圆锥曲线的离心率及范围求法.pdf

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1、圆锥曲线的离心率及范围求法离心率的求法一、直接求出a、c,求解eC 已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=来解决。a 例l：已知双曲线主y2=1(a 0)的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该a-双曲线的离心率为()$.3 AB.-2 2 解：抛物线y2=6x的准线是x=,3 2 高一2c D.213 3 2 _2 即双曲线的右准线X=_:_=a c-l 3=，则C C 2 C 2.J3 2c23c2=0,解得c=2,a=3,e=，故选Da 3 x2 v2 变式练习点PC-3,I)在椭圆一了十义1CabO)的左准线上，过点P且方向为a2.bz 正(2,5)的光线，经

2、直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（)五3A 1-3 B 拉2c l_2 D 5 解：由题意知，入射光线为y-l=-(x+3)，关于y=-2的反射光线（对称关系）为2 5x2y+S=0,则t=+3解得a飞，c=1,则e=2卫，故选Aa 3-5c+5=0 X2 y2 4 变式练习已知双曲线-=l(a 0,b 0)的一条渐近线方程为y=X则双曲线a2旷3的离心率为（)5-3 A 4-3 B 5-4 c 3-2 D b 4 分析：本题已知，不能直接求出a、C,可用整体代入套用公式。a 3 解：由e=c 五言飞了a2+b2 b2 a a 厂尸了（其中k为渐近线的斜率）。这里曰，则

3、e=;=F$=%,从而选A。二、定义法（）第一、第二定义）代数法和几何法求出a,c,b由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用千条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例2.在给定椭圆中，过焦点且垂直千长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为（)A.五五B 2 l_2 c 五4D 解：由过焦点且垂宜于长轴的弦又称为通径，设焦点为F,则MF.lx轴，知IMFI是通五|MF|五径的一半，则有IMF|一。由圆锥曲线统一定义，得离心率e=-，从而选B。2 d 2 2 2 变式练习，已知F1、F2是双曲线上_,;.=l(a 0,b 0)的两焦

4、点，以线段F1F2为边作忒b2正AMEF2，若边ME的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（)A.4+23 B.3-1 C.十l2 D.3+1 y 解：如图，设IOFi I=C,Mf1的中点为P,则点P的横坐标为2,由2 l c c I PF,I=I F,F2 I=C，由焦半径公式IPF1 I=-ex P-a,即c=-x(-)-a,2 a 2 得c2-2a2-2ac=0,有e2-2e-2=0,解得e=l+3,e=l-3（舍去），故选D。变式练习：双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为Fl、F2乙F;MF2=120,则双曲线的离心率为()x A$森2B 森3c 五3D yM 解：如图所示，不妨设M(

5、O,b),Fl(c,0),F2(c,O)，则厮曰MF;|沪言了，又IFiF2I=2c,x 在M刊1F2中，由余弦定理，得cos乙FMF2=IMR|2+|MF2|2-|EF2|2 21M们MF2I,即i贮竺卢4c2炉c21,.=-b2+c2 2,-a2 13:矿c2-a2.=-,.3a2=2c2,:.e2=,2c2-a2 2 2 拓:.e=，故选B2 三构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关千e的方程，通过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一种方法。X 例3.设双曲线-.,;_=1COab)的半焦距为C直线L过(a,0),(O,b)两

6、点a2 b2 3 已知原点到直线的距离为c,则双曲线的离心率为（4 A.2 B.$c.5 D.孚解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0,由点到直线的距院公式，得ab fj=C,矗4又c2=a2+b气4ab=3c2，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4,整理得3e4-16e2+16=0,4 得e2=4或e2=，又OabO)的左、右焦点分别为F1、F2，如果a2.bz 椭圆上存在点P,使乙F;PF2=90，求离心率e的取值范围。解法1:利用曲线范围设p(x,y)，又知F1(-c,0),F2 Cc,O)，则_-F;P=(x+c,y),F2P=(x-c,y)一响一由LFIPF2=90，知

7、FIP上F2P,分则F1PF2P=O,即(x+c)(x-c)+y2=0 得x2+y2=c2 将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得x2=a2c2a2b2 矿b2但由椭圆范围及乙F1PF2=90 知o:;x2a2 即0a沪a2b2矿b2 a 2 可得c2凶扩，即c2;:矿C2,且c2 a2 c五c从而得e=之,且e=.:.1a 2 a 五所以eE-，I)2 解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知I PF;l+I PF2I=2a刁PF;1 2+I PF21 2+21 PF;II PF2 I=4a2 又由乙F1PF2=90，知IP厅IPF2l2=IF1F2i2=4c2 则可得IPF1IIPF21=

8、2(a2-c勹这样，IPF,I国PF21是方程u2-2au+2(a2-c2)=0的两个实根，因此6=4a2-8(a2-c2);:0 C 2 l e2=.;-;:一a 2 五e;:2 因此eE 2,l)解法3:利用三角函数有界性记乙PF;F2=a,乙PF2F;=/3，由正弦定理有IPF,1 IPF2I 1F1F2I=sin fJ sin a sin 90 IPFI旧PF21=IF1和sin a+sin 如PF1 1+1PF21=2a,IF;F21=2c,则有C 1 e=-=l=a sina+sinfJ a+fJ a-fJ 而ola-/JI 90 知0452 5 a-fJ 了COS2勺拉从而可得e

9、l2 解法4:利用焦半径由焦半径公式得2 sin:.:._t:cos 2 2 IPF1I=a+ex,1PF 21=a-ex 又由IPF;l2+IPFzi2=1F1Fzl2,所以有矿2cx+e2 x2+a22cx+e2 x2=4c2 即矿e2x2=2c2,x2=2c2-a2 e 2 1 a-f 迈cos2 又点p(x,y)在椭圆上，且x土a,则知0 x2矿，即0 2c2-a2 2 e-所以有eE-，l)2-a 2 2 解法6:巧用图形的几何特性由乙F;PF2=90,知点P在以IF;F2I=2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有cbc2 b2=a2-c2$由此可得eE,I)

10、2 解法7：几何法例2.通解通法一、利用双曲线性质例1X 2 V 2 设点P在双曲线-=l(a 0,b 0)的左支上，双曲线两焦点为Fl、F2,旷b2已知IPFII是点P到左准线l的距离d和IPF2 I的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设IPF1 1 2=d I PF?I得：|PF,|PF2|PF|l 2=。由双曲线第二定义=e得d IPFI I d I PF?I-=-e，由焦半径公式得a-ex r.,I(1+e)a=e则x=三a,即e22e I0,|PFI I.a+ex e-e 解得l O,b 0)的右支上，双曲线两焦点Fl、F2,a2 b2 I PF,I=4 1 PF2 I,

11、求双曲线离心率的取值范围。解析：由双曲线第一定义得：IPF,I-I PF2 I=2a,与已知IPF,I=4 I PF2 I联立解得：8 2 8 2|PE|=-a,|PF2|=a，由三角形性质IPF1 I+I PF2 lI F1 F2 I得：aa之2c解得：3 3 3 3 5 1 e 。3 归纳：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大千第三边”等构造不等式。三、利用数形结合例3（同例2)解析：由例2可知：8 2|PE|=-a,|PF2|=a，点P在双曲线右支上由图1可知：IPF1 12:c+a,I P F2 12:c-a,3 3 8 2

12、 5 5 即a2:c+a,a 2:c-a,两式相加得：-a 2:C,解得：1 O,b 0)的右支上，双曲线两焦点为FJ、F2,旷b2I PF;1 2 最小值是8a,求双曲线离心率的取值范围。I PF2 I 解析I PF;12(I PF2 I+2a)2,m,4a 2=I PF2 I+4a凶8a,由均值定理知：当且仅当I PF2 I I PF2 I.I PF2 I I PF2 I=2a时取得最小值8a,又IPF2 12:c-a所以2a2:c-a,则le:;3。五、利用已知参数的范围例5(2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，IABl=21CD|，点E分有向线段2 3 AC所成的比为入，双曲线过

13、C、D、E三点，且以A、B为焦点，当-入 O,b 0)，设a 2 b2 C A(-c,0)、B(c,0)、C(-，h)、E(x。,y。)其中h是梯形的高，由定比分点公式得2（入2)c入hX。=，y。=，把C、2（入1)入1E两点坐标分别代入双曲线方程得c2 h2-=1,4a2 b2（入2）2c2入2h2+=1,4(入+l)由（入1）2b2（正2)2e2入2e2 e2-l 两式整理得+（一1)=1,从而建立函数关系式入，由已知4（正l）2+l)2 4 e2+2 2 3 2 e2-l 3 一幻入三得，一 0)与直线l:x+y=l交千P、Q两个不同的点，a 求双曲线离心率的取值范围。解析：把双曲线方

14、程和直线方程联立消去x得：（1-a勹y2-2y+1-a 2=0,1-a 2 1:-0 时，直线与双曲线有两个不同的交点则 0,=4-4(1-a 2)2=4a 2(2-a勹0,即c2.1 3高a2，即e-且e土Ji。a2矿22七、利用点与双曲线的位置关系X 例7已知双曲线-y2=l(a 0)上存在P、Q两点关千直线X+2y=1对称，求a 双曲线离心率的取值范围。解析：设P(xiy1),Q(x2,Y 2)，弦PQ中点为M,由点差法求得a M(,)a+2 a+2 当点M在双曲线内部时a l,整理得：a+3a+5 0无解；(a2+2)2(a2+2)2 当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的

15、上下区域内，由线性规划可a 2 l l 知：一0,即a22,所以e f1。(a2+2)2(a2+2)2 a 八、利用非负数性质X y 例8已知过双曲线一l(a O,b 0)左焦点E的直线l交双曲线千P、Q两旷b2点，且OP.lOQ(0为原点），求双曲线离心率的取值范围。X 图3解析：设P(x1,y1)、Q(x2,Y2)，过左焦点E的直线l方程：X=ty-c,代入双曲线方程得：（b干a2)y2-2b2tcy+b4=0,由韦达定理得：2b2tc Y1+Y2=b2t2-a2,b4 y心x心（ty1-C)(ty 2-C)=t丸Y2-ct(Y1+Y2)+c2,由OP.lOQ得b干a2 b4(t2+1)2

16、b宁c2X心y心0,即：-+C 2 b干a2b宁a2=0解得t2=b4-a2c2 a2b2，因为3+$t2;?:0，所以b4-a2c2;?:0,则a4-3a2c2+c4z0,e4-3e2+l z0,e2 z,所以2 ez$+1 2 0 高考试题分析X 1.(2009全国卷1)设双曲线-义-=1(aO,bO)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，a2 b2 则该双曲线的离心率等千(C)(A)3(B)2(C)石(D）五解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点P(x。,y。)，则切线的斜率为y,I y x=人.0=2x.由题意有2x。又y。=X。+1X。解得矿l，：2,e=飞由题双曲线X 2 y

17、2 bx 下飞了l(aO,bO)的一条渐近线方程为y=，代入抛物线方程整理a o a 得ax2-bx+a=0,因渐近线与抛物线相切，所以b2-4a2=0,即c2=5a 2 e=5,X 2.(2009浙江理）过双曲线-=1(a O,b 0)的右顶点A作斜率为l的直线，该a2 b2 1 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若AB=BC,则双曲线的离心率是2 A.$答案：C 解析】对千A(a,0)，则直线方程为x+y-a=O,直线与两渐近线的交点为B,C,B.3 c.$D.而B(a2,ab,C(a2,-ab)，豆（二2a2b)，正三立，a+b a+b a-b a-b a?-b2矿b2(a+b

18、a+b 因此2AB=l记4a2=b2,:.e=5.2 2 X y 3.(2009全国卷II理）已知双曲线C:了-fl=1(a 0,b 0)的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C千A、B两点，若Af=4丙和则C的离心率(A)9-5 D 5-8 c 7-5 B 6-5.A 2 2 X y(2008福建理11)双曲线-1(aO,bO)的两个焦点为R、片，若P为其上一4.矿b2点，且Ipp;I=21 Pfi I，则双曲线离心率的取值范围为(B)A.(1,3)B.(1,3 C.(3,+oo)利用第二定义及焦半径判断x。3a D.3,如）(2008江西理7)已知Fl、片是椭圆的两个焦点，满足材万订万0的点

19、M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(C)l五A.(0,1)B.(0,-:-C.(0,)2 2 五D.,I)2 解析：满足材冗材万0的点M总在椭圆内部，所以cbO)的左、右焦点，若在其右准线上存在P,6.ab2 使线段P片的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(D)A B(o，亨C.气D f,IJ a 2 +c a2$C 3c?e=2c?2 C 3 已知椭圆兰斗l(a b 0)的左、右焦点分别为F;(-c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在7.aL b 一点P使a C=，则该椭圆的离心率的取值范围为sinPF;F2 sinPF2F;【答案】卢1,1)解法1,因为在APF几中，由正弦定理

20、得=PF?PE sin PF;F2 sin PF;尤a C 则由已知，得=，即aPF;=cPF2 PiF2 PiF;设点(x。,y。)由焦点半径公式，得PF;=a+e。,PF2=aex。则a(a+ex。)c(a-ex。)记得x。=a(c-a)a(e-1)由椭圆的几何性质知Xn-a则a(e-1)=a，整理得e(c-a)e(e+1)。e(e+l)e2+2e-1 0,解得e-2-I或eb 0)的右焦点F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是(A)（。孕(B)（吟(C)拉l，l)(D)归）解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分

21、线过点F,即F点到P点与A点的距离相等a2 b2 而IFAI=-c=,C C b2 IPFI E a-c,a+c，于是-Ea-c,a+c C 即ac-c2:,;b2:;ac+c2且,D 点于c 交线长延的1-2-UF eB 故段U线,0,（点eE端个又勺1_2。由-车短C-a 是或l 1-B-,C-aC-0点焦,V.个 2 2 cc 勺2CO aac 圆-l,:.e2 2,:.e拉，故选D4 13如图，已知梯形ABCD中，IA 习c，点E分有向线段及了所成的比为/4双曲线过C、D、2 3 E三点，且以A、B为焦点当三入三时，求3 4 双曲线离心率e的取值范围。解：以AB的垂直平分线为y轴，直线

22、AB为x轴，建立如图所示的直角坐标y x 系xoy,则CD上y 轴因为双曲线经过点C、D，且以A、曲线的对称性知C、D关千y轴对称依题意，记A(-c,0),B为焦点，心，由双E(x。,y。)，其中1 c=IA纠为双曲线的半焦距，2 h是梯形的高C C儿由定比分点坐标公式得x=2亿2)c。=1+,1,-2(1+,1,),1,h y。=，设双曲线的方程为l+入X2 y2 c a2 b2-=l，则离心率e=，由点C、E在双曲线.t.,所以，将点C的坐标代入双曲a 线方程得C 2 h 2-=4a2 b2 l(D 将点E的坐标代入双曲线方程得二尸气止（三2=l 4a 2 1+A b2 1+入2 c e

23、2,2 2 h h e 再将e=O、得一=l,-=-l a 4 b2扩4告）二21e 2 将式代入式，整理得(4-4入）I+2入，l=l-3 2 3，由题设SA 三得4 e2+2 3 4 2 3 3-51-2 S-，解得5SeS而，所以双曲线的离心率的取值范围为臣，而3 e+2 4 l X 14如图，E和F2分别是双曲线-.;._=1 C a 0,b 0)的两个焦点，A和B是以0为a 2 b2 圆心，以1Fil为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且凶了2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（)A$B石五2c i八rD 3+1 Fx 15已知双曲线兰义1Ca O,b 0)的右焦点为F,若过点F且

24、倾斜角为60的a 2 b2 直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（)A 1,2 B(1,2)C 2，女）D(2，心）2 2 双曲线x-y 2 b2-=l(aO,b O)的右焦点为F,若过点F且倾斜角 为60的直线与双曲线a b b 的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小千等千渐近线的斜率一，占一;:3a a C 离心率产=2矿b2a 2 4二e2，选Ca 2(16)已知F是椭圆C的个恁点，B是短轴的个嫦点，线段BF的廷长,线交C于点D,且BF=2FD,历lC的离心率为.分析：本小题主要考查椭圆的几何性质、第二定义、平面向鱼知识，考查了数形结合思想、方程思想

25、，本题凸显解析几侚的特点：“数辅形，形助数，利用几侚性质可寻求到简化问题的捷径另外如泉对囡锥曲线的统一方程较熟悉，还可得到更迅洁的鲜法二觯法一：由面2元，可知玉和2|丽，五面a丐a,2 2 a 面汪a釭D代入上式得XD=立，又xF=-=c,:.e2=，即e=1 3 x 2e 3 P,.()()3 2e 3 3 X C 解法二：设乙BFO=fJ,则cosB=.:.=e,1 1 由BF=2FD,可知=I BFI l+ecosB l+e2石=-了=2，觯得e=a I DFI 1-ecosB 1-e 3 X 17设点P在双曲线勹义l(a O,b 0)的左支上，双曲线两焦点为Fl、F2,已a2 b2 如

26、PFII是点P到左准线1的距离d和IPF2 I的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。|PF,1|PF2|PE I 解析：由题设IPF,12=d I PF2 I得：一一。由双曲线第二定义-e得d I PFI I.d I PF2 I=e，由焦半径公式得a-ex(l+e)a=e,则x=-I PF1 I a+ex e -e：a,即e2-2e-l 2:0,解得l 0,b 0)的右支上，a 2 b 2 双曲线两焦点为Fl、F2I PF,12 最小值是8a,求双曲线离心率的取值范围。I PF2 I 解析：|PE I2(|PF2 I+2a)2 4a2=I PF2 I+4a 2 8a,由均值定理知：当且仅当I PF2 I I PF2 I.I PF2 I I PF2 I=2a时取得最小值8a,又IPF2 l:2:c-a所以2a:2:ca,则le3。