人教版导与练总复习数学一轮教师用书:第四章第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数.pdf
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1、 第四章 三角函数(必修第一册)第 1 节 任意角和弧度制及任意角的三角函数程标准要求1 .了解任意角的概念和弧度制的概念.2 .能进行弧度与角度的互化.3 .理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.必备知识课前回顾6 归 激 吻夯实四基医知识梳理1 角的概念的推广定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.分类(一 一 一(按终边位置不同分为象限角和轴线角.终边相同的角:所有与角a终边相同的角,连同角a 在内,可构成一 个集合 S=B|B =a +k 3 6 0。,k Z.2.弧度制(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度
2、的角,用符号 r a d表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是。角 a的弧度数公式:在半径为r的圆中,弧长为1 的弧所对的圆心角为a r a d,则|a|3(3)角度制和弧度制的互化:1 8 0 =r a d,1 =r a d心0.01 7 4 5-1 8 0r a d,1 r a d=()心5 7.3 0 =5 7 1 8 .T T(4)扇形的弧长公式:1=|a|,吟扇形的面积公式:$=?厂曰a|r2.3.任意角的三角函数(1)定义设 a 是一个任意角,a R,它的终边0P 与单位圆交于点P(x,y),那么s in a =y,co s a =x,t a
3、 n a=(x W 0).X(2)三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.任意角的三角函数的定义(推广)设P (x,y)是角a 终边上异于原点0 的任一点,其到原点0 的距离为r,贝!J s in a =-,co s a =,t a n a =-(X T T0).r r x匡重要结论1 .扇环的面积公式S=1(l+1 )(r-r).其中1,1 是扇环的两条弧长,r,r 是两条弧所在圆的半径,且 r r .2 .面积(周长)一定的扇形,周长最小(面积最大)时,扇形的弧长1 与半径r 满足l=2 r,即扇形圆心角等于2 r a d.3 .若角 a e(0,)
4、,则 s in a a t a n a .帚点自就1.角-8 6 0的终边所在的象限是(C )A.第 一 象 限 B.第二象限C.第 三 象 限 D.第四象限解析:-8 6 0。=-2 X 3 6 0-1 4 0 ,-8 6 0 和-1 4 0 的终边相同,故-8 6 0的终边在第三象限.故选C.2.下列与?的终边相同的角的表达式中正确的是(C )A.2 k n-4 5 (k eZ)B.k 3 6 0 +-JI(k ez)4C.k 3 6 0 -3 1 5 (k ez)D.k J i+(k ez)4解析:与F的终边相同的角可以写成2 k n+:(k Z),但是角度制与弧4 4度制不能混用,所以
5、只有C 正确.故选C.3 .若角。同时满足s in且 t a n。0,则角B 的终边一定落在(D )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:由s in 9 0,可知9 的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非正半轴重合;由t a n 9 0,可知0 的终边可能位于第二或第四象限.故9 的终边只能位于第四象限.故选D.4 .已知角a的终边与单位圆的交点为M 4 y),则 s in a 等于(B )解析:由题意知d=(/+y 2=l,所以y=f.由三角函数的定义知s ina =y=y.故选 B.5 .角-2 2 5 =弧度,这个角在第 象限.V 3-2V 2T+-+-B.
6、D.V 3-2V 2TA.C答 案:丹 二46.已知半径为1 2 0 m m的圆上,有一条弧长是1 4 4 mm,则该弧所对的圆心 角 的 弧 度 数 为 r a d.解析:由 题 意 矢 口 a =-=r a d=l.2 r a d.r 120答案:1.2关键能力课堂突破美考点旗实四翼慢 考点一象限角及终边相同的角1.若角a是第二象限角,则 溪(C)A.第一象限角 B,第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角解析:因为a是第二象限角,所以1+2k a JI+2k ,k e Z,所以E+k n感G+k无,k Z.4 2 2当k为偶数时,3是第一象限角;当k为奇数时,与是第三象限角.
7、综上,是第一或第三象限角.故选C.2.-2 021角是第 象限角,与-2 021角终边相同的最小正角是,最 大 负 角是.解析:因为-2 021 =-6X 3 60+13 9 ,所以-2 021角的终边与13 9角的终边相同.所以-2 021角是第二象限角,与-2 021。角终边相同的最小正角是139.又 139-360=-221,故与-2 021角终边相同的最大负角是-221.答案:二 139-2213.终边在直线y=V3x上,且在-2 n,2 弘)内的角a 的集合为解析:如图,在平面直角坐标系中画出直线y=V3x,可以发现它与x 轴的夹角是泉在 0,2 m)内,终边在直线y=V3x上的角有
8、两个:5在-2 H ,0)内满足条件的角有两个:-皆,-曰,故满足条件的角a 构成的集合为 号,号,泻 .答案:号 号,p 詈4.已知角a 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角a 的 集 合 用 弧 度 制 可 表 示 为.y/30。八、八 45。_0*解析:在 0,2)内,终边落在阴影部分角的集合为(余 乎,所以所求角的集合为 a 2kn+-a 2kiT+,kZ).4 6答案:a 2/C T T+-a 2kn+,ke Z4 6A题后悟通1.象限角的判定有两种方法:图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.转化法:先将已知角化为k-36
9、0+a(0 Wa360,k Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角a,再由角Q终边所在的象限判断已知角是第儿象限角.2.由a所在象限判定 所在象限,应先确定 的范围,并对整数k的奇、偶情况进行讨论.3.表示区间角的三个步骤:(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的-3 6 0 360范围内的角a和B,写出最简区间.起始、终止边界对应角a,B再加上3 6 0 的整数倍,即得区间角集合.版 考点二弧长公式与扇形的弧长和面积公式C U D已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为1.若a q,R=10 cm,求扇形的面积.解:由已知得a苫,R=1
10、0 cm,所以 S 扇 形=1a Rz=iX X 1025gK(cm2).典例迁移1若本例条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解:l=a R=X 10=等(cm),S弓形二s扇形一s三角形 1 R-R2 s i n=l x X 10-X 102X 5 011-7 5 3 (c m 2)典例迁移2若本例条件改为:“若扇形周长为20 c m”,当扇形的圆心角a为多少弧度时,这个扇形的面积最大?解:由已知得,l+2 R=2 0,即 l=2 0-2 R (0 R 0,所 以 广 工 三,即m=故选B.647n?+9 25 2利用三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角a终边上一点P的坐标,则
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