初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题21梯形.pdf

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1、专题2 1 梯形阅读与思考梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形.如图所示：例题与求解【例 1】如图，在 四 边 形 中，A B/C D,N D=2/B,4）和 的 长 度 分 别 为a ,b,那么AB的长是.（荆州市竞赛试题）解题思路

2、：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形.【例 2】如 图1,四 边 形 是 等 腰 梯 形，A B/C D.由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形.（1）求四边形488四个内角的度数;（2）试探究四边形488四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1 中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图.（山东省中考试题）解题思路：对 于（1）、（2）,在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对 于（3）,在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形.图1【例 3】如图，在等腰梯形Z 8 C

3、 Z）中，A D/B C,A B =D C,S.A C 1.B D,力尸是梯形的高，梯形的面积是4 9 c 求梯形的高.（内蒙古自治区东四盟中考试题）解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手.【例 4】如图，在 等 腰 梯 形 中，A B/D C,/8=9 9 8,0 c =1 0 0 1,=1 9 9 9,点 P在线段上，问：满足条件/8 P C=9 0。的点P有多少个？（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据/8+。=力。这一关系，可以在上取点构造等腰三角形.DC【例 5】如图，在等腰梯形Z8C。中，C D/A B,对角线/C,5。相交于O,N/C0=6O。，点 S,

4、P,。分别为。，O A,8 c 的中点.(1)求证：PQS是等边三角形；(2)若/8=5,8=3,求PS 的面积；(3)若PQS的面积与/O。的面积的比是7：8,求梯形上、下两底的比8：A B.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.【例 6】如图，分别以N8C的边4 c 和 8 c 为一边，在Z 8C 外作正方形NCDE和 C 3 F G,点尸是E尸的中点，求证：点尸到边力 8 的 距 离 是 的 一 半.(山东省竞赛试题)解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质.关键是要构造能运用条件EP=P F 的

5、图形.能力训练A级1.等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3,则 下 底 角 的 度 数 是.(天津市中考试题)2.如图，直 角 梯 形 中，A B A.B C,4D=3,BC=5,将腰。C 绕点。逆时针方向旋转90。至DE,连接ZE,则/的面积为（宁波市中考试题）3.如图，在等腰梯形/8 C。中，A B/C D,NZ=6 0 ,Z 1=Z2,且梯形的周长为30CM,则这个等腰梯形的腰长为.第2题图4.如图，梯形/8 CZ）中，A D/B C,E F 是中位线，G是 8c边上任一点，如果=2 J 5 c 机？，那么梯形A B C D的面积为.（成都市中考试题）5 .等腰梯形的两条对角线互相垂直

6、，则梯形的高和中位线的长加之间的关系是（）A.m h B.m =h C.m 8,作E F L A B交BA的延长线于点F,则AF=.（山东省竞赛试题）第1题图第2题图2.如图，在梯形/8 CO 中，A D/B C,A B=D C=0 cm,AC 与 8。相交于 G,且乙4G D=6 0 ,设 E为C G中点，尸是力8中点，则E尸长为.（“希望杯”邀请赛试题）3.用四条线段：a =14力=13,c =9,d =7作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线 的 长 的 最 大 值 为.（湖北赛区选拔赛试题）4.如图，梯形/8 C。的两条对角线4C,8。相交于。点，且力O：C O=3：2,

7、则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为S M o/S g o l S A e/S M O H U （安徽省中考试题）第4题图 第5题图 第6题图5.如图，在 四 边 形 中，A D/B C,t是 的 中 点，若 1（7的面积为S,则四边形4 88的面 积 为（A.)-s2B.2Sc.%D-（重庆市竞赛试题）6.如图，在梯形 48CO 中，A D/B C,N 8=20,ZC=70,E,M,F,N 分别为4 8,B C,C D,。/的 中 点，已知8c=7,M N =3,则EF的 值 为（）A.4 B.4-C.5 D.62（全国初中数学联赛试题）7.如图，梯形4 88中，A B/D C,E

8、是/。的中点，有以下四个命题：A B+D C=B C,则N8 EC=9 0 ；若/5 EC=9 0 ,则 48+C=8 C；若 BE 是 NN8 C 的平分线，则/8 C=9 0 ；若力8+O C=8 C,则C E是N D C B的平分线.其中真命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（重庆市竞赛试题）8.如图，四边形/8 CO 是一梯形，A B/C D,Z A B C=9 0 ,A B=9cm,8 c=8 c m,C D =7cm,M 是的中点，从M作ZO的垂线交8 c于M则8 N的长等于（）A.1c m B.1.5 c m C.2c m D.2.5 c m（“希望杯”邀请赛试

9、题）9.如图，在梯形中，A B/D C,M是腰8 C的中点，A/NL/D求证：S四 边 形 诋。=N /（山东省竞赛试题）10 .如图，在梯形A B C D中,/DZ BC,分别以两腰A B,C D为边向两边作正方形A B G E和正方形D C H F,设线段AD的垂直平分线I交线段E F于点M求证：点M为E E的中点.(全国初中数学联赛试题)11.已知一个直角梯形的上底是3,下底是7,且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.(“东方航空杯”上海市竞赛试题)1 2.如图1,平面直角坐标系中，反比例函数=(左 0,x 0)的图象经过矩形0/8。的边8。的X三等 分 点(DF BD)交 4

10、B于 E,A B=1 2,四 边 形 尸 的 面 积 为1 6.3(1)求左值.(2)已知C(1 3,0),点尸从1出发以0.5 c加 入速度沿工 从8。向。运动，点。从C同时出发，以1.5 5心的速度沿C O,O A,向8运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形P Q C 8为等腰梯形(如图2).(3)在(2)条件下，在梯形P Q C 8内 是 否 有 一 点 使 过M且与尸8,C 0分别交于S,T的直线把尸0 c 8的面积分成相等的两部分，若存在，请 写 出 点的坐标及CW的长度；若不存在，请说明理由.图1专题21梯形例 1 a+b例2上底角

11、为120。，下底角为60。；梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长;能拼出菱形，以下图形供参考：例3 7CTM提示：过4作交CB延长线于E,则品褴0=5标 彩“88.例4(1)如图a,若E为工。中点，则N8EC=90。且CE.BE分别平分ZBCD,NABC：如图6,在8 c上 取 一 点使=连结则/力。=90。；如图c,将a,5组合，则四边形GEHI1为矩形.D C D C D C图4 图6 图C.当P为/。中点时，可以证明N8PC=90。；在“。上截取/尸=/8,可以证明N8PC=90。,故满足条件/8PC=90。的点尸有2个.例5连结SC,P8.，AOCO,aO/8均为等边三角形，S,P,。

12、分别为4 8 c中点，.5。=：以7=/。=5尸=尸。.故a52。为等边三角形.(2)：SB=LDO+O B=空,CS=%,BC=7.2 2 2：.ASPQ的边长S Q=,C=：.人 也=争 ($2=噜3(3)设 8=a,AB=b(ab),BC2=SC2+BS2=-a)2+(b+)2=a2+b2+ab.：SASPQ=E(C I2+ab+吩),又 S3D=立,贝!S.AOD=ab.16SCOD a 4又配丝=2则 SA/0D=、ab；龌 鳖=Z,：.8x退(a2+ab+b2)=7 a b.SCOD 4 SAOD 8 16 4B P 2a2-5ab+2b2=o,化简得2=L 故 CD AB=:2.

13、例 6 如图，分别过E E C,P作 N 8 的垂线，垂足依次为A,S,T,Q,则尸。就是点尸到48的距离，且有ER/尸 S,故四边形EKS6为直角梯形，PQ=E R+F S).易证 RtLA E R咨RtA C A T,Rt/B F SRt/C B T,：.E R=A T,F S=B T,又 A T+B T=A B=E R+F S,故 P Q=/B./级l.602.3 3.6cm 4.8/5 於 5.8 6.D 7.C8.C提示:如图，作点。关于直线8 c 的对称点。，连结。交 8 c 于 E,连结/。交 8 c 于 P,过。作D F A.A P于 故P A+P D此时最小.由 8E=AD=

14、2,E C=3,则可得：D E=4,.。=8,则/。=2布.10.提示：连结。下并延长交于8 c 于 ，则A D=C H.11.略212.3当点N 在 线 段 上 运 动 时，P/N 形状不发生改变，其周长为S+S+4.当点在线段Q C上运动时，尸 A/N的形状发生改变，但DMNC恒为等边三角形，过 E 作EG1 BC 于 G。当尸M=P N时，x=E P =GM =BC-BG-M C=6-1-3=2；当尸M T V 时，x=EP =G A/=6-1-6=5-7 1；当 P N =M N 时,x=E P =GM =6-1-l=4B级1.4 2.5cm3.10.5 提示：以 7,14作两底的梯形

15、中位线最长4.6：4：6：95.B6.A7.D8 .C 提示：连结 4 V,DN ,则 信+B N?=CM +D C?,而 C N =B C-B N9.提示：连结。AM ,延长。M交48的延长线于尸，则S梯 形/B e=SD/8，又8=25皿=2仓*M N =M N A D1 0.如图，过 N,。分别作“尸，垂直于Z0,分别交8c于尸，Q,过七、尸分别作/。所有直线于K,N ,可证明么尸=。=/长=0 ,JK=J N。：E K /M J /F N ,EM =M F1 1.3 0 7 2提示：设梯形的高为x,则基其两条对角线分别为加=Jf+9与 =J Y+4 9 ,于是-+9与/+4 9都是完全

16、平方数，即“2与1都是完全平方数，从而“2-/=4 0即（+利）（-加）=2 5 ,又 +?与-加的奇偶性相同，因此，得 +加=20,一？二 2 或+用=1 0,一加二 41 2.（1）k=81 3 5（2）由（1）知4 0 =8。=1.5；则P点到达终点时所有用时间为：*=-=如，P 0.5同理：tQ=Us,tp=tQo v0.5,1 1 =5.5 1 2,尸 只 可 能 在 上设经过f s,四边形P 0 C 8为等腰梯形，则C 0 =L 5 f,/尸=0.5 f,由题意可知:1.5 1 =1 2-0 5+2,解得/=7 s 存在，M点为连结两腰中点线段的中点，/（，|）,C A/=y V 2