十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题04导数及其应用（解析版）.pdf

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1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(北京卷)专题04导数及其应用.真题汇总，.1.【2021年北京14】已知函数f(x)=|lgx|Ax 2,给出下列四个结论：若4=0,则/(*)有两个零点；三人0,使得/(x)有一个零点；m/c0,使得/(久)有三个零点.以 上 正 确 结 论 得 序 号 是.【答案】对于，当=0时，由/(x)=|Igx|-2=0,可得x=击 或x=1 0 0,正确：对于，考查直线y=kx+2与曲线y=-lgx(0 x 1)相切于点P(t,-Igt),kt+2=-Igt t=-7-对函数y=-lg x求导得y=-4，由题意可得 ,_ i,解得 i黑 ,汗

2、=一 标 k=-ge所以，存在k=一 詈Ige 0,使得 为 只有一个零点，正确；对于，当直线y=kx+2过点(1,0)时，+2=0,解得/=一2,所以，当一詈Ige 文 一 2时，直线y=kx+2与曲线y=lgx(0 x 1)有两个交点，若函数f(x)有三个零点，则直线y=kx+2与曲线y=-lgx(0 x 1)有一个交点，所以，一 丁 ,此不等式无解,k+2 0因此，不存在上 1)相切于点P(t,Igt),fct+2=Igt t=lOOe对函数y=lgx求导得，=焉，由题意可得 k =_L_ 解得/=原，-tlnlO 100e所以，当0 比 0故答案为：(0,+8)3.【2 0 1 9年北

3、京理科1 3】设函数/(x)=ex+ae x(0为常数).若/(x)为奇函数，则a=；若/(x)是R上的增函数，则a的取值范围是.【答案】解：根据题意，函数/(x)=/+a e ,若/(x)为奇函数，则/(-x)=-/(x),即 C ex+aex),变形可得 a=-l,函数f(x)=a 若a=0,则/(x)的最大值为;若f(x)无最大值，则实数a的 取 值 范 围 是.*Y*3-q Y n一 ,-2 x,x0则/(x)=3x2 3,x 0当x 0,此时函数为增函数,当x -1 时，f(x)0,此时函数为减函数,故当x=-1 时，f(x)的最大值为2；r(3 x2 3,x a令/(x)=0,则

4、x=l,(a -l(Q 工一1 I若/(x)无最大值，则(_ 2。3 _ 3Q，或 卜 2 a 口3 _ 3 小(-2 a 2解得：aE (-8,-1).故答案为：2,(-8,-1)5.1 2 0 2 2 年北京卷2 0】己知函数f(%)=e B n(l +%).(1)求曲线y =/(%)在点(0 厅(0)处的切线方程；(2)设g(x)=/(%),讨论函数g(x)在 0,+8)上的单调性；(3)证明:对任意的s 5W(0,+8),有f(s +t)f(s)+f(t).【答案】(l)y =%(2)g(%)在。+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】(1)解：因为7(%)=exl n(l +x),

5、所以/(0)=0,即切点坐标为(0,0),又/7 x)=ex(l n(l +x)+左)，.切线斜率k =/(0)=1切线方程为：y =x(2)解：因为g(x)=/(X)=ex(l n(l +x)+上)，所以 g(x)=ex(l n(l +X)+Y-2),2 1令“/i、(x)/=l n(、l +x)+-i-+-x-(i-+-x)2则九(x)=7TZ(1+x)2 +(1+x)3x2+l(1+4 0,九 0)在 0,+8)上单调递增,A/i(x)h(0)=1 0 g(%)0 在 0,+8)上恒成立，,.g(%)在 0,+8)上单调递增.(3)解：原不等式等价于f(s+。一 f(s)/(O-/(0)

6、,令m(x)=f(x +t)-/(x)，(x,t 0),即证？n(%)m(0),m(x)=/(%+t)/(%)=ex+cln(l+%+t)exln(l+x),m(x)=ex+cln(l+%+)+:+士 exln(l 4-%)七=g(x+C)g(x)，由(2)知g(x)=/(x)=ex(ln(l+%)+士)在 0,+8)上单调递增，g(%+t)g(x),m(x)0在(0,+8)上单调递增，又因为x,t 0,/.7n(x)7 n(0),所以命题得证.6.2021年北京19已知函数f(x)=品.(1)若a=O,求y=/(x)在(1 J(l)处切线方程；(2)若函数/(%)在尤=-1 处取得极值，求人

7、均的单调区间，以及最大值和最小值.【答案】(1)4x+y-5 =0；(2)函数/(尤)的增区间为(-8,-1)、(4,+8),单调递减区间为(一 1,4),最大值为1，最小值为-4 0；当*制，/(x)=2+1 2,令y=0,得x=t所以5 0)=(/+12).誓,不妨设t 0(t 0,得t 2,由S(t)0,得0 t 6,g(4)=0,/.-6 g(x)WO,Ax-6&f(x)x；(1 1 1)由(I I )可得，F(x)=|/(x)-(x+a)|=f(x)-x-a=|g(X)I 在-2,4 ,-6 Wg(x)0,令 f=g(x),h(r)=t-a,则问题转化为当，q-6,0 时，h(/)的

8、最大值M(a)的问题了，V此 时-”2 3,当“=-3时，M()取得最小值3；当 心-3 时，M(a)=h(-6)=|-6 -a=6+a,；6+a2 3,.,.A/(a)=6+。，也是a=-3时，M(a)最小为3.综上，当M(a)取最小值时a的值为-3.9.【2 0 1 8 年北京理科 1 8】设函数/(x)一(4+1)x+4 a+3 el(I )若曲线y=T(x)在 点(1,(I)处的切线与x轴平行，求。；(H)若/G)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.【答案】解：(1)函数/(x)=卬2-(4 a+l)x+4 a+3 /的导数为f(x)=ax2-(2 a+l)x+2 e由题意可得曲线y

9、=/(x)在 点(1,/(I)处的切线斜率为0,可 得(a-2 a-1+2)e=0,且/(1)=3 e关0,解得a=l；(I I )/(x)的导数为/(x)ax1-(2 a+l)x+2ex (x-2)(ax-1)若 a=0 则 x 0,/(x)递增；x 2,/(x)0,且 a=4,则/(x)=去(x-2)2ev 0,f(x)递增，无极值；若。之，则 一 2,f(x)在(一，2)递减；在(2,+8),(-8,-)递增，可得/(x)在x=2处取得极小值；若 0 2,/(x)在(2,-)递减；在(!，+8),(-co,2)递增，z a a a可得/(x)在x=2处取得极大值，不符题意:若 a V O

10、,则 工 ),(-,-)递减，a a a可得/(x)在x=2 处取得极大值，不符题意.1练上可得，。的范围是(万，+).10.【2017年北京理科19】已知函数/(x)=evcosx-x.(1)求曲线了=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；7 1(2)求函数/(x)在区间0,万 上的最大值和最小值.【答案】解：(1)函数/(X)=/cosx-x 的导数为/(x)(CO&X-sinx)-1,可得曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线斜率为攵=e (cosO-sinO)-1=0,切 点 为(0,e cosO-0),即 为(0,1),曲线V=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程为y=

11、l；(2)函数/(X)=/cosx-A的导数为，(x)=e(cosx-sinx)-1,令 g(x)=/(cosx-sinx)-1,则 g(x)的导数为 g (x)=ec(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2esinx,7 1当 xW0,-,可得 g (x)=-2/气沁。，7 1即有g(x)在0,寸递减，可得g(x)W g(0)=0,7 1则y(x)在0,审递减，7 T即有函数/(x)在区间0,习上的最大值为/=e cosO-0=1；7 T n n it 乃最小值为 f ()=e2cos =11.【2016年北京理科18 设函数/(x)xeax+b x,曲线y=/(x)在 点(2,/(

12、2)处的切线方程为卜=(e-1)x+4,(1 )求 a,b 的值；(H)求/(x)的单调区间.【答案】解：(I).y=f(x)在 点(2,/(2)处的切线方程为产=(e-1)x+4,，当 x=2 时，y=2(e-1)+4=2e+2,即/(2)=2e+2,同时/(2)=e-1,V/(x)xe0 x+bx,：.f (x)eax-xea x+b,=2efl-2+2b=2e+2V(2)=e -2ea-2+b=e-l 即 a2,be；(II)：a=2,b=e；(x)x x+ex,.f(x)=e2 x-xe2 x+e=(I-x)e2 x+e=(1 -x+ev)e2 x,1 -x+/r 与(x)同号，令 g

13、(x)=1-x+ex i,则 g1(x)=-1+/I,由g (x)0,得 x l,此时g(x)为增函数，则当x=l时，g(x)取得极小值也是最小值g(I)=1,则 g(x)g=1 0,故/(x)0,即/(x)的单调区间是(-8,+8),无递减区间.1+x1 2.【2015年北京理科18】已知函数/(x)=力 心，(I)求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；(H)求证，当 xe(0,1)时，f (x)2(x+当；(I I I)设实数上使得/(x)k(x+1)对 比(0,1)恒成立，求上的最大值.【答案】解答：(I)因为/(x)=ln(1+x)-/(I-x)所以小)=击+占，/(。)

14、=2又因为/(0)=0,所以曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程为y=2x.(2)证明：令 g(x)=f 3-2 (x+y),则g，(x)=f(x)-2 (1+x2)=1，因为g (x)0 (0 x g(0)=0,(0,1),即当 xe(0,1)时，/(x)2 (x+y).(3)由(2)知，当上 k(x+1)对 疣(0,I)恒成立.当%2 时，令/?(X)=f(X)-f c(X +y),则h(x)=/(x)-k(1+x2)=f cx4-(f c-2),J 1-x2所以当O V x v 1早 时，ff(x)0,因此(x)在 区 间(0,1早)上 单 调 递 减.当 O V x v J

15、毕 时，h(x)h(0)=0,即/(x)2时，/(x)k(x+1)并 非 对 尤(0,1)恒成立.综上所知，人的最大值为2.1 3.【2 0 1 3年北京理科1 8】设/为曲线C：夕=卓 在 点(1,0)处的切线.(I )求/的方程；(II)证明：除 切 点(1,0)之外，曲线C在直线/的下方.【答案】解：(I )=竽.,1 lnx-y =.的斜率*=y k=i=i.的方程为y=x-1证明：(II)令/(x)=x(x-l)-I nx,(x 0)曲线C在直线/的下方，即/(x)=x(x-1)-lnxOf则/(x)=2x 7-、=计1髻 zDV(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增

16、，又/=0I nxAx6 (0,1)时，f(x)0,即-o,即 x-1x即除切点(1,0)之外，曲线C在直线/的下方.)模拟好题01,已知函数/(%)=：In x k,/c e R(l)i t论函数f (x)在区间(l,e)内的单调性；(2)若函数/(x)在区间(l,e)内无零点，求k的取值范围.【答案】(1)见解析(2)k G (-8,士 U I -1,+o o)【解析】(l)v /(x)=-In x-f c,k&R,x e(l,e)._ k 1 _ x+k(I)当一 k x-1 0 /(%)0，f(x)在(l,e)单调递减(I I )当一 k 2 e,即 kW e 时，x+k x e 0

17、,在(l,e)单调递增(III)当 即一e k 0 ,/(x)单调递增;当-kx e 时，/(x)0,/(x)单调递减综上所述，(I )当kN-1 时，K)在(l,e)单调递减(I I )当kW e 时，f(x)在(l,e)单调递增(III)当时，/(x)在(1,-k)单调递增，在(-k,e)单调递减(2)由(1)知：当上2-1 时，/(x)/(I)=0即x)/(I)=0即/(x)0,/(乃在(1 范)无零点当一 e k /(I)=0,x e(1,-k),f(x)/(e)=-l f c,xG(f c,e)二只需 f(e)=1-l-k0 即 uji j ,1 e-1 千工:,-e k 0,/(%

18、)为/(%)的导函数.(1)当m=1,求f(x)在点(1 J(1)处的切线方程；(2)设函数出对=乌，且/1(功日恒成立.ex L求n i的取值范围;设函数f(x)的零点为%0，(%)的极小值点为久 1，求证：%0 1【答案】(l)y=2e x-e(2)|,+8);详见解析【解析】(l)m=1 时，/(x)=ex(l+I n%),/(x)=e*。+I n x+=2e,/(l)=e,所以函数在x=1 处的切线方程y-e =2e(x 1),即y=2e x e.(2)由题设知，/(%)=+：+mln x (x 0),/i(x)=1+1 +min x,f t (%)=区？-)(%0),由/!(%)0,

19、得 1,所以函数h(%)在区间(1,+8)上是增函数;由得0 Vx 0),则H-(X)=一券+卷+%=m(/+2)0,X4 X-X X 故函数H(x)在区间(0,+8)上单调递增，由(1)知，m 2|,所以H(l)=m +1 0,=1-mn2 1-ln 2V 2 0,故存在%2 6 Q,l).使得“(X 2)=0,所以，当 0 x V%2 时，H(x)V 0,g(x)%2 时，H(x)0,g(x)0,函数g(x)单调递增.所以小是函数g(x)的极小值点.因此X 2=%1，即打e Q,1).由可知，当 徵=衬，h(x)即 i+J.+in xg，整理得ln x+1 2 1,22 x 2 2 x所以

20、mln%4-m.因此g(x)N gG i)=e*(1+mln xj eX 1(l+m)0,即f (%)0.所以函数/(%)在区间(0,+8)上单调递增.由于”(i)=0,即 1+詈-a +mln%i=0,即 1+mlnx1=一所以/(%i)=ex,(l+mln X i)=meX 1 上尹 巧.3.设函数f(%)=ax2 (4a+l)x+4a+3 ex.(1)若曲线y=/(%)在点处的切线与入轴平行，求a；(2)若/(%)在 =2 处取得极大值，求Q的取值范围.【答案】(1)1(-8,)【解析】(l)f(x)=a/(4a+l)x+4a+3 e*定义域为 R,/(x)=ax2 (2a+l)x+2e

21、x.由题设知 1)=。一(2。+1)+2卜1=0,即(1-四=0,解得：所 1 此时人l)=3e#0.所以a的值为1由得/1(x)=ax2-(2a+l)x+2 ex=(ax-l)(x-2)ex.若a g时，则当x e&2)时,f (x)0,所以/(%)在(：,2)上单减，在(2,+8)上单增，所以/(x)在 x=2处取得极小值，不合题意，舍去；若。=决寸，则/(无)2 0 恒成立，所以f(x)在 R 上单增，所以八%)在尸2 处不能取得极值，不合题意，舍去；若 0 a 我 寸，则当x 2 弓 时/(%)0,所以/(x)在(一 8,2)上单增，在(2*)上单减，所以人尤)在尸2 处取得极大值，符

22、合题意；若a=0 时，则当x e (2,+8)时/(%)0,所以/(x)在(-8,2)上单增，在(2,+8)上单减，所以/(乃在x=2处取得极大值，符合题意；若a 0 时，则当xe(2,+8)时/(幻 0,所以/(x)在6,2)上单减，在(2,+8)上单增，所以/()在 x=2处取得极大值，符合题意.综上所述：a 0,则%(：,+8),令f (%)0,则xe(0,J,所以/(%)在(0+)上单调递减，在(：,+8)上单调递增.当 时，/(%)取得极小值且为/&)=口。：+2=-3+2,无极大值.(2)/(%)=xln x 4-ax+2 二 丝=|4-I n x对任意的 6 1,e 2 恒成立，

23、令g(%)=：+ln%,/(%)=一 1=0,所以=2,则9(%)在口,2)上单调递减,在(2,e 4上单调递增，所以g=2,5(e2)=1+2,所以g(x)max=9 )=+2,则一a N 3+2,则Q W一捻一 2.实数的取值范围为：卜 1 一 2,+8).5.设函数/(x)=ae*-x-1,a 6 /?.(1)当a=1 时，求/(0在点(0/(0)处的切线方程；(2)当X6R 时，“X)2 0 恒成立，求。的取值范围；(3)求证：当x G (0,+8)时，e 2.【答案】(l)y=0(2)a 1(3)证明见解析【解析】(l)/(x)=ex-x -1,/(0)=e 0-0-1=0,即切线(

24、0,0)./(x)=ex 1 k=/(0)=e 0 1=0 则切线方程为：y=0.(2)x 6 /?,ae -x-1 N 0 恒成立等价于x w R,Q Z 警恒成立.设g(x)=号,g O=3，x E(-o o,0),g(x)0,g(%)为增函数,%G (0,+o o),gx)以等价于久 6 (0,4-o o),ex-xe -1 0-设/1(%)=已 xe z 1%(0,+8),h(x)=e 2(e 2 1x 1,设k(x)=e2 1,%G (0,+o o),(x)=1 e 2-1 0,所以k(x)在(0,+8)为增函数,即k(x)k(0)=0,所以h(x)=e 2(鼠g%1)0,即九(x)

25、在(0,+8)为增函数,即九(%)h(0)=0,即证：e lX6.已知函数/(x)=.(1)当a=1 时，求函数人支)在(1)(1)处的切线方程；(2)求函数八久)的单调区间；1(3)若对任意*1,+8),都有f(x)而成立，求实数a的取值范围.【答案】(l)e x-2y+e =0：(2)答案见解析；。看【解析】由题设，/(吗=爸 且%0,则，(功=二(篇)，所以/(l)=e,/(I)=f,故/(x)在 处 的 切 线 方 程 为 e x-2y+e =0.(2)由/7 x)=6 (安)且%0,当Q o时/（X）0 时，在(0,-上f (x)0,八光)递增，综 上,a 0 时/(x)在(0,套)

26、上递减，信,+8)上递增.(3)由(2),a SO时八久)递减且x e 口,+8)值域为(0,e。)，显然存在a 0 时,/的极小值为/(=V 2ae,当会 1,即 0 a 仁恒成立，满足题设；综上，a的取值范围为a a.7.已知函数/(x)=(x2-ax)nx+x(a e /?,a 0).(1)若 1 是函数f(x)的极值点，求a的值；(2)若 0 0),则 九 6)=加+1-=则 尸，令m(x)=x l nx +x -Q,则=Inx 4-2,令?n(%)=0,解得=e-2,而7n(3-2)=一 e-2 _ a o,当 0%V e-2 时，m(x)e-2时，m(x)0,m(x)单调递增，当趋

27、向于0时，m(x)趋向于 a,即m(x)0,m b 2)=-e-2-Q 0,故 存 在e(e-2,i)使得小(工)=x0|nx0 4-x0-a =0,B Ph(x)=0,故当O x%o时，hx)%o 时，f t(x)0,九(%)单调递增,故九(x)m m =九(&)=(%o a)nxQ+1=1-xo(l nxo)2 O(%o (。一 2,1),故h O)0,MX)即/(%)无零点；8.已知函数f(%)=a l nx +(a G R)若a=2,求曲线y=/(x)在点(1/(1)处的切线方程；(2)求/(%)的极值和单调区间；(3)若/(%)在“向上不是单调函数，且/(%)W e在 1向上恒成立，

28、求实数Q的取值范围.【答案】(l)y=x答案见解析 6,1)【解析】(1)当a =2 时,函数f(x)=21nx+：,/(x)=|-所以/(I)=1,/(l)=1.所以曲线y=/(%)在 点 处 的 切 线 方 程 y=x.(2)函数f(x)定义域x 6 (0,+o o).求导得/6)=-/=营.当aW O 时，因为x 6(0,+8),所以1(x)0时，x 变化时，f (x),/(x)变化如卜表：X1(0,-)a1a1(a)+8)/(X)0+/(X)极小值7所以/(x)的单调递减区间是(0 2)，单调递增区间是(L+8).此时函数f(x)的极小值是/*)=a-a l na,无极大值.(3)因为

29、/(X)在 l,e 不是单调函数，由 第(2)可知此时a 0,1L-G l,e ,aX11%)1a1(1,e)aefM0+/(l)极小值7/(e)又因为/(x)e在 l,e 上恒成立，只需p -e f a +2 时,求证：/(%)有唯一的极值点1；记 的 零 点 为 比，是否存在a 使 得?W e?说明理由.【答案】(l)a =1.(2)证明见解析，不存在，详细见解析.【解析】因为/(%)=若，工0,所以/6)=耳探，因为/(1)=%所以a=l.(2)/(x)的定义域是(0,+8),d,1,1+Inx a一=(产，令f(x)=0“则 1+：-Inx a =0.设9(K)=1+-Inx-Q,因为

30、y=-Inx 在(0,+8)上单调递减，所以g(x)在(0,+8)上单调递减.因为。(厂0)=1+所 0,9(1)=2-。0,所以(%)在(0,+8)上有唯一的零点，|所以f (%)=0有(0,+8)有唯一解，不妨设为1，/G (e-M).f1(%)与f (%)的情况如下,X(0,%D(如+8)f(x)+0-/(X)增极大值减所以/(%)有唯一的极值点与.由题意，l nx0=Q,则&=ea,若存在a,使之工e 2,则%e2-a 1,所以2一。xx 0,则需g(e?-。)=e。-2 一 i3 0,即aW 2,与己知矛盾.所以，不存在Q 2,使得己We?10.已知函数/(X)=工 +手+a l n

31、x(a e R).(1)当a =1 时，求曲线y=在点(1)(1)处的切线方程；(2)当x G e,+8)时，曲线y=八乃在%轴的上方，求实数a的取值范围.【答案】(l)y=3；(2)(-y,+8).【解析】(1)当。=1 时，/(%)=x 4-+Inx,%0,/./(X)=l-+i,/=3/=0，.曲线y=f(x)在点(1/(1)处的切线方程为y=3；(2)函数f(x)=%+-+a l nx(a R),当Q 0 时:由 E e,+8)有/(%)0,故曲线y=/(%)在工轴的上方，当。0 时，f(x)=_%/=(x-a)(：+2a),由f (X)=0 可得x=2a或x=a(舍去)，.当x e

32、(0,-2a)时，f(x)0,/(x)单调递增,当一 2a 4 e 即一;W a /(e)Oe7-8+即曲线y=/(x)在久轴的上方,+a=当一2a e 即Q V-时，f(%)在e,-2a)上单调递减，在(一 2a,+8)上单调递增,则/(%)/(2a)=3a+aln(-2a),由x G e,+oo)H t,曲线y=/(%)在x轴的上方，.，3Q+czln(2cz)0,解得Q J,所以-丈 a 0.所以/(%)在(0,+8)单调递增，无最小值.当Q0 时，令f(x)v O,得 0%a.所以/(%)在(0,a)单调递减，在(a,+8)单调递增，所以/(%)最小值为/(a)=14-Ina.所以 1

33、+Ina =2,即a =e.(3)函数g(x)的定义域为(0 )U (t,+o o),-(x-t)-(lnx-lnt)l+lnt-(lnx+)g(X)=a-)2 匕由(2)知，当t 0 时，若xK a,则 l nx +1+Int.Xr-r-K 、1-inx+)nt所以g (%)=-In(%+l),x e (0,).【答案】(1)1;(2)证明见解析.【解析】(1)当k =2 时,/(%)=2si nx +2%,f(x)=2c o sx +2 0.当且仅当 =(2k -1)TT,k e Z 时取=,所以/(x)在R上单调递增，而/(0)=0,即0是f(x)的唯一零点，所以函数f(x)零点的个数是

34、1.(2)x e (0,令g(x)=2x si nx -l n(x +1),则g(x)=2-c o sx -因 c o sx 1,-0.因此，函数g(x)在(0片)上单调递增,V x e(O),g(x)g(0)=0,所以当x e(0,1)时,-si nx +2x l n(x +1)成立.13.已知函数/(x)=l nx +%a R.(1)当a =1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设函数g(x)=等，若g(x)在 l,e 2上存在极值，求的取值范围.【答案】(1)减区间为(0,1)，增区间为(1,+8).(2)他)【解析】(1)解：当a =l时，函数/(x)=Inx+：,其定义域为(0,

35、+8),可得/(X)=-4=彳，当x e (0,1)时，/(%)0,/(X)单调递增，所以函数/(%)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+0 0).(2)解：由g(x)=7 =V+?x e Ie?，r 4 H,z 、1 Inx ,1 2a 2x-xnx 2a可得 g W=+=，设h(x)=2x-xlnx 2 a,则九(x)=2-(1+Inx)=1 Inx,令h (%)=Or 即 1 Inx =0,解得=e,当 W l,e)时，/i(x)0；当x(e,6 2时，九(不)E 2),若g(x)在 上存在极值，则满足居22或 黑2),，解得0a,综上可得，当。a /（%1）+/（%2）（

36、3）3 或一 1【解析】(1)/(x)=ex(x a)2+ex 2(x a)=ex x2+(2-2a)x+a2-2a,由f (-1)=e-1 l-(2-2d)+a2 2a=0,解得Q =1,当Q=1 时，/(x)=ex(x-l)2,f(-l)=4e-1,符合题意；当Q=-l 时，/(%)=e*(x+1)2,/(-1)=0,此时切线与x 轴重合，不符合题意;所以Q =1;(2)由(1)知：/(%)=ex x2+(2 2a)x 4-a2 2a=ex(x a)x (a 2)令f (x)=0 可得=Q或Q 2,则/1(%)在(-8,a-2),(Q,+8)单增，在(a-2,a)上单减，则Q -2,a是f

37、 (%)的两个极值点，不妨设%=0-2,%2=Q,则/(弩)=/(宁)=f(a-1)=e&T,“x D+fg)f(a-2)+f(a)2 一 2 一 2又e a-1 =e -ea-2 2ea2,即/(七之)孙)；力)；(3)由(2)知:f(x)在(-8,a-2),(a,+8)单增，在(a 2,a)上单减.当a 2 3 时，a-2 l,则f(x)在-1,1 上单增，则f Q O m ax=/(D =e(l a)2=4 e,解得a=3 或一 1,故 a=3；当 l a 3 时，-1 a-2 1,则/(久)在-1,a 2)上单增，在(a-2,1 上单减，则/(x)m ax=f(a-2)=4e a-2=

38、4 e,解得a=3,不满足 l a 3,不合题意；当a=l 时，a-2=-l,则/(x)在-1,1 上单减，则/(x)m ax=/(-1)=e T(-1 -a)2=:彳 4e,不合题意；当一l a l 时，a-2 ”1),则/(x)m ax=/(-1)=e-1 -a)2=4e,解得 a=2e -1 或-2e -1,不满足-1 a /(一 1)，则/(X)m ax=/(I)=e(l-a/=4 e,解得a=3 或1,不满足l a l,不合题意；当a W-l 时，则x)在-1,1 上单增，则/(幻m ax=/=e(l-a)2=4 e,解得a=3 或一 1,故a=-l；综上：a=3 或一 1.1 5.

39、已知函数/(x)=ln等+%(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(一 l,f(1)处的切线方程;(2)当a=-T 时，求函数f(x)的单调区间；(3)当x T 恒成立，求a的取值范围.答案(l)y=-1 x -1：(2)f(x)的单增区间为(1,0),(0，)，单减区间为(一8,-1)，G，1)；a【解析】(1)/(乃=9.(一)一2 =一 ，当 a=0 时，f (x)=W，/(-1)=-p /(x)=In f./(-1)=0,故曲线y=f(x)在点(一 1,f(1)处的切线方程为y=-1(x+l),即y=-(2)易得定义域为(一o o,0)u(0,1),当a=-(时，尸。0 =2+a 二

40、与怒2令/(x)=0,%=3或 1,当x -1 或T X 1 时，/1(X)0,/(x)单调递减；当-1 x 0 或 0 x 0,/(x)单调递增;故f(x)的单增区间为(一1,0),(0,1),单减区间为(8,1),&1)；(3)V(-1)=-a p 即a 4-针是“当x 0时，f(x)2 孑亘成立”的必要条件.当 aW-g,x g(x)所以a的取值范围是a 0).(1)若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(l,c)处具有公共切线，求实数a,b 的值；(2)若函数g(%)无零点，求实数a的取值范围；(3)当a=b 时，函数F(x)=/(%)+g(x)在 =1处取得极小值，求实数Q

41、 的取值范围.【答案】(1)Q =e,b =e(2)(一 8,e)(3)(一 8,e【解析】因为函数/(%)=anx-b x+。，g(%)=三一 a(%0),所以八x)=/b，g (x)=/2因为曲线y=X)与曲线y=g(x)在它们的交点(l,c)处具有公共切线，所以/(1)=9(i)，/(i)=g(D则Q b =0,e Q=0,解得a=e,b=e.(2)由题意,g(%)=?-Q =三 牝设/i(x)=ex ax(x 0),h (x)=ex-a.当Q W 0 时，h (x)0,h(%)在(0,+8)上单调递增,且九(%)h(0)=1,所以9(%)0,所以g(x)在(0,+8)上无零点.当Q 0

42、时，令九(%)=眇-Q=0,得x=Ina.当O VQWI,即。a WO时,h(x)0,h(x)在(0,+8)上单调递增，且九 h(0)=1,所以g(%)0,所以g(%)在(0,+8)上无零点.当Q 1 时，Ina 0,h(x),八,(%)符号变化如下，X(0,Ina)Ina(Ina,+o o)（X）0十九（X）极小值/所以九(x)m in=九(Ina)=a(l-Ina).当 1 Ina 0,即 l Va 0,所以g(x)0,所以g(x)在(0,+8)上无零点.当 1 一】na W 0,即Q N e 时，由 九(0)=1 0,h(lna)1,当 1 0,所以当Q W e 时，h(x)=ex-ax

43、 0在(0,+8)上恒成立.此时，当 0 x Vl 时，F (x)1时，F (x)0,F(%)单调递增.所以尸(X)在X =1处取得极小值.当a e 时，Ina 1,当 1 x 0,/i(x)h(l)=e a 0,所以尸(x)e时，不合题意.综上，满足条件的a的取值范围为(-8,e .1 7.已知函数/0)=等.(1)当a=1时，求/(x)的单调区间和极值；(2)当a 2 1 时,求 证：/(x)ax2+(a-l)x+1 恒成立.【答案】(l)/(x)的单调递增区间为(一8,0),单调递减区间为(0,+8),在x=0处取得极大值，旦极大值为1；(2)证明见解析；(3)答案不唯一，见解析.【解析

44、】当a=l 时，f(x)=燮，财 18=广篱科=予令/(%)=0,即=0,所以当X 0时、/0,/(%)单调递增；当 0时，/,(%)0,/(%)单调递减；因此/1(X)在x=0处取得极大值，/(0)=等=1,所以/(X)的单调递增区间为(-8,0),单调递减区间为(0,+8),在x=0处取得极大值，且极大值为1；(2)要证f(x)(a-l)x+l,即 证 等-(a-l)x-l 0；当%G (0,4-8)时，m(x)0；当 x 6(0,4-8)时,5,(x)ax2 4-(a-l)x 4-1,即 证 2 Q/+(a l)x+1,也即是a%4-1 ax2ex+(a l)xex+ex,即证+ex-1

45、)0时，G O)0,即G(x)单调递增；当 V 0时，G (x)0,令H(x)=x(xex+e*1)=x2ex 4-xex-x则H (x)=(%2+3%+l)ex 1令M(x)=(%2+3%+l)ex 1,则M(%)=(x2+5%+4)ex,M(x)=0,则勺=-4,x2=1所以x V-4和时，M(x)0,则M(%)单调递增，一4工 一1时，M M 0,则M(%)单调递减，且 M(-4)=5 e-4-l 0,M(-1)=-e-1-l 0,M(0)=e-l=0,因此 0 时，M 3)VO,即“(%)=(/+3x+l)e X-l 0 时,M(x)0,即 (%)=(%2+3x+l)ex 1 0,所以

46、“(%)单调递增,所以“(%)m in=W(o)=0,g|J%(xex+ex-1)0因此当Q W 0 时，f(%)ax2+(Q l)x+1 恒成立.1 8.已知/(无)=ksinx 4-2x.(1)当k=2时，判断函数/(%)零点的个数；(2)求证：-s in%+2%ln(x+1)(%(呜)；(3)若/(%)ln(x+1)在%G(0弓)恒成立，求的最小值.【答案】(1)一个零点(2)证明见解析(3)-1【解析】(1)当k=2 时,/(%)=2c o s x+2 0,/(x)=2s inx+2%在 R 上单调递增,/(0)=O,f(x)只有一个零点=0；(2)设g(x)=2x -s i n%-l

47、 n(x +1),当E(O,g)时，g(%)=2-c o s%-士 0,所以g(x)在X (0弓)上单调递增,所以g(%)g(0)=0,所以 2%-s i n x -l n(x +1)0,-s i n x +2 x l n(x +1).(3)解法一：当 kN-1 时，由(2)得/(X)之 一 s i n%+2x l n(x +1),恒成立.当k h(x)=一 f c s i n x +，二 型 0./1(%)在刀(0 5)上单增，/i(O)=/c+l 。，由零点存在性定理，存在X。使得九(&)=0,所以九(%)在(0,沏)上递减，/i(x0)/i(x)=2+kcosx 十.当时，/i(x)=/

48、ccosx+2-0,九(%)在(O.)单增，/i(x)/i(0)=0,/(x)ln(%+1)在x(0片)恒成立.当k ft(%)=2+kcosx-=h(x)=-ksinx+(二)詈 0.h(x)递增，/i(0)=/c+l 01由零点存在性定理，存在与使得九(3)=0，所以人(%)在(0,%0)上递减，h(x0)h(0)=0,不等式不恒成立，所以的最小值为一1.1 9.设函数/(%)=%2 4-mln(x+l)(m E/?).(1)若 m=-1,求曲线/(%)在点(0/(0)处的切线方程；当 G(1,+8)时，求证：f(x)X3.(2)若函数f(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数m的取值

49、范围.【答案】(1)x+y=0；证明见解；(T，。).【解析】(I)解：当m=-l 时，/(x)=x2-ln(x+1),可得/1(x)=2x-击=,则/()=-1,/(0)=0,可得曲线/Xx)在点(0)(0)处的切线方程丫一0=-1-(x-0),即x+y=0.令/i(x)=/(%)x3=x3+x2 ln(x+1),则 八(X)=-3x2+2 x-=-3 x2+(x-l)2,当 G(1,+o o),可得力(%)o,九(%)在 e(1,+8)单调递减，又因为九(1)=ln2 0,所以h(x)0,即/m(%4-1)x3,即/(x)即当%(1,+8)时，/(%)0，即f(x)0,f(x)在区间(0,

50、1)上单调递增，因为/(0)=0,所以f(x)/(O)=0,所以函数/(x)在区间(0,1)上没有零点，不符合题意；当m0时，函数g(x)=2/+2x +?n 的图象开口向上，且对称轴为由 g(l)=2+2+m 0,解得 m -4,当?n S-4时，g(x)0在区间(0,1)上恒成立，即尸(x)0,f(x)在区间(0,1)上单调递减，因为外0)=0,所以f(x)f(O)=O,所以函数f(x)在区间(0,1)匕殳有零点，不符合题意；综上可得一4 m 0,设出 6(0,1)使得g(x(j)=0,当x e(O,x(j)时，g(x)0,/,(X)0,/(x)0,f(x)单调递增,因为/(0)=0,要使