专题2.7多项式(知识讲解).pdf

《专题2.7多项式(知识讲解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题2.7多项式(知识讲解).pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、Evaluation Warning:The document was created with Spire.Doc for.NET.“专题2.7多项式(知识讲解)【学习目标】1 .认识整式的意义及表示方法；2 .理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；3 .掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；4 .能准确而熟练地列式子表示一些数量关系.【要点梳理】要点一、多项式1 .多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.特别说明：“几个”是指两个或两个以上.2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.特别说明：(1)多项式的每一项包括它前面的符号.(2)一个多项式含

2、有几项，就叫几项式，如：6/-2-7是一个三项式.3 .多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这式的次数.特别说明：(1)多项式的次数不是所有项的次数之是多项式中次数最高的单项式的次数.(2)一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定项时，都应写出.要点二、整式单项式与多项式统称为整式.特别说明：(1)单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示.但反过来就不一定成立.(2)分母中含有字母的式子一定不是整式.【典型例题】即单项式、多项式必是整式,类型一、多项式的判断1 .定义：f(a,b)是关于a,人的多项式，如果/(a,b)f (b,a),那么/(a,b)叫做“对称多项式”.例 如，如

3、果/(a,b)=a2+a+b+b2,则/(6,a)=b2+b+a+a2,显然，所以/(a,b)=f (b,a)是“对称多项式”.(iy(a,b)=。2口2帅+是“对称多项式”，试说明理由;(2)请写一个“对称多项式“，f(a,b)=(不多于四项);【答案】(1)见分析(2)a+6,答案不唯一第1页/总2 2页【分析】(1)根据对称多项式的定义，把多项式中的a,6 互换，多项式不变就是，据此即可判断；(2)根据定义即可写出，答案不唯一.解：.：/(b,a)=a2L2ab+b2,：.f(.a,b)=/(a,b),：.f(a,b)=a2 是 对称多项式”.(2)/(a,b)=a+b,f (b,a)=

4、b+a,/(a,b)=fkb,a),/(a,b)=a+6是”对称多项式故答案为：a+b.(答案不唯一)【点拨】本题主要考查了整式的运算，理解“对称多项式”的定义，是解题的关键.举一反三：【变式1】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中.指出其中各单项式的系数；多项式中哪个次数最高？次数是多少？-15a2b,2x-3y,4a1 b2-4ab+b2,-a,x3+2 y-x【答案】单项式：-5“2 b i二 人一;多项式：-3 y,4 a2b2-4ab+b2,x3+2 y-x,单项式的-15-1系数分别为：万；多项式4。2-4 必+的次数最高，4 次.【分析】根据单项式定义，多项

5、式的定义，单项式系数，单项式的次数等进行解答即可.-15a%,二一,一 a解：单项式：1;多项式：2x-3y,4a%2-4b+,x3+2y-x；第2 页/总22页3x2单项式T 5/6 的系数是：-1 5.单项式工的系数是：万；单项式y 的系数是：-1多项式4/-4 必+/的次数最高，4 次.【点拨】本题考查了多项式、单项式有关内容，熟知相关概念是解本题的关键.【变式2】将下列代数式按尽可能多的方法分类(至少写三种)：2,y,cib,2.x+1,x y +2x 3x+5,.厂，一.a 4 3a【分析】根据整式和分式分类，单项式，多项式，分式分类，单项式二项式，四项式，分式分类，即可.2?2 3

6、c 2,-,xyi,x3+2x 3x+5,7rr,一,:解：整式：2 y,-a“2x+l,4 分式：a 3a._3 3,2单项式：2y,-a%,V 多项式：2x+l,Y+2x2-3x+5,分式：3a；单项式：2yab,W个，4,二项式：2x+l,四项式：x3+2/_3x+5,分式：3a,【点拨】本题主要考查整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式、多项式的定义是解题的关键.类型二、多项式的项、项的系数、次数2.已知单项式3x夕”的次数为5,多项式6+工 少 口 2 2口 6%夕 加+3的次数为6,求单项式(w+w)xtnyn的次数与系数的和.【答案】8【分析】根据已知求出?、的值，把加

7、、的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案.1解：单项式,3/的次数为5,多项式6+x2y-2 x2-x2ym+3的次数为6,32+=5,2+m+3=6,解得：洲=L =3,（加+）xfnyn=4xy3,第3 页/总22页系数是4,次数是1+3=4,4+4=8,即单项式(，+)X沙的次数与系数的和是8.【点拨】本题考查了多项式和单项式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力.举一反三：【变式1】已知多项式/，+x/-3 d-6 是六次四项式，单项式6/3 一”的次数与这个多项式的次数相同，求加+的值.【答案】掰+“=5.【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得见的值

8、，进而求得用+的值.解：因 为 多 项 式+/_3-6 是六次四项式，所以2 +机+1 =6,解得机=3.因为单项式6 x2V5“的次数与这个多项式的次数相同，所以2 +5-机=6,所以2”=1 +3 =4,解得=2.故加+=3+2=5【点拨】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式的次数和项数是解题的关键.【变式2】已知(朗一 1)/-5+2).+(2m-5n)x-6 是关于x 的多项式.(1)当阳、满足什么条件时，该多项式是关于x 的二次多项式？(2)当阳，N满足什么条件时，该多项式是关于x 的三次二项式？【答案】(1)用=1,存-2 时，该多项式是关于x 的二次多项式：(2)加=-5,=

9、-2 时该多项式是关于x 的三次二项式.【分析】(1)根据多项式为：次多项式即可列出关于“7,的式子进行求解；(2)根据多项式为三次二项式即可列出关于:，的式子进行求解.解：(1)由题意得：团 1 =0,且+2 邦，第4页/总2 2 页解得：m l,n+-2,则，”=1,齐 2 时、该多项式是关于x 的二次多项式；(2)由题意得:怯1 和,”+2=0,且 2?-5=0,解得：m+,n=-2,把=-2 代入 2m-5=0 得；m=-5,则m=-5,n=-2时该多项式是关于x 的三次二项式.【点拨】此题主要考查多项式的性质，解题的关键是根据多项式的特点列式求解.类型三、由多项式的系数、指数求值C

10、3、己知多项式一3/*+/-3/-1 是五次四项式，单项式3 x3 K-”，z 与该多项式的次数相同.(1)求加、n的值.(2)若|x-l|+3-2)2=,求这个多项式的值.【答案】(1)机=2,=1 ；(2)-26【分析】(1)根据多项式-3/广 +/尸 3/-1 是五次四项式，可得帆+1 =3,根据单项式3/一 女 与该多项式的次数相同可得3”+3-m +l =5,求解即可；(2)根据|xT 1+3-2)2=()得 出 的 值，然后代入多项式中求解即可.解：(1),多项式-3 x2y”“+x3 y-3 x4-l 是五次四项式，.加+1 =3,解得加=2,.单项式z 与该多项式的次数相同，3

11、w+3-/M 4-1 =5,即3 +3-2+1 =5,解得 =1,.m=2,n=.(2).T|+(y-2)2=0,.x-i=o,y-2 =o第5页/总22页；.x=l,=2,由（1）得这个多项式为：+X-3X4-1.-3x2y3+Xsy-3 x4-1=-3 x l2x23+l3x 2-3 x l4-l=-24+2-3-1=-26,所以这个多项式的值为-26.【点拨】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，有理数的混合运算，根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键.举一反三：【变式1 J已知关于x,y的多项式-2工 3 一 5 是六次四项式，单项式3 x 产加的次数

12、与这个多项式的次数相同，求阳-的值.【答案】1【分析】根据多项式丹阳+初2_2Y3 _ 5是六次四项式知2+m+1=6,求得？的值，根据单项式 的 次 数 与 这 个 多 项 式 的 次 数 相 同 知 2+5-?=6,求得n的值，再代入计算可得.解：因为多项式x2ym+/+xja 2W-5 是六次四项式，所以 2+m+l=6,所以掰=3,因为单项式6/町无用的次数也是六次，所以2+5-刑=6,所以n=2,所以机切=3-2=1.【点拨】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数的判断，得出加、的值，难度一般.-5x2yn,+l+xy2 x3+6【变式2】已知、b 互为相

13、反数，c、d 互为倒数，多项式 3 4 是六 x2n y5 m7,次四项式，单 项 式 了 的次数与这个多项式的次数相同，求（。+力 机+川-（加-）2 闫的第6 页/总22页值.【答案】1 0【分析】直接利用相反数以及倒数的定义得出a+b=0,c d=l,结合多项式次数确定方法得出m的值，再利用单项式次数确定方法得出”的值，进而得出答案.-5x2ym+-xy2-x3+6解：多项式 3 4 是六次四项式，-2+m+6,解得：m=3,-x2ys-m .单项式2 的次数与这个多项式的次数相同，2n+5-m=6,则 2”+5 -3 =6,解得：=2,:a、6互为相反数，以 4互为倒数，-a+b=0,

14、cd=,:.(a+b)m+mn 一 (cd-n)20 21=0+9-(1 -2)20 21=9 -(-1)=1().【点拨】此题主要考查了单项式和多项式次数确定方法，正确得出加，的值是解题关键.类型四、按某个字母升幕(降塞)排列4、把多项式 3 x5 y3-5 x3 y22x4 y3 xy5+x2y*l 按下列要求排列：(1)按x 的升基排列；(2)按y 的降幕排列.【答案 (1)-1-3 xy5+x2-y4-5xyy2-2x4y+3 x5-y3.(2)-3 xy5+x2y4+3 x5/-5 x3/-2x4y-1【分析】(1)根据升基排列的定义，我们把多项式的各项按照x 的指数从小到大的顺序排

15、列起来第7 页/总22页即可.（2）根据降弃排列的定义，我们把多项式的各项按照y的指数从大到小的顺序排列起来即可.解：（1）按x的升球排列：一 片 去 廿 3 ,6 xy+l,2 x2-x-5；a+b整式有:-x,3 ,i o,6 xy+l,7 m 2 n,2 x2-x-5,a7.【点拨】本题主要考查了整式的定义，掌握单项式、多项式和整式的概念和关系是解答此题的关键，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有字母.【变式2】若将边长为a、b的正方形A BCD按一个长方形AIB C QI不重叠、无缝隙)，如图所示.中的比例进行分割，可以拼成(1)根据图可以拼成图的面积关系，请写出图b之间存在的关系式

16、;第1 0 页/总2 2 页(2)已知图中，四边形QMNG与四边形EFGH分别是以a、b长为边的正方形与图中的a、b相同)，在 图 3己有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出.【答案】S +6)2=6伍+26)(2)2 组，矩形P F N M的面积=正 方 形 的 面 积 和 矩 形E P Q H的面积=正方形。GNM的面积【分析】(I)根据正方形、矩形的面积公式计算；(2)根据的结论得到/+/=，结合图形计算，得到答案.解：(1)由题意可得：(+bY=b(a+2b).(2)由可知,/+2岫+/=儿+2%a2+ab=h2 f矩形 P F N M 的面积=a(a+b)=/+/,正方形E

17、FGH的面积=从，矩形尸FNM的面枳=正方形E户 6 的面积=，则 矩 形 的 面 积=正方形QGNW的面积。【点拨】本题考查整式的混合运算，解题关键在于对于图形面积的结合，利用面积相等去写出等式即可.类型六、整式的判断 6、阅读下 文,寻找规律：已知：X H 1,观察下列各式：(x-l)(x+l)=x2-1(x-l)(x2+X+1)=x3-1第11页/总22页(x-l)(x3+x2+x +l)=x4-1(x-l)(x4+x3+x2+x +l j =x5-1(1)填空：(X 1)(X。+/H-1-X+X 4-1 j =；(1 -X)(l +X+/d-F x“l+X)=(2)根据你的猜想，计算：

18、22 0 2 0 +2 2 0 1 9 +2 如8 +2 +=.那么22 0 2 0+22 0 1 9+22 08+-+2 +1 的 末 尾 数 字 为.【答案】x T,xa+1-l(2)22 0 2,-l,1【分析】(1)由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1,减数都为1,根据这个规律即可直接写出答案；(2)把-2,=2 0 2 0 代入所得的规律中即可得到答案；先探究2 的末尾数字的规律，然后根据规律求解.解：根据规律可得：原式=-(x-D(x +x i +X+1)=-1)(2 阐.(n+尸+.+x+l)5 气把 x=2,n=20 20 代入，得.

19、2 2。2。+22 0 1 9+22 0,8+-+2 +1 =(2-1)(22 0 2 0+2 2 0 1 9 +22 0,8+.+2 +1)=22 0 2,-1 2 的末尾数字是2,2?的末尾数字是%2、的末尾数字是8,2 的末尾数字是6,展的末尾数字是2，,第1 2 页/总2 2 页.20214-4=505 1 ,.a?的末尾数字是2,.2皿-1的末尾数字是1.【点拨】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题.举一反三：【变式1】阅读下列材料，完成相应的任务：三角形数古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，一 .，这样的数称为“三角

20、形数”，第1 +2+3+”=迎 里2n个“三角形数”可表示为：2.发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律.如：1 +3=4；3+6=9；6+10=16(1)第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为；第个，三角形数 与第(”+D个 三角形数”的和的规律可用下面等式表示：+,请补全等式并说明它的正确性.+(+1)(+2)【答案】36(2)2,2,(+1)2【分析】TA.n(n+1)1 +2+3+=-(1)根据第个“三角形数”可表示为：2 进行求解即可；(2)根据规律得到等式并化筒即可证明.5x(5+1)13(1)解：第5个“三角形数”为：2；6X(6+1)=2 1第6个“三角形数”为：2

21、 一 ；第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为：15+21=36,故答案是：36；(+1)(+1)(+2)(2)-2-+2=5 +1)2第13页/总2 2页理由:,左边n2+w n2+3n+2 2n2+4n+2-+-=-=2 +2 +1 =(“+1)2 =右边，原等式成立.故答案是：2 ,2 ,(+1)1【点拨】本题主要考查整式的混合运算的应用，正确理解 三角形数 的概念是解题的关键.【变式2】下面各行中的数都是正整数，观察规律并解答下列问题：第一行第二行第三行第 西 亍 1 645 61 5 1 313 27 8 91 2 1 4 1 1 1 0(1)数字1 2 的位置在第4行，从左往

22、右数第5 个数，可以表示成(4,5),那么(5,6)表示的数是_(2)第 行有 个数(用含n 的代数式表示)(3)数字2 0 2 2 排在第几行？从左往右数第几个数？请简要说明理由.【答案】2 2(2)(2 T)(3)4 5 行;8 6 个;理由见分析【分析】(1)根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而写出(5,6)表示的数；(2)根据图中的数据，可以写出笫“行的数字个数；(3)根据前面发现的数字的变化特点，可以写出数字2 0 2 2 排在第几行，从左往右数第儿个，并说出理由.(1)解：由图中的数据可知，第行的最大的一个数据是，奇数行的数据从左到右依次增大，偶数行的数据从左到右依次减小，

23、第行有(2 -1)个数，(5,6)表示数字的位置在第5 行，从左往右数第6 个数，第 4行最大的一个数是4?=1 6,二笫5行的数据从左往右依次为1 7,1 8,1 9,2 0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,第1 4 页/总2 2 页 第5 行，从左往右数第6个数是2 2,即（5,6）表示的数是2 2,故答案为：2 2：解：第1 行有1 个数，第 2 行有3 个数，第 3行有5 个数,第”行 有（2/1-1）个数,故答案为：（3）解：数字2 0 2 2 排在第4 5 行，从左往右数第8 6 个数.理由如下：当为偶数时，该行第一个数为自左向右减小；当 为 奇数时，该行最后一个数为 1

24、自左向右增大.4 5 2 =2 0 2 5,所以第4 5 行最后一个数（第 8 9 个）为 2 0 2 5,二数字2 0 2 2 排在第4 5 行，从左往右数第8 6 个数.【点拨】本题考查数字的变化规律，解答本题的关健是明确题意，发现数字的变化特点,写出相应的数字.类型七、数字类规律探索7、（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空:第 1 个点阵1+3 +1=/+2?八。0 O1+3+5+3+1=+第 3个点阵O OO。+O O。OoO0O1+3+5+7+5+3+1=+(2)通过猜想，写出第个点阵相对应的等式：.【答案】(1)2 2,3 2,3 2,42：(2)1+3+5+.+(2 1)+

25、(2+1)+(2 n 1)+.+5+3+1第1 5 页/总2 2 页=n-+（w+1）2.【分析】（1）根据点阵图即可求解；（2）根 据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第”个点阵相对应的等式.（图 ）探究二：1（图 ）对折2次，可以看成有个根绳子重叠在一起，如果剪1 刀（如图），左端出现了 2根长1 cm 的细绳，两端共出现了2 2-1=3 根长2 c m 的细绳，所以原绳长为2 x 1+3 x 2 =8 cm ：如果剪2刀（如图），左端仍有2根长1 cm 的细绳，中间有1 x 2 2 =4根长1 cm 的细绳，两端仍有22T=3 根长2 c m 的细绳，所以原绳长为（2 +4）x l+3

26、 x 2 =1 2 ct n；如果剪3 刀（如图），左端仍有2根长1c m 的细绳，中间有2 x 2?=8 根长1c m 的细绳，两端共有2?-1 =3 根长2 c m 的细绳，所以原绳长为（2 +8）x l +3x 2 =16c m；以此类推，如果剪机刀，左端仍有2根长1c m 的细绳,中 间 有（加T）x 2?=（4?-4）=4（m -1）根长km的细绳，两端仍有2?-1=3根长2 c m 的细绳，所以原绳长为 2 +（?T）x 22x l +3x 2 =（4/M +4）=4（m +l）c m .（图 ）（图 ）（图 ）探究三:第17页/总2 2 页对折3 次（如图），可以看成有2、根绳子

27、重叠在一起，如果剪机刀，左端有2 根长1c m的细绳,中间有（机T）*2 =（8?-8）=8（机-1）根长1 c m 的细绳,两端有2 3-1 =7 根长2 c m 的细绳，所以原绳长为 2 +(L l)x 2,l +7x 2 =(8m +8)=8(m +l)c m（图）（1）总结规律：对折”次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪加刀，左端有 根长1c m 的细绳，中间会有 根长1c m 的细绳，两端会有 根长2 c m 的细绳，所以原绳长为 c m.（2）问题解决：如果长1c m 的细绳有2 2 2 根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了次，被剪了 刀，原来的细绳的长度/是 c m

28、.（3）拓展应用：如果长1c m 的细绳有2 02 4根，那么原来的细绳的长度/是 c m .【答案】（1）2 ,2,2”（加-1）,（2-1）,2（附 +1）（2）或 2,111 或 56,2 2 4 或 2 2 8（3）2 02 6【分析】（1）根据题意对折1 次，2次，3 次的规律，进行推导对折次的结果；（2）由题意,得2+2 5-1）=2 2 2,进而讨论解得情况求m,即可;（3）方法同（2）进行计算即可.（1）解：对折1 次，有2,根绳子重叠在一起，剪机刀，左端仍有2 根长1c m 的细绳，中间有2（机-1）根长i c m 细绳，右端有T-1根长2 c m 的细绳,原绳长为2（机+D

29、,对折2次，有2 2 根绳子重叠在一起，剪机刀，左端仍有2 根长1c m 的细绳，中间有4（机-1）根长1c m 的细绳，两端有2?-1 =3根长2 c m 的细绳，原绳长为大加+1）,第18页/总2 2 页对折3 次，有根绳子重叠在一起，剪机刀，左端仍有2 根长km的细绳，中间有收机-1)根长1c m 的细绳，两端有2,-1=7 根长2 c m 的细绳，原绳长为8(?+D,则对折”次，可以看成有2 根绳广重叠在一起，如果剪机刀，左端有2 根长1c m 的细绳，中间会有2(m-1)根长1c m 的细绳，两端会有(2-1)根长2 c m 的细绳，所以原绳长为2(刑 +1)c m故答案为：2n,2

30、,2(m-1),(2-1),2(m +l)；(2)解：由题意，得 2+2(LD=2 2 2.2 (,“-1)=2 2 0”2 2 0又“2 1,2 2 0=2/110 或 2 2 0=4x 55二 2 可以为2,4；.2=2 或 4,m-l=H 0 或 55二 =1 或 2,m=l 11 或 56 原绳长为 2 以(111+1)=2 2 4 或 2 2*(56+1)=4*57=2 2 8故答案为：1或 2,111或 56,2 2 4或 2 2 8；(3)解：由题意，得 2+2”(用T)=2 02 4.2 (m-l)=2 02 22 02 2又2 02 2=2 x 1011二 2 为 22 =2

31、,?-1=1011.-.n=l,加=1012第19页/总2 2 页 原绳长为 2 a(1012+1)=2 x 1013=2 02 6故答案为：2 02 6.【点拨】本题考查了图形变化类规律探究，解决本题的关键是读懂题意，根据图形变化归纳出规律.【变式2】(1)有一列数I、3、5、7有无数项(无数个数)，请观察其规律后写出其中第2 0项(从左往右数第2 0个数)是,第项是；(2)二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式.请观察下图，用二算法推导出1+3、1+3+5、1+3+5+7 的计算结果，猜测1+3+5+7+(2 n-l)的计算结果：(3)由(2)推导出2+4+6

32、+2 的结果.【答案】(1)39；2 -1：(2)；(3)/+【分析】(1)由所给的数字可得第个数为2 1,据此解答即可；(2)对所给的图形进行分析，总结出规律即可；(3)利 用(2)的方式进行求解即可.解:(1).一列数 I、3、5、7，.第”个数为：2/1D 1,.第 2 0 个数为：2 x 2 0 1=39,故答案为:39,2 01；(2)第(2)图中，分层小正方形的个数是(1+3)个，而整体计算小正方形的个数是2 2,所以，1+3=2 2；第2 0页/总2 2 页第（3）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5）个，而整体计算小正方形的个数是32,所以，1+3+5=32；第（4）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5+7）个，而整体计算小正方形的个数是 42,所以，1+3+5+7=42；猜测 1+3+5+7+（2 口 1）=2；（3）2+4+6+8+2=1+1+3+1+5+1+7+1+.+（2 n D l）+1=1+3+5+7+.+（2 1）+=+.【点拨】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析清楚存在的规律.第2 1页/总2 2 页第22页/总22页