安徽省十校联盟2022届高三下学期4月期中联考理科数学试题（含答案与解析）.pdf

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1、安徽省十校联盟2022届高三4月期中考试卷数 学（理科）（时间：120分钟 分值：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第 I卷（选 择 题 共 60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 .已知集合A =W）=R，底 幻 2 皿 4 ,则 4旧=（）A.（|，2

2、）B.|,2）C.加 D.|,4）2 .设复数一9一 实部与虚部分别 为 小b,则。一6=（）-3-iA.-2 B.-1 C.1 D.23.2 0 2 2 年 2 月 2 8 日，国家统计局发布了我国国民经济和社会发展统计公报，下面两图分别显示 是2 0 1 7 2 0 2 1 全国居民人均可支配收入及其增长速度和2 0 2 1 年全国居民人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（）2017 2021年全国居民人均可支配收入及其增长速度2021年全国居民人均消费支出及其构成医疗保健 葺 然 呷 需 务2115元，8.8%569兀，2,生活用品及服务1423%,5.9%教育文化娱乐2599元，1

3、0.8%交通信息3456元，13.1%食品烟酒7178元，29.8%衣着1419元,5.9%居住5641 元，23.4%A.2 0 2 1 年全国居民人均可支配收入为3 5 1 2 8 元，比上年实际增长6%B.2 0 1 7 年2 0 2 1 年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大C.2 0 2 1 年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比不足5（）%D 2 0 2 1 年全国居民人均消费支出，教育文化娱乐占比最小4 .斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 q 可以

4、用如下方法定义：%+2=4+1+%，且4=%=1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 a，则数列 a的第2022项 为()A.0 B.1 C.2 D.35.已知/(x)=2co s(x-S +r()co s x,则曲线y =/(x)在点(与)处 切线的斜率为()A.72 B.-72 C.272 D.-2726.已知抛物线C:2=4%的焦点为F,过点尸的直线与C交于M,N两点，若|N|=1 0,则线段M/V的中点到y轴的距离为()A.8 B.6 C.4 D.27.已知x=l o g o.7,y=Ig V7,对于命题，：q：x+y 0,下列为真命题的是()A P5B.p/(r)C.(p)v

5、 qD.(-/?)A(-r)8.2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口正式举行.某高校甲、乙、丙、丁 4名志愿者将被随机分配到北京和张家口赛区参加冬奥服务工作，要求每个赛区至少一人，每人只分配到一个赛区，则甲、乙被分在同一赛区的概率为()473738A.B.D.9.已知函数/(X)=2COSGX+2 GCOS3 1CDX+G EN)若对V 4R,在/U +3 上至少存在两2个不等的实数?，使得加)/()=1 6,则”的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.510.已知正三棱柱A BC-A&G的侧面积为24百，若三棱柱A BC-A 4G的各个顶点均在球。的球面上，则球。的表面

6、积的最小值为()A.16万 B.3 2万 C.16&兀 D.8yB兀311.已知函数/(x)=l o g 2(4 +l)-x,设a =Z?=/(l g 5),c=/(l o g63),IJIIJ a,b,c的大小关系为()A.c b a B.h c a C.acb D.a b 0力o)的左、右焦点分别为,F2,焦距为4,点M在圆a bE:x2+/+4 x-8 y +16=0,且。的一条渐近线上存在点M 使得四边形OM”为平行四边形，O为坐标原点，则 C的离心率的取值范围为()A.2,+o o)B.6,+)C.4,+o o)D.(1,6 第 H 卷(非选择题 共 90分)本卷包括必考题和选考题两

7、部分.第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.)1 3 .已知忖=2,=3,若卜+)=717,则卜一目=.1 4 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.1 5 .已知正项数列 凡 的前项和为S“，2 5“=4(凡+1),则数列(一1)。,的 前 1 0 1 项的和为-1%1围为.三、解答题(本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)1 7 .在AABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且b =5,c =J i 6，acosB

8、+bcosA=V 2 c c osB-(1)求 a；3(2)已知点”在线段B C 上，若 ta n N AM 5 =,求 t a n/M 4 C 的值.41 8.已知甲、乙、丙 3 人参加党史知识答题比赛，每个人按顺序各回答三个问题，每正确回答一题可以获得 5 0 元图书换购券，换购券可用于购买党史学习教育类书籍.已知甲答对第一题的概率为：，答对后两题的概率均为:；乙回答三题正确的概率依次为，I;丙 答 对 每 题 的 概 率 均 为 甲、乙、丙回答问“3 3 2 3题相互独立.(1)求甲、乙两个人获得的图书换购券总额为2 5 0 元的概率；(2)试通过计算均值，估计甲、乙、丙三人中谁获得图书

9、换购券金额最少.1 9.在AABC中，A C L B C,N8 4C =3 O,A B =4,E,尸分别为A C,A 8 的中点，尸是由A石厂绕直线E 尸旋转得到，连接A P，BP,C P,得到如图所示的几何体.(1)求证：B C,平面P4C；(2)若 A P =3,求平面P8 C 与平面尸石厂所成锐二面角的大小.2 0 .已知椭圆。：鸟+/=1(。人 0)的左、右 焦 点 分 别 为 入，离 心 率 为 白，P 为 C 上一点,且 耳工面积的最大值为4.(1)求 C 的方程；(2)若直线丁 =+(。0)与 C 交于A 8 两点，过点8 作直线y =3 的垂线，垂足为。，若直线A D 与丁 轴

10、的交点为定点。，求，的值及定点。的坐标.2 1 .已知函数/(x)=(x +(1)求证：函数/(x)在(0,+向 上单调递增；(2)若2 ；!一?一对.e(0,+Q O)恒成立,求实数机的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.2 2 .在平面直角坐标系X 0 Y 中，直 线/的 参 数 方 程 为+7”(r为参数).以坐标原点。为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p =2 c o s a o a 0,且a +b=m，求证：-+-.3 。+1 +2 3参考答案一、选 择 题(本 大

11、题 共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1 .已知集合A =卜8=X|2T 4,则 加8=()【答案】D【解析】【分析】分别解出A,B集合的范围，求出交集即可.D-I-4 详解】A =x|y =j 2 x _ 3 =x|2 x-3 3 0 =|-,+ooB =X|2 -2 4)=X|X-2 5 0%,所以C 错误，对于D,由右图可知，2021年全国居民人均消费支出，其他用品及服务占比最小，为2.4%,所以D 错误，故选：B4.斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.

12、斐波那契数列 q可以用如下方法定义：an+2=an+x+an,且%=4=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 bn，则数列 bn的第2 0 2 2项 为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据数列各项的规律可知 勿 是以6为周期的周期数列，由此可得仇0 2 2=%=0.【详解】由题意知：数列 4,为：1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,5 5,8 9,1 4 4,则 数 列 也 为：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,即 数 列 出 是以6为周期的周期数列，.也c m =%7*6 =%=0.故选：A.5.已知/(x)=2 c o

13、 s(x-1)+/(0)c o s x,则曲线 =在点 弓,/处的切线的斜率为()A.7 2 B.-V2 C.2 7 2 D.-2 7 2【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，写出切线方程的公式，直接计算求解即可【详解】对/(x)=2 c o s X一1 +/(0)c o s x =2 s i n x +./(O)c o s x ,求导可得，r(x)=2 c o s x/(0)s i n x,得 到/(0)=2,所以，/(%)=2 s i n x+2 c o s x,所以，f x)=2c o s x-2 s i n x,t 2 c o s-2 s i n 2,2(4 J 4 4故选D6

14、.已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 尸，过点尸的直线与C交于M,N两点，若|又凶=1 0,则线段M/V的中点到y轴的距离为()A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段MN的中点到准线的距离，再减去准线到y轴的距离，即可得到结果【详解】由图，M N 中点为。，MA,MB,D C 分别垂直准线于A B,C,C O 交）轴于E，易得8为直角梯形 A B M 0的中位线，则+2由椭圆定义易得，M A +M B =M N =1D,:.CD=5,又准线为无=1,，CE=1，故线段M N 的中点到），轴的距离。E =C D CE=4,故选：C

15、7.已知x=logo7,y=lgy/7,对于命题P：x+y 0,下列为真命题的是（）A.P MB P八DC.D.(p)A(-u7)【答案】B【解析】【分析】根据对数 运算法则，求出X+y,孙，判断出p,夕 命题真假，即可得解.【详解】解：x=log7,y=l g ,A x+y=log017+lgV7=-lg7+-lg7=-lg 7xy=(logo7(lgV7)=-g(lg7)2,I I 7V Igl=0 lg7 1 =IglO,A(Ig7)lg7,-Ig 7 =g lg 7 73 cosCDX-3 Tt2=2 cos cox+2 sin cox1 73 A ./冗、-4(cos a)x-+si

16、n cox-)=4sin(6yx+-),由 /(m)/()=16得4sin(G7%+24sin(o +2)=16,6 6y Z Ji TT ll TT所以 s i n（篦+一）s i n（九 d）=1,所以 s i n（G机+）=1 且 s i n（6 9 H）=1,或者 s i n（3勿z H）=-16 6 6 6 6且 s i n（5 +7）=-1,则问题转化为对V/LGR,函 数 尸s i n(o x +令的图象与直线y =l在/U +3 上至少存在两个交点，或者对V/UR,函数y =s i n(o x +令 的图象与直线y =-1在/U +3 上至少存在两个交点，所以23 T3,其中丁

17、 二2 4二，2 C D32万所以二x 3 ,所以。之TTB3.14,又gwN”,所以8的最小值为4.2co故选：C1 0.已知正三棱柱A B C-A A G的侧面积为246，若三棱柱A B C-A 4G的各个顶点均在球。的球面上，则球。的表面积的最小值为()A.1 6 B.3 2乃 C.岳 D.8#)兀3【答案】B【解析】【分析】设正三棱柱A B C-A与G的底面边长为。，侧棱长为人,根据题意求得a =86，取上下底面的中心分别为。02,取QQ的中点为。，得到外接球的半径为R,得到R =|Q 4|,结合基本不等式求得其最小值，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】设正三棱柱A 8 C -A4

18、 C的底面正三角形的边长为“，A A B B f h,因为正三棱柱A 8 C 4 g C 1的侧面积为24石，可得3 a =2 4 G，即a =8 G，取底面正AABC和 A G的中心分别为Q,O?,连接取GQ的中点为0，则正三棱柱A B C-A B|G外接球的球心为O,设其外接球的半径为R,所以尺=|OA|=J o o；+A O：=Jg y+号 J/_（|y F=2&，即a =2JI =4时，等号成立,此时球0的表面积为S =4兀 K=4万x (2夜y=3 27.故选：B.I I.已知函数/(x)=l og 2(4 +l)-x,设a =h=f(g5),c=/(l og63),则“，b,c的大

19、小关系为()A.c b a B.b c a C.acb D.a b 0,f(x)单调递增，当X G(-8,0),r(x)l,且1 l g 5 0,1 咋63 0 ,所以，再比较电5和 喘3的大小，因为3 5 =电(斗=1一电2,l og63 =l og6(1)=l-l og62,明显可见，I g 2 l-l og62=l og63,得到 I n3 l g 5 l og 63,根据/(x)的单调性，可得/I n1 =/(l n3)/(l g 5)/(l og63)=故选:A2 21 2.己知双曲线C:=1(。0/0)的左、右焦点分别为冗，F,焦距为4,点 在 圆a bE:x2+/+4 x-8 y

20、 +1 6=0 ,且C的一条渐近线上存在点N,使得四边形。为平行四边形，。为坐标原点，则C的离心率的取值范围为()A.2,-H )B.疯+oo)C.4,+oo)D.(1,7 3【答案】A【解析】【分析】设双曲线的一条渐渐近线方程y =设出M点坐标，求出 g 中点坐标8,建立方程进行转a化求解即可.b【详解】由题意，设双曲线一条渐近线方程为y =-x,因为七:*+/+4 1一8+1 6=0,a所以点M在圆E:(x+2y+(y 4)2=4上，设 (%,九)，则2 4%6,四边形0 M A华为平行四边故选：A二Fi则中点坐标为5(三 耍,入 b2 c2-a2 2(/%2=一2e2-l =()2=_%

21、+2(%+211 2 8,1 r i r设，=一，贝,贝%l _ 6 2J-1 1 1、f ，.一1 2(7一彳)6 2 3-X&),代入渐近线方程2.%士Z-&,即=)2 al 2 a x0+2-1,=M-旷 4-(%-4)2-：+8%-1 2e2_l=J -12Z2+8/-1 T2(f-%+工3 3 1 1 ,+-6 0,-，则e 2-l e 3,+oo),解得e e 2,”)，形,令 ON c MF2 B,第n卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，

22、每小题5分，共20分.）13 .已知|=2,1|=3,若 卜+囚=&7,则,一1=.【答案】3【解析】【分析】根据已知将归+母平方，可求得7B，再根据卜力卜价 ,即可得解.【详解】解：因为忖=2,1|=3,卜+=4 7,所以（a +可-a+b+2 为=17,所以=2,则 W 叫 2=yja+b-2a-b=3故答案为：3.14 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.正视图侧视图俯视图【答案】16 8 +6%#6乃+16 8【解析】【分析】根据三视图可以确定该几何体是长方体中挖去一个圆锥，结合表面积公式进行求解即可.【详解】由三视图可以确定该几何体是长为6,宽为4,高为6的长方体中

23、挖去一个底面半径为3,高为4圆锥，如下图所示：圆锥的侧面积为4.3 J 4 2+3?=15万，所以该该几何体表面积为:2x 6 x 4 +2x 4 x 6 +6 x 6 +6 x 6-32+15 7 r =16 8 +6 -,故答案为：16 8 +6 15.已知正项数列 4的前 项和为S“，2s”=4,(4+1),则数列(一1)七 的 前10 1项的和为【答案】-5 1【解析】【分析】根据题意和S a与4的关系求出数列 4的通项公式，利用分组求和法与等差数列前，项求和法计算即可.【详解】由 2S.=a：+an,得 2q =a；+ax,即 a：-q =0 ,由%0,解得 q =1,当MN2时，2

24、s“T=a,_+a“T有 2%=2s“-2sz=-an_,2+an-an_,即&-,)(+-!)=+-1，由a“+a,i ，得见一41T =1，即数列 4为公差为1等差数列，所以g=，当”=1时，q=1符合题意，故4=，则数列(-1)。“的前10 1项和为-6 +a2-ai+aA-阳 +G o o-。=-1+2-3 +4-9 9+10 0-10 1=-(1+3+5 +10 1)+(2+4+6 4-+10 0)1 +10 1 2+10 0-x 5 1+-x 5 0 =-5 122故答案为：-5 1.-1 X 围为.【答 案】(0,；)【解 析】【分析】转 化 求y(x)=匚1 L l/,(%)=

25、1相 切 时 的k,进 而 得 到 有4个交点时k的范围即可1-X【详 解】因 为g(x)=/(x)-A(x-l)有4个零点,所 以 方 程f(x)=上(1)有4个实数根，画出=x 的图像，以及y =A(x l),I n x,x 1则 两 函 数 的 图 象 有4个 公 共 点.其 中 直 线y =*(x -1)经 过 定 点(1,0),斜率为1 ,y =-1 1当直线与/(X)相 切 时，联 立:1-X ,4=(1一2左)2-4%2=0,可求出左=4，由图可知，当y-)0 x P（X2=15 0）=-1771 2 2 5则 E（X,）=0 x +5 0 x +100 x,+15 0 x 2

26、=9 18 18 9 3P（X13=O）=l x l1X =3尸（2）=C；（x|*P（X3=100）=C；（|j xg=募，P（X3=150）=E（X.J =OX!+5 0 x +100 x 10+15 0 x Q2 7 2 7 2 7=100所以石(X 3)(X J 6(X 2),即乙获得图书换购券金额最少.19.在 AABC 中，ACA.BC,N 84C=30,AB=4,E,F 分别为 AC,AB 的中点，APE尸是由AEF绕直线EF旋转得到,连接AP,BP,C P,得到如图所示的几何体.(1)求证：3。，平面2 4。；(2)若AP=3,求平面P 8 C与平面尸所 所 成锐二面角的大小.

27、【答案】(1)证明见解析(2)6 0【解析】【分析】(1)由勾股定理证明PE _ L防，从而得出B C _ L PE,再由A C,8 c结合线面垂直判定证明即可；(2)以点C为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法得出所求二面角的大小.【小 问1详解】.PF =4 E =2,M =,BC=1,PE =，A C =G2 2PE2+EF2=PF2,：.PE 1 EF又BC/EF,：.BCLPE又A C L B C,人仁仆 后二民4口 正 匚 平 面 以。.8 C _ L 平面 P4 C【小问2详解】,/cos/A E P =+PE?-AP?2 A E-P E3+3-92x V320

28、Z A E P b 0)的左、右焦点分别为月，F2,离 心 率 为 乎，p为。上一点，且P 6 E面积的最大值为4.(1)求C的方程；(2)若直线)=丘+(。0)与C交 于 两 点，过点B作直线y=3的垂线，垂足为。，若直线AO与V轴的交点为定点。，求，的值及定点。的坐标.2 2【答案】(i)+2L=18 4(2)t【解析】【分析】(1)当P为椭圆短轴端点时，面积最大，结合离心率和椭圆6仇。关系可构造方程组求得结果；(2)将直线A 8与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用直线两点式可得直线AO方程，令x=()可表示 出 几；由。为定点可构造方程求得上 进而得到。点坐标.【小 问1详解】当P为椭

29、圆短轴端点时，PF；用面积最大，即g-2cm=Z c=4,a=2叵2 2b=2，椭圆C的方程为：+=1.8 4由 bc=4 得：/=+c2【小问2详解】y=kx+t由r y2+=1I 8 4得：（1 +2左+4k%+2产一8=0,A=16公/-（4+8妤）（2/-8）=64左2 一8/+320,即/e【解析】【分析】求出了(X),分0 1讨论可得答案；(2)由 2/(,?4一得短,，1rly2 +欣2 4 ro ce*+m x，构造函数g(x)=x e，+x(x R),利用导数e可得g(x)为单调递增函数，转 化 为 此 叱(x 0),令。(=叱(1 0),求出(x)的最大值可得答案.【小 问

30、1详解】由/(x)=x +，)l n x(x 0)得r(x)=4+l +1 1-y j i n x,X J X k X J当0 0,x x)x所以r(x)o,函数单调递增;当X 1时,1 7 0,l n x 0,所 以-j In x 0 ,且f+1 0,XI X/X T所以r(x)o,函数单调递增，综上所述，当x 0时，/r(x)0,所以/(X)在(0,例)上单调递增.【小问2详解】由 2/(x)_ 已=机得 2(x +，Iru一m V me.nx,em r I x)因为 x 0,所以 2x2 In x+21n x mxe,l x+iwc，可得 e,n r In x2+In x2 twce,n

31、x+m x，转 化 为 对(O,+8)时e,n x 2l a r2+In x2 mxenix+g恒成立，求实数m的取值范围,令 g(x)=x e+x(x /?),g(x)=(x+l)e +1,令=e (x+1),mr(x)=ev 1,当xNO时，加(同 土 -1 2 0,加(x)单调递增，当x0时，mr(x)=eA-l (x+l),所以 g(x)=(x +l)e +12(x+l)2+1 0,所以g(x)=心+x为单调递增函数，而 j=el n In x2+nx2 0),In y p,即 In x 2-(x 0),x令Mx)=(x 0)，所以(x)=2(l 司,当00,(x)单调递增,当x e时

32、，/x)=T的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=2co sa(1)求直线/的极坐标方程与曲线c的直角坐标方程;OM(2)若过极点O的直线4交/于点M,交C于点N,求%7f的最小值.C W【答案】(1)0 si n e +?J =3；(x-l)2+/=1；(2)2.【解析】【分析】(1)通过消去/求出直线/的普通方程，结合x =co s。、y=psi n 6即可求出直线的极坐标方程；利 用/+丁=夕2、X=0 CO S。计算即可得出曲线的直角坐标方程；设直线4的极角为。o(O 4 /),根据题意可得|。/|=3si n(4 +：|O N|=|2co s 阂,0 M 3由 三

33、角 恒 等 变 换 可 得*-T,结合正弦函数的性质即可求得结果.阿 s in(2%+6 2【小 问1详解】由6 +6,。为参数)，得x =6 一百y,y=T又 x=夕 co s a y=psi n ,所以直线/的极坐标方程为pcos8+6 p s i n 8=6,即 psi n(e +?)=3 ；由 =2co sa,得夕2=2pco sa,又/+、2=22,x_ pCOSa f所以曲线。的直角坐标方程为/2x+y2=o,即(x-l)2+y2=i；【小问2详解】3由(1)知，直线/的极坐标方程为 一 .(A,万),I 6 J曲线C的极坐标方程为夕=2co sa ,j r设直线4的极角为4，由题

34、意得00,L 7 2-1 1 2且“+=一机，求证：-H-3 。+1 b+2 39【答案】(1)-2(2)证明见解析【解析】【分析】(1)分 x:，2I-%25和 对 函 数 化 简，从而可求出其值域，进而可求得其最小值,(2)由(1)L+1+b+1 2*+D +S +2)-1-1-。+1 +2,化简后利用基本不等式可证得结论【小 问1详解】/(x)=|2x-l|+|5-x|=/c 1o 3x,x 一2x+4,x5当271-2zr9-2-1-2当!x 5时,2/(x)=x+4递增，所以/9/U)/(5),即5 4/(元)0,所以。+10,。+20,所以=J。+D +(+2)117+。+1 Z?+2 6 1 Z?+2 +2 -2+2.-6(V 7 +1 6+2,23当且仅当2 =土，即。=2/=1时取等号,a+l b+2所以W+看2 9