北京某大学附属中学2021-2022学年九年级上学期开学考试数学试题 （解析版）.pdf

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1、2022届初三秋季开学摸底测数学试题一、选择题1 .下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（）【答案】c【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误;B、不是中心对称图形，故此选项错误；C.是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误.故选C.【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念.把一个图形绕某一点旋转1 8 0 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.2 .二次函数y =-一 I）?+3图象的顶点坐标是（）A.（-1,3）B.（1,3）C.（-1,-3）D.（1,-3

2、）【答案】B【解析】【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】解：I 二次函数的解析为了 =一（尤一1）2+3,二次函数图像顶点坐标为（1,3）.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在产a （x-A）2+左中，对称轴为尸儿顶点坐标为（，/）.3 一元二次方程V+3x =O的 解 是（）A.尤=0B.x=3C.%=0,%2 =3 D.%=0,Xf 3【答案】D【解析】【分析】用因式分解法求解即可.【详解】解:f+3x=0,x（x+3）=0,所以x=0或 x+3=0,解得：xi=0,X 23.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方

3、程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键.4.如图，矩形ABC O中，对角线A C,交于点。，如果4 408=3 0，那么NAOB度 数 是（）A.3 0 B.4 5 C.6 0,D.1 2 0【答案】C【解析】【分析】只要证明。/=。，根据三角形的外角的性质即可解决问题.【详解】解：四边形Z 8 C。是矩形，：.O A=A C,O D=BD,A C=BD,：.O A=O B,：.ZO A D=ZO DA=30 ,V Z A O B=Z O A D+Z O D A=6 0a.故选C.【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是根据矩形的性质得出O A=O B

4、.5.周长为4 c 加的正方形对角线的长是（）A.A y/lcm B.2l2cm C.2cm D.42cm【答案】D【解析】【分析】先根据正方形的性质得到正方形的边长为1 c m,然后根据勾股定理得到正方形对角线的长.【详解】解：.正方形的周长为4 c m,正方形的边长为1 c m,正 方 形 的 对 角 线 的 长 为#=c m.故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理，根据正方形的四条边相等得出直角三角形的两直角边长是解决此题的关键.6 .若一次函数y =（%-3）x+l的图象位于第一、二、四象限，则左的取值范围是（）A.k 3 B.k 3 D.k 3【答案】B【解析】【分析】根据

5、夕=h+6,k 0 时-，函数图象经过第一、二、四象限，则有3 2,得机+=1，2 a+=7，代入，得 片 3,把=3 代入，得a=2,把。=2 代入，得m=-l.故选人【点睛】本题考查了两条直线的平行问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即 4值相同.即若直线弘=m+6与 直 线/=松+3 平行，那么依呃.也考查了一次函数图象上点的坐标特征.难度适中.二、填空题9.已知二次函数y =Y+4 x +5,它的图象与x轴 的 交 点 坐 标 为.【答案】0),(-1,0).【解析】【分析 令y=0,可得V+4X+5=0,解一元二次方程即可求解.【详解】解：令产0,可得f+4 x

6、+5 =0，X2-4x-5 =0，(x-5)(x+l)=O,Xl=5,X2=l,所以二次函数y =f+4 x +5图象与x轴的交点坐标为(5,0)和(-1,0)故答案为：(5,0)和(-1,0).【点睛】本题主要考查二次函数与x轴交点，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数与x轴交点的计算方法.1 0.如图，菱形A 8 C O的对角线交于点。,E为 边 的 中 点，如果菱形的周长为1 2,那么OE的长是3【答案】-2【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出其边长以及对角线垂直，进而利用直角三角形的性质得出E。的长.【详解】解：菱形A B C D的周长为1 2,；.AD=3,Z AO D=90 ,；E

7、为A D边中点，1 3.O E=g AD=-.2 23故答案为一.2【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），正确掌握直角三角形的性质是解题关键.11.公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米在他的名著 代数学中用图解一元二次方程，他把一元二次方程Y +2%-35=0写成V+2x=35的形式，并将方程左边的%2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x,另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为3 5,如图所示.于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表小为：X2+2X+=35+，

8、整理，得（x+iy=3 6,因为x表示边长，所以=.【解析】【分析】由图可知添加一个边长为1的正方形即可补成一个完整的正方形，由此即可得出答案.【详解】解：由图可知添加一个边长为1的正方形即可补成一个面积为36的正方形，故第一个空和第二个空均应填1,而大正方形的边长为x+1,故 x+l=6,x=5,故答案为1,1,5.【点睛】此题是信息题，首先读懂题意，正确理解题目解题意图，然后抓住解题关键，可以探索得到大正方形的边长为x+1,而大正方形面积为3 6,由此可以求出结果.12.如图，在平面直角坐标系xQy中，直线人：=如2与直线人：相交于点P,则关于x,y的二元t w c-y=2一次方程组 的解

9、是_ _ _ _ _ _ _ _ _.x-y=-nx=I y =2【答案】c#,y=2 1 x=l【解析】【分析】直接利用一次函数与二元一次方程组之间的关系求解即可.【详解】解：由图象观察可知，点P。,2）,X=1该二元一次方程组的解是 c,卜=2、卜=1故答案为：.b=2【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，解题关键是理解两直线的交点坐标即为它们联立所得的二元一次方程组的解.1 3 .已知矩形ABC D,给出三个关系式：A B =8 C;A C =6。;如 果 选 择 关 系 式作为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形为正方形，理由是【答案】.一组邻边相等的矩形是正方形【解

10、析】【分析】根据正方形的判定定理添加一个条件使得矩形是菱形即可.【详解】解：I四边形/8 CZ）是矩形，AB=BC,矩形488为正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）.故答案为，一组邻边相等的矩形是正方形.【点睛】本题考查了正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定定理即可得到结论.1 4 .在平面直角坐标系x O y中，已知点如果以A B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的所有点C的坐标为【答案】(2,0),(2,0),(0,2)【解析】【分析】需要分类讨论：以为该平行四边形的边和对角线两种情况.【详解】解：如图，当N8为该平行四边形的边时，A B-O C,.点/(1,1),B(-1

11、,1),O(0,0).点 C 坐 标(-2,0)或(2,0)当 8 为该平行四边形的对角线时，C(0,2).故答案是：(-2,0)或(2,0)或(0,2).【点睛】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质.解答本题关键要注意分两种情况进行求解.1 5 .近年来，我国使用移动支付的人数成逐年上升趋势.据统计2 0 1 8 年 3 月底我国使用移动支付的有6 亿人左右，预计到2 0 2 0 年 3 月底将增加到8.6 4 亿人左右，求这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率约为多少？解：设这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为北依题意，列方程得.【答案】6(1+=8.6 4【解析】【分析】设

12、这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为x.根据题意2 0 1 9 年 3 月底我国使用移动支付的有6(1 +X)亿人左右，2 0 2 0 年 3 月底我国使用移动支付的有6(1+亿人左右.根据题意得方程求解.【详解】设这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为x依题意得6(1+X)2=8.64【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，熟记增长率之间的关系式解题的关键.1 6 .餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：回收餐具与剩菜、清洁桌面；清洁椅面与地面；摆放新餐具.前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，针对桌子的大小，每个步骤所花费时

13、间如下表所示：回收餐具与剩菜、清洁桌面清洁椅面与地面摆放新餐具大桌532小桌321现有三名餐厅工作人员分别负责三个步骤，但每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作，如果此时恰有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟.【答案】12【解析】【分析】设工作人员1 负责回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2 负责清洁椅面与地面，工作人员3负责摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子的同时，工作人员2 清理2 张小桌子，5 分钟后，当工作人员1 清理2 张小桌子的同时，工作人员2 开始清理1张大桌子，第 8 分钟，工作人员3 开始在大桌上摆放新餐具，进而即可求解.【详解】解：设工作人

14、员1 负责回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2 负责清洁椅面与地面，工作人员3 负责摆放新餐具，具体流程如下图：；工作人员L-J小桌,小 桌 一?工作人员2：,小 桌 2 小 桌?大 桌,!；大 桌 小 桌 d 小桌工作人员3：,i F q 12I将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，故答案是：12.【点睛】本题主要考查事件的统筹安排，尽可能让回收餐具与剩菜、清洁桌面，清洁椅面与地面，在同一时段中同时进行，是解题的关键.三、解答题17.计算：(1)+g)1/3 2|3.14)（2）1 2 7 1 2 x -（1 5 7 2）【答案】（1）36+6;半【解析】【分析】（1）根据零次幕，负整数指数幕

15、，绝对值和0指数幕的性质进行求解即可；（3）利用二次根式的乘除计算法则求解即可.【详解】解：（1）V 1 2 +-|V3-2|-（K-3.14）=2 V 3 +9-（2-）-l=26+9-2 +G -1=3A/3 +6 ；（2）1 2 7 1 2 x -（1 5 7 2）=2 4 百 x x 4 1 5 V 2=8 x-T=1 5 V 23 0=-.5【点睛】本题主要考查了零次基，负整数指数幕，绝对值和二次根数的乘除计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.1 8.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程.已知：RtA A BC,ZA BC=90 ,求作：矩形4 8 8,作法：如图，作

16、线段AC的重直平分线交AC于点。；连接8。并延长，在延长线上截取。=。8；连接Z。，C D.所以四边形A B C D即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：O A=O C,O D=O B,四边形4 8 C D是平行四边形（）.（填推理的依据）V ZABC90,平行四边形38是 矩 形（）.（填推理的依据）【答案】（1）见解析；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形：（2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明.【详解】解

17、：（1）如图即为补全的图形；（2）证明：OA=OC,OD=OB,四 边 形 是 平 行 四 边 形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），：ZABC=90,平行四边形力88是 矩 形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法.1 9.在平面直角坐标系X 0 X中，已知一次函数y =-g x +1的图像与x轴交于点A,与 旷轴交于点B（1）求A,8两点的坐标（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象;（3）根据

18、图像回答：当 y0时，的取值范围是.54321-6-5-4-3-2-1 O-1 2 34-5 6 x-1-2-3-4-5-6【答案】（1）A（2,0）,B（0,l）；（2）见解析；（3）x 0 时 x的取值范围即为函数图象在x 轴上方部分对应的自变量的取值范围.【详解】解：（1）令y=0,则 x=2,令 x=0,则 尸 ,所以点力的坐标为（2,0）,点 8的坐标为（0,1）；（2）如图：（3）由函数图象可知，当y0时，x的取值范围是x 2 口故答案为x 2.【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数与一元一次不等式，画出一次函数的图象，数形结合是解题的关键.2 0.如图，在o

19、A B C D中，E，F为对角线AC上的两点，且B E U D F.求证：A E =CF.n_cK【答案】见解析【解析】【分析】由题意可以证得A A B E g A C D F,从而得到A =C F.【详解】解：如图，I)_三,四边形438 是平行四边形/.A B =C D,A B/C DZ1=Z2D F /BEN 3 =N 4/.M B E A C D F(A A S)A E =C F【点睛】本题综合考查平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，灵活应用演绎法和归纳法分析解题步骤是解题关键.2 1 已知一元二次方程-x?+(2 a -2)x-a2+2a=0.(1)求证：方程有两个不等的实数根

20、；(2)若方程只有一个实数根小于1,求 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)l a 3.【解析】【分析】(1)先计算判别式的意义得到=(2 a 2)2 4 x(1 乂/+240,然后根据判别式的意义得到结论;(2)先利用求根公式解方程得内=,/=。2,再根据题意得到a 2 0口方程有两个不等的实数根；(2)=-l,b=2a-2,c=-a2+2a,=(2 a-2)2 -4 x(-l)-a2+2以)=4 0 b 1 b-4 a c -(2 a 2)i 2x =-=-,2a-2 x 1 a,x2=a 2 ,口方程只有一个实数根小于1,且a 2 a,-2 1,且 l a 3.【点睛】本题考查一元二

21、次方程判别式的意义，以及根据求根公式求参数的取值范围，牢记公式并正确应用是解题关键.2 2.如图，在平面直角坐标系x O y中，直线4经过原点，且与直线4：y =-x+3交于点4加,2),直线4与X轴交于点8.(1)求直线4的函数解析式；(2)点P(,0)在X轴上，过点P作平行于y轴的直线，分别与直线4，2交于点M，N.若MN=O B,求的值.【答案】(1)y=2x；(2)=2或=0【解析】【分析】(1)设4：y =区首先求出A点坐标，然后将A点坐标代入4 ：y =履求得上的值，即可获得直线4的函数解析式；(2)首先求点8的坐标，然后用表示出点M和点N的坐标，用表示出M N的长，根据M N=O

22、B即可求解.【详解】(1)：A(m,2)在直线4：y =-x+3上，2=m+3,解得m =i,二 A(l,2),设4：y =H,将A(l,2)代入4 :y =丘，得：2=k,：.直线4的函数解析式为y =2x ；(2).直线4与X轴交于点8,.当y =0时，=3,.点B的坐标为(3,0),O B=3,过点p作平行于y轴的直线，分别与直线4，4交于点M，N,，当 =时，M(n,2n),N(,一 +3),/.MN=+3)|=|3n-3|,/MN=O B,|3 n 3|=3,解得”=2或=0.【点睛】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，关键是分情况讨论M N=0 3,注意绝对值方程的解

23、法.23.如图，在口/18。中，是8 c边上的中线，是/。的中点，过 点/作8 c的平行线交8 E的延长线于点 凡 连 接C FD（1）求证：A F=DC；（2）若/8E 14 C,试判断四边形 D C F的形状，并证明你的结论.【答案】（1）见 解 析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据A A S证口，尸 后 口 口。8 推出/尸=8 3,即可得出答案.（2）得出四边形ZO CF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出d。，根据菱形的判定推出即可.【详解】解：证明：QA F DBC,Q Q A F E D B E.E是4。的中点，/O是5 c边上的中线，口4E=DE,BD=C D.在

24、 一 4 E E和U D 8石中，/所=。8 ,F E A K B E D,A E=DE,UJ A F E J UDBE（A A S）QA F=BD.UA F=DC.（2）四边形力。C产是菱形，证明如下：UA F J BC,A F=DC,四边形A D C F是平行四边形.V A C I A B,力。是斜边8 C的中线，:A D=DC.平行四边形4）0菱形.24.在平面直角坐标系x O r中，直线产A x+b （后0）与直线尸x+4的交点为P （3,?）,与y轴交于点4.（1）求 加的值；（2）如果以。的面积为3,求直线尸A x+b的表达式.【答案】（1）m=l；（2）=一,1+2或丁=无-2.

25、3【解析】【分析】(1)把点尸(3,m)代入直线尸-x+4可求机的值；(2)先根据为。的面积为3求出。/=2,可得4(0,2),A2(0,-2),再根据待定系数法可求直线的表达式.【详解】解：(1)。(3,根)为直线y =x +4上一点，/.777=-3 +4 =1(2)为。的面积为 3,P(3,1),二；04 X3=3,：.O A=2,：.A i(0,2),A2(0,-2).当直线尸A x+6经过4(0,2)和P (3,1)时，b=2 3k+b=解得J 3,b=2直线的表达式为尸-；x+2；当直线尸质+6经 过 生(0,-2)和 尸(3,1)时，b=-23k+b=lk=解 得/c，b=-2直

26、线的表达式为尸-2.综上所述，所求直线的表达式为尸-g x+2或 尸-2.【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，根据三角形面积间的关系得出点A的坐标及熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25家邮政企业，获得了它们4月份收入(单位：百万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5 组:6%8,8%10,10%12,12%14,14%16）：b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在1 0 x 1 2 这一组的是：10.0,

27、10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,11.6,11.8。.甲、乙两座城市邮政企业4 月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中机的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为P-在乙城市抽取的邮政企业中，记 4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为比较P 1，P 2 的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有2 00家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）.【答案】（1）机=1 0.1；（2）P 1 2,理由见详解；（3）乙城市的

28、邮政企业4月份的总收入为2 2 00百万元.【解析】【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第1 3 个数据，然后问题可求解；（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解.【详解】解：（1）由题意可得加为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，有 3 家，8W x10 有 7 家，10Kx12 有 8 家，中位数落在1 0 x 1 2 上，m=10.1 ；（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则 P1最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则 至 少为 13个，Pl；（3）由题意得：200 x11

29、=2200（百万元）；答：乙城市的邮政企业4 月份的总收入为2200百万元.【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键.26.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 P（加,y）在二次函数y=V+法的图象上，点。（出必）在一次函数 y=-X+4 的图象上.4 3.2riiii I ,o 1 2 3 4 X（1）若二次函数图象经过点（0,4）,（4,4）.求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；判断机 2；（2）y=f5x+4【解析】【分析】（1）由二次函数图象经过点（0,4）,（4,4）,代入了=/+法+。即可得二次函数的解析式，化为顶点式即可得

30、顶点坐标；画出二次函数和一次函数的图象，利用图像即可求解：（2）由y W0得出（根？+/+c）（一加+4）0,分两种情况考虑可得出 =（4,0）,代入y =/+笈+。即可得二次函数 解析式.【详解】解：（1）：二次函数图象经过点（0,4）,（4,4）,f c =4 仿=-4必“”，解得，1 6+4 人+c =4 c =4/.y=x2-4 x+4,.,y=x2-4x+4=（x-2）2,x2+Z?x +c过点(1,0)，二次函数的顶点坐标为（2,0）；（2）当加21时，满足,当z N/时，jrr+加+。（一 加+4）0,分两种情况：/2 H-4 2 0 即 1 W 加 W 4 时，加之 +mb+c

31、 0;m+4 0 即团4 时，m2+mb+c、0；，二次函数y =f+f e x +c过点（1,0）,（4,0）,l+b+c=O b=-5/v c，解得4，16+4b+c=0 c=4，此时二次函数的解析式为y=f-5 x+4.【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题.27.在正方形/BCD中，E是CD边上一点(C E DE),A E,B D 交于点F.(1)如 图1,过点尸作G 4LN E,分别交边NO,3 c于点G,H.求证：N E A B=N G H C；(2)AE垂 直 平 分 线 分 别 与A E

32、,B D 交于点、P,M,N,连接CN.依题意补全图形；图1 备用图用等式表示线段E与CN之间的数量关系，并证明.【答案】(1)详见解析；(2)补全图形，如图所示.A E =0CN.详见解析【解析】【分析】(1)根据正方形的性质，有 A DBC,/84D=90。，得到/NGH=/G”C,再根据G 4,N E,得到即可证明.(2)根据垂直平分线的作法步骤进行即可.连接N N,连接EN并延长，交 A B 边于前Q,根据正方形的性质，得到N A=N C,Z 1=Z 2,再根据垂直平分线的性质，得到花行N E,进而得到NC=A,Z 3=Z 4,在正方形NBCD中，BA/C E,N B C D=9 0得

33、至Ij/QE=N4,N1+乙40E=N2+N3=9O。，N A N E=N A N Q=90 ,最后在 RtZVE 中，即可求解.【详解】(1)证明：在正方形/BCD中，A D/BC,ZBA D=90,NAGH=NGHC.9：GHA_AEf：./EAB=NAGH.：.ZEAB=ZGHC.(2)补全图形，如图所示.AE=y/2CN-证明：连接4 N,连接EN并延长，交4 8边于点Q四边形45CZ）是正方形，点4点。关于8。对称.；NA=NC,Z1=Z2.Q N垂直平分力E,：.NA=NE.：.NC=NE,AZ3=Z4.在正方形力8CO 中，BA/CE,/BCD=90。,ZAQE=Z4.N1+40

34、E=N2+N3=9O。.NANE=NANQ=90.在 中，AE=yfiCN.【点睛】此题主要考查正方形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握性质就解题关键.2 8.在平面直角坐标系x Oy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小.设矩形的较长的边与较短的边的比为k,我们称常数k为图形G的投影比.如图1,矩形A BCD为4 D E F的投影矩形，其投影比k=&C.(2)己知点C(4,0),在函数y=2 x-4 (其中x 2)的图象上有一点D,若aOCD的投影比k=2,求点D的坐标.(3)已知点E (3,2),在直线y

35、=x+l上有一点F (5,a)和一动点P,若a P EF投影比l k 2,则点P的横坐标m的取值范围(直接写出答案).【答案】(l)g；(2)D (1,-2);(3)l m 5.【解析】【分析】(1)分别过点8作坐标轴的垂线，构成的矩形即是！0/8的投影矩形；(2)分类讨论，当点OQ,C都在投影矩形的边上时，点。在第四象限，当点。，C在投影矩形的边上，O在投影矩形内部时，点。在第三象限，然后利用投影比的定义求解；(3)点、E,F是两个定点，点P是直线y =x +l上的动点，根据点P的位置的不同，所构造的投影矩形也不同，所以应分三种情况讨论.【详解】(1)在图2中过点B 作 8cOx轴于点C,作

36、 8。中 轴 于 点 D,则矩形OCBD为口0/8 的投影矩形，口点 8（3,5）,UOC=3,BC=5,0/8 投影比上的值为贬=3.OC 3（2）点。为函数尸2 x-4（其中x 2）的图象上的点，设点。坐 标 为（x,2 x-4）（x OM,0 C 4 4K=-=-=-r=20 M 0 M -（2 x-4）解得尸1,CD（1,-2）；当x 0 时，如图4 所示，作投影矩形 点。坐 标 为（x,2%-4）,点 M 点坐标为（x,0）,QDM=2x-4|=4-2x,MC=4-x,xCM,.D M 4 2x.D k=-=-=2,但此力程无解.M C 4-x 当x 0 时，满足条件的点。不存在.综

37、上所述，点。的坐标为。（1,-2）.（3）令 尸+1中尸2,则x+l=2,解得：x=.当 m W 时，作投影矩形4-8 下，如图5 所示.此时点尸（机，什 1）,PA=5-m,FA=6-（w+1）=5-pAm,CLPEF的投影比%=1,PA m l不符合题意；当 1 加 3 时，作投影矩形，尸 9 ,如图6 所示.此时点尸 Cm,机+1）,FB=5-tn,E4=6-2=4,f7A 4D PEF的投影比k=,F B 5-m l/3,口142,口1 机 3 符合题意；当3 0於5时，作投影矩形4尸8石，如图7所示.PJ此时点 E（3,2）,F A =6-2=4,F B=5-3=2,D PE/的 投 影 比%=2 ,FB 3 /n 5时，作投影矩形4尸9 E,如图8所示.此时点 机+1）,点 E（3,2）,P B=m+-2=m-,P A =m-3,.,PB m 1DP E F的投影比k=-,PA m-3/M5,1 k5符合题意.综上可知：点P的横坐标用的取值范围为1 V，5.故答案为1 机5.【点睛】本题是一个阅读理解题，解题的关键在于理解题中的投影矩形与投影比，搞清楚图形G与它的投影矩形之间的位置关系，当它们的位置关系不确定时，即意味着需要分类讨论，注意问题中的几个小题之间的递进关系，问 题（1）对 问 题（2）的理解进到了铺垫，问 题（2）指引了问题（3）的解题方向.