2023年（全国乙卷）理科数学模拟试卷（共12份）（学生版+解析版）.pdf

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1、保密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷一（全国乙卷理科）学校:姓名：班级：考号：题号二三总分得分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.评卷人 得分 一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（本题 5 分）已知集合 4=x|-3x 0,则/n s=（）A.x|-2xl

2、B.x|-2 x 1 C.x|-3x2 D.x|-3x22.（本题5分）已知复数z满足=则在复平面上z对应点的轨迹为（）A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形3.（本题5分）如图，4是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为2.2m时，下列描述正确的是（）（参考数据:7万=21.991）AA.点N在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mB.点/在轮子的右下位置，距离地面约为0.15mC.点4在轮子的左下位置，距离地面约为0.26mD.点/在轮子的右下位置，距离地面约为0.04m4.（本题5分）在等差数列叫中，生=4,且4,%，旬，构成等比

3、数列，则公差=（）A.0 或 2 B.2 C.0 D.0 或-25.（本题 5 分）已知直线6：xsina+y-l=0,直线乙：x-3ycosa+l=0,1/2,贝I tan a=（）C.3D.-3i i 36.(本题5分)若随机事件A,8满足P(Z)=,P =3,P(A+B)=%,则尸(忸)=()23A.C.29_4B.D.7.(本题5分)已知c o s夕-3 s i n a =2,s i n /y +3 c o s a =,则 s i n(-a)=(A.52 4C.D.6)B-盘58588.（本题5分）如图一，矩形4 8 c o中，BC=2AB,_ L 8。交对角线8。于点。，交8 c于

4、点 现 将“8。沿8。翻 折 至 的 位 置，如图二，点N为棱HD的中点,则下列判断一定成立的是（）图一A.B D L C NC.C W/平面B.4 0 1 平面88D.平面平面882x-y满足约束条件+-3 4 0,贝l J（x-l）2+V的最小值为（）x 0A.1厂2755D.21 0.（本题5分）已知函数.f（x）=0g(x),x 0为奇函数，则g（x）在x =T处的切线方B.35程 为（）A.x-y=0 B.2x-y+l=0C.x-2y+=0 D _ 3 x _ y +2 =01 1.（本题5分）在正方体458-48 CQ中，球Q同时与以A为公共顶点的三个面相切，球。2同时与以为公共顶

5、点的三个面相切，且两球相切于点尸.若以尸为焦点，AB,为准线的抛物线经过。，0-设球Q，Q的半径分别为不，则上=（）2A.B.y/3-y2 c.1-也 D.2-62 21 2.（本 题5分）2 0 2 1年7月2 4日，中共中央办公厅、国 务 院 办 公 厅 印 发 关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，这个政策就是我们所说的“双减”政 策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个 词，螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或 缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的

6、曲线，如 图（1）所 示.如 图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正 方 形 四CD的 边 长 为4,取 正 方 形 居 8各边的四等分点E,F,G,H,作 第2个 正 方 形E/G”,然后再取正方形EFG4各边的四等分点”,N ,P,Q,作 第3个 正 方 形 依 此 方 法 一 直 继 续 下 去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形A B C D边 长 为4,后续各正方形边长依次为。2，%，/，；如 图（2）阴影部分，设直角三角形/E”面 积 为4,后续各直角三角形面积依次为打，4,，b，.下 列 说 法 错 送 的 是（）A m BA-从 正 方 形 期

7、8开 始,连 续3个 正 方 形 的 面 积 之 和 为 工C.使得不等式6“成立的的最大值为4D.数列也,的前项和S,6 0）,耳，名为椭圆的左右焦点，Pa b为椭圆上在第一象限的一点，/为 APG 乙的内心，直线P/与x轴交于点0,椭圆的离心率为g,若 配=/1区，则4的值为.16 .（本题 5 分）在梯形 4 S C D 中，Z A B C =Z B A D =90,4B=B C =g A D =l ,M 为 4 c的中点，将沿直线/C翻折成V Z4C,当三棱锥片-N CD的体积最大时，过点”的平面截三棱锥B A C D的 外 接 球 所 得 截 面 面 积 的 最 小 值 为.评卷人得

8、分三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 2 1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3 题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共 6 0 分17.（本题 12 分）A/B C 中，A C =4m,BC=4m，A C I B C,点M,N 是边 Z 8 上（2）设 40/=6,当AMWC的面积为26m2 时，求6的值.18 .（本 题 12 分）已知某闯关游戏，第一关在43两个情境中寻宝.每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境,无论寻宝成功与否，第一关比赛结束.A情境寻宝成功获得经验

9、值2 分，否则得0 分；8 情境寻宝成功获得经验值3 分，否则得0 分.已知某玩家在A情境中寻宝成功的概率为0.8,在 B情境中寻宝成功的概率为0.6,且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关.（1）若该玩家选择从A情境开始第一关，记X为经验值累计得分，求X的分布列；（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由.19 .（本 题 12 分）某商品的包装纸如图1,其中菱形在CD的边长为3,且N 4 8 c =6 0。，AE=AF=6 BE=D F =2邪,将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点 E,F,M,N 汇聚为一点P,恰好形成如图2 的四棱锥

10、形的包裹.(1)证明尸/,底面745cD;(2)设 点 7 为 5 c 上的点，且二面角8-P 4-T 的 正 弦 值 为 应，试求P C 与平面B4T14所成角的正弦值.20.(本题12分)已 知 双 曲 线=点尸的坐标为伍,6)，过户的直线/交双曲线 C 于点4 8.(1)若直线/又过C 的左焦点尸，求力尸1 尸的值；(2)若点收的坐标为，-手),求证：方.丽 为 定值.21.(本题 12 分)已知函数/(x)=lnx,g(x)=：(1)直接写出曲线y=/)与曲线v=g(x)的公共点坐标，并求曲线y=/(x)在公共点处的切线方程;(2)已知直线x=a 分别交曲线y=/(x)和y=g(x)于

11、点A,8.当a e(0,e)时,设AO/8的面积为S(a),其中。是坐标原点，求S(a)的最大值.(-)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.(本 题 10分)如图，在极坐标系中，已知点(2,0),曲线G 是以极点O 为圆心，以为半径的半圆，曲线是过极点且与曲线G相切于点(2,U的圆.(1)分别写出曲线G，的极坐标方程:(2)直线O=a(0 口0)的最大值为6.(1)求”，的值;(2)若正数x,y,z满足x+_y+z =w ,求证：yfx y+yfx z 4 m .保密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考

12、试模拟卷一（全国乙卷理科）学校:姓名：班级：考号：题号二三总分得分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.“八二 一、单选题（本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（本题 5 分）已知集合 4=x|-3 x 0,则 4 0 5=（）A.x|-2 x l B.x|-2 x 1）C.x|-3x2

13、 D.x|-3x-2：.Ao B x-2x _L(W,CE/OM ,则 8_LC,若 B D1 C N,且 C E A C N=C,贝 U 8。_ L 平面 CNE,.NE u平面 CN E,则 BD X.N E,由于 4 0、N E u 平面 4 5 0,且 8 O J.4。，故 A OH N E,由于N 为4 3 的中点，则E 为。的中点，与已知条件矛盾，A 选项不成立:对于C 选项，由 A 选项可知，因为CE OM,CE平面HQM,O M u 平面ZQ”,所以，CE平面H Q”，若 C N H平面 A O M,C N C C E=C ,则平面 CN EH 平面 A O M,W为平面 Cl

14、 平面 HOM=A O,平面 4 8。Q 平面 CNE=N E,则 A OH N E,由于N 为/。的中点，则E 为。的中点，与已知条件矛盾，C 选项不成立.故选：D.2 x-”09.（本题5 分）若变量x,，满足约束条件7 +夕-34 0,贝 Ij（x-l+y2的最小值为（）x04 7/sA.1 B.-C.D.25 5【答案】B【分画出可行域，由卜-1+/的几何意义是可行域内点与(1,0)的距离的平方，从而解得.【详解】结合题意作平面区域如下，y而(x-lp+j?的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方，又(1,0)到直线2x-y=0的距离为爰故的最小值为故选：Bx+xlnxx 01

15、0.(本题5 分)已知函数/(x)=c 为奇函数，则g(x)在x=-1处的切线方g(x),x0程 为()A.x-y =0 B.2x-y+l=0C.x-2y+=0 D.3x-y+2=0【答案】D【分析】利 用 函 数 为 奇 函 数 可 得 g(x)=-/(-x)=-x2+xln(-x),求导可求解g(-D=-1,g(1)=3,即得解【详解】当x 0,则 f(-x)=(-x)2+(-x)l n(-x)=x2-x l n(-x),止 匕 时 g(x)=-f(-x)=-x2+x l n(-x),则g (x)=-2 x+l n(-x)+l,则g(-l)=-l,g (-l)=3,所求切线方程为y +l

16、=3(x+l),即3 x-y +2 =0.故选：D1 1.体 题5分)在正方体”8-4 3 CQ中，球0 同时与以A为公共顶点的三个面相切，球。2同时与以G为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点尸.若以尸为焦点，AB,为准线的抛物线经过a，Q,设球Q，Q的半径分别为八，2,则工=()r2A.B.x/3-V 2 C.1-D.2-百【答案】D【分析】由题先画出立体图，再画出平面曲处的截面图，由抛物线第一定义可知，点。2到点F的距离即半径4,也即点02到面C D D 的距离，点。2到直线网的 距 离 即 点 到面 的 距 离 因 此 球O?内切于正方体，设=1,两球球心和公切点都在体对角线A CX

17、k,通过几何关系可转化出片,进而求解【详解】根据抛物线的定义，点。2到点P的距离与到直线/用 的距离相等，其中点&到点下的距 离 即 半 径,也即点。2到面C D A G的距离，点。2到直线网的距离即点o2到面的距离，因此球Q内切于正方体，不妨设，2=1，两个球心Q，。2和两球的切点产均在体对角线4 G上，两个球在平面第处的截面如图所示，则O2F=r2=,AO=,=6,所以 又因为 尸=/+尸=6+4，因此(6+%=百-1,得6=2-0，所以=2-6.故选：D【点睛】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养1 2.（

18、本 题5分）2021年7月2 4日，中共中央办公厅、国 务 院 办 公 厅 印 发 关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，这个政策就是我们所说的“双减”政 策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现 象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或 缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如 图（1）所 示.如 图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正 方 形/8C D的 边 长 为4,取正方形力5 c。各边的四等分点E,F,G,H,

19、作 第2个 正 方 形 然 后 再 取 正 方 形E/G H各边的四等分点M,N,P,Q,作 第3个 正 方 形M N PQ,依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形CD边长为勾，后续各正方形边长依次为。2，%，a.如 图（2）阴影部分，设 直 角 三 角 形 面 积 为，后续各直角三角形面积依次为8，b,b,.下 列 说 法 镇 送 的 是（）A.从 正 方 形“BCD开 始,连 续3个 正 方 形 的 面 积 之 和 为 工BC.使 得 不 等 式 成 立 的 的 最 大 值 为4D.数列他,的前项和S,4【答 案】C【分 析】根据题意得到数列“是 以4为首项，巫为公比的等

20、比数列，进而求出 见 的通项公4式，再根据”&也得到也,=无抖，然后 得 出 的通项公式，最后验证四个选项得到答案.【详 解】由题意,于是数列 4 是 以4为首项，叵为公比的等比数列，则%=4 4=；一 ；卜二屋 一 ；+i 2一 4，.，一 4对A,连续三个正方形面积之和为：4 =+%+%=42+（1而+仁）=詈，正确;易 知B正确;对D,故选:对C,1 14=4H U正确.C.s 82【点 睛】新 文 化 试 题 定 要 读 懂 题 意，一定要反复读几遍理解题目所要表达的意思，新文化试题会与我们所学知识相结合，本题入手不太难，难点在于运算量.评卷人 得分二、填空题（本 题 共4小 题，每

21、小 题5分，共20分）1 3.（本 题5分）已知向量Z=（3x,l）,向量5=（2,1）,且；/，则*=.【答 案】:2【分 析】直接根据向量平行的坐标运算计算即可.【详解】解：因为。力.2则3 x =2,得x =2故答案为：.1 4.(本题 5 分)若(l-2 x)4=a0+atx +a2x*2+a9x9,则 q+七+%的值为【答案】-1【分析】赋值法，令x =0 可求出/，再令x =l 可求出4+。9.【详解】由条件得：在等式左右两边取x =0,计算得%=1,令x =l,计算得。0 +4 +。9 =0 ,于是+%+。9 =-L故答案为：-12 21 5.（本题5分）已知椭圆的方程为+京=1

22、（。60）,片,名为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，/为 片 鸟 的 内 心，直线产/与x轴交于点,椭圆的离心率为:，若 而=/不，则4的值为.【答案】4【分析】连 接 阴、/，/是丛PF R的内心，得到P Q为N g 的角平分线，即Q到直线P F、P F2的距离相等，利用三角形的面积比，得到露篇瑞二毗固二圆的离心率的定义，即可求解.【详解】解：如图所示，连 接/、低，/是 尸片与的内心，所以 ;、但 分别是/尸耳心和/尸死与的角平分线，由于经过点P与 咫 后 的内切圆圆心/的 宜线交X 轴于点。，则尸。为N 片 鸟 的角平分线，则。到直线尸片、环的距离相等,结合椭c所以S*|P片

23、 幽S阀 门M一 同理可 得p鬲/=尸渴川=四IQ W由比例关系性质可知肄 毗也网2 Cc10 1 一一 一 一又椭圆的离心率e=,=局=.所以刊=3/0,所以PQ=4/Q,故；1 =4,【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得生。得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.16.（本题 5 分）在梯形四C D 中，ZABC=ABAD=90=,4B=BC=3AD=1,M 为 4c的中点，将沿直线4C翻折成VZ8C，当

24、三棱锥4-2 8的体积最大时，过点的平面截三棱锥B.-ACD的 外 接 球 所 得 截 面 面 积 的 最 小 值 为.【答案】y【分析】分析出当平面8/C，平面/C D时，三棱锥片-ZCO的体积最大，取 的 中 点O,分析出点。为三棱锥片-4 8的外接球的球心，求出球的半径，计算出截面圆半径为最小值，结合圆的面积公式可得结果.【详解】如下图所示，连接8眼，则8阳，4C,B设二面角片-4 C-。的平面角为a,设三棱锥片-4 8的高为万，则,D 3/6 h=B.M sina=sin a ,2v _ 1 c 1 c V2.0VB,-A C D =ACD A C D TS ln a 7 A C L

25、3 3 2 6当且仅当a=90。时，等号成立，即当平面g/C,平面4 8时，三棱锥与-4 8的体积最大，:AC=6,AB=BC=,ZABC=90,故 为等腰直角三角形，且 4 C B =45，在梯形/8C。中，NABC=NBAD=90、JiP J BC/AD,所以，NC4O=4 C 8 =45，在 A 4C D中，AC=6，AD=2,ZCAD=45，由余弦定理可得 CD=1AC?+AD?-2/C-4。cos45=夜，故 4 c?+CD2=AD2,：.CD1AC,因为平面BACL平面/a 5，平面5/C n平面/C D =AC,CD LAC,CD u 平面/C D,CD 平面8/C,ABt u

26、平面 BtA C,则 AB,1 CD,因为/q _ L 8 C，B、CcCD=C,/4 1.平面 gCD,8Q u平面片。3，所以，记N O中点为。，由。4 =04=OC=0。得。为三棱锥片-XCO的外接球的球心，且球的半径为。=3 4。=1,设0河与过点M的平面所成的角为6,设点。到截面的距离为d，则d=OM sin 0=sin 0,2故截面圆的半径为,-V2N-，当且仅 当。=90。时，过 点M的平面截三棱锥外接球O所得截面面积最小，所以截面圆面积的最小值为x=-.故答案为：【点 睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程

27、如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径：如果是外接球，球心到接点的距离相等旦为半径；(2)作截面：选 准 最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.评卷人 得分 三、解 答 题(共70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证明过程或演算步 骤，第1721题为必考题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第22、23题 为选考题，考 生 根 据 要 求 作 答.)(-)必考题：共60分1 7.(本题 12 分)

28、中，A C =4 m,B C =46m ,4 C L B C,点M ,N是 边4 8上两 点，Z M N C =30.(1)当4M=2m时，求AMNC的周长;(2)设4。/=。，当AMNC的面积为2鬲2时，求。的值.【答 案】(1)(6+2省)m(2)6=30或。=0。【分 析】(1)在/C A I中，由余弦定理求得C M,从而可得C A/L/8,从而可求得M C N,即可得出答案；(2)在ACN中,利用正弦定理求得C N,在4 0 0 中，利用正弦定理求得C V,再根据AMNC的面积结合正弦函数得性质即可得出答案.(1)解：V AC=4m,8 c =4百 m，A C B C,；.B=30。，

29、A=60,在中，由余弦定理可得CM2=AC2+AM2-2A C-A M-COSA=+4-2X4X2X =2,2则AC2=AM2+CM2：.C M Y A B，V ZMCN=30,MV=CMtan30=2,:.C N =2MN=4,二 AMVC的周长为2+4+2 6=(6+2 )m ；(2)解：在中，ZANC=90-9,山 sinC 6N0 一 CA 2 Jisin(9 0-)得 0八=嬴/CM CA 2 6又在/ACM I1,由 g ，得CM=.,r,sin 60 sm(60+6)sin(0+60)33”=-C M-C N-sin 30=所 以 C N 2s in(6 0 os。-1sh i%

30、se+4 c。2 26_ _ _ 12_sin2%百 cos26 G -2sin(219+60)+出，2 2 2由 2sin(2 e )+J =2 6 得sin(2O+6。)邛V 006 E(y),.应从A情境开始第一关.1 9.(本 题 1 2 分)某商品的包装纸如图1,其中菱形/5 C D 的边长为3,且 N/8 C =6 0。，AE=AF=把，BE=DF=2道,将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点 E,F,M,N汇聚为一点P,恰好形成如图2的四棱锥形的包裹.(1)证明R 4,底面/B CD；(2)设点T为8 c上的点，且二面角8-尸/-7的正弦值为 应，试求P C与平面以T1 4所成

31、角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)亚1 4【分析】(1)由 翻 折 之 前 的 边 长 关 系 得A D L AF,进而得翻折后有产 力_ L,PA L A D,进而得 P 4 J底面 7 1 5 c 0；(2)解法一：以点/为原点，4 8为x轴，过 点/作 的 垂 线 为y轴，/P为z轴建立空间IIm坐标系，避而得 为：山弁 一夕/一 W面用，再”合正宏定理行BT =.再写坐标，利用坐标法求解即可.解法二：由(1)知N 8 4 7为二面角B-P Z-T的平面角，即s i n/R 4 T=叵，进而由1 4正弦定理得BT =1,再由余弦定理可得4 T =近，设过点C作平面为T的垂线，垂足

32、为Q,连接P Q,所以N C P Q为P C与面以T所成角，再利用/得C0 =3*，进而得答案；解法三：由(1)得N R 4 7为 二 面 角 的 平 面 角，即s i n/R 4 T=回，进而得1 4c os/A4 T =*，s i n N C/7=浮，再过点。作C 0垂宜于X T于0，连接C。、AC进而证明C0 J L面 以7,再根据几何关系求解即可.(1)由菱形四8的边长为3,AE=AF=,BE=D F =2 73可得：BE2=AB2+A E2 即有Z 8 1/E同理。尸=/。2 +4 尸，A D L A F在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得：P A L A B ,P A V A D,

33、A B c A D =A.可得P4JL底 面 初 CD(2)解 法-：如图，以点N为原点，N 8为x 轴，过点力作4 8 的垂线为y 轴，/F 为 z 轴建立空间直角坐标系.由 第(1)问可得P4_L底面4 8 c D,可得：P A L A B ,P A 1 A T .则NB4T为二面角8-7 M-T 的平面角，由题意可得：sin ZBAT72114考虑A B 4 TZABT=60,=sin(NAST+60。)=3V2114ABBT利用正弦定理sin Z A T B sin ZBAT可得：57 =1,可得点7 的坐标为5 6。5亍 可得sin乙4 r 8点尸(0,0,百)，/(0,0,0),C

34、 1,0设面P/7 的法向量为 =(x,%z)，则有，而 =0rh AT=0即:忑 z=05x +也 y=0X=有令则*3-2H誓-则尸。与面2 1 7所成角的正弦值为亚.1 4解法二：由 第(1)问可知尸/，底面/BC。，A C =3,所以 P/J.4 8,P A Y A T ,P C =2拒.则N A 4 7 为二面角8-4-7 的平面角，由题意可得：sin ZBAT=1 4考虑历IT,乙4BT =60 ,可得 s i n 4 7B=s i n(4 4 87+6 0。)=当利用正弦定理ABs i n 44 78BTsin ZBAT可得：BT =,即点7 为 8 C 上靠近点8 的三等分点所

35、以在 A/8 T 中，由余弦定理可得：AT =yl AB2+BT2-2 A B-BT c o sZABT =y/1 设过点C 作 平 面%T的垂线，垂足为。，连接P。,所以N C P Q 为 PC 与面以7 所成角考虑三棱锥 P-A C T,由于 VP.CT=-S-CT-P A=4 x-x 2x近gar A =米+6，由“二区:可得：(k 2-2 卜2+2 6 f c v +5 =0,2 x-y=2 所 以 土+马=手 意,代=必 三，M A=须,乂+乎)，MB=*MA-MB=X,X2+(凶+乎)12 +用=3+卜+乎)卜+岁)=(1+)西 西 (玉 +x2)-HJ|=(1 +2上+季.鸡+落

36、含 ,二一 2 4 2-k2 1 6 1 6所 以 血.丽=1 1 为定值.【点睛】思路点睛：解决定值、定点的方法(1)从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.2 1.体 题 1 2 分)已知函数 x)=l n x,g(x)=1(1)直接写出曲线y=/(x)与曲线V=g(x)的公共点坐标，并求曲线y=/(x)在公共点处的切线方程；(2)已知直线x =a 分别交曲线y=/(x)和y=g(x)于点A ,8.当a 0,e)时，设AO/8的面积为

37、S(“)，其中。是坐标原点，求 S(a)的最大值.【答案】(1)公共点坐标为(e/)，公共点处的切线夕=e+工2 2 e【分析】(1)联立y=x)与y=g(x)的解析式可得公共点坐标，由导数的几何意义可得切线的斜率，结合公共点坐标由点斜式可得直线方程；1 1 P(2)由题意可得5(。)=/力 即。=5(-11 14，根据a O,e)化简S(a),利用导数判断单调性即可得最值.(I)由/(x)=g(x)即 l n x =2 可得X=e,所以/(e)=l n e =l,所以公共点坐标为(e,l),因为为a)=L所以在公共点处切线的斜率为r(e)=-,xe所以曲线y=/(x)在公共点处的切线方程为y

38、-l =：(x-e),即y=:(2)1 e0 4 8 的面积为 S(a)=7.a =二 I n c -a,2 2 a因为。c(0,e),所以士 1,l n a l n a,a a所以 S(a)=；(3 l n q a =$I n a ,a e(0,e)S(a)=-；(l +l n。)，由 S(a)0 即 l +l n a 0 可得0 x ；由 S(a)0 可得 x e ；e e所以S()在 0,所以s(U=se j a上单调递增，在 匕 单 调 递 减,A e 1 K 1 e 1=-in -=i,J 2 2 e e 2 2 e所以当a =p 寸，S(a)的最大值为 +(-)选考题:共1 0分.

39、请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程2 2.(本 题1 0分)如图，在极坐标系中，已知点“(2,0),曲线G是以极点O为圆心，以为半径的半圆，曲线G是过极点且与曲线G相切于点(2,的圆.(1)分别写出曲线G，C 2的极坐标方程；(2)直线。=a (0a(0 V;r)；(2)最大值为;.【分析】(1)根据图示可得曲线G，曲线G中的。，。的关系，表示出来即得解；(2)设 8(ps a),A(，a),则 4 8 =0,=2-2 s in a ,点 M 到自线 4 5 的距离d =O M x s in a=2 s in a ,表示出 S

40、v oM u g/l M-d u ga-Zs in a O x Zs in a ,利用均值不等式即得解【详解】(1)曲线G的极坐标方程为P=2(0 V9 V).设 p(p，。)为曲线G 上的任意一点，p=2 c os(y-).曲线G 极坐标方程为 夕 二 2 s in 6(0 W 乃).(2),直线。=。(0 。0)的最大值为6.(1)求?的值；(2)若正数 x,y,z 满足 x+y+z =m,求证：yx y+4x z 4 m .【答案】(1)2；(2)证明见解析.【分析】(1)利用绝对值三角不等式求出/(x)的最大值，让最大值等于6 即可得m的值：(2)由(1)知，x +y+z=2,由2 =

41、x +y+z=1 +y +e+z)利用基本不等式即可求证.【详解】(1)由题意得/(x)=|x+讨 一 归 一 2 H 0 ,所以加=2 ；(2)由(1)知，x+y+z =2,因为4 0 ,y 0,z 0,所以2=x+y+z=（；+y）+（1+z42行+2行，当且仅当X=y=Z时，即1=1,1 =z=等号成立,即+7 x 7 2=77，所以 yE +4ni,当且仅当X=l/=z=；时，等号成立.保密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷二（全国乙卷理科）学校:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _姓名：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _班级：_ _ _ _ _ _ _

42、_ _ _ _考号：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _题号二三总分得分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.评卷人得分一、单选题（本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）一、单选题（共 60分）1.（本题5 分）已知集合=1 叶 2-2 r-3 O/nX o 1,则下列命题为真命题的是)qB

43、.p qC.P j qD.力 交）3.（本题5 分）在复平面内，复数2=言（其中i 为虚数单位）对应的点位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.（本题5 分）对于实数x,V,若|川4 2,则|3 x-y +l|的最大值为（A.3B.2C.6D.5)5.（本题5 分）如图，点 4 B,C,M,N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中,不满足直线MV平面Z 8C 的 是（)6 .（本题5分）如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，是唐代金银细工的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:-X =l的右支与直3 9线x =0,y=4,y=-2 围

44、成的曲边四边形N8 M N绕y 轴旋转一周得到的几何体，则双曲线C的渐近线方程是（）A.y=士;x B.y=3 x C.y=-x D.y=y/3x7.体 题 5 分）已知等差数列%的前项和为S,，且 久=1 1，S g=1 7,则%=（）A.1 5 B.2 3 C.2 8 D.3 08.（本题5 分）已 知 茄 _ 1,冠|而|=，,|就|=f,若点P 是A/8 C所在平面内的一点，且_ AR AC“尸=泻-崎，则 而.正 的 最 大 值 等 于（）M 例 1 4c lA.8 B.1 0 C.1 2 D.1 39.（本题5 分）已知曲线y=x +lnx 在点（1,1）处的切线与曲线夕=渥+（a

45、 +2 户+1 相切，则 4A.4B.8C.2D.11 0.（本题 5 分）设函数/（x）=L,g（x）=a x 2+&t（a,b e&a w O）,若y=/（x）的图象与 y=g（x）X图象有且仅有两个不同的公共点4区,凹）,8（匕,）,则下列判断正确的是A.当a 0 时，项+0B.当a 0,+y2 0 时，*+0,必+为 0 时，占+x?0,必+%。I I.（本题5 分）若函数f（x）=s i n（O x +y）（0。6 0）上任意一点，8 是椭圆C的上顶点,归8设2 b总成立，则椭圆离心率的取值范围是（）评卷人 得分二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分）1 3 .（本

46、题5 分）若 平 面 向 量/W满足|力=5，|力|=3，|H|=6，则”工=-1 4.（本题5 分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2：3 ：4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54 的样本，则应从高三年级抽取名学生.1 5.（本题 5 分）在 四 边 形 中，4 c 2 =/S.8C,B =。，。为“8C 外一点，AD =3,CD =2则四边形4 8 c o 面积最大时ZXDC=.1 6 .（本题5 分）设椭圆方程1+：=1 的两个焦点为耳，g,点尸为椭圆上任意一点，则 M j-的 最 大 值 为.评卷人 得充|三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，

47、证明过程或演算步骤，第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）(一)必考题：共 60分17.体题 12 分)已知数列 4 满足=l M,=q,T+2(e N*,22)(1)求数列%的通项公式；(2)若数列也 满足=一(e N),S.是数列他,的前项和，求S,.anan+18 .(本题12分)如图，在四棱雉中，底面/8 C。是平行四边形，APCD是正三角形，平面 P C Z)J _ 平面/8 C ,AC=P C,A C L P C.(1)求证：AC A.P D -(2)若 是 P 8的中点，求直线MD与平面/C P 所成角的正弦值.19.(本题

48、12分)学习强国工 尸 产 是中宣部主管的一个网络学习平台，内容丰富，免费学习且无广告干扰，深受广大干部群众喜爱.某县教育局为了解本县教师在学习强国/P P 上的学习情况，随机抽取了 30 名男教师与30 名女教师，统计这些教师在某一天的学习积分.得到如下茎叶图，把得分不低于30 分的教师称为学习活跃教师，否则称为学习不活跃教男教师女教师9 8 616 7 9 9 9师 8 87 5 4 4 420 2 2 3 5 6 7 9 99 8 8 66 6 4 3 131 1 2 3 5 7 8 88 8 76 4 3 3 240 2 2 3 4 5 53 3 251(1)指出这30 名男教师学习积

49、分的中位数；(2)由茎叶图完成下面2x 2列联表，并回答是否有9 0%的把握认为“是否是学习活跃教师与性别有关“；男教师女教师合计活跃不活跃合计(3)把这60 名教师中学习活跃教师的频率作为全县教师(人数很多)学习活跃的概率，从全县教师中随机抽取10 0 人，记学习活跃教师的人数为X,求E(X).参考公式：K2=n ad-bc)(a+b)(c +4)(a+c)(6+d)临界值表:P(K2k0)0.1500.10 00.0 500.0 250.0 100.0 0 12.0 722.70 63.8 415.0 246.63510.8 2820 .（本 题12分）已知抛物线C:/=2p x （p 0

50、）的焦点为尸为坐标原点，E为抛物线上一 点,|班 4。用 且 鼠 初=4 6.（1）求抛物线。的方程；（2）过焦点厂的直线/与抛物线C交于4 8两点，若点P在抛物线的准线上，且APAS为等边三角形，求直线Z8的斜率.21.（本题 12分）已知函数f（x）=ae*-x,ae R.（1）判断函数的单调性；（2）若/（X）有两个不同的零点片 ,x,证明：y/xtx2 ae.（二）选考题:共1 0分.请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程2 2.（本 题1 0分）已知曲线G的参数方程为，,2 f2x =l+-12：一 厂 为 参 数），曲