北京市西城区某中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷（解析版）.pdf

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1、北京市西城区北京师范大学附属中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷一、选择题1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.瓜 B.V 1 2 C.V 1 8 D.V 2 2【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的定义判断即可.【详解】解：A、&=20，不是最简二次根式；B、疵=26，不是最简二次根式；C、7 1 8=3 7 2 .不是最简二次根式；D、J五是最简二次根式；故选：D.【点睛】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式的定义：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.2.下列二次根式计算正确的是（）A.代 X -4 一 B.s/

2、2+A/2 -6C.yf s /3 =5 D.-2 +-5 =5/7【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算进行计算即可求解.【详解】A.6义 返=2百，故该选项不正确，不符合题意；B.无:0 =底,故该选项正确，符合题意；C.瓜&不能合并，故该选项不正确，不符合题意；D.及+逐，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，正确的计算是解题的关键.3 .要使二次根式J 工 与 有意义，则 x 的取值范围是（）A.x 3.B.x 3 .D.x0,解得，x 3.故选C.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不

3、等式是解题关键.4 .在口/B C 中，N C=9 0 ,a、b、c 分别是/、NB、/C 的对边.如果 a=2,b=3,那么 c=（）A.5 B.7 5 C.1 3 D.V 1 3【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理求出c.【详解】解：在中，由勾股定理，得c2=M+b2=22+32=1 3 .C-故选：D.【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.5 .关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（）A.平行四边形的对角线相等 B.平行四边形的对角相等C.平行四边形的对角线互相平分 D.平行四边形的对边平行且相等【答案】A【解析】【分析】由平行四边形的性质即可求得答案.【详解】解：

4、平行四边形的性质为对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，选项B、C、D 不符合题意；平行四边形的对角线不一定相等，口选项A符合题意，故选：A.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，即平行四边形的性质对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键.6.在口48。中，。、b、c分别是N/、N B、N C 的对边，不能组成直角三角形的是（）A.三边之比a：b：c=l：1：yj2 B.三边长满足足一/二C.三角之比/：N B：Z C=l：2：3 D.三边长满足a=6=2c【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可.【详解】解：A、F+2=（

5、及）2,故可以构成直角三角形，不符合题意；B、由。2 七 2=加可得a2=+c2,故可以构成直角三角形，不符合题意；C、由/：N B：N C=1：2：3可 得（/Z+/B）：N C=1：1,即NC=90。，故可以构成直角三角形，不符合题意；D、由a=b=2c可得/+c2Hb2或6+02。/,故不能构成直角三角形，符合题意.故选：D【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键.7.下列计算或化简正确的是（）A.（2+/5）2=9C yja2+tr=a+h【答案】B【解析】【分析】利用完全平方公式、分母有理化、最简二次根式、必=时 进行逐一

6、分析求解即可.【详解】解：A、（2+7 5）2=4+4逐+5=9+4石，故 A 项错误；B.厂 2 厂=6-6V5+V3D.J（2 乃 1=2 冗2百+百2（V5-V3）故 B 项正确;C、J/+/是最简二次根式,不能化简，故 C 项错误;D、J（2 万）2 =71 2,故 D 项错误；故选B.【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法、分母有理化、最简二次根式、以=同，熟练掌握分母有理化是解题的关键.8.如图，在口 4 8。中，ADQBD,4 c=8,B D=6,则 N8=（）A.5 B.V 4 3 C.V 6 1 D.1 0【答案】B【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质，可求得。/=4,O

7、D=3,即可利用勾股定理求得力。，再利用勾股定理即可求得【详解】解：.四边形力 8 8 是平行四边形，AC=S,BD=6,.OA=-A C =4,O D=-B D=3,2 2ADDBD,:.Z A D O 90,，在中，A D =S#-O D?=2-32=7 7,在 R t A D B 中，A B =ylAD2+B D2=J（而 +6?=如,故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握和运用平行四边形的性质与勾股定理是解决本题的关键.9.在四边形/8 C。中，A B/C D,要 判 定 四 边 形 为 平 行 四 边 形，可添加条件（）.A.A D=B C B.N C D

8、B=N A B DC./C 平分N L M 8D.A O=C O【答案】D【解析】【分析】根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可得出答案.【详解】解：A,添加后，四边形N88 一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，因此A选项不合题意；B,添加后，利用平行线的判定定理可得“8 C D,四边形Z3C。仍是只有一组对边平行，不能判定为平行四边形，因此B选项不合题意；C,添加/C平分ND48后，利 用 角 平 分 线 的 定 义 和 平 行 线 的 性 质 可 推 出 四 边 形 一 组 对边平行，一组邻边相等，不能判定为平行四边形，因此C选项不合题意；D,添加

9、力O=C。后，利用A&4可证AAOBMACOD,推出AB=C D,四边形/BCD一组对边平行且相等，可以判定为平行四边形，因此D选项符合题意.故选D.【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.1,两组对边分别平行的四边形是平行四边形：2,两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3,对角线互相平分的四边形是平行四边形；4,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形.10.如图，五边形/8COE 中，A B=A E=D E,CD=CB,Z A =Z A B C=Z C D E=Z D E A =120,点 G 为8 c中点，将口

10、/8沿 对 折 后 得 至 以 下 四 个 结 论：四边形/瓦花为菱形；四边形8GDE为7矩形；D G=V2 A B,如 果 那 么 五 边 形48CAE的 面 积 为 一 其 中 正 确 的 结 论 有（）个.A.1 B.2 C.3 I).4【答案】C【解析】【分析】根 据 翻 折 得 到=A E =E F，又根据4 3 =AE得到4 3 =BE=A E=E F,即可证明四边形ABFE为菱形，即可判断的正误；根据条件证明NEBG=9 0 ,连接。尸，证明。石广为等边三角形，根据NEE=60,ZEFB=120,同理可得、F、G在同一直线上，即可证明四边形8GDE为矩形，即可判断的正误；在R/A

11、 4B H中，根 据 勾 股 定 理 得 到 根 据 四 边 形2BGDE为矩形可得。G=JA 3，即可判断的正误；将 五 边 形 分 成A C O G,矩形DEBG与AABE即可求得，即可判断的正误.【详解】解：.,AA5E沿BE翻折到ABFE,：.AB=BF AE=E F，.AB=A E，；.AB=BF=AE=E F，四边形A班 为菱形，故正确；vZBA=120.AB=A E，：.ZAEB=ZABE=3QP,：ZAED=12Q,:.ZDEB=90。,.ZA8C=120。，ZEBG=90,8 =90,/D E F =900-ZFEB=900-30=60,连接。,;D E=EF：./DEF为等

12、边三角形,:.DF=DE=FB,vZ D F E =60,ZEFB=2Q,NDFE+NEFB=180。,:.B、。、尸在同一直线上,同理可得E、F、G在同一直线上，且EF=FG，BD GE，:.ZDGB=90,四边形BGDE为 矩 形，故正确;作AH上BE交BE于H,QAE=AB,ZEAB=12QO,在R/AA8”中，ZABH=30,AH=-AB,2BH=NAB?一 AH?=长出回=A BEB=2BH=6 A B，:.DG=EB=6A B，故错误；AB=a,BE=6 a，DE=a，CG=a,一 S 五边形A8CQE=SCDG+S 矩形OE8G+AABE=a-y f i a +a ga+4?a

13、2 2 2=空/+&/=述/,故正确.4 4故选：C.【点睛】本题主要考查菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键.二、填空题11.计 算（-7 6）j.【答案】6【解析】【分析】运用二次根式运算法则计算即可.【详解】解：原式=6.故答案为：6【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键.12.如图，A,B 两点被池塘隔开，在 A,B 外选一点C,连接AC和 B C,并分别找出AC和 BC的中点M,N,如果测得M N=20m,那么A,B 两 点 间 的 距 离 是.【答案】40m【解析】【分析】根据三角形中位线定理：三角形

14、的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2 倍即可解答.【详解】解：DM,N 分别是AC,BC的中点，MN是ABC的中位线，MN=|AB,AB=2MN=2x20=40(m).【点睛】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键.13.如果正方形的一条对角线长为3 攻，那么该正方形的面积为【答案】9【解析】【分析】把正方形的面积转化为等腰三角形的面积，利用三角形面积公式：S =a h 2,计算即可.【详解】解：因为正方形的两条对角线相等，且长为3 0,所以正方开的面积=3&x 3 8 +2=9.故答案为：9.【点睛】本题主要考查了

15、正方形的性质，二次根式乘法法则，三角形面积公式，理解相关知识是解答关键.1 4.如图N B C 中，若 N C=6,8 c=8,/8=1 0,则中线 8=C-B【答案】5【解析】【分析】先利用勾股定理逆定理求出4 8 C 是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得C D=A B,然后代入数据进行计算即可得解.详解】解：./C2+8 C2=6 2+8 2=1 0 0=4 ,./8 C 是直角三角形，是斜边，是4 8边上的中点，.co=i 4xl0=5-故答案为：5.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理的应用，熟记性质并求出A/B C 是直

16、角三角形是解题的关键.1 5.如图，在O 4 B C D 中，/Z=7 2。，D B=D C,C E L B D 于 E,则 N 8 C E=.【答案】1 8【解析】【分析】由平行四边形/B C D 中，易得NBCD=NA=70 ,又因为DB=DC,所以7 0 ；再根据 CELS O,可得/3 C E=2 0 .【详解】解：四边形/8 C O 是平行四边形，：.ZBCD=ZA=12 ,：D B=D C,:./DBC=/BCD=10 ,:CELBD,；.NCEB=90,：.Z SC =1 8 .故答案为：1 8 .【点睛】本题主要考查了是平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边

17、形的对角相等.1 6.如图，在平面直角坐标系x Q y中，矩形0/8 C的顶点4 C的坐标分别是(4,-2),(1,2),点8在x轴上，则点8的横坐标是.【答案】5【解析】【分析】由两点距离公式可求Z C的长，由矩形的性质可求0 B=N C=5,即可求解.【详解】解：连接N C,.点/(4,-2),点 C (1,2),：-AC=(4-1)2+(-2-2)2=5，:四边形4 8 C。是矩形，0B=AC=5,.点8的横坐标为5,故答案为：5.【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键.1 7 .在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三

18、角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是1 0 c m?,则图中正方形/的面积为 c m2.【答案】10【解析】（分析】先把各个正方形都标上代号，再根据勾股定理有S正方形。+S正方形G =S正方形A ,S正方形C +S正方形8=S正方形。,S正方形E+S正方形F=S正方形G，等量代换即可求最大的正方形面积.【详解】解：如下图所示:根据勾股定理可知,S正方形。+S正方形G =S正方形A，S正方形c+S正方形8=S正方形。,S正方形 +S正方形F=S正方形G ,S正方形A =S正方形8+S正方形c+S正方形E+S正方形F=10,故答案为：1 0.【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.

19、1 8 .如图：已知/8=1 0,点 C、。在线段4 8 上且Z C=O 8=2；P 是线段CD上的动点，分别以/P、PB为边 在 线 段 的 同 侧 作 等 边 口/E 尸和 等 边 尸 3,连接E F,设 EF的中点为G；当点尸从点C运动到点。时，则点G移动路径的长是【答案】3【解析】【分析】分别延长NE、B F 交于点、H,易证四边形E PF4为平行四边形，得出G 为 中 点，则 G运行轨迹为三角形4 8 的中位线M V.再求出C。的长，运用中位线的性质求出的长度即可.【详解】如图，分 别 延 长/氏 8尸交于点 /=FP8=60。，AHU PF,a U B=JEB 4=6 0,DB H

20、a PE,四边形E P F H为平行四边形，口 E/与，P 互相平分.G 为 E F中点，G 也正好为尸中点，即在尸的运动过程中，G 始终为P”的中点，所以G 的 运 行 轨 迹 为 三 角 形 的中位线M N.CZ 10-2-2=6,O M N=3,即 G 的移动路径长为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，解题的关键是掌握中位线的性质.三、解答题1 9.计算：（1）x/1 8 +x/8（2）后 士 4-炳（3）（3 7 2 +28）（3 垃-2 后）【答案】50（2）-2 石（3）6【解析】【分析】原 式 先 化 简 思=3 夜,血=2&，再合并即可得

21、到答案；（2）原式先计算二次根式的除法和化简a=3 6，再合并即可得到答案；（3）原式运用平方差公式进行计算即可.【小 问 1 详解】V1 8 +x/8=3 7 2+2 7 2=5 7 2 ；【小问2详解】V1 2-V4-V2 7=6-3G=2 5/3 ;【小问3详解】（3 血+26）（3 血-26）=1 8-1 2=6 口【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键.2 0.已知x=7 3 -1 求代数式x2+2 x-3的值.【答案】-1【解析】【分析】先将代数式进行配方化简，然后代值计算即可.【详解】先将式子利用完全平方公式变形，然后将X 的值代入化

22、简后的式子即可解答本题.解：x=7 3 -1 .x2+2 x-3=(x+1)2-4=(G-1 +1 )2-4=(右)2 -4=3-4=-1.【点睛】本题考查一元二次方程的配方以及二次根式的化简求值，先将代数式进行配方化简，然后代值计算可减少计算量.2 1.如图，在四边形/8 C D 中，Z S=9 0,AB=B C=2,CD=3,AD=.(1)求 NC的长；(2)求/D48的度数.【答案】(1)2 血(2)1 3 5 0【解析】【分析】(1)由于N B=9 0 ,A B=B C=2,利用勾股定理可求/C；(2)由于N B=9 0 ,/8=8 C=2 可求N 8/C=4 5 ,而 C =3,DA

23、=,易得工+力4二?，可证 48是直角三角形，于 是 有/。=9 0 ,从而易求N D4 B.【小 问 1 详解】解：V Z S=9 0 ,A B=B C=2,=y/A+BC2=722+22=2A/2；【小问2详解】解:V ZB=9 0 ，AB=B C=2,：.Z B A C 4 5Q,又；C D=3,AD=,：.AC1+AD1=,+=9,C D2=9,：.AC2+DA2=C D2,.4 8 是直角三角形，：.Z C A D 9 0 ,A Z D A B=4 5 +9 0 =1 3 5 .的度数为1 3 5 .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理.解题的关键是连接/C

24、 并证明 Z8是直角三角形.2 2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小正方形的顶点称为格点.回答下列问题：B图2(1)如 图 1,C D的长为；四边形A B C D的面积为；(2)请利用图2的正方形网格的格点画一个三角形，满足三边的长分别为4,屈，石.(请在答题纸上作图)【答案】(1)石；1 4.5(2)见解析【解析】【分析】(1)利用勾股定理可求。，利用割补法可求四边形N 8 C Q 的面积；(2)利用勾股定理结合网格特点画三角形即可.【小 问 1 详解】解：8 =依+=百,四边形N 8 C D 的面积=5 x 5-x l x 5-x2x4-x2 x 1-x 4 x l-l

25、=1 4.5 ,2 2 2 2故答案为：亚,14.5；【小问2详解】如图2,/8 C即为所求，其中/C=4,A B=屈,BC=5【点睛】本题考查了勾股定理的应用，割补法求面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键.23.如图，将切8 8的对角线8。向两个方向延长，分别至点E 和点F,且使B E=D F.求证：四边形/EC尸是平行四边形.【解析】【分析】由四边形/8CO是平行四边形易知04=0C,O C=O D,再证得OE=O凡 即可得出结论.【详解】证明：连接N C设/C与8。交于点O.如图所示：V四边形A B C D是平行四边形,Z.OA=OC,OB=OD,又,：B E=DF,/.OE=OF.四边形

26、NECF是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法.24.小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋 千 在 静 止 位 置 时，下端8距离地面0.6 m,即O 8=0.6 m,当秋千荡到力C的位置时，下端C距离地面1.4m,即CD=1.4m,与静止位置的水平距离O O=2.4m,求秋千4 8的长.【答案】秋 千 长4米【解析】【分析】设 秋 千 的 长 为x,表示出N E,在直角三角形4C E中，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出秋千4 5的长即可.【详解】解：

27、如图设 秋 千 的 长 为 x,H O AE=x-(1.4-0.6)=(x-0.8),在RfZUEC中,利 用 勾 股 定 理 得:(x-0.8)2+2.42,整理得：1.6x=6.4,解得：x=4.则 秋 千 得 长 为4米.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.2 5.如图，在切8 c力中，B C=2 AB,点、E、尸分别是8 C、的中点，A E、B F 交于点、O,连接所，OC.(1)求证：四 边 形 即 是 菱 形；(2)若/B=4,Z AB C=6 0 ,求 0C 的长.【答案】(1)证明见解析：(2)2 币.【解析】【分析】(1)首先证明四边形A B E

28、 F是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；(2)过点O作O G _ L B C于点G.分别在Rt z O E G,Rt A O C G中，由含3 0度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可.【详解】(1)；四边形A B C D是平行四边形，；.B C A D,B C=A D.VE,F分别是B C,AD的中点,.B E =-B C,A F=-A D,2 2；.B E=A F,四边形A B E F是平行四边形.B C=2 A B,；.A B=B E,平行四边形A B E F是菱形.(2)过点O作O G L B C于点G,如图所示，是B C的中点，B C=2 A B,.,.B E

29、=C E=A B=4.四边形A B E F是菱形，Z A B C=6 0,B E=C E=A B=4,Z O B E=3 0,Z B O E=9 0,0E=2,ZOEB=60,GE=1,OG-3 GE-,；.GC=GE+CE=5,OC=7（9G2+GC2=7（V3）2+52=2 币.【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、含 30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.2 6.阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用.出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它

30、包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和.基于以上原理,回答问题:图4(1)把边长为8 的正方形按图1方式分割，分割之后(填“能”或“不能”)把图形重新拼成图2 中长为1 3,宽为5 的长方形；(2)如图3,a,b,c 分别表示直角三角形的三边，比较大小：c2：Ca+b)2 2ab；(3)观察图4,写 出(ac+bd)2与(层+属)(+)的 大 小 关 系：.【答案】(1)不能(2)=；(3)(ac+bd)2 (ad-bcY=crd2-lahcd+b2c2 0 进而可得(ac+hd)2：(a2+h2)(c2+t/

31、2).【小 问1详解】解：如 图1,图2,S正方形S长方形，故答案为：不能;【小问2详解】解：如图3中，左边大正方形的面积：S火正方形=(。+6)2=。2+2。6+，右边大正方形的面积：S大正方形=，2+4XJ ab=c?+2ab,a2+2ab+b2=,/+=/,(a+b)2=a2+2ab+b2,a2+b2=(a+b)2-2ab,/+220,/._ 2ab0,2 力，故答案为：=,;【小问3详解】解：如图4,(ac+bd)2=crc1+2ahcd+b2d2.(a2+/?2)(c2+2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 Qad-bcY=a2d2-2 a b c d+b2c2 O，A a2

32、d2+b2c2 2 a b c d，(a叶加(/+)(C2+J2).故答案为：(n c+/?i/)2：(a2+Z?2)(c2+t/2).【点睛】本题考查了完全平方公式及勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.2 7.在数轴上，把原点记作点。，表示数1的点记作点A.对于数轴上任意一点尸(不与点。，点/重P0合)，将线段P O与线段刃 的长度之比定义为点P的开心值，记作2即上=.例如：当点P是线段PA的中点时，因为P O=R 1,所以上=1._._2_i-1 0 1 23(1)若 点表示的数是一，则，若N点表示的数是3,则N=；2(2)数轴上点7满足O T=-O A,求岂4(3)数轴上点R表示

33、有理数厂，已知KV 1 0 0且区为整数，则所有满足条件的r的倒数之和为s,则yjs 2.3【答案】(1)3,-4(2)7=一或一3 5(3)1 4【解析】【分析】(1)根据定义求出线段0、MA、N O、乂4 的值即可解答；(2)根据定义分类讨论分别求出。和 70,由于。4=1,故可求出7 0,从而知道T 表示的数，即可算出T A,再计算即可,；(3)根据题意可知，分两种情况，点 K在点力的右侧，点 R 在。4 之间，将前几个r 求出来，则可发现规律，根据规律解题.【小 问 1 详解】解：由题可得N 一3，跖4=3-1=!，NO=0-(-3)=3,A C4=1-(-3)=4,2 2 I 2 *

34、4I 3A T A=OA-T O=-=-,4 4I.T=-T A 3 3 4当点T 在原点左侧时，1：0 T=-0 A,0 Z=l,43MO 2 z NO 3 MA l 一 N A 423故答案为：3,；4【小问2详解】解：当点7 在原点右侧时，1：0 T=-0 A,0 4=1,41：.0T=,41：.OT=,41 5，T A=T O+OA=-+=-,4 41./-f-L 4 5 54；.工的 值 为;或（；【小问3详解】解：当区=时，即 一=1,R A.点R表示的数r为2同理，当旦=2,可求得R表示的数厂为：2或 者;；3 3当R=3,可求得R表示的数厂为：巳或者一4 24 4当区=4,可求

35、得R表示的数r为：一或者一；5 399 99当&=99,可推得R表示的数厂为：二一 或 者 二；1 0 0 98.所有满足条件的p的倒数之和为：C 3 1 4 2 5 3 1 0 0 982 2 3 3 4 4 99 99=2 +2 +2+2+2 =2 x 99,=1 98；X/72=J1 98-2 =1 4，故答案为1 4.【点睛】本题考查了新定义运算，能从所给的定义去理解题意，并结合所学进行解题，同时结合分类讨论的数学思想解题是解题的关键.2 8.在力8 c中，B C=AC,N ACB=9 0。,。是平面内一动点（不与4 C重合），连 接C A,将C。绕点C逆时针旋转90。至C E的位置.

36、图1图2图3(1)如 图1,若。在口/B C的边N 8上，N C=2,则8 E的最大值为；(2)如图2,若。在1 4B C的边4 8上，AD=2,4 E 平分N B 4 C,4 E 交 B C 于点P,则C P的长为(3)如图3,若。在d4B C的 边 上，取Z E中点V,求证：C M=BD(4)若。是平面内任意一点(不与/、C重合)，直线4。，B E 交于点F,连接C F,请直接写出4尸、B F、C尸的数量关系.【答案】(1)20(2)叵(3)见解析(4)A F=B F+72 C F或力尸+8尸=血C F 或 叵C F+A F=B F【解析】【分析】(1)先由勾股定理计算得z 8=27 2，

37、再证明8 C Eg/C D,B E=A D,由。在/B C的边Z 8上即可得解；(2)过点尸作尸。_ L/8于点。，如图2,先由角平分线的性质证明。=尸。，再证明R iAAPQ迎A A P C,得 4 Q=4 C=B C,设PC=x,则尸。=8 Q=x,由勾股定理得5P=0 x，进而证明P B=B E,构建一元一次方程即可求解；(3)延长CM到点尸，使用CM,连接力 尸，如图3,先证得 4 F=EC,ZMA F=ZME C,由(1)知：CE=CD,Z B CE=Z ACD,AF=C D,进而得Z C A F=Z C A E+Z M A F=Z C A E+Z M E C=1 8 0 -Z AC

38、E=9 0 -Z A C D=Z B C D,从而有 C 4&Z X 8 C。，得CF=BD,即可证明结论成立；(4)分 类 讨 论/从B F、CF的数量关系，当 点 E 在 线 段 的 上 方 且 在 线 段 垂 直 平 分 线 的 右 侧时，过点C作 CGLC/交 直 线”产于点G,如图4 所示，利用三角形全等即可得“尸=8尸+J5 c户；当点尸在线段4 8 的上方且在线段垂直平分线的左侧时，过点C作 CGLCF交直线8E于点G,如图5所示，利用三角全等得斯=8G+G尸=/厂+后CF；当点尸在线段4 8 的下方时，过点C 作 CGLCF 交直线8E于点G,如图6 所示，利用三角形全等得/尸

39、+8 尸=&C 凡【小 问 1详解】解：.在4BC 中，B C=AC=2,Z ACB=9 0 AB=y/BC2+AC2=722+22=2V 2，.。在/8 C 的边N8上，将 CO绕点C逆时针旋转9 0 至 CE的位置，CE=CD,A D C E=90=Z ACB,：.Z D C E-Z B CD=A A CB-Z B C D ,Z B CE=Z ACD,在BCE和/C D 中，BC=AC NBCE=ZACD,CE=CD:A B C E /X A C D,：.B E=AD,；D在A 4BC的边4 8 上，：.A D最大值等于力 8 为 2a，.8E的最大值为2近，故答案为：2&：【小问2 详解

40、】解：过点尸作于点。，如图2,图2：PQ1,AB,口 4。8=90,:/AQP=/BQP=90,在 中，BC=AC,NACB=90,APCUC,NBAC=NABC=45。,ZCAP+ZAPC=90fV ZBQP=9Q,N0 05=90N/6C=45=NABC,：.PQ=BQf：4E 平 分 NBAC,:,PQ=PC,NCAP=/BAE,在 Rt/APQ 和 RtdAPC 中，PQ=PC AP=AP:.RtAAPQQRtAAPC,：.AQ=AC=BC,设 PC=x,则 PQ=BQ=x,PQLAB,.BPPU+BC=瓜，由（1）得BCEmAACD,：.ZCBE=ZCAD=45f BE=AD=2,：

41、.NABE=/ABE+NCBE=450+45=90。,：.NBAE+/AEB=9。,ZCAP+ZAPC=9009 NCAP=NBAE,：.NAEB=NAPC=DBPE,PB=BE=2=Ox，：.CP=X=y/2，故答案为：y/2；【小问3 详解】解：延长CM到点凡 使我N=C W,连接4E 如图3,图 3ES为/的中点，：.AM=EM,在 尸 和 EM C 中，FM=CM ZAMF=NEMC,AM=EM：.丛AMF空丛EMC，：.AF=EC,NMAF=NMEC,：.ZCAF=ZCAE+ZMAF=ZCAE+Z.MEC由(1)知：CE=CD,NBCE=NACD,AF=CD,：.ZCAE+ZMEC-

42、1 8 0 0 -NACE=1 8 0 -(NACB+NBCE)=1 8 0 -(9 0 +ZACD)=9 0 -ZACD=NBCD,NCAF=/BCD,在。尸和 B C D中，CA=BC ZCAF=NBCDAF=CD:ACAF m/BCD,：.CF=BD,:FM=CM,：.CM=BD,【小问4 详解】解：AF=BF+垃CF或AF+BF=及CF或 血CF+AF=BF,理由如下:当 点 尸 在 线 段 的 上 方 且 在 线 段 4 8 垂直平分线的右侧时，过点C 作 CGLC尸交直线/产于点G,如图 4 所示，.由（1）得ABCE安AACD,：.NCBE=NCAD,：CGJ_CF,ZACB=9

43、0,：.ZACG+nGCB=JACB=90=rGCF=OBCG+DBCF,QZACG=JBCF,在ZMCG和2C尸中，NCBE=ACAD AC B C ,NACG=NBCF:.AACG%BCF,：.AG=BF,CG=CF,JCGLCF,GF=ylCG2+C F2=叵 C F，：.AF=AG+GF=BF+0 CF；当 点 尸 在 线 段 的 上 方 且 在 线 段 4 8 垂直平分线的左侧时，过点C 作 CGLCF交直线8E于点G,如图 5所示,cD/图5 .由（1）得BCEgAACD,：.NCBE=NCAD,JCGVCF,N/C8=90,Z CBE+ZGBC=ZCAD+ZE4C=S00,：.Z

44、ACG+GCB=UAC5=90=GCF=UACG+DACF,NGBC=NE4C,QZBCG=QACF,在ZUC尸和8C G 中，ZG BC =ZFA C AC=BC,NBCG=ZAC F：.B C G g A A C F ,：.BG=AF,CG=CF,.CG1.CF,GF=y/CG2+C F2=V2CF-：.BF=BG+GF=AF+7 2 CF；当 点 尸 在 线 段 的 下 方 时，过点C 作 CGLCF交直线8 E 于点G,如图6 所示,.由（1）得ABCEm AACD,；.NCBE=NC4D,；CG_LCF,ZACB=90,：.ZACF+口FCB=JACB=90=GCF=UBCG+3BCF,ZACF=UBCG,在/(?尸和4 B C G中，ZCBE=ACAD AC=BC,ZACF=NBCG：.ACFBCG ,：.AF=BG,CG=CF,：CGCF,-GF=yCG2+CF2=V 2 C F，72 CF=FG=BF+BG=4F+BF 即 AF+BF=72 CF；综上所述：AF=BF+V 2 C尸或/尸+8尸=72 CF或 也CF+AF=BF.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定及性质,角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.