角 0 Q。中，OQ=5 Y2，Z）2=7-r.因为 t a n N O O C =gg=，所以2 2 D Q 530 5 7 22 1-r-2 5-r，2 2解得尸=2 正;等腰直角 Q4H的面积为，=工x 2&x 2&=4 ；2扇形A08的面积邑=；x 网 x（2 及=3 万，所以阴影部分的面积为S i +S 2

18、耳1 乃=4 +彳5 7-r.5 7 r故答案为：4 4-.2【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积 空间几何体的表面积【题目来源】2 0 2 0 年新高考全国卷II数学（海南）第 1 6题1 3.（2 0 2 0 年新高考全国卷H数学（海南）第 1 3 题）已知正方体A 8 C D-4 B1 Q D1 的棱长为2,M、N分别为8 8 1、A 8 的中点，则三棱锥4/V M Di 的体积为【答案】-3解析：因为正方体A BC D-4 8 1 G D1 的棱长为2,M.N分别为BBi、A B 的中点所以匕-“岫=l x l x l x l x 2 =-3 2 3故答案为：?3【题目栏目】

19、立体几何 简单几何体的表面积和体积,空间几何体的体积【题目来源】2 0 2 0 年新高考全国卷H数学（海南）第 1 3 题1 4.（2 0 2 0 天津高考第1 5 题）如图，在四边形A 8 C D 中，Z B =60 ,AB=3,B C=6,且A D =ABC,A D A B =,则实数九的值为,若 是 线 段 B C上的动点，且|丽|=1,则 丽 丽 的最小值为1 1 3【答案】【答案】（1）.-.万【解析】.A Z 5 =/IB3，仞BC,./8 4。=1 8 0-/5 =1 2 0,AB AD=/1BC AB=2|B C|-|XB|COS120=2 x 6 x 3 x 1-|=-9 2

20、 =-,解得义,以点B 为坐标原点，B C所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xB.y,;BC =6,C （6,0）,|A B|=3,N A BC =60 ,r.A 的坐标为A3至、2,又 人 力:,有 3，则。6,设 M（x,0）,则 N（x+l,0）（其中 0 4 x 4 5）,_ _ _ _ _ 1 3 1 1 3所以，当x=2 时，丽 丽 取 得最小值：.故答案为：:；2 6 2三、解答题【题目栏目】立体几何 线面、面面垂直的判定与性质 线线垂直的问题【题目来源】2020天津高考第15题1 5.（2020江苏高考第9题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已

21、知螺帽的底面正六边形边长为2 c m,高为2 c m,内孔半轻为0.5 c m,则此六角螺帽毛坯的体积是【答案】【答案】1 2 -52 解析】正六棱柱体积为6 x 3 x 22 x 2=12 6,圆柱体积为%（与.2=4 2 2所 求 几 何 体 体 积 为 故 答 案 为：1 2 7 3-【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积 空间几何体的体积【题目来源】2020江苏高考第9题16.（2019年高考天津文第12题）已知四棱锥的底面是边长为&的正方形，侧棱长均为百.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为,【答案】【答案】v【

22、思路分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可.【解 析 工 由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2,且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2,由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1,即半径等于;；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1,则该圆柱的体积为：V=5/2=（1）2X 1=;故答案为f2 4 4【归纳与总结】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题.【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和

23、体积 空间几何体的体积【题目来源】2019年高考天津文第12题17.（2019年高考全国HI文 第15题）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如 图，该模型为长方体ABCD-挖去四棱锥。-EFGH后所得的几何体，其 中。为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4,=4cm.3D打印所用的原料密度为0.9g/cn?,不考虑打印损 耗，制作该模型所需原料的质量为 g.【答案】【答案】118.8【解析】该模型为长方体A B C O-4 B C R，挖去四棱锥O-E 尸 G”后所得的几何体，其中。为长方体的中心,E,F,G,H ,分别为所在棱的中点，A B=B

24、 C =6cm,A4,=4cm,该模型体积为：XASCD-AS,C.D,-VO-EFGH=6 x6x 4-1 x（4 x6-4 x 1 x3x 2）x 3=144-12=132（c/n3）,3。打印所用原料密度为0.9 g/，不考虑打印损耗，.制作该模型所需原料的质量为：132x0.9=118.8（g）.故答案为：118.8.【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积,空间几何体的体积【题目来源】2019年高考全国HI文 第 15题1 8.（2019年高考全国H文 第 16题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印

25、信形状是 半正多面体（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2 是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为.（本题第一空2 分，第二空3 分.）图1图2【答案】【答案】26,V 2-1【解析】由图可知第一层与第三层各有9 个面，计 18个面，第二层共有8 个面，所以该半正多面体共有 18+8=2 6 个面.解法一：如图，设该半正多面体的棱长为x,则 4B =8 E =x,延长C B 与 E E 交于点G,延长3 C 交历正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，

26、A 5G E 为等腰直角三角形，.BG=GE=C =x,2G=2 x 也x+x =（啦+l）x=l，二元=7=亚 1,即该半正多面体棱长为五1.解法二：设棱长为。，如图做出该几何体的截面，CD=1,CE=1,又AC D E为等腰直角三角形，则 及 x L 兰=。，解得6 Z =V2-1则棱长为血 一 1.【点评】本题考察数学文化，立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原 关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键.立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形.【题目栏目】立体几何 空间几何体的结构特征及其直观图、三视图,空间几何体的直观图【题目来源】2 0 1 9

27、 年高考全国II文 第 1 6 题1 9 .（2 0 1 9 年高考全国I 文 第 1 6 题）己知N A C8=9 0。，P为平面A B C 外一点，P C =2,点尸到N A C 8 两边 A C,的距离均为百，那么P到平面A B C 的 距 离 为.【答案】【答案】V2【解 析】如 图，过 P 点 做 平 面 ABC 的 垂 线 段，垂 足 为 O,则 PO 的 长 度 即 为 所 求，再做P E 工C B,P F L C A,由 线 面 的 垂 直 判 定 及 性 质 定 理 可 得 出 尸_ L C A,在 mAPC E中，由P C =2,PF=,可 得 出 C E =1,同 理 在

28、 R f A P C E 中 可 得 出 C E=1 ,结 合 N A C B =9 0,0后，。8,0 尸，04可得出。=。尸=1,O C =B P O J P C2-O C2【题目栏目】立体几何 空间距离【题目来源】2 0 1 9 年高考全国I 文 第 1 6 题2 0 .（2 0 1 9 年高考江苏第9题）如图，长方体48a-A8C A的体积是1 2 0,E是 C Q 的中点，则三棱椎E-BCD的体积是.【答案】【答案】10【解析】因为VE-BCD 5sABCD EC _1 SgcD腺 方 体 S矩形A8CD CC 3 S矩形ABC。1 x 1 =G C 3 2 2 1 2生 X1所 以

29、%-BCO=上方体=，x l 2 0=1 0.【题 目栏目】立体几何简单几何体的表面积和体积、空间几何体的体积【题目来源】2 0 1 9 年高考江苏第 9题2 1.（2 0 1 9 年高考北京文第 1 3 题）已知/,加是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：/_!_，“；z/a；/J _ a.以 其 中 的 两 个 论 断 作 为 条 件，余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论，写 出 一 个 正 确 的 命题：.【答案】【答案】若/_ L a，1 1 m,则/a.【解析】由/,用是平面a外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l m,则加/a.故答案为：若l m,则m/a.

30、【归纳与总结】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.【题目栏目】立体几何 空间点、直线、平面之间的位置关系 空间中点线面的位置关系【题目来源】2 0 1 9 年高考北京文第 1 3 题2 2.（2 0 1 9 年高考北京文第 1 2 题）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.【解析】法一：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该法二：在正方体中还原该几何体，如图所示，几何体的体积V =4

31、3-g（2 +4）x 2 x 4 =4 0./【题目栏目】立体几何 空间几何体的结构特征及其直观图、三视图,空间几何体的三视图【题目来源】2019年高考北京文第12题2 3.（2018年高考数学江苏卷第10题）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1,底面正方形的边长等于血，所以该多面体的体积为2 x k l x（夜 了=【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积,空间几何体的体积【题目来源】2018年高考数学江 苏 卷 第10题2 4.（2018年高考数学天津（文）第1 1题）如图，已 知 正

32、方 体 A 8 c。的棱长为I,则四棱锥4-B B Q Q的体积为匕，-珈4。=匕BO-A Ba解析：VA,-ABD1 1 1,1=-X X 1 =2 3 2 3【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积,空间几何体的体积【题目来源】2 0 1 8年高考数学天津（文）第 1 1 题2 5.（2 0 1 8年高考数学课标H 卷（文）第 1 6 题）已知圆锥的顶点为S,母线S4,S 3 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为3 0。，若 的 面 积 为 8,则 该 圆 锥 的 体 积 为.【答案】8万解析：圆锥的顶点为S,母 线 互 相 垂 直，SA 8的面积为8,可得：=8,解得S4 =4,S4 与圆锥底面所成角为3 0。.可得圆锥的底面半径为：26，圆锥的高为2,则该圆锥的体积为：V=X-X（2/3）2X2=8.故答案为：8万.【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积、空间几何体的体积【题目来源】2 0 1 8年高考数学课标H 卷（文）第 1 6题