2023年（全国乙卷）理科数学模拟试卷九（学生版+解析版）.pdf

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1、保密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷九（全国乙卷理科）学校:姓名：班级：考号：题号一二三总分得分注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.评卷人得分一、单选题（本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 .已知全集/=%6 7+|-2%0,0 Z?0,-1 h 0C.

2、a 0,-1 b 0D.a 0,0 h 0,h 0）,圆M：（x +3 产+y 2 =4 与双曲线c 的一条渐近线相交所得弦长为2,则双曲线的离心率等于（）A.V 2 B.V 3 C.当 D.日6 .某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A.4 2 B.9 6 C.4 8 D.1 2 47 .已知等差数列 斯的前n项和为治,且5 4 =3,S 2 =6 3,若/+q =0（i J e N*）,贝取的取值集合是（）A.1,2,3 B.6,7,8 C.1,2,3,4,5 D.6,7,8,9,1 0 8 .已知

3、双曲线C 的左、右焦点分别是为F i，F2,过尸 2 的直线与C 交于A,B 两 点.若 丽=3可，|而|=|丽则C 的离心率为（）A.2 B.3 C.4 D.59 .函数y =言詈的图象大致为（）x y 3 N 01 0.若平面区域2%-y-3 WO夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()2y 4-3 0A.述 B.V2 C.迎 D.V55 21 1 .已知双曲线E：捺-3=1(1 0/0)的左、右焦点分别为尸1，尸 2,P 是双曲线E 上的一点，且愿|=2|P Fi|,若直线P F2 与双曲线E 的渐近线交于点M,且M 为P F2 的中点，则双曲线E 的渐近线

4、方程为()YXA.y=-B.y=2 C.y=2%D.y=3%1 2 .已知实数a,b,c e R,满足等=/=./1,则a,b,c 大小关系为()A.a b c B.a c b C.b c a D.b a c评卷人 得分二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)1 3 .写出一个能说明“若函数/(x)的导函数f。)是周期函数，则/(%)也是周期函数”为假命题的函数：.1 4 .已知数列 即 的首项为=1,前n 项和为&,且满足2 an+i +S.=2(n 6 N*),则a 4 =.1 5 .已知函数/(x)=(s i n 3 X)2 +gs i n 2 3 X -0,3 6 R),若/(

5、x)在区间(兀,2 兀)内没有零点，则3的取值范围是.1 6 .若(X +2)2 0 2 2 =劭+axX +a2X2+20 2 2 2 0 2 2 则a。+2 +a4 +。2 0 2 2 被4 除得的余数为.评卷入得分三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)1 7 .已知等差数列 斯 和等比数列 砥 满足臼=5,瓦=2,a2=2b2+l,a3=b3+5.(1)求 即 和 匕 的通项公式;(2)数列 an 和 匕 中的所有项分别构成集合力、B,将集合4 U B 中的所有元素按从小到

6、大依次排列构成一个新数列。，求数列。的前5 0 项和S 5 0.18.某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对期末考试数学成绩进行分析，从中抽取了九名学生的成绩作为样本进行统计(该校全体学生的成绩均在60,150),按下列分组60,70),70,80),80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140),140,150作出频率分布直方图.如图，样本中分数在70,90)内的所有数据是:72,75,77,78,81,82,85,88,89.频率/组距0.024.0.016.y.0.0 1 2.0.008 1 -10.004 元H I T十

7、十 十 十 十10 0 70 80 90 100 IIO12OI3OHO 1507(分)根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表.分数60,80)80,120)120,150)可能被录取院校层次专科本科自招(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取1人，求此人能被专科院校录取的概率；(2)在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用f 表示所抽取的3名学生中为专科的人数，求随机变量f 的分布列和数学期望.19.如图，三棱柱A B C-&B 1 G 的底面ABC为正三角形，。是48的中点，AB=

8、6 0,平面4 4/$1底面4BC.(1)证明:平面&DC _L平面4 4/；(2)求钝二面角B-C Bi-&的余弦值.2 0 .在平面直角坐标系xO y中，椭圆C：9+=l(a b 0)的离心率为右且过点(2,3).(1)求椭圆C的方程；(2)设4为椭圆C的左顶点，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线咬椭圆C于P,Q两点，连接Z P,4 Q分别交直线x=彳于M,N两点，若直线M R,N R的斜率分别为跖 心，试问自心是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由.2 1 .已知函数/(X)=si nx+：sx+m,其中7 n是常数，且看是函数“为的极值点.(1)求?n的值；(2)当x W (

9、0,+8)时，求证：y=f(x)的图象恒在直线y=%的下方.(-)选考题:共1 0分.请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程2 2 .以平面直角坐标系xo y的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为p c o s(。+V 2.曲线C】的 参 数 方 程 为 需a (a为参数).(I )若把曲线G上每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，再把得到的图象向右平移一个单位，得到曲线C 2,求曲线C 2的普通方程；(n)在第(1)间的条件下，若直线Z与曲线C2相交于M,N两点，求M,N两点间的距离.选修45:不

10、等式选讲23.(1)已知a,b 0,求证：as+b5 a3b2 4-a2b3(2)已知a,b -3 1.求证：-1+a =.保密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷九(全国乙卷理科)学校:姓名：班 级：考号：题号一二三总分得分注意事项：1 .答 卷 前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后,再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.评卷人得分一、单 选 题(本 题 共

11、1 2小 题，每 小 题5分，共6 0分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.)1 .已知全集U=xe N+|-2 cx 0,0 b 0,-1 b 0C.a 0,-1 f a 0D.a 0,0 b 1【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数图象的应用，属于基础题.先由函数的对称性可得b e (0,1),再由函数图象可知当x趋向正无穷大时，f(x)趋向0,由指数函数的单调性，可得a0,从而得到答案.【解答】解：函 数/(乃=2 件图象关于直线x=b对称，故 0 c b 1,又当x趋向正无穷大时，f(x)趋向0,即函数在(h+8)上为减函数

12、，可得a 则有c o s。=一点又由。0 0,b 0),圆M：(x +3 +y 2 =4与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2,则双曲线的离心率等于()A.V 2 B.V 3 C.渔 D.叱2 2【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线离心率的求法，考查数学运算的核心素养，属于基础题.直接根据圆的弦长公式求出圆心到渐近线的距离，从而建立关于a,b,c的方程，化简即可求得离心率.【解答】解：双曲线的一条渐近线ax by=0,圆的半径为2,圆M：（X+3产+y2=4与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2,由条件知圆心（一 3,0）到渐近线的距离d=此-12=V3，从而d=/

13、丁 匕=土=8,e V3.Vcz2+b2 c故选：B.6.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A.42 B.96 C.48 D.124【答案】A【解析】【分析】本题考查排列及排列数公式的应用，属于基础题.方法一：分2种情况：（1）增加的两个新节目相连，（2）增加的两个新节目不相连；方法二：7个节目的全排列为房，两个新节目插入原节目单中后，原节目的顺序不变，故不同插法：雪.【解答】解；方法一：分2种情况：（1）增加的两个新节目相连，（2）增加的两个新节目不相连；故不同插法的种数为小掰+短=42,故选：A.A

14、7方法二：7个节目的全排列为A为 两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为?=4=42,故选：A.7.已知等差数列a“的前n项和为3,且S4=-3,S12=6 3,若/+%=0（iJ e N*）,则i的取值集合是（）A.1,2,3 B.6,7,8 C.1,2,3,4,5 D.6,7,8,9,10【答案】C【解析】解：因为$4=-3,Si2=6 3,.4 的+6d=-3,12%+66d=63,解得d=|,%=-3.若%+%=0,则 3。+；尸8=0,化为：i+j =6,v i,j e N*,i=1,2,3,4,5.i的取值集合是1,2,3,4,5.故选：C.利用通项公式求和公式即可得出.本

15、题考查了通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8.已知双曲线C的左、右焦点分别是为居，尸2，过尸2的直线与C交于A,B两 点.若 丽=3 以，I同 I =I丽 卜则C的离心率为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线定义和简单性质，余弦定理以及数形结合的解题思想方法，考杳计算能力，属中档题.由题意知过尸2的直线与C的右支交于4 B两点，可设|七8|=3则HF2I=3t,AB=4 t,由双曲线的定义2a=BF1-B F2=t,由余弦定理得16t2 +9t?-2 4t 3t；=4 c?,解得c=t,即可求出双曲线的离心率.O【解答】解：由题意得

16、：过 尸 2的直线与C的右支交于4，B两点，可设匹2引=3则|4&1=3如|48|=|力 0|=4 3山双曲线的定义得2a=AFr-AF2=t,同理2a=IBFJ-BF2=t,且|尸 2用=3所以|BFJ=t+B F2=2t.在4 明 8 中，由余弦定理得cosi4B =I；：；：茨z=京在4F1F2中，由余弦定理得16t2+9/一24 5 3 5（=4 2,解得c=t,所以 2a=t=c,所以C的离心率为；=2.故选A.9.函数y=言言的图象大致为（）【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的判断，一般从函数的定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性、单调性等排除法，特殊值法运用，考查逻辑推理

17、能力，属于中档题.利用函数的奇偶性即可判断选项C,由特殊的函数值f（-7T）的正负即可判断选项A,由X T+8时，/（X）的正负即可判断选项B,D,从而得到答案.【解答】解：设 丫 =/（X）=；;北,则其定义域为（-8,+00）,则/1(-%)=-x-s in(-x)_ x-sinxex+e-x=一/（X），故 函 数 为 奇 函 数，图象关于原点对称，故选项C错误;n又/(F)=-0,所以f（x）0,故选项D 错误，选项B 正确.故选：B.%+y -3 3 01 0.若平面区域2 x-7-3 4 0 夹在两条斜率为1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）%2 y 4-3

18、0A.咨 B.V2 C.这 D.V552【答案】B【解析】【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离.本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题.【解答】解：作出平面区域如图所示：当直线y =x +b分别经过4 8 时，平行线间的距离相等.联立方程组K J；：，解得4（2,1）,联立方程组:1 2y+3=0,解得B QZ）.两条平行线分别为y =%-1,y =x 4-1,即x-y-l =O,x -y 4-1 =0.二平行线间的距离为d =匕 葭=V2,故选B.1 1.已知双曲线E：捺一，=1（6 1 0 为 0）的左、右焦点分别为尸1，尸 2,p 是双

19、曲线E 上的一点，且|P BI=2 IP F 1 I，若直线P F 2 与双曲线E 的渐近线交于点M,且M为P F 2 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为（）YXA.y =-B.y =-C.y =2%D.y =3 x【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的性质及几何意义、中点坐标公式，属于拔高题.由题意设M（Xo，y o），则尢=5而，由双曲线的性质得IP&I IP F 1 I=IP F 1 I=2 a,因为点。和M分别为I&F 2卜 与|P F?I的中点，则|0 M|=|P F i|=a,由此可求出点M坐标，即得到点P坐标，代入双曲线方程即可求得a与b的关系，即得到渐近线方程.【解答

20、】解：由题意可作出图形：设M（x o，y。），由题意知点M在第一象限，.,点M在渐近线上，y0=x0,即M （%0，：招），PF2=2|P&|,；.IP F 2 I-H F/=|P 0|=2 a,点。和M分别为I&F 2 I与IP F 2 I的中点，0M=|P FX|=a,lx02+x02=a 解得&=2，则y o =?，lCa C、点M是IP F 2 I的中点，:（高 一。,等），点P在双曲线上，代入可得：需=,a2 c 2 b2c2化 简 得=5 a2,b=Vc2 a2=2 a,渐近线为 y =x=2%,故选C.1 2.已知实数a,b,c e R,满 足 詈=/=-/1,则a,b,c大小关

21、系为（）A.a b c B.a c b C.b c a D.b a c【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，转化思想，构造函数，比较大小，属于中档题.山已知可得a 1,c 1）,利用函数的单调性可得 a 摄，构造函数九。）=2，即可比较a，b大小【解答】解：因为=-gb l,所以 0,-0e ec eD e所以Q C则Q 1,C l,所以Ina 0,所以a l,即a c,对于函数f(x)=x-lnx(x 1),f(X)=l-i 0,可得/(X)在(L+8)上单调递增，所以f(x)f(l)=1 0,所以比a a,即 当5，ea ea所以A A，令函数九(x)=，则/i (x

22、)=M0,当x 0,则/i(x)在(-8,1)单调递增，当 1时，/(%)0,则八(x)在(1,+8)上单调递减,可得八。)的图象如下：.1 a a c,故选：D.评卷人 得分二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.写出一个能说明“若函数/(x)的导函数f (X)是周期函数，则/X x)也是周期函数”为假命题的函数：/(x)=答案】/(x)=sinx+x【解析】【分析】本题考查函数求导以及函数的周期性，属于基础题.举例/(%)=sinx+x,则/(X)=c o s x +1是周期函数，利用函数周期性证明/(x)不是周期函数，得到答案即可.【解答】解:/(x)=sinx+x,则f

23、(x)=c o s x +l,其最小正周期为2用，是周期函数，而/(%+7)=s i n(x +T)+x+T*f(x),(T*0)所以/(x)不是周期函数.所 以“若函数/(X)的导函数/(X)是周期函数，则/(乃也是周期函数”为假命题，故答案为：/(%)=s i nx +x.14 .已知数列 an的首项的=1,前n项和为Sn,且满足2即+1+S n=2(n e N*),则.【答案】;【解析】【分析】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出结果.【解答】解:数

24、 列 an的首项的=1,前n项和为Sn,且满足2即+1+S n=2，当n 之 2时，2%,+5n_x=2，得：2c 1n+i 2an+an=0,故 警=式”2 2),当n=l时，2a2+=2,则即:=：所以数列 a j是以1为首项，:为公比的等比数列；所以0n=1x(旷=(旷】,所以。4 =(1)3=1 1=-sin2a)x-cos2a)x2 2=1 s i n(2e x 由/(x)=0,可得s i n(23%一=0,解得=s(区2T T)，因为/(%)在区间(J i,2兀)内没有零点，所以三之兀,即f之兀，解得2 2(0 2故答案为：O15.已知函数f(x)=(sinatx)1 2+1s i

25、 n2(o x -1(0,a)e R),若/(x)在区间(T T,2兀)内没有零点，则3 的取值范围是.【答案】(谓噜盘【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质、不等式的解法与应用问题，考查推理与计算能力，属于中档题.整理解析式，由/(x)=0,可得s i n(2a)x -=0,由/(乃在区间(兀,2)内没有零点，利用k为整数，求解不等式组,进而求出3 的取值范围.【解答】解：函数f(%)=(sincox)2+|s m2t o x 11 1 1=-(1-cos2a)x)+-sin2a)x-又因为30,所以03工也,nA kn+-J L r,7T V-27r，/f E Z;23解得.+卷 3

26、 则。+a2+a4.+CI2022被4除得的余数为.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查利用二项式定理证明整除问题，赋值计算，体现转化的数学思想，属于中档题.分别令X=1、X 1 可得20+%+。2022和劭%+。2。3+。2（）22的值，进而可得劭+a2+。4,“+。2022的值，再运用二项定理展开，除以4得到余数，即等除以4的余数即是所求结果.【解答】解：由（x +2）222=a。+arx+a2x2+a2 0 2 2x2 0 2 2,令X=1,可得。0+%+%1-1-。2022=3222,令 =1,可得 Q（）Q+。2。3+。2022=1，两式相力口除以2,可得a。+Q2+。4 +。20

27、22=一 =+C?8+1+1-2 分子中，除了最后2项外，其余各项都能被8整除，故劭+。4+。2022除以4的余数，即等除以4的余数为1,故答案为：1.评卷人得分三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）1 7.已知等差数列%J和等比数列%满足%=5,瓦=2,a2=2b2+l,a3=b3+5.（1）求 册 和 匕 的通项公式;（2）数列 a和%中的所有项分别构成集合4、B,将集合A U B中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 0，求数列”的前5 0项和S50.【答案】解：（1）

28、设等差数列 斯 的公差为d,等比数列 为 的公比为q,由5+d =2 2 q +15+2 d =2q2+5可得q=2,d =4,an=4 n+1,bn=2n；(2)当%的前50项中含有%的前7项时,令4n+1 27=1 2 8,可得n(彳，第32项为128,4当&的前50项中含有%的前8项时，令4兀+1 28=2 5 6,可得n 注，可得第50项为256.4则 d 的前50项中含有 b“的前7项且含有 6 的前43项，S50=(43 x 5+手 x 4)+当 手=4081.【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.(1)设等差数

29、列 an 的公差为d,等比数列%的公比为q,由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出 勾 的通项公式；(2)推得 7 的前50项中含有%的前7项且含有 an 的前43项，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出几.1 8.某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对期末考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计(该校全体学生的成绩均在60,150)，按下列分组60,70),70,80),80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140),140,150作出频率分布直方图.如图,样本中分数在70,90)

30、内的所有数据是：72,75,77,78,81,82,85,88,89.根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表.分数60,80)80,120)120,150)可能被录取院校层次专科本科自招(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取1人，求此人能被专科院校录取的概率；(2)在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用 表示所抽取的3名学生中为专科的人数，求随机变量f 的分布列和数学期望.【答案】解：(1)由题意知分数在70,80)的学生有4名，又由图知，频率为：0.008X 10=0.0 8,则

31、：。=3=5 0,能被专科院校录取的人数为：50 x(0.004+0.008)x 10=6人抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：5=套从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的率为安.(2)选取的样本中能被专科院校求取的人数为6人成绩能过自招人数为：50 X(0.012+0.004+0.008)x 10=12人,又随机变量f 的所有可能以值为0,1，2,3,”()=管=翳=募;P(f=微哈=396 二)0 8 8163368；盘盘2 1 8 0 1 5 C l 2 0 5=2)=-=,=袍 (6 =3)=砾=辰=而；;随机变量f 的分布列为:0123p5 52 0 43 36 8

32、1 56 852 0 4)=0 x+lxg+2 x l|+3x=l.【解析】本题考查频率直方图得应用，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，对立事件概率计算公式，排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.(1)由题意知分数在7 0,8 0)的学生有4 名，又由图知，频率为：0.0 0 8 x 1 0 =0.0 8,则：n =-=5 0,即可得解；O.U o(2)选取的样本中能被专科院校求取的人数为6 人，得到成绩能过自招人数为1 2 人，又随机变量f 的所有可能以值为0,1,2,3,分别得到其概率，即可得到随机变量 的分布列，从而得到数学期望.1 9.如图，三棱柱A B C-A i

33、B i G 的底面4 B C 为正三角形，。是4 B 的中点，AB=6 0,平面1底面A B C.(1)证明：平面&D C J L 平面7 M l B/；(2)求钝二面角B -C B i-4 的余弦值.【答案】(1)证明：因为三棱柱A B C-A B i C i 的底面A B C 为正三角形，。是A B 的中点，所以C D J.A B,又在三棱柱4 B C-&B 1 C 1 中，AB=BBi，4 4 8 当=6 0。，则三角形A B B 1 为等边三角形，所以1 A B,因为C C D 8 1。=。，且CDu平面B iO C,8 山=平面G D C所以4 B 平面B D C.因为A B u 平

34、面4 4/1 8,所以平面B iO C 1 平面4 4/1 8；(2)解：因为平面4 4 出 8 _ L 底面A B C,平面44当8 C l 底面4 B C =4 B,BrD 1 AB,所以B/_ L 底面4 B C.故以。为坐标原点，DB,DC,O B 1 所在直线分别为,y,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙 z.设力B =2,则4(一1,0,0),5(1,0,0),C(0,V 3,0),8 式0,0,百)，则 阮=(-1,8,0),BC=(0,V 3,-V 3)，B =BA=(-2,0,0).设平面B C B i的法向量为而=(x i，Z i),平面C B 1 4 的法向量为五

35、=(x2,y2,z2).噜卷=0得 总:噜1=o,取/=。得元=(聒1 4);喉懿；0得百-九=0,取力=3得 五=(0,1,1).所以c o s=高需=晟=,由图知二面角8-CBX-4是钝二面角,所以二面角B-C B i4的余弦值为一千.【解析】本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定以及利用空间向量求二面角，属中档题.(1)利用线面垂直证明力B 1平面B iD C,再由4B u 平面441&B得到面面垂直；(2)由(1)证明当。1底面4 B C,以D为坐标原点，DB,DC,所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一Xy z,利用法向量，求解二面角即可.2 0.在平面直角坐标系

36、xOy中，椭圆C：5 +、=l(a b 0)的离心率为右且过点(2,3).(1)求椭圆。的方程；(2)设4为椭圆C的左顶点，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线，交椭圆C于P,Q两点，连接4P,4Q分别交直线x=于M,N两点，若直线MR,NR的斜率分别为心,心，试问自为是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c,椭 圆 的 离 心 率 为 右=.-.a=2c,b2=a2-c2=3c2,所以椭圆C的方程为条+9=1,代入点(2,3)得 言+言=1,得2=4,椭圆c的方程为力+丫=1；16 12(2)设 P(X i，%),Q(X 2，y2)，由题意知直线P

37、Q斜率不为0,设其方程为x=zny+3,仔+J由 J16 12,lx=my 4-3得(3m2+4)y2+18my-21=0,(3,0)在椭圆内，则4 0恒成立，yi+%=-18m3m2+4 y/2=互 念，y y由4,P,M三点共线可知，端=就，3 1所以y”=g,含，同理可得%=g 等;；匚 k VM 乂 N MVN所以k述2 -尹*/一_ 1 6 yly2一 (X1+4)(X2+4)*因为(%I+4)(%2+4)=(myt+7)(m y2+7)=m 2 yly2 +7 n l(y1 +y2)+4 9,所 以 人 也 二 访 而 第 小=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6 *(3

38、 m丹 4)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _m2 x 金.)+7 m x(a+493mz+4/3m2+4 7=-1-27 故人也是定值，为一巨【解析】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线与椭圆的联立以及定值问题，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于较难题.(1)运用椭圆的离心率公式即5=:和椭圆过点(2,3),解方程可得椭圆方程；(2)设P(xi，y)，Q(x2,y2)0,麻兀)时,f(x)0),只需证g(x)W 0即可，因为g (x)=-2sinx+l1，令九(%)=-2 sin x+l则“(X)=2 sin x-2 c o sx-l=2

39、岳 in(x-%l,ex ex当xe(O,?时，h x)0 0,g (x)单调递减，所以 g (x)g (0)=l-l =0,所以g(x)在(0,勺上单调递减，所以g(x)0)所以当工 (;,+8)时，/X x)1a x=八=*%f(%)恒成立，综 上,/(x)x恒成立，所以y=八为的图象恒在直线y=X 的下方.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式恒成立的证明，考查逻辑推理与运算求解能力，属于较难题.(1)求出导函数(。)，由/(?)=0,求出m,并验证，即可得解；(2)令g(x)=/(%)-%,利用导数可证得x G (0,柒时，g(x)。恒成立，当工 弓,+8)时，分析可得;C

40、 O m a x=&)也 即可证得/(x)0,求证：a5+b5 a3b2+a2b3(2)已知a,b 0,1.求证：V 1 +a 【答案】(1)证 明:a0,b0,as+bs-a 3 b 2-a2b3=(a +b)(a -d)2(a2+ab+b2)0a5+bs a 3 b 2+0 2b 3.(2)证明：由已知2 及a0,可知b 0,要 证+a =,只 要 证+a -弋 1 b 1,即证 1 +a-f o-a b l,只需证 a -b-ab 0,即Y L 即；=1，这是已知条件，显然成立，所以原不等式得证.【解析】本题考查不等式的证明，考查分析法、综合法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.(1)利用作差比较法进行证明；(2)利用分析法以及已知条件即可得出结论正确.