十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题14平面解析几何解答题（解析版）.pdf

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1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)专题14平面解析几何解答题.真题汇总，.1.【2022年全国甲卷文科21】设抛物线C:y2=2p久(p 0)的焦点为F,点D(p,O),过尸的直线交C 于N 两点.当直线股。垂直于x 轴时.，MF=3.(1)求 C 的方程；(2)设直线MD,ND与 C 的另一个交点分别为4 B,记直线M N,4B的 倾 斜 角 分 别 为 当 a 取得最大值时，求 直 线 的 方 程.【答案】y2=4x；(2)AB:x=/2y+4.【解析】(1)抛物线的准线为乂=-*当MD与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为p,此时|MF|=p+=3,所以

2、p=2,所以抛物线C 的方程为V =4x；2 2 2 2(2)设M(?,y i),N(资,九),4 昼,丫3)，8(普/4)，直线M x =m y+1,x=my+o由 2 _ A 可 得/-4nty-4=0,月 力=%y=4%由 斜 率 公 式 可 得 卜 =登=念，kAB=舞=念,4T T 4直线MD:x=9 y+2,代入抛物线方程可得y2-处匚2 y-8 =0,yiyi 。，1乃=一8,所以乃=2、2，同理可得以=2丫1，所71以4=_1=皿-A B y3+y4 2(y i+y2)2乂因为直线M M 的倾斜角分别为a,0,所以的B =tan=等 =等，若 要 使 最 大，则夕(0,f0、t

3、ana-tan _ /c _ 1 1 y/2设&MN=2AAB=2/c 0，则 an(a P)-1+tanatan/?-l+2k2 -+2k 7/1 7.4 k 2 京2k2k即=立时，等号成立,所以当a-0最大时，kA B=y.设直线4B:x=Vy+n,代入抛物线方程可得y2 一 4V2y _ 4n=0,A 0,y3y4=-4n=4yly2=1 6,所以n=4,所 以 直 线=鱼丫+4.2.2022年全国乙卷文科2 1 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过力(0,-2),B-1)两点.(1)求 的 方 程；(2)设过点P(l,-2)的直线交E 于 M,N 两点，过 M

4、且平行于x 轴的直线与线段4 8 交于点7,点，满足M T =T H.证明：直线 N 过定点.【答案】(1(+J =1(0,-2)【解析】(1)解：设椭圆E 的方程为m/+ny2=1,过皿0,一2),8 G，-1),则t(m4 n+=n 1=l，解得i =?i所以椭圆E 的方程为：些+右=1.4 3(2)4(0,-2),眠，-1),所以4B:y+2=|x,若过点P(L-2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入J +3=1，可得M(l,乎)，N(l,壁)，代 入 方 程 y=9 x-2,可得3 3 37(76+3考)，由 祈=777得到H(2伤 4-5,苧).求得H N方程：y (2 2)过点(0

5、,-2).若过点P(l,-2)的直线斜率存在，设k x-y-(k +2)=0,M(Xi，力),可(必/2).(kx-y (fc 4-2)=0联立 二/=1 ，得(3幺+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,(T 十 T-可得+x2X i%2_ 6k(2+k)3fc2+43k(4+k)3k2+4,_ -8(2+k)y1+y2y 2 y 2=4(4+4次-2/)3k2+4且+%2 丫 1 =就；(*)(y=yi联 立=|x-2，可得T(等 +3,y)”(3y i +6-x1(y i).可求得此时 N：y-y2=3yH-(X 一肛)，将(0,-2),代入整理得 2(X 1 +x2)-6(力

6、+丫 2)+xxy2+x2yi-3y ly 2 -1 2 =0,将(*)代入，得 2 4/c +12k2+9 6 +4 8/c -2 4 k -4 8-4 8/c +2 4/c2-36/c2-4 8 =0,显然成立，综上，可得直线N过定点(0,-2).3.【2 0 2 1 年全国甲卷文科2 1】抛物线C的顶点为坐标原点。.焦 点 在 x轴上，直线/：x =l交 C于尸，Q两点，S O P O Q.已知点M(2,O),且。M与/相切.(1)求 C,OM的方程；(2)设414，4 3是 C上的三个点，直线4 遇2,均与OM相切.判断直线A 与。M的位置关系，并说明理由.【答案】(1)抛物线C:y

7、2 =x,。M方程为(x-2)2+产=1；(2)相 切，理由见解析(1)依题意设抛物线C:y2=2 Px(p 0),P(l,y0)，Q(L -V o)，v OP 1 OQ,O P -O Q=1 -九=1 -2 p =0,2 p =1,所以抛物线C 的方程为V=x,M(O,2),0 M 与x=1 相切，所以半径为1,所以O M的方程为(无一 2 尸+丁2 =1；(2)设4(卬 1),A2(x2,y2y A3(x3,y3)若4 遇2 斜率不存在，则4 遇2 方程为*=1 或x =3,若4 送2 方程为x =1,根据对称性不妨设4 式1,1),则过冬与圆M相切的另一条直线方程为y =1,此时该直线与

8、抛物线只有一个交点，即不存在自，不合题意；若4 遇2方程为 =3，根据对称性不妨设4 式3,行),4:(3,-V 3),则过久与圆M相切的直线4 出 为 y -V 3=y(x-3),又 的 血=?r=v =73+V=*二 为=0，1 J X 1-X 3%+,3 V3+J3 3x3=0,4 3(0,0)，此时直线AlA,/A关于无轴对称，所以直线/人与圆M相切；若直线4 遇2，&4 3,4 2 4 3 斜率均存在，则心Mz=六，/遇 3 =六，心 出 二焉所以直线4 遇2 方程为y-九=嵩(工 一 看)，整理得X-(%+y2)y+y 0 2 =。，同理直线4 送3 的方程为无-O 1+加 方+%

9、丁3 =o，直线 4 2 4 3 的方程为x-O2 +73)y+y2 y3 =o，42与圆M 相切，篝黑)z=1整理得(济-1)羽+2 yly2 +3 -衣=0,41A 3 与圆M 相切，同理5-l)y|+2 yly3 +3 -*=o所以,2,为方程(%l)y2 +2 yly+3 *=。的两根,2 yl 3 *%+/3 =一 布，及，为=而，M 到直线/4 的距离为：12 +3 -济 I|2+%乃 1 二 赤 一 1Vl+(y2+y3)2 卜(一2言yx)=田+1|=A+l=1J(yi-i)2+4yl 北+1 所以直线/人 与圆”相切；综上若直线为 心 公&与圆M 相切，则直线4生 与圆M 相

10、切.4.【2 02 1年全国乙卷文科2 0】已知抛物线C：y2 =2 px(p 0)的焦点/到准线的距离为2.(1)求 C 的方程；(2)已知。为坐标原点，点尸在C 上，点。满足 所=9炉，求直线0 Q 斜率的最大值.【答案】(I)y2 =4 x；(2)最大值为(I)抛物线。/=2 口 尢 30)的焦点尸,0),准线方程为=一看由题意，该抛物线焦点到准线的距离为与一(-与)=P=2,所以该抛物线的方程为好=4 x：(2)设Q Q o J o),则 所=9 QF=(9 -9x0,-9 y0)所以尸（1 0 3 -9,10y（）,由P在抛物线上可得（10%）2 =4（10尤 o-9）,即3 =交

11、醇，I,_ y。_ y。_ i o y。所以直线OQ的斜率及。0 时，因为25为+公 2J25yo =30,此时。”若，当且仅当25yo=靠 即yo=g时，等号成立：当Vo。时，kQ 1）的左、右顶点，G为 E的上顶点，AG GB =8,尸为直线x=6 上的动点，必 与 E的另一交点为C,P B 与 E 的另一交点为D.（1）求 E的方程；（2）证明：直线C Z）过定点.【答案】（1）9 +y 2=1;（2）证明详见解析.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程E:5+y 2=1(。1)可得：4(-a,0),B(a,0),G(0,1):.AG=(a,1),GB=(a,1):.AG-GB=

12、Q2 i =8,a2=9二 椭圆方程为：+y2=1(2)证明：设P(6,y0),则直线4 P 的方程为：y =六 段 0 +3),即：y =(x +3)联立直线A P 的方程与椭圆方程可得:9 +y=1y =（x +3）,整理得:（y0 2+9）*2+6 y o 2x+9y o 2-81=0,解得：x=-3或x =-7-将x =%z：”代入直线y =软*+3)可 得:7 =聋 而所以点。的 坐 标 为(事 缶).同理可得：点。的 坐 标 为(普 与，消J二直线C D 的方程为:6y0/-2 yp _ /_ 2 y 0）_%2+9 M 2+J/_ 3,0 2-3 1l y（）2+1/-3 2+2

13、 7 3yo 2-3 1 yQ 2+1 /0 2+9 yQ 2+l整理可得:、,2y。_ 8yo（y。2+3）/_ 3y0 2-3/十 工-6（9-y0 4）r-y0 2+118yo（_ 3y0 2-3 6（3-y0 2）y0 2+l/整理得：y=4yo 2yo3（3加2）兀 十 五 飞4y93（3-yo 2）v 2）故直线C D 过定点仔,0)6.【2020年全国2 卷文科19】已知椭圆G：忘+芸=l(a b 0)的右焦点厂与抛物线C 2的焦点重合，G 的中心与C z 的顶点重合.过尸且与x轴重直的直线交G 于 Z,B两 点,交 C 2于 C，。两点，且|。4三|4 回.(1)求。的离心率；

14、(2)若 C i 的四个顶点到C 2的准线距离之和为12,求 C i 与 C 2的标准方程.【答案】；G：、+门=1,C2：y2=8 x.L l o 1 Z【解析】(1)因为椭圆g 的右焦点坐标为：F(c,0),所以抛物线Cz的方程为V=4 c x,其中c=V 二京.不妨设4c 在第一象限，因为椭圆G的方程为：5+=1，所以当x =c时，有W +=l =y=?,因此4,B 的纵坐标分别为?，一的；又因为抛物线的方程为必=4 c x,所以当 二 c时，有y 2=4 c C=y =2c,7 )2所 以 的 纵 坐 标 分 别 为 2c,-2 c,故|4 B|=拳，|CD|=4 c.由|CD|=抑8

15、|得4 c=瑞,即 3*=2 -2(/产，解 得 冷 2(舍去)，=,所以Cl的离心率为:(2)由(1)知a =2c,b=W c,故Ci：W +2=l,所以Q 的四个顶点坐标分别为44BC,(-2 c,0),(0,V3c),(0,-V3c),C2 的准线为才=一仁由已知得3c+c+c+c=12,GPc=2.所以Cl的标准方程为1+*=1,G 的标准方程为V =8%.16 1Z7.【20 20 年全国3卷文科21】已知椭圆。堤+3=1(0 帆 5)的离心率为半，A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x =6上，且|BP|=|BQ|,BP 1 B Q,求A4P

16、Q的面积.【答案】(I)(+嘴=1；(2)*【解析】(1)C:g+=l(0 m/82+112 V185-VT 85根据两点间距离公式可得：|4Q|=J(6+5产+(8-0)2=V185,.4PQ面积为：V 185x-?=p综上所述，4 PQ 面积为：I8.【20 1 9 年新课标3文科21】已知曲线C：y=,。为直线y=之 上的动点，过。作 C 的两条切线，切点分别为4 B.(1)证明：直线Z8过定点.(2)若以E(0,|)为圆心的圆与直线Z8相切，且切点为线段Z8的中点，求该圆的方程.【答案】(1)证 明:设。(6 一A(x i,力),则J q 2=2y i，由于/=心.切线“1 的斜率为乃

17、，故 整理得：2f X -2y i+l =0.设 5 (2，及)，同理可得2a 2-2及+1 =0.故直线AB的方程为2tx-2 1 =0.，直线Z8过 定 点(0,1)；解：由(1)得直线48的方程y=/x+g.(1y =t x 4-由 /J 可得 2-2田7=0.y =V 2于是工1 +X2=2a y i+乃=t(X i+无 2)+1 =2 2+1.设/W为线段45的中点，则 A/G,t 2+g),由 于 扇 L/ik 而 俞=(t,t2-2),B与 向 量(1,f)平行，什(r2-2)1=0,解得，=0或，=1.当 f=0 时，|局|=2,所求圆的方程为/+3-)2 =4；当，=1 时，

18、EM=V 2,所求圆的方程为x 2+(y-g)2=2.9.【20 1 9 年新课标2 文科20】已知4,尸 2是椭圆C：5+=1 的两个焦点，P 为 C 上的点,O为坐标原点.（1）若 POP2为等边三角形，求 C 的离心率；（2）如果存在点P,使得且尸i P g 的面积等于16,求人的值和a的取值范围.【答案】解：（1）连接P F”由为等边三角形可知在尸产尸2 中，Z FIPF2=90 ,同=以 PFi=/3c,于是 2。=外|+乃尸（V 3+1）以故曲线C的离心率e=-=V3 1.a（2）由题意可知，满足条件的点尸（x,y）存在当旦仅当：1M2C=16,上 旦=一 1,4 +S=i-x+c

19、 x-c a b 即 c y|=16,x2+y2=c2f 5+/=1,由 及/=炉+/得 又 由 知 产 警 故 6=4,由得才2=%-方 2）,所以从 而 凉=+c 222b 2=3 2,故 0 2 4 式，当 b=4,a 2 4 位 时，存在满足条件的点尸.所以6=4,。的取值范围为4企，+8）.10.【2 0 19 年新课标1 文科2 1】已知点/,8关于坐标原点O 对称，|/8|=4,。加 过点力,8且与直线x+2=0相切.（1）若 4 在直线x+y=0 上，求的半径；（2）是否存在定点P,使得当N 运动时，-|九军为定值？并说明理由.【答案】解：故点Z,8且Z 在直线x+y=0 上，

20、点M在线段4 8的中垂线x-y=O上，设0 A/的方程为：(x -a)2+(y -。)我？(及0),则圆心A/(a,a)到直线x=0的距离d=詈，又3用=4,.在R t OA/8中，4+(初 阴)2=房，即(詈)2 +4=R 2 又；。与 x=-2 相切，二|a+2|=2?由 解 唠 或 ，O M的半径为2或6；(2).线段为。M的一条弦，.圆心M在 线 段 的 中 垂 线 上，设点M的坐标为(x,y),则10 M 2+1。刈2=必2,:。“与直线x+2=0相切，.|川川=/2|,.附 2|2=|0河|2+|0/|2=才2+产+4,.yA x,：.M的轨迹是以F (I,0)为焦点x=-1为准线

21、的抛物线，：.MA -MP=x+2 -MP=|n-l|-MP+MF -MP+i,.当为定值时，则点P与点尸重合，即尸的坐标为(1,0),.存在定点产(1,0)使得当/运动时，|“川-|“|为定值.11.【2 0 18年新课标1文科2 0】设抛物线C：炉=2 x,点/(2,0),8(-2,0),过点工的直线/与C交于M,N两点.(1)当/与x轴垂直时，求直线8/的方程；(2)证明：N A B M=N A B N.【答案】解：(1)当/与x轴垂直时，x=2,代入抛物线解得=2,所以 M(2,2)或 M(2,-2),直线 8 A 7的方程：y=1.r+1,或：y=-1.(2)证明：设直线/的方程为/

22、：xty+2,M(x i,y i),N(必J 2),联立直线/与抛物线方程得/二；2,消 得V -2 W-4=。,即 y i+)2=2 3 yiy2=4,则 有 荷 城“言+言=(y x y!+y X y2)+2(y i+y2)_(71+及)(+2)_(X 1+2)(X2+2)-(x i+2)3+2)-所以直线BN 与 BM的倾斜角互补,，N AB M=Z A B N.12.【2 0 18 年新课标2文科2 0】设抛物线C y=4 x的焦点为R过尸且斜率为左(*0)的直线/与。交于 4,3 两点，A B =.(1)求/的方程；(2)求过点4,8且与C的准线相切的圆的方程.【答案】解：(1)方法

23、一：抛物线C 产=心的焦点为F (1,0),设直线4 8的方程为：y=k(x -1),设 Z(x i,以)，B(刈，玫)，则H A 乙 整理得：_ 2 (k2+2)x+R =0,则 X+X2=2 d 2),X)X2=1(yz=4x M由|/8|=x i+x 2+p=亘+2 =8,解得：k2=t 则=1,.直线/的方程歹=x-1；方法二：抛 物 线 C：V =4 x 的 焦 点 为 尸(1,(),设 直 线 的 倾 斜 角 为。，由抛物线的弦长公式M 8 4 悬=白=8,解得：s iM 0=；,/.9=p 则直线的斜率k=l,直线/的方程y=x-1；(2)由(1)可 得 的 中 点 坐 标 为。

24、(3,2),则直线4 8的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即；=-x+5,设所求圆的圆心坐标为(须，泗)，则 0 =一 殉+5(益+1)2 =+1 6,解得:x0 =n V(X =1 1,yo=2 叫 yo=-6 因此，所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)1 6 或(x-1 1)2+(八6)2=1 4 4.1 3.【2 01 8 年新课标3 文科2 0】已知斜率为左的直线/与椭圆C：。+。=1 交于4,8两点，线 段 的 中4 3点为 M （1,m）（w 0）.（1）证明：k 0）,解得0 2），P（%3，3），可得 X l+X 2 =2V F P+F A F B=0,F(1,0),：

25、.xi-l+x2-l+x3-1=0,/X 3=1由椭圆的焦半径公式得则回=a-e xi=2-夕 i,附=2-夕 2,|F P|=2-1 x3=贝 山口|+|尸 阴=4 一/+小)=3,：.FA r FB =2 FP,1 4 .【2 01 7 年新课标1 文科2 0】设 4 8为曲线C：了=。上两点，/与 8的横坐标之和为4.(1)求直线N8的斜率；(2)设 A/为曲线C上一点，C在 M 处的切线与直线Z8平行，且求直线48的方程.【答案】解：设/5,争，B 5,竽)为 曲 线 C：产 5上两点，町2 攵2则直线 A B 的斜率为 k=1 (xi+x2)=-；x 4=1 ；X1X2 4 4(2)

26、设直线48的方程为丁=力代入曲线C：y=9，可得/-4 x-4 r=o,即有 X +X 2=4,X IX 2=-4 6丫2i再由产亍的导数为/=夕，设 (孙 苧)，可得M 处切线的斜率为如由 C在 M 处 的 切 线 与 直 线 平 行，可得1=1,解得 1=2,即 M(2,1),由 可得，kA M kB M-1，1 2 -1即 为 一 一 二-1，X-L X22化为xm+2 (xi+、2)+2 0=0,即为-4 f+8+2 0=0,解得t=7.则直线Z8的方程为y=x+7.1 5 .【2 01 7 年新课标2文科2 0】设 O为坐标原点，动点M 在椭圆C：9+产=1 上，过 作 x 轴的垂线

27、,垂足为M点 P满足N P =V N M.(1)求点尸的轨迹方程；(2)设点。在直线x=-3 上，且办.证 明：过点尸且垂直于O。的直线/过C 的左焦点F.【答案】解：(1)设 M(xo,yo)，由题意可得N(xo,0),设 尸(x,y),由 点 尸 满 足 通=企 薪.可 得(x-xo,y)=V2(0,泗)，可得 x-xo=O,y=y2yo,即有XQX yo=/，代入椭圆方程1+产=1,可得J+9=1,即有点P的轨迹方程为圆X2T/=2；(2)证明：设。(-3,加)，P(V2cosa,V2sina),(0 a O P9PQ=1,可 得(&cosa,V2sina),(-3 V2cosa,tn

28、V2sina)=1,即 为-3V2cosa-2cos2。+V2nisina-2sin2a=1,当a=0 时，上式不成立，则 0VaV2m解得,=竺，宪画,v2sina即有 0(-3,3(1?2cos“),y/2sina椭 圆?+炉=1 的左焦点尸(-1,0),由PFOQ=(-1 V2cosa,V2sina),(-3,，。.乎孙。)y/2sma=3+3V2cosa-3(14-V2cosa)=0.可得过点P且垂直于O Q的直线I过。的左焦点F.另解：设 0 (-3,)P(加,)，由 办 询=1,可 得(m,)(-3-mf t-n)=-3m-m2+n t w2=1,又P在圆x2+y2=2上，可得加2

29、+2=2,即有W=3+3加,又椭圆的左焦点尸(-1,0),PF OQ=(-1 -w)(-3,t)=3+3用-n t=3+3m-3-3w=0,则P尸_L O Q,可得过点P且垂直于。的直线/过C的左焦点F.1 6.【2 01 7年新课标3文科2 0】在直角坐标系xQy中，曲线卜=r+a-2与x轴交于/、8两点，点C的坐标 为(0,1),当，变化时，解答下列问题：(1)能否出现/C L 8 c的情况？说明理由；(2)证明过/、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】解：(1)曲线、=/+始-2与x轴交于/、B两点,可设/(xi,0),B(小 0),由韦达定理可得X|X 2=-2,A C B

30、 C,则心c心c=7，日 n i=r 1-0 1-0 i即 有 江 二;=T，即为X lX 2=-1这与X X 2 2矛盾，故不出现/C _L 3C的情况；(2)证明：设过4、B、。三点的圆的方程为f+y+D r+E y+F nO (Z +f2-4 F 0),由题意可得y=0时，x2+Dx+F0与x2+in x-20等价，可得 D=n i,F-2,圆的方程即为/+产坳-2=0,由圆过 C(0,1),可得 0+l+0+E-2=0,可得E=l,则圆的方程即为x+yI+mx+y-2 0,另解：设过工、B、C三点的圆在y轴上的交点为H (0,d),则由相交弦定理可得|。川|。3|=|。(7|。/|,即

31、有 2=0 4 ,再令x=0,可 得/+y-2=0,解得y=l或-2.即有圆与y轴的交点为(0,1),(0,-2),则过4 B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3.1 7.【2 0 1 6年新课标1文科2 0】在直角坐标系X。中，直线/：y=f(Z W O)交y轴于点M,交抛物线C：产=2 p x(p 0)于点P,关于点P的对称点为N,连结C W并延长交C于点求耨;（II）除，以外，直线与C 是否有其它公共点？说明理由.【答案】解：（】）将直线/与抛物线方程联立，解得尸（，）,2P.加关于点P的对称点为N,XN+XM _ t2 y/v+yw _,T-，I-r：.N t）,V.ON的方程为尸，

32、与抛物线方程联立，解得”（空，2力P.I。川=1 刈=2|。州 yN 一 （I I）由（I）知 k,MH=多 直 线 的 方 程 为 尸 合+/,与抛物线方程联立，消去x 可得产-4 沙+4/2=0,.*.=1 6 -4 X =0,直线M H与C除点H外没有其它公共点.1 8.【2016年新课标2 文科21 已知/是椭圆E：。+4=1 的左顶点，斜 率 为 左 0）的直线交于 44 3M 两点，点 N 在 E 上，M A L N A.（/）当时，求的面积（II）当 2MM=MN|时，证明：V 3 0.12jl+)2则=512/cV14-fc23k2+4又.盛=舟，整理得：4 A-3-6 k2+

33、3k-8=0,设/(左)=4内-6 r+3人-8,则/(左)=1 2尸-1 2什3=3 (2 k -1)2 2 0,./(A)=4 公-6&2+3%-8 为(0,+8 )的增函数,又/(百)=4 X 3 V3 -6 X 3+3 V3 -8 =1 5V3 -2 6=V6 7 5-V6 7 6 0,：.y/3 k1=0.圆心C 在直线/上，长即为圆的直径.所以|MV=2.2 1.【2015年新课标2 文科20】椭圆C：4 +S=l*0）的离心率 点（2,V2）在 C 上.a b 2（1）求椭圆C 的方程；（2）直线/不过原点O 且不平行于坐标轴，/与 C 有两个交点4,B,线段月8 的中点为M.证

34、明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值.【答案】解：椭 圆。：1+号=1,（a Q 0）的离心率鼻点（2,&）在 C 上，可 得 四 亘=1+至=1,解得“2=8,=4,所求椭圆c 方程为：玖），M（xw,y，w）,把直线y=fcr+b 代入?+=1 可 得（2 r+1）x2+4kbx+2b2-8=0,故皿=詈=瑞，W*占，于是在OA/的斜率为：K（）M=-即 Ko/2XM 2k 2，直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值.2 2.【2014年新课标1 文科20】已知点尸（2,2）,圆 C：/+产-8夕=0,过点尸的动直线/与圆C 交于工,8 两点，线 段 的 中 点 为，。为坐标原点.（1）

35、求 M 的轨迹方程；（2）当0 尸|=时，求/的方程及PO M 的面积.【答案】解：(1)由圆C：/tv2-8 y=0,得 x2+(y-4)16,，圆 C 的圆心坐标为(0,4),半径为4.设 y),则 国=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题意可得：CM-MP=0.即 x(2-x)+(j-4)(2-y)=0.整理得：(x-1)2+(厂 3)2=2.的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)知 M 的轨迹是以点N(l,3)为圆心，夜为半径的圆，由于 10Pl=Q M，故 O 在线段PM 的垂直平分线上，又尸在圆N 上，从而ON1PM.直线/的斜率为直线 PM 的方程为

36、y-2=-g(x-2),即 x+3y-8=0.则 O 到直线1的距离为，具=警.712+32 5又N到/的距离为I 焉3-81=半，V10 5.|PM=212 (争=嘤.1 4V10 4V10 16SAO M=5 X-X=y.2 22 3.【2014年新课标2 文科20 设 乃 分 别 是 C：%+石=1 (4 6 0)的左，右焦点，M 是 C 上一点且 M B 与x 轴垂直，直线用Q 与 C 的另一个交点为M(1)若直线M N 的 斜 率 为 求 C 的离心率；(2)若 直 线 在 y 轴上的截距为2,且眼M=5|FiN,求 a,b.【答案】解：(1)是 C 上 一 点 且 与 x 轴垂直，

37、人2人2二 例的横坐标为c,当x=c 时，尸 一，即 A/(c,),a a若直线MN的斜率为4 人2 o即 t a n Z A/F i F?=-，2c 2ac 4即 b2=|QC=a2-C2,即 c2+|a c -a2=0,则/+|e _ i =o,即 2 4+3 e -2=0解得e=T 或 e=-2 （舍去），即 e=1.（I I）由题意，原点。是 的 中 点，则 直 线 与 轴的交点。（0,2）是 线 段 的 中 点,设 A/（c,y）,（歹 0）,则捺+5=1，即y2=?，解 得 尸?，0 D是A MFiFz的中位线，=4,即 =4 ,由 网=5 r|2，则 叱|=4|尸山，解得|Q H

38、|=2|尸画,即。%1 =2F；N设 N（x i,y）,由题意知y i V O,则（-c,-2）=2 （x i+c,y 艮懦亡寸一4；：r代入椭圆方程得名+=1,4a“b将方2=4。代 入 得 当 丹+9=1,4a 4a解得 a=7,b=2y/7.2 4.【2013年新课标1 文科2 1 已知圆M：(x+1)2+/=1,圆N：(x-)2+/=9,动圆尸与圆M 外切并与圆N 内切，圆心尸的轨迹为曲线C.(1 )求 C 的方程；(I I)/是与圆P,圆 M 都相切的一条直线，/与曲线C 交于Z,B两点、,当圆尸的半径最长时，求|Z3.【答案】解：由圆M：(x+1)2+y=1,可知圆心M (-1,(

39、)；圆 N：(x-1)2+y2=9,圆心N(l,0),半径3.设动圆的半径为火，:动 圆 P 与圆M 外切并与圆N 内切，.*.|PM+FM=R+1+(3-H)=4,而|NA7|=2,由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M,N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，.a 2,c -1 f P a?/3.二曲线C 的方程为+4 =1(x W-2).(/)设曲线C 上任意一点P(x,y),由于巴-|PN|=2R-2W 3-1=2,所以H W 2,当且仅当。P 的圆心为(2,0)火=2 时，其半径最大，其方 程 为(x-2)2+/=4./的倾斜角为90 ,则/与 y 轴重合，可得|Z 8|=2 g.若/的倾斜

40、角不为90 ,由于O M 的半径1 W H,可知/与x 轴不平行，设/与 x 轴的交点为。，则可得。(-4,0),所以可设/：y=k (x+4),由/于 M 相切可得：粤=1，解得k=f.Jl+k?4时V2-4-当+V 21X=V2-4/一3=+y/一4,得到 7x2+8x-8=0.8-71+=-8-7尸 V1+k2x2-x j =J l+(Y)2 J(-7)2-4 x(-)=y由于对称性可知：当女=一 时，也有|阳=学综上可知：4 8|=2 百或2 5.【2 01 3 年新课标2文科2 0】在平面直角坐标系x O v 中，已知圆尸在x轴上截得线段长为2 夜，在y轴上截得线段长为2 6.(I

41、)求圆心尸的轨迹方程；(H)若尸点到直线y=x的距离为当，求圆尸的方程.【答案】解：(I )设圆心尸(x,y),由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2=-炉+/，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3=+/，由两式整理得/+3=户+2,整理得产-2=1 即为圆心尸的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线(I I)由尸点到直线片X的距离为亨得，曰=党，即即或夕=x+l,分别代入炉-/=1 解得 P(0,-1)或 尸(0,I)若 尸(0,-1),此时点尸在y轴上，故半径为遮，所以圆P的方程为(八1)2+=3；若 P(0,1),此时点尸在y轴上，故半径为百，所以圆尸的方程为(y-)2+/=3；综上，圆

42、尸的方程为(y+1)2+x 2=3 或(y -1)2+*2=3.模 拟 好 题.2 21.已知片,尸2 分别是椭圆C：a +=l(a b 0)的左、右焦点，点%,七在直线，：丫 =k+6的同侧，且点%,4到直线/的距离分别为小4 2.(1)若椭圆C的方程为6+9=1,直线/的方程为了=久-后，求心-d 2的值，并判断直线与椭圆C的公共点的个数；(2)若直线/与椭圆C有两个公共点，试求询 四所需要满足的条件；【答案】(1)由=3：1.(2)d d 2 V b 2【解析】(l)椭圆C的方程为1+9=l,则尸1(一 3,0),尸 2(3,0).又直线y =x g,所 以 虑=上/1 =智，d 2=国

43、=写)1 Vl+1 V2/Vl+1 V2所以由2=宏=3.，、1+廿=1 一联 立12 3，消去y可得：5,8/1放+48=0.y -x V15因为 =(一 8反-4 x 5 X 48=0，所以直线y=x-6石与椭圆。有1个公共点.，/y2 _(2)联 立/+官一1,消去y可得：(Q2攵2+/)/+2/左 加 工+Q27 n2 一 Q2b2=0y=kx-V m因为直线/与椭圆C有两个公共点，所以 =(2a2fcm)2-4(a2fc2+b2)(a2m2-a2b2)0,整理化简得：加2 一a2fc2 所仁 口以、1 u由 J 2=而|-/c?+m7|.7 =bn2-k2a2+/c2b2|b2+k2

44、b2 =破.2所以直线/与椭圆C有两个公共点，则dd 2 1)的离心率为e 双曲线好一号=1的离心率为e?,且=也(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点&且斜率为1的直线交椭圆于4 8两点(点B在x轴上方)，线段4B的垂直平分线交直线1:%=2于网点，求以AM为直径的圆的方程.【答案】(l g +y2=i(2)(x+1)2+(y-1)2=v【解析】(1)解：.双曲线的离心率02=2,e i=F =J 1 4,.=3其中 2b=2,。2=2,所以椭圆方程为：y +y2=1(2)解：由题知乙(1,0)，故直线AB方程为y=x-1,y=%1/,2，得 3/4x=o,万+y=14(。一 其中

45、点为(|,-9所以，AB垂直平分线为：y=-x +1 以 4M为直径的圆的圆心为：(1(),半径为=(1 4 +岑=1 +弓=亨，以 4M为直径的圆的方程为：(+1)2+(y _ /=甘3.在平面直角坐标系x O y 中，已知点尸(0,-百)，动点S 到尸的距离是S 到直线巡y+4 =0的距离的苧倍，记点S 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)过Z：尤=2 上的动点P(2,p)(p 2)向曲线C 作两条切线%,%，交 轴于M,交y 轴于N,交工轴于7,交、轴于Q,记A P N Q 的面积为S i，P M T 的面积为52，求S i 2的最小值.【答案】(1,+/=14 4 8【解析】

46、解：设S(x,y),由题意得 芯2+(y +b p=4 x 噜1,化简得曲线C 的方程为生+/=1.4(2)解：由题意知，1，2的斜率存在，故 设 小 的方程分别为y-P =k i(x-2),y-p =k2(x-2),则N(0,p 2k i),M(2-,0),Q(O,p 2k 2)，T(2 一 聋 0),所以S i q I N Q I 无 P =|N Q|=2|的 一 切，S 2=；|M 7 V y p=：|f HP=口 号 4 Z Z I K J 2 I/|1 区 2 1S S2=p2 p|=2 _4卜I忆 述 2 I I卜 述 2 I设过P(2,p)与C 相切的直线为y -p =k(x-2

47、),联 立/牛 J 可得+4)x2-2k(2k -p)x +(2k-p)2-4 =0,I xL+V =4,则 A =4(2f c p)2 k2 4(f c2+4)(2f c p)2 4 =0,化简得 3k2 4p k+p?4 =o,显然自$2 是关于k 的方程弘2 一4 口上+2 2-4 =0的两根，故 心+心=?，1 0,SrS2=4(t+4r+16)=(t +y+2 0)2 Jt+20)=4 8,当且仅当t =8,即p =2 g时，S C 2 的最小值为4 8.4.已知M,N分别是x轴，y轴上的动点，且|M N|=4 +2百，动 点 尸 满 足 和=亨 丽 设点尸的轨迹为曲线C(1)求曲线

48、C的轨迹方程；(2)直线3 x-2 y =0与曲线C交于4 B两 点,G为线段Z8上任意一点(不与端点重合)，倾斜角为a的直线L 经过点G,与曲线C 交于E,尸两 点.若 湍 惠 的 值 与 点 G的位置无关，求|G E|：|G F|的值.【答案】(底+6=1(2)1【解析】(1)解：设M(&,0),N(0,y)则郎+羽=(4 +2百)上设P&y)，则 丽=(x -xQ fy)，P/V =(x,y0 y).由题意得_ V3x XQ=XV3zy=(yo-y)、%o =(1+亨)X7 0=和+苧)丫,解得所以(1+/+g(i +y2=(4 +2/3)2 化简得器+金=3即曲线C 的 方 程 格+/

49、L3%2y=0(2)证明：由 x2,y2.+石=1解 得 葭：3(不妨设点Z 在第一象限),所以4(2,3),8(2,3).设点G(2m,3 m),其中一 1 小 6 0)的短轴长等于2百，离心率6=也(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过左焦点尸作直线/,与椭圆C 交于4 8 两点，判断高i +看是否为定值.若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.【答案】(伉+=14 3(2)是定值，定值为g【解析】(1)由椭圆C:，+，=l(a b 0)的短轴长等于2b，离心率e =也(2 b=2V 3 2 2可 得(a =2c，解得a =2,b =V 3,c =1,所以椭圆的方程为土+二=1.(b2

50、=a2-c22 2(2)由椭圆的方程上+1,可得左焦点F(-1,0),4 3(i)当直线/的斜率不为0 时，设直线/的方程为x =my-1,联立方程组x=m y -1整理得(3 62+4)y2 6 my 9=0,=(-6m)2+3 6(3/+4)0设力(修,力),B(x2,y2)所以yi +丫2=*、，y/2=就；，G|r 以 1+1 ,=.-川 口 四 川FB 屈 耳|力|1 _ Vl+wi2,ly2l Jl+m2,岛+信)1，(月+及)2-4yly2 _ 1 W l+m2 _ 4+m2 1 力及1 Vl+m2 3 3(i i)当直线/的斜率不为0 时，此 时 上+=3+34-3综上所述,两