均值不等式基础方法15类总结2022-2023学年高一数学题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）.pdf

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1、专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型.2【题型二】添加常数构造“对勾型”.3【题型三】“和定求积”型.4【题型四】“积定求和”型.6【题型五】单元(单变量)分离常数型.6【题型六】“常数”因子法：.8【题型七】“单分母”构造因子法.9【题型八】“双分母”构造法.1 1【题型九】有和有积无常数型.1 3【题型十】有和有积有常数型：求“积”型.1 4【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型.1 5【题型十二】多元分离型.1 6【题型十三】反解消元型.1 8【题型十四】换元型.1 9【题型十五】较简单的三元均值.2 1培优第一阶基础过关练.2 3培优第二阶能力提升

2、练.2 7培优第三阶培优拔尖练.3 1知识点综述：1 .基本不等式：a2+h2 2 ah(a,/G R)；2 .常用不等式：皇;(1)基本不等式成立的条件：a 0,b0；（2）等号成立的条件：当 且 仅 当a=b.简 称 为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可.3.基本不等式的变形：a+b 2 2 a,常用于求和的最小值；代号2,常用于求积的最大值;4.重要不等式链：l 2 2 Y a-vb【题型一】对勾型【典例分析】（2 0 2 1 江苏高一专题练 习）不 等 式（x-2 y）+厂 城 成 立 的 前 提 条 件 为（）x-2 yA.x2 y B.x2 y C.x2 y D.x 0,

3、即x 2 y.故选：B.【提分秘 籍】基本规律1 bt +-a t +对 勾 型：t ,t容易出问题的地方，在 于 能 否“取 等”，如2sin+,其中。锐 角（第五章会学习至U）1 sin。VX2+5+-7 2 .V x2+5【变 式 训 练】1.（2 0 2 2.全国.高一专题练 习）若x 0,y 0,则2 x+-+y +1的 最 小 值 是（）A.3亚B.4亚C.4D.2【答案】A【分析】利用基本不等式可求出2出和W的最小值，相加可得出结果.【详解】由基本不等式得2 X+L +V +；1-x 2y 2 2 x-+2 =20+0=3 0,当且仅当x考一邛时等号成立,因此，2旧+?的最小值

4、为 汨故选A.2.（2 0 2 2.河南驻马店.高一期末）已知a 0,则当94+，取得最小值时，a的 值 为（）aA.B.C.D.39 6 3【答案】C【/析】利用基本不等式求最值即可.【详解】9a+2 2 2囱=6,当且仅当9a =2，即a =g时，等号成立，故选：Ca a 3【题型二】添加常数构造“对勾型”【典例分析】1 c（2 0 2 2吉林延边高一期末）已知x 2,则函数旷=尤+而二否-2的最小值是（）A.2 7 2 B.2 a-2 C.2 D.应 答案D【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件.【详解】由题设，%-2 0,A y =（x-2）+1 2 （x-2）-1=

5、/2,当且仅当 =2 +农 时等号成立，2（尤 2）2（x-2）2二函数最小值为及.故选：D.【提分秘籍】基本规律 c 1 c,对于形如 cx+d+-（a x+b）+-+d a x +b,则把cx+d转化为分母的线性关系：。a x +b a可消去。不必记忆，直接根据结构转化【变式训练】1.（2 0 2 1.黑龙江牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）若/（幻=+工。2）在=处x-2取得最小值，则=（）7A.1 B.3 C.-D.42【答案】B【分析】结合基本不等式求得正确答案.【详解】依题意入 一2 0,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _x）=x-2 +2 2 2/x-2）.*+2 =4,当且

6、仅当x-2 =,x =3时等号成立.x-2故选：B2.（2 0 2 2全国高一课时练习）若实数x l,则2 x +!的最小值为（）X-1 ,A.及+1 B.2 7 2 +2 C.6 D.2 7 2【答案】B【解析】将原式变形为2（x-l）+1+2,然后利用基本不等式求解出2 x +1的最小值.x-1 x-1【详解】因为2 x +-5-=2（x-l）+-!-+2 N2 j2（x-l）!-+2 =2 +2,取等号时2（x-l）=9R.x l,即x =l +交，所以2+去的最小值为20+2，故选：B.4 13.（2 0 2 1 江苏高一专题练习）设x y 0,则%+的最小 值 为（）x+y x yA

7、.3亚 B.2百 C.4 D.卞 2【答案】A【分析】原式可变形为+一 一+一=：（x+y）+一+Ra-y）+一，然后根据基x+y x-y|_2 x+y j|_2 x-y本不等式即可求解【详解】v x y 0,x-y 0,*+y)+W+x+y x-y 2 口(x+y)x 4，+2 y)x-=2&+收=3&,2 x+y 2 x-y1 4 1 当且仅当 i(x+y)=-，w(x-y)=-,2 x+y 2 x-y即.述,),=变 时 取等号2 2故选：A【题型三】“和定求积”型【典例分析】4 x（2 0 2 2 全国高一专题练习）已知x 0,y 0,x +-=8,则一的最大值为（）y yA.2V 2

8、B.4C.6D.8【答案】B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得土的最大值y【详解】因为8=x+；3 2后=4 5 所以5 4 2,从而 4 4.4当且仅当x=-n x =4,y=l 时等号成立.y故选：B【提分秘籍】基本规律如果x+y 是定值g,那么当且仅当x=）时，肛有最大值是?（简记：和定积最大）【变式训练】1.（2021福建 泉州市第六中学高一期中）若0 x 0,贝 ijy=x（4 3x）=g.3x（4-3 x）v g（）=1,2当且仅当3工=4-3%=时取“=”.故选：D.2.（202 全国高一课时练习）若“S e R ,ab0,2a+b=,贝打-446+必的最大值为（）答案

9、D【分析】直接根据基本不等式求最值.【详解】解：V&0.2a+b=l,：.a 0,b 0,1 4ab+ab=-A-y/ab（1 -4/）+1 4；x+1 =2a+b=当且仅当1,1 时，取“=”,故选：D.1643.（2021 湖北 华中科技大学附属中学高一阶段练习）已知x0,y 0,且 x+2 y=4,则（1 +x）（l+2y）的最大值为（）A.36 B.4 C.16 D.9【答案】D【分析】根据题意得到（l+x）+（l+2y）=6,进而通过基本不等式求得答案.【详解】由题意，（l+x）+（l+2y）=6,l+x l,l+2yl,所以（l+x）（l+2y）V 0 +x）；（l +2 y）=9

10、,当且仅当l+x=l+2 y n（；二;时取故选：D.【题型四】“积定求和”型【典例分析】（2021.浙江省杭州学军中学高一期中）已知。0,b ,且=则 的 最 小 值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】c【分加】由基本不等式求解.【详解】因为所以a+Z?122、。（匕-1）=2W=6,a+h 7,当且仅当。二 人 一 1,即。=3,=4 时等号成立.故选：C.【提分秘籍】基本规律如果孙是定值p,那么当且仅当x=y 时，x+y 有最小值是2（简记：积定和最小）【变式训练】1.（2021.江苏.沐阳县修远中学高一阶段练习）若实数X，y满足孙=1,则f +y2的最小值是（）A.1 B.2

11、C.4 D.8【答案】B【分析】利用均值不等式即可得解.【详解】由均值不等式可得f +y2 2 2xy=2,当且仅当x=y =l 时，等号成立，所以f +y2的最小值是2.故选：B.2.（2021 新疆巴楚县第一中学高一期中）已知x,y为正实数，且 =4,则x+4 y 的最小值是（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【分析】化简x+4y=x+3,结合基本不等式，即可求解.X4【详解】由题意，正实数x，y 且孙=4,可得y=2,x5 1|Jx+4y=x+2.x x =8,当且仅当 =蛆 时，即=4 时等号成立，x V x x所以x+外 的最小值是8.故选：B.【题型五】单 元（单变量）

12、分离常数型【典例分析】V-2 _ 4 r-I-5 5（2022 福建 莆田一中高一期末）函数/（x）=-（x -）W（）x-2 2A.最大值B.最小值!C.最大值2 D.最小值22 2 答案D【4 析】分离常数后，用基本不等式可解.5【详解】（方 法 1）.=,.x 2 0,则 r2-4x+5（r-2）2+1 I二十、=二乙）I=d）+丁=.2,当2 x-2 x-2 （x-2）且仅当 2 =工，即x=3 时，等号成立.x-2（方法 2）令 -2 =,，x.:.x=t+2.2 2将其代入，原函数可化为y=q+2）2：+2）+5=1.=/+；2 1=2,当且仅当f=；,即f=l 时等号成立，此时x

13、=3.故选：D【提分秘籍】基本规律分离常数可以从两方面考虑：1.以分母为主元构造分子2.直接换元分母（一般式一次型）【变式训练】1.（2021全国高一课时练习）若则厂二2 x+Z有（）X 1A.最小值2 B.最大值2 C.最小值-2 D.最大值-2【答案】D【分析】先将江二生 必 转化为（x-D+根据一4 a 1,利用基本不等式求解.x-l X-【详解】-2 x+2=*_ ）+=_ _（x _ I）+不 又：一4x0.；.T（x _ l）+J 八 4-2.当且仅当 x1=；，即 x=0 时等号成立.-（X-1）x-所以-2x+2有最大值2,无最小值.故选：DX-12.（2021 河 北 藁城新

14、冀明中学高一阶段练习）已知x l,则 二 身 的 最 小 值 是（）x-1A.2 Q+2 B.2月 一2C.2 G D.2【答案】A【分析】用换元法变形.然后由基本不等式得最小值.【详解】因为Xl,设，=x-l 0,_ =（/+1）+2 =f +2/+3=/+3+2 2 2 b+2,当且仅当=3,即f=Q,x=+l 时,x-1 t t t t等号成立.故选：A3.(2 0 2。江苏省南京市第十二中学高一阶段练习)已知/0,函数y=2,；l 的最大值是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】先换元，再运用基本不等式求解.【详解】令2&/+1 =皿机 1),则f =c尻，当且仅当机=3

15、 等号成立.故选：B.【题型六】“常数”因子法：【典例分析】3 1(2 0 2 2 全国高一专题练习)若正数x，y 满足一+=5,则3 x+4 y的最小值是()x y【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的代换求3 x+4 y的最小值，注意等号成立条件.【详解】3 x+4 =l(3 x+4 y)(-+-!-)=l(1 3 +-+)1(1 3+2 )=5,当且仅当5 x y j x y J x yx=2 y 时等号成立，3 x+4 y的最小值是5.故选：C【提分秘籍】基本规律利用常数,X=1代换法。多称之为“1”的代换m【变式训练】3 1 nL (2 0 2 2 全国高一专题练习)已知a 0,6

16、0,若不等式一+：2 二;恒成立，则的最a b。+3。大 值 为()A.9 B.1 2 C.1 6 D.2 0 答案B【彳析】分离参数，求不含参数这一边的最小值即可求解.【详解】a 0,b 0,若不等式2+9 2 恒成立，+恒成立a b a+3b b）va0,Z0;.（“+36）（。+=6+艺+2 6+2、/=12 当且仅当 a=3匕时取等号.a h）a b a h.*.n 0,6 0,且。+工=2,则一+人的最小值是（）b a9A.-B.2 C.9 D.42 答案A【入析】利用基本不等式可求解.【详解】由题意可得d+6=0,b 0,所以a 2（八 a）2（ab）4 4 9ab+4,则一+b

17、2 一,ab a 2当且仅当。=三4，6=13时，等号成立.故选：AQ 23.（2021.广东.阳春市第二中学高一阶段练习）已知 0,y 0,且一+=1,则x+y 的x y最小值是（）A.10 B.15 C.18 D.23 答案C【4 析】利用“1 的代换”的方法，结合基本不等式求得正确结论.（2 8、Q V 2 r【详解】x+y=（x+y）+=+102716+10=18,ly X）x y（当且仅 当 双=生，即x=12,y=6时，等号成立）.%y故选：C【题型七】“单分母”构造因子法【典例分析】（2022全国高一课时练习）已 知 正 实 数 满 足 x+2y=4,则一二+三 的最小值是（X+

18、1 yD.95【答案】D【分析】由基本不等式的乘”法计算最小值.【详解】因为x+l+2y=5,所以-x 2 x51 2-+x+1 y1 z I c 1L 2yx-(x4-l+2y)=-1 +5、51 x+1+i f 2y|2(X4-1)15 +1 y57当且仅当 口 一 y一 时，取等号,x+2 y=4故选：D告+；的最小值 越.【提分秘籍】基本规律以分式分母为主元进行构造【变式训练】1.（2 0 2 2.安徽省舒城中学高一阶段练习）若则工+J的最小值为（）a 4 一。A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【分析】利用“乘 1 法唧得.【详解】因为 1 0,-+=7 l-+l 6 r +（4

19、-t z）a 4 一。4 1 4 一。尸 ，所以,+:二 的最小值为1.故选：D.a 4 一。当且仅当上工=一时，即。=2时取等a 4 一 2 .（2 0 2 1 全国高一单元测试）若x 0,y 0,且x+4 y=7,则?+工的最小值为（）x+1 y【答案】B【分析】根据x+4 y=7,可 将 一 化 为:(X+1)+4)，J(J+3,结合结合基本不等式即可x+1 y 8 x+y得出答案.【详解】解：若x 0,丫 0,且x+4 y=7,贝 l j(x+l)+4 y=8,r r所 以-I-+-1 =r1 r(-,*+l,)、+4.y(1 ;+-1.)=o1(,4 y,+-x-+-1 +5)、.1

20、-xr2,1 4y-x-+-l+5 =-9,x+y 8 x+1 y 8 x+1 y 8 yx+1 y 8x+4 y=7当且仅当，4 y x+1、x+l y5x=叫34y=-时，等号成立.故选：B.3 .（2。2 卜河南濮阳一高高一期中）若正实数满 足 一=1,且 不 等 式 鼻+，/+|有解，则实数机的取值范围是（）.A./-3 或机3C.2 323 fB.m 323D.-3 m 2925+2席甘当且仅当 x+=2y 时，即当:3 时，等号成立，即 一4二+一1 的最小值 为。9x+y=l _ 2 x+1 y 27 34 1 1 3 3 9因为不等式;+次+彳 加 有 解，则 +=加 7，即2

21、机2+3帆-90，x+1 y 2 2 2即（2机3）（加+3）0,解 得“一3或 相万.故 选：A.【题型八】“双分母”构造法【典例分析】（2022全国高一课时练习）已知2a。=2,且0。+6 2,则 一：+二 一 的最小值为a+b a-2b（）A.2 B.3 C.4 D.5【答 案】A【3析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解【详 解】因 为2。-Z?=(a+Z?)+(a-2Z?)=2,0 a+b 0,所以 _ L +，=(，+，.(“+与 +(”2 叭 U 2+*+伫 竺a+b a-2b a +b a-2 b)2 2(a-2b a+b、1 I a+b2 I 7 a-2b a+b 当且仅当a

22、+ba-lba-2ba+b=o时 等 号 成 立.所 以 的 最 小 值 为2.a+b a-2b即 a=1,故选：A【提分秘 籍】基本规律一般情况下，可 以 把 分 母 相 加（或者倍系数后再相加），与 条 件 所 给 的 等 式，存在倍数关系【变 式 训 练】1 1 1-1-=一1.（2022.全国高一单元测试）己知X N 0,卜 2,且 x+2 y-2 4,则x+V 的最小值为（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【分析】中）+s-2 叼修力），展开后利用基本不等式即可求解.【详解】因为XNO,y 2,且 为+,，x+y=(x+2)+(y-2)=(x+2)+(y-2)-1-1-1

23、-、x+2 y-2x4(y-2 x+2)1y 2 x+2、.=2+-x4 2+2 2-x4I x+2 y-2)(+2 y-2 J=6当且仅 当V 2 二r+2,即，即：o 时，等号成立.故选：c2.（2021.浙江.高一期中）若实数+2=4。1,y ；）,则 言+工 匕 的 最 小 值 为（)14A.-B.1 C.-D.223【答案】D【分析】由条件变形一1 +丁 二=U 1 +丁 二 （x-l）+（2 y-l）,再结合基本不等式求x-1 2 y-l 2 1 x-l 2 y-lr J最小值.【详解】由条件可知,x-l+2 y-l=2,所以-+一=-+一(x_l)+(2 y T)x-1 2 y-

24、l 2(x-l 2 y-lJLV 7 v 7J12c 2y 1 x 12+-x-2 y-l-2+2.2 y-lx T、x-1 2 y-y=2,2 v-1 x 1 I当 上 丁 =Bp2y-l=x-l,结合条件 x+2y=4(xl,y -)fx-2 y-2可知x=2,y=l 时，等号成立，所以一=+*7 的最小值为2.x-1 2y-l故选：D3.（2022 全国高一课时练习）若x 0,y 0,且A.2【答案】CB.2母11-+-2x+l x+yc.1+V2=1,则2 x+y 的最小值为（D.2+2近)【分 析 2x+y=gx(2x+l)+2(x+y)-g =gx(2x+l)+2(x+y).利用基

25、本不等式即可得出答案.11-1-2x+l x+yr再【详解】解：2x+y=；x(2x+l)+2(x+y)-；=；x(2x+l)+2(x+y).L+-L)、2x+l x+y J 21=x 3+22x+l x+y2 23+2.2(x+y)2 i+l2x+l x+y2=；x(3+2-；=1+/,当且仅当 学 口 =生 已 时，取等号，所以2 x+y 的最小值为1 +及.故选：C.2x4-1 x+y【题型九】有和有积无常数型【典例分析】（2021江苏赣榆一中高一阶段练习）若两个正实数X,y 满足4x+y=w，若不等式恒成立，则实数沉的取值范围是（）4A.（-1,4）B.（-4.1）C.（-co,-4）

26、U（l,+oo）D.（-oo,-3）u（0,+oo）【答案】B1 4y【分析】根据题意，将4x+y=孙，变形可得一+=1,构造基本不等式的条件可求X+的x y4最小值为4,由此可得加+3加 4,由此解得机的取值范围.【详解】根据题意，若两个正实数x,y 满足4x+y=q，变形可得一+2=1,即一+=1,xy xy x y贝 ij有x+=（x+0 d +）=2+齐+”.2+2 x 伍 三=4,当且仅当4x=y 时等号成立，4 4 x y 4x y y 4x y即x+1 的最小值为4.4若不等式+3，恒成立，则1+3，4,解可得T z是正数.xy y x所以2x+y=（2x+y）/=（2x+?）+

27、=5+5+=9,当 生=为 取 得 等号，即x=3 且 y=3时取等号，y x所以x+2 y 的最小值为9,故选：B.2.（2021黑龙江铁人中学高一期中）已知x 0,y 0,2x+8y-9=。，则+y 和母的最小值分别是（）A.16,32【答案】DB.16,64 C.18,32D.18,64【分析】运用基本不等式，已知等式进行求解即可.【详解】因为x 0,y 0,所以2x+8yN2卮 汗=8而，当且仅当2x=8y时取等号，即当y=4,x=16时取等号，因为 2x+8y-Ay=0,所以孙28向孙2 6 4,因此犯的最小值为64；因为xO,y 0,2 8所以 2x+8y-xy=0 n +-=1,

28、y xx+y=(x+y)(-+-)=10+1 0+2 j-=1 8,当且仅 当 生=也时取等号，也就y x y x y x y x是当x=2 y时等号，即y=6,x=12时取等号，因此x+V的最小值为18,故选：D【题型十】有和有积有常数型：求“积”型【典例分析】(2021.重庆市实验中学高一阶段练习)设a 0,b。,4a+b=a b-5,则加的最小值是()A.4 B.9 C.16 D.25【答案】D【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可.【详解】V a 0,b0,ab-5=4a+b2/4ab=4fab，令 t=ab 0 则，一 5 2 4 f,即“-由一520,解得d 5,：.

29、ab2 5,当且仅当。=4=10时，等号成立.故选：D【提分秘籍】基本规律求积，对“和”用均值，化为关于“积”的一元二次不等式，解不等式可得。【变式训练】1.（202）广东广州高一期末）设a 0,b0,a b-5 =4 a+b,则必的最小值是（）A.5 B.9 C.16 D.25【答案】D【分析】结合基本不等式来求得他的最小值.【详解】a0,b0,ab-5=4a+b 2y/4a-b=4fab ab-4ab-5=-Jab-5ab+0,ab-5 0,25,b=4a a=当 且 仅 当=时等号成立，由/0,b 0,且4/+9。2一2“6=2 0,贝!lab的最大值为【答案】2 _【分析】根据基本不等

30、式得4a2 +处2 一2 =20之2”/W -2ab，解之可求得答案.【详解】因为a 0,b 0,且4/+9炉2必=20，所以4a2+9b2-2ab=20 2-j4a2-9b2-lab-解得必 4 2,当且仅当 4=9庐，即 2=3b 时,取等号，所以外的最大值为2,故答案为：2.【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型【典例分析】1 1 3(2021安徽霍邱县第一中学高一阶段练习)若。力 。，且1=+7+二，则4+6的取值范a b ab围()A.a+b3 B.0a+b6 C.0a+b 0,所以。+/+2 0,所以+6-6 2 0,解得a+b46.故选：D【提分秘籍】基本规律求“和”，对“积”

31、用均值，化为关于“和”的一元二次不等式，解不等式可得。此类题型的基础形式，多是所求的“和”与所给的“和”是相同的。不然，此法不成立。【变式训练】1.(2021 河南 高一阶段练习)已知0,y 0,x+2y+2xy=15,则x+2y的最小值为()13 15A.6 B.C.7 D.2 2【答案】A【分析】由题可得(x+l)(2y+l)=1 6,再利用基本不等式即得.【详解】y 0,x+2y+2xy=l5,(x+l)(2y+I)=16,.x+2 y=x+l +2 y+l-2 2 V（x+D（2 y+l）-2 =6,当且仅当x+1 =2 y+l=4,即x=3,3y=5时 =”成立.故选：A.2.（2

32、0 2 1安徽 合肥一中高一期中）若正实数x,满足2 x+y+8“，=2,且存在实数x,使不等式3加-2机2 2 x+y成立，则实数，的取值范围为（）A.B.-1,2 C.U l,+)D.(-,-l u 2,+o o)【答案】C【分析】由2 x+y+8孙=2结合基本不等式得至l J 2 x+yN l,解 不 等 式 一2 a 2 1即得解.【详解】由 2 x+y+8xy=2得2 x+y=2-8xy,因为 2 x.y M J +)-,8xy,-(2 x+y)2 4所以2-8A yN 2-(2 x+y)2,所以 2 x+y 2 2 (2 x+y)?,;.(2 x+y)?+(2 x+y)-2 2 0

33、 ,所以(2 x+y+2)(2 x+y-l)N 0,；.2 x+yN l j 2 x+y4-2 (舍)，所以2 x+y2 1.因为存在实数x,使不等式3加-2/n N 2 x+y成立，所以3-2/n N l,所以3帆2-2%-1 2 0，所以机2/或，3.已知x,y 0,x+2 y+xy-6 0,贝lj（多 选 题）A.孙的最大值为2 B.x+2 y的最小值为4C.x+y的最小值为3 D.x+），的最小值为4近一3【答案】A B D【详解】对于A选项：由均值不等式得x+2 y2 2,则x+2 y=6-孙2 2 0 5/,令 而=，。0）,*+2_640n（f +0）2-8 4 O,解得即 而4

34、0,旬4 2,当且仅当x=2,y=l时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得x+2 y 2）2 xy=2 xy=（*+2）之孙,乂孙=6-（x+2 y）,2 8,（，+：）N 6-（x+2 y）=（x+2 y）2 +8（x+2 y）-4 8 0 解得 x+2 y 2 4 ,x+2 y 0,则y=/n-x,贝|J x+2 y+划-6 =0可化为x+2（?-x）+x（，-x）-6 =0 ,整理x2+（l-?）x+6-2/n =0,此方程一定有解，.,.*（）,即（1 一机丫一4*（6-2相）2 0,解得加2 4拉一3，机4-4&一3（舍），故C错误，D正确.故选：A B D.【题型十二】

35、多元分离型【典例分析】（2 0 2 2四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知且灿=1 8,则 与 隹-1的最小值是a-b（）A.1 1 B.9 C.8 D.6【答案】A【分析】根据基本不等式即可由积为定值求和的最小值.【详解】叫 气 加 一 1 =（叫+JL-1，因为所以人 方 0,故a-b a-b a-b+-1-1=1 1,当且仅当a-b 丫 a-h）a-b=0。=3 +3 后,6 =3 宕-3 时，等号成立.a-b故选：A【提分秘籍】基本规律多元分式型，构造分母达到分离的目的。1 .换元构造2 .常数代换狗仔3 .凑配构造【变式训练】2 121.（2 0 2 2 全国高一课时练习）若。2,h

36、 3,则上一+-的最小值是（）a-2 b-3A.1 6 B.1 8 C.2 0 D.2 2【答案】C【分析】化简+f-=a-2 +_+b-3 +d +1 0,再根据基本不等式求最小值即可a 2 b 3 a-2 b-3【详解】因为。2,b 3,所以a2 b2 a2-4 +4 b2-9 +9-1-=-1-a 2 b 3 a-2 b 34 9=。-2 +-+人 一 3 +-+1 0a-2 h-32 2 J（a-2）.六+2/伍-3）+亮+1 0 =2 0（当且仅当”=4,b =6 时，等号成立），所以士+上的最小值是2 0.a 2 h-3故选：C2.（2 0 2 2 广东韶关实验中学高一阶段练习）已

37、知。，6为正实数，且2 a+A =l,则工+1 的a 2 b最小值为（）A.1 B.6 C.7 D.2/【答案】B【分析】利用己知条件加+6=1将原式化为可以使用基本不等式的形式即可.I-r 力 ”,口 2 a 4a+2 b a（2 b a A ,-I 2 h a/,【详解】由己知条件得，一+=-+=+4 2.-+4=6,a 2 b a 2 b 1 a 2 b）a 2 b当且仅 当 丝=,即4=3，b =!时取等号，a 2 b 5 5+的最小值为6；故选：B.a 2 h3.（2 0 2 2 辽宁丹东高一期末）已知。0,6 0,。+=2,则 生 邛+1的最小值为（。+1 b4A.-3【答案】BB

38、-1c-1D.3八.x c T i.r-i R H+-r/口 2 a 4-b 1 2 a+2 1。+2 1 .1 1 工,口皿【分析】根据题息可得-J+;=-；-1：=-+-+7 再根据。+1 b。+1 b a+1 b。+1 b士+/=g（三+|（+1+/7）结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：因为。+=2,所以6=2-4，2 a+b 1 2。+2 1 a+2 1.1 1,-1-MB.-1 I -1-_I _a+1 b a+1 b a+1 b a+1 b则43当且仅 当 上 二 宇，即&=,=1时，取等号,a +1 b 2 2所 以 犯W +：的最小值为工故选：B.a +1 b 3【题型十

39、三】反解消元型【典例分析】（2 0 2 1.浙江高一期中）正实数X,y满足/+3孙-1 =0,则x+y的最小值是（）A.72 B.1 C.述 D.3 3【答案】C,1 _ r2【分析】由题意正数x，y满足炉+3孙-1=0,可得=，消元化简得，3 xX+y =X +H =-!-+主，再利用基本不等式，即可求其最小值.3x 3 x 3【详解】因为正数x,y满足无2+3盯7 =0,所以 =上 工，3x则x+y =x+上 =-5-+四2述，当且仅当-=M时等号成立，3 x 3 x 3 3 3 x 3即=变,丫=也 时，x+y取得最小值，故x+y的最小值为2包.故选：C.2 6 3【提分秘籍】基本规律反

40、解代入：1 .多元变量有二次有一次，反解一次代换消元为单变量式子2.有些高次可以因式分解，然后再反解代入。达到消元的目的【变式训练】1.（2 0 2 1 全国高一专题练习）已知实数a 0,b 0,且满足H-a-2 3-2=0,则S+1）+2）的最小值为（）A.24 B.3a+13 C.9 瓶+13 D.25【答案】D【分析】根据等式ab-a-26-2=0 表示出b,求出。的范围，然 后 将（a+1）（。+2）中的6 消去，再利用基本不等式可求出（a+1）（6+2）的最小值.【详解】因 为 帅-。-2-2=0,所以b=塔，又。0,b 0,所 以 竺 0,解得”2,a-2 a-2又 b=。+2=t

41、 ,所 以（a+1）（6+2）=ab+2a+b+2a+2b+2+2a+b+23a+3h+4a-2 a-212 I?I V=3aH-F 7=3（-2）H-F 13 2.3（a 2）-1-13=25 a-2 a-2 V v 7 a-2当且仅当3（4-2）=1?即a=4 时等号成立，a-2即（a+1）3 2）的最小值为25 故选：D.2.（2021 江苏高一专题练习）已知，0,0,+）=1,则机+2的最小值为（）A.2&B.2 C.72 D.1【答案】B【分析】将 病（加+）=1转化为（帆+）=7，?+2 转化为 加+4（/+）即可利用基本不等式进行求解.【详解】将 加 2（加+）=1转化为几（6+

42、）=1,m+2/?=lnr+4/n/?+4n2=+4（加 +）=+2,当且仅当z =0,时取等号，即加+2的最小值为2。故选：B.21 43.（2021浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数。和 6 满足帅+4+26=7,则-+-a+2 9b+9的最小值为（）A.1 B.岖 C.g D.9 45 27【答案】A【分析】利用。=与?，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.Z?+l13 历-5162 详解因 为,+2氏7,所以 昔，2 =上警叱:言力I 4 Z?+l 4区71 一 厂所以-1-=-1-/-a+2 9b+9 9 处+9 V 9 泌+9选：A当且仅当6=1,。=4时等号成立,9 2故【

43、题型十四】换元型【典例分析】（2021山西 太原市第五十六中学校高一阶段练习）对任意正数x,y,不等式一+一*仁恒成立，则实数k 的取值范围是（）3x+y x+3y-5）6-6 r i、6 6A.二,+8 B.-,+8 C.Fl,+oo）D.,+004）4 4【答案】Bx 3 Vr 分析】利用基本不等式可求:;一+T-的最大值，从而可求文数k 的取值范围.3x+y x+3y【详解】令 A=3x+y,8=x+3 y,则 x=，(3A_B),y=，(3B_A),88x 3y 3(B 3AA 3 A/3 6-A/33x+y x+3y 2 81A B J 2 4 4当且仅当6A=B 时等号成立，3x+

44、y x+3y故选：B.的最大值为 2 叵，故女之上叵【提分秘籍】基本规律1.复杂的分式型，可以把分母换元(双换元)，达到化简的目的。2.能因式分解的高次多元式子，可以借助因式分解后再换元化简【变式训练】1.(2022全国高一课时练 习)已知实数x,y 满足x(x+y)=l+2 y t 则7 2-2的最小值为A 6 忘+103C 6万+103n 65/2+10D.-3D-6 石+1013【答案】A【分析】将x(x+y)=l+2 V 化为(x+2y)(xy)=l,再利用换元法结合基本不等式即可求解【详解】解:实数x,V 满足 x(x+y)=l+2y2。化为：(x+2y)(x-y)=l。令x+2y=

45、m,X-y =n,则 mn=1337 2=7 曰-(学)1=X9(6m2+27 n2+30小 )则:=1X(6/M2+2 7/J2+3 0)1 2 27=-x Gm+309 I m2)2加JvX21-9-3027+版6V2+103当且仅当6/=乌，即 川=逑时取等号所以7/-2 的最小值 为 逑 土 出 故选：A.m2 2 32 12.（2021 江 苏 高一专题练习）已知实数刘V满足4 y 0,且 x+y 2,则 工 +一 的x+5 y x y值最小时，实数x=（）A.2A/2-1C.3-2 0【答案】AB.2-V 2D.1【分析】利用换元法，设x+3y=mx-y =ntn+3nx=-即 4

46、m-n故/=-H-x+3y x y然后利22 1=I-m n用基本不等式求最值即可._ m+3nfx+3y=，4 m+n【详解】设 ，解得，所以元+y=4 2 ,即机+K4,I x-y =n _ m-n 2v=-设，=2+-1-=2+1,贝 1 4 d(2 +_1(,+)=3+女 +%23+20,叫 二 +2夜,x+3y x-y m n nJ in n 4当且仅当0 =即?=&时取等号，即x=2V i-I,y=3-2y/2,tn n2 1则+的值最小时，实数工=2五一 1，故选:A.x 十 j)x-y【题型十五】较简单的三元均值【典例分析】（2022全国高一课时练习）已知x,y,z都是正实数，

47、若盯z=l,则（x+y）（y+z）（z+x）的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.【详解】由x 0,y 0,z 0 可知x+y2.Jxy 0（当且仅当x=y 时等号成立）y+z2 2 而0（当且仅当y=z时等号成立）x+zN240（当且仅当x=z 时等号成立）以上三个不等式两边同时 相 乘,可得（x+y）（y+z）（z+x）2 8 j x 2 y=8（当旦仅当x=y=z=1 时等号成立）故选：D【变式训练】,xy1.（2021.安徽.泾县中学高一阶段练习）设正实数X、y、Z满足4-3孙+2 =,则丁的最大值为（）A.0【答案】【

48、分析】【详解】B.2Cxy _ 1计算得出丁=+2_3y xC.1D.3利用基本不等式可求得型的最大值.Z因为正实数X、y Z满足4天 2-3孙+2-z=0,则 z=4/-3 w+y 2,型=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=_1-1 _ -1则 z 4x2-3xy+y2”十上一3 2 恒1-3 ，当且仅当、=2 。时取等号.y x 仃丁故 的最大值为1.故选：c.z2.（2021辽宁沈阳二中高一阶段练习）若 a,b,c 均为正实数，则三个数 +!，h+-,c+-b c a（）A.都不大于2 B,都不小于2C,至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2【答案】D【分析】对于选项A

49、BC可以举反例判断，对于选项D,可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定4+1，b+,c+4 至少有一个不小于2,从而可以得结论.b c a【详解】解：A.都不大于2,结论不一定成立，如a=2,b=3,c=4 时，三个数a+，b+-,b cc+J 都大于2,所以选项A 错误；B.都不小于2,即都大于等于2,不一定成立，如a=Lb=2,则。+?2,所以选项B 错误；bC.至少有一个不大于2,不一定成立，因为它们有可能都大于2,如。=2力=3,c=4 时，三个数a+1，b+,C+L都大于2,所以选项C 错误.由题意，b,c 均为正实数，a+-1 +b,+-1 +c+1 =+1 +b,+-1+c+

50、2 2+2+2=6.b c a a b c当且仅当a=c 时，取=号，若a+g 2,b+-2,c+-根据二次函数性质得到最值.a b c）4【详解】/一 3。匕+16 加一 c =0，故c =/3 a 力+16 6，ab ab 1,11-s =一c a?一3而+、6 b2 c i 1 6 b 1 1 6 b 5 ,工一 j 2.-3b a b a当且仅 当;=弛，即a =46 时等号成立，此 时 或=：,故c =2O,b a c 52 1 5 1 1 1 S 9a b c 2 h b 4）41故当5 =3,即8=；1 ,=：4,c =罟20 时 有 最大值为：9.故选：C.i i i分阶培优练