提高二 数列求和的方法（教师版）.pdf

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1、拓展二数列求和常用的方法（精讲）思维导图分母可拆成偶数个因式因式相乘求和通项特征分式裂项后通分过程的总结，除 了（-1）把分 母 的 变 成 +）分子-常数n可两项分坦大因式-分坦小因式 非常数=不可裂项裂项相消根式形 如丁 :7=:（病7 -而）Jn+k+V K利用平方差迸行分母有理化=a（的 小 因 式 一 的 大 因 式1 1，前 倾 和T 0+0+0+。=化简将n=l、2.n分别代入通项原式的括号中）乘法 等差数列X等比数列（即一次函数X指数型函数）通 项（-,将证/除法 等差数列（的 一 次 函 数）等 比 数 列 指 数 型 函 数ft ft ft ft错位相减法n=l n=2 n

2、=3 n=n代入通项公式，等差数列当等比数列的系数解题思路qS=+-.+在的基础上左右同时乘即在式中指数加1 娟（1 ms.=蛮 的 第 一 质 （指数函数相加）-颐 最 后一面=|中的第一项|+依等比求和公式）-的后一项|=化简两边同时除以（1 q）即得2八hk为指数函数赢相同前面系数差）整 式 一4二包土c“即 两 哪 列 相 力 口 减n为奇数n为偶数s”=(q +c2+c3+.+c )(*1+b2+b+.+bn)整式ftft根据an、b.通顶的特征选择求和的方法求和分组求和解题思路概念通项特征奇偶并项求和解题思路如果求S“”得分类讨论，分奇数还是偶数项当，为偶数SR=(4+4 +4 +

3、b)土(c+。6+“+c”)n ft根据cn、，通项的特征选择求和的方法，注意各自项数为w当”为奇数S“=(4+4+4 +.“+4)士(q +c,+c4+.“+CT)ft ft根据b”部通项的特征选择求和的方法，下标为奇数的项故为手，下标为偶数的项数为?一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和an=(4)/()或(-1尸/()或(1)/()(1)当求和为2n项时即S2n凡“=(%+%)+(%+4)+(4+/)+-+(%+%)出算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法(2)当求和为n项时即Sn,需要分n为奇数还是偶数当”为偶数时S.=(4 +/)+(%+4)+(%+/)+(%

4、+.)中算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法)当 为奇数时况=(a,+/)+(%+q)+(4 +/)+.+(fl,.2+a.,)+a.中算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法或S“=aI+(a2+a,)+(a4+as)+(a6+a7)+.+(a.,+a,)中算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法考点一裂项相消法【例1】（2021 全国高二课时练习）数列 a.的前项和为S,“a“是S和1的等差中项，等差数列 或满足仇+&=0,b a.（1）求数列 4,仿“的通项公式；（2）若0产+161+18）求数列 以的前项和尼【答案】（1）4=2 1；力 =2-17；（2）-2+1

5、【解析】（1）当是S和1的等差中项，3=2a-1,当 22 时，国=$一$-1=(2&-1)1)=2an2an-,:a产2a-,当 n=时，&=S=2&1.，囱=1且&W 0,2=2,4是首项为1,公比为2的等比数列,1 _/.a=2,S=a+a 2 H-F&=-=2 I.1-2设 4的公差为&6=一6=15,庆=-15+8d=l,：.d=2,：.bn=-15+(/7-1)X2=2-17._ 1 1 A(2)C，=(2n-l)(2n+1)=2121-271)【一隅三反】1.(2021 全国)已知等差数列 a 满足：备=7,25+备=26,a 的前 项和为S.(1)求 a“及1$,；(2)令 4

6、=-4 5 G 川)，求数列b,的前n 项 和 T,.凡一n【答案】(1)a=2n+l,=(+2)；(2)-4(+1)【解析】(1)设等差数列 a 的首项为国，公差为4由于&=7,编+&=26,c?iH-2d=-7 2句 +104=26，解 得 功=3,d=2.*a0=2+l,S,=(+2).(2)V aw=2/?+l,a；l=4(/?+l),.3 I 仕“4(+l)H4-1J故 北=8+友 1-bn41 n-)4(+l)n.数列伉 的前项和北=布 许.2(2021 六盘山高级中学高二月考(文)已知数列 ,的各项均为正数，其前项和5“满足4S,=(a“+l)2.(1)证明：数列 q 是等差数列

7、：(2)设数列=一，求数列%的前项和小an,an+n【答案】(1)证明见解析；(2)2 7 7 +1【解析】(1)由题意，数列 4 的各项均为正数，且满足4s“=(,+1)2.当 N 2 时,4a=4S“-4S,l=(a+1)2 一(+1)2=a；t+2an-2an.1,可得a：-a：T-2a“一 2%=0,即(q,+a,i)(a“一 q 一|一 2)=0,因为“。，所以a“-”“T=2,当”=1 时，4S,=(a1+l)2=4a1,解得q=l.所以数列%是首项为1,公差为2 的等差数列.所以数列 )是等差数列 为%=2 -1.,1 1 1 z 1 1 、(2)由(1)知=2”-1,可得包=-

8、=-r-T-r),an-an+(2-1)(2+1)2 2n-2n+所以 I =b+b2+d =(1-1)+(|-1)+-+(y -j-)=y-7-.2 1 3 3 5 2n-2n +l 2 +l3.(2021 内蒙古集宁一中(文)等差数列“中，4=3,且满足“的=”“+2.(1)求数列 4 的通项公式；,1 ,、(2)若,求数列 的前项和S”.4”+1【答案】(1)a,=2+l(e N)【解析】(1)由已知等差数列 为 中，6=3,由6用=4+2 可得“用-。=2,山等差数列的定义可得：为 是以3 为首项，以2 为公差的等差数列，所以 q=3+2(-1)=2 +1(N*).(2)由(1)得包=

9、M 1 i W o =I 9 1 _ 9 1 Q I-at l-an+l(2 +1)(2力 +3)212+1 2 +3/力义.c -i lI.f l3 _51 +51 -71 +21 +1-2/1 1 1)1 11+3,|-2 U_2n +3-6-4/7+6,考点二错位相减法【例 2】（2021 六盘山高级中学高二月考）设等差数列 4 中，4=3,4=7,各项均为正数的数列 4 的前项为S,已知点（勿也+J（w N,）在函数y =3x-4的图像上，且4=5.（1）求数列%和 2 的通项公式;（2）设数列 c,满足G =普，数列 q 的前八项和为7；.【答案】(1)%=2 +1；=3 +2：(2

10、)7；=2-(+2)(g).【解析】（1）解：设等差数列 凡 的公差为,则d =Z L =Z z l =2,：.a=2n+;3-1 3-1 点（切也+J（e M）在函数y =3x-4的图像上A 2M=3。-4,，b“2=3(/7,-2),即=3；数 列 也-2为等比数列，首项为4-2=3,公比为3.包一2=3x 3 i=3,即2=3 +2.（2）解:an 2714-1 2/1+1 (1-=-=-=(2n+1)bn-2 2+3”-2 3I)+5x(9+唱京=3 x&+5 x（扑.+（2+1唱）-得，|7；=3x&+2 x 图 +0+.唔）一（2计1唔）=l +2 x-=i-（2 n +l）x -

11、J-3=”+切（|.7 2-5 +2）|.【一隅三反】1.（2 0 2 1 四川间中中学）已知数列 4 是首项4=；,公比4 的等比数列，设2+3 1 0 g 44+2 =0,数列&满足c“=a”也.（1）求数列出 的通项公式；（2）求数列。的前凡项和5“.八、，o c,c、。2 3 n+2【答案】b=3 n-2.5 =-J D X今【解析】（1）由题意，数列 4 是首项4=；,公比0 =（的等比数列，可得4=（：）”,又由 b+3 l og/,+2 =0 ,即 bn=-3 1 og4 a,-2=-3 l og 式;)一 2 =3”-2 ,即数列圾 的通项公式瓦=3 -2 .(2)由(1)知4

12、.=3-2,所以%=为 色=(3-2)(力，所以 S”=l x +4x 4+71)+(3-5)XQ)+(3-2”用,于 是%=1 x(；)+4x(j +7 x(+(3 5)x(；)+(3 2)x(j ,两式相减，可得:-S=-+3 x4 4晌 扑 +用1 C=一+3 x .4 1-4 一 时=/3 +2 成,-j-U o 2 3 +2所以3 X 4”2.（2 0 2 1 福建省连城县第一中学高二月考）已知2 a3=4+；S?=3；4=%+2/，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.设正项等比数列%的前项和为5，数列 的前”项和为，%=瓦,对V w N+都有7；=2+2 4 成立

13、.（1）求数列 叫、他 的通项公式；（2）求数列%的前项和【答案】（1）a“=2T,2=2 -3；（2）H =（2n-5）2+5.【解析】(1)=1 时，1=l+2bi=仄,b1=-12 2 时，b.=T“-1-=(“2-2/7)-(n-1)2-2(-1)=2-3,又a=-1 符合上式，b=2n-3,4 =4 =因为%为正项等比数列，q 0.选 2%=4+仇=8,a3=4 =axq2,夕=2或4=-2 （舍）选 S 2 =q +%=+4=3 ,g=2,an-2选 由%=3+2%得-g-2 =0 ,4=2或夕=T（舍）,（2）a也=（2-3）2 TH =-l x 23e q+i=3 q +ln%

14、-d =l,为等差数列;（2）,:瓦=3，%=2,br i=2 +（n-1）=/;+1,n +1S =q +&+.+，?=2.+3/+（+1）.三,=2 5+3.、+5+1）击，2 c 2 1 1 1,、1 2 32 1 3”T J 1一得：S“=1+W+三 _(+D,诃=+-j，1-3.c 5 2n+54 4-3N考点三分组求和法【例3-1(2 0 2 1 河南新郑高二月考(文)已知数列 4“,且q=3,等+1 =4，ne N(1)求 4 的通项公式；(2)求 4 的前“项和S”【答案】(1)=2,-|+2：(2)S“=2+2-l.【解析】孽+1 =4,所以&+i+2 =2 a“，a+1-2

15、=2a-4=2(a-2)乂 q=3,所以 q 2 =1,所以数列 4 -2 是以1为首项，公比为2的等比数列，所以 a“-2 =2 T,所以 a“=2 T +2(2)由(1)可得a“=2 T+2,所以 5“=1 +2 +2 +2 +2 2 +2 +2*2,1-2S=2 n +-=2+2n-l.1-2【例3-2】(2 0 2 1 全 国高二课时练 习)已知等差数列&前项和为S”为=9,S5=2 5.(1)求数列&的通项公式及前n项和S;(2)设2 =(-1)S，求 g,前项和北.【答案】(1)%=2-1,S=n2；(2)7；=(-l)My.【解析】(1)由 S 5 =5()；%)=2爱=5 aj

16、 =2 5得。3 =5.又因 为%=9,所以1=生 券=2,则3 =4+2 d=4+4=5,解得4=1；故=2T,=3又 当 心2 时，由 a+ia(2 S,+1)(2 S +1)=2a,得 a“+i=3 a“,.数列&的通项公式为a,=3 ,nN.(2)设 4=|3 T-2|,nWN,6 =2,灰=1.当 时，由于 3T +2,故 4=3 i一-2,2 3.设数列&的 前 项 和 为&则7 1=2,冕=3.当3 时，7.=3+-)_ 5 +7)(-2)=3-、5 +1 11-322经验证，当=2时也符合上式.2,=1所以，T=y-r-5n+,nN2,ns N”22.（2 0 2 1 江苏姑苏

17、苏州中学高二月考）已知数列%是公差为1的等差数列，且4，%，的成等比数列.（1）求数列 凡 的通项公式;（2）记2=。+3”,求数列出 的前项和刀一【答案】（1）=:（2）7；,=皿 丝D +”.2 2【解析】（1）设等差数列的通项公式为%=4+T，由于4,4，%成等比数列，则（+2）2=%（4+8）,解得4 =1,所以q =”,（2）由题意，b=n+y-,所 以=0 +2 +3+）+（3 0+3 +=3.（2 0 2 1 全 国高二单元测试）已知数列 勺 的前。项和为S“=C：+C；+C：+C；T,数列协,满足d=lo g M.（1）求数列 4、,的通项公式;(2 )求 7；=写+&2 _

18、始+(-1 严 b；.X L,“为奇数【答案】(1)a=2-,bn=n-.(2)Tn=:,.七？-,为偶数2【解析】(1)由题意，得：S“=C：+C,+C+.+C：T=2-I,当 =1 时，,=S,=21-1 =1,当“N2时，a=S-S,-=2-1-(2-1-1)=2”，.当”=1时，4=1 也满足q=2，.4=2，bn=log22-1=n-1.(2)由(1)知，b=n-,即数列g,J是以0 为首项，1为公差的等差数列，当为奇数时，n-1为偶数，T.=b；-号+%?-+(-1)m“=一 打2 +_/2+b j _ b“；+b j=+4)他-H)+(4+幻 电 -&)+(矶 +%)依一2 -%

19、)+=_(向 +b2+b3+b4+-+b,”i)+b;=_(n-l)(n-2)+(w_1)22nr-n=2当为偶数时，-1,加1均为奇数，7；=牙 一 齿+母 一 切+.+(-1产42=42 _ 82+42 仇2 +2 _ b 2=(4+%)(4)+(+5)他 )+S i+d)S i-A)(+b2+by+b4-卜 b)n(n-1)22综上所述，可知：巴二,为奇数T=上土,为偶数24.(2021 全国高二单元测试)等差数列 4 的公差为正数，a=1,其前项和为S；数列 4 为等比数列,4=2,且 b2s=1 2,方+=10.(I)求数列 激 与 4 的通项公式;(II)设cn=bn+,求数歹I

20、cn的前项和北.2【答案】(1 )a产n,bn=2f,；(II)2 n+【解析】(I)等差数列&的公差d为正数，句=1,数列&为等比数列，设公比为s=2,且 2%=12,Z+W=10,可得 2。(2+4=12,23+34=10,解得 g=2,d=l9贝 ij a =1+-1=，6=2；1 2(II)cn=bn+=2rt+-=2+2S“(+l)1 1(),n n+1则前项和7：=(2+4+2”)+2(1-1-F d-)2 2 3 n n+l=2)1-22=2融7 7 4-1+1考点四倒序相加法【例 4】(2021 全国高二课时练习)已知函数y=/。)满足/(x)+/(l r)=l,若数列。满足q

21、,=/(O)+/(：m+，则数列 4 的前20项 和 为()A.100 B.105 C.110 D.115【答案】D【解析】因为函数y=/(x)满足/(x)+/(i-x)=i,4=f +7(J噌 卜+/(?)+/，4,=/+/(?)+/一)+/”(0)，n+1由+可得2%=+1,.%=；-,J 20 t )所以数列也 是首项为1，公差为)的等差数列，其前20项和为2+2/-1 1 32故选：D.【一隅三反】1.(2021 新余市第一中学高二月 考)己知函数/(x)=x+3s in(x-：+；,数列 4 满足为=福，则 乙)乙 ZXJ 1 y/+/()+)=()A.201 8 B.201 9 C

22、.403 6 D.403 8【答案】A【解析】./(l-x)=l-x +3s in f1-J +p./(x)+/(I)=2.T 7 n 201 9-1 an+a20l9-n-药 +201 9 -(4)+/1 9 一 )=2.令 S=/(q)+/(/)+/(%oi8)，则 5 =/(%)8)+/(*)+-+/(4)，两式相加得25 =2 x 2 0 18,，S=201 8.故选：A2.(2021 赣州市赣县第三中学高二开学考试(理)己知函数x)=(x-l)3+l,利用课本中推导等差数列的前“项和的公式的方法，可求得/(-5)+/(Y)+/(0)+/(6)+/(7)().A.25 B.26 C.1

23、 3 D.2【答案】C【解析】./(x)=(x-l)3+l,:.f(2-x)=(2-X)-1 3+1 =(1-X)3+1 ,即(x)+2 x)=2,设f=/(5)+/(T)+/(-3)+/(0)+f(6)+/(7),则 f +6)+f(5)+/(0)+/(T+-5),则+得：2 r=/(-5)+/(7)+/()+/(6)+-+/(7)+/(-5)=2 x l 3 =2 6,故，=1 3.故选：C.3 .(2 0 2 1 河南南阳中学高二月考)已知F(x)=/(x +；)-l 是R上的奇函数，4=/(0)+/(1+/(：)+/(“e N”),则数列 4 的通项公 式 为()A.a=n B.an=2n C.an=n+D.a=rr-2/1 +3【答案】C【解析】由题已知F(x)=/(x +-l是 R上的奇函数，故 F(-x)=-F(x),代入得：/(；-x)+/(；+x)=2(x eR),函数关于点弓，1)对称，.1令 f=-X,贝 l j g +x =l-f,得到/(f)+/(l T)=2,；%=o)+f()+/(1)+/a)，%=1)+/1)+H。),倒序相加可得2 q,=2(+l),即 a“=+1,故选：C.