人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第七章立体几何与空间向量.pdf

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1、第二课时球及其表面积与体积关键能力课堂突破幅 考点一球的表面积与体积1.如 图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 c m,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深 为6 c m,若不计容器厚度，则球的体积为(A )美 小 考 点气窠四鬟AA.-50-0-n c m 3 B0.-86-6-7r c m33 3c 1 372n 3 n 2 048nC.-c m D.-c m3 3解析：c如图，作出球的一个轴截面，则M C=8-6=2(c m),BM=y BW X 5：二言 n (c m3).故选 A.2.圆柱形容器的内壁底半径是10 c m,有一个实心铁球浸没

2、于容器的水中，若取出这个铁球,测得容器的水面下降了|c m,则这个铁球的表面积为 c m2.解析:设该铁球的半径为r,则由题意得g n r3=n X 102x|,解 得r3=53,所 以r=5,所以这个铁球的表面积S=4 n X 52=100 n (c m2).答案：100了题后悟通1.求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积,须通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.2 .球的截面问题的解题技巧有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.(2)解题时要注意借

3、助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R Jc f+d.感 考点二球的接、切问题口 角度一“相接”问题已知球0 是三棱锥P-A BC 的外接球,PA=A B=PB=A C=2,C P=2 遮，点D是PB的中点，且 C D=V 7,则球0 的表面积为()A.3 3B.r2 8 V Jln 八 16 7 TC.-2-7-D.-3-解析：依题意，由PA=A C=2,C P=2 V 2,得 A P_L A C.连接A D (图略)，由点D 是 PB的中点，且 PA=A B=PB=2,得A D=V 3,又 C D=V 7,A C=2,可知 A D 1A C,又 A PG A D

4、=A,A Pu 平面 PA B,A D c 平面 PA B,所以 A C _L 平面 PA B.以4 P A B为底面,A C为侧棱补成一个直三棱柱,则球0是该三棱柱的外接球,球心0到底面4 P A B的距离d=1A C=l.由正弦定理得4 P A B的外接圆半径r=-=4，2 s in 6 0 V 3所以球0的半径R=V d2+r 2=J l 故球0的表面积S=4 n R 2=等.故选A.:解题策略1处理“相接”问题,要抓住空间几何体“外接”的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.口角度二“相切”问题(1)已知正四面体P-A BC的表面积为S i,此四面体的内切球的表面积为S2,则

5、一已知正方体的棱长为2,则与正方体的各棱都相切的球的表面积是.解析：(1)设正四面体的棱长为a,则正四面体的表面积为S|=4 X*a2=V 3 a 其内切球半径r为正四面体高明,即r4xVa=因此内切球的表面积为S2=44 3 1Z(2)过正方体的对角面作截面如图.故球的半径r=V2,所以其表面积S=4 JI X (V2)2=8 JI.答案：逋 8 冗71，解题策略I处理“相切”问题，要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心.针对训练1 .在三棱锥P-A BC中，P A=P B=P C=2,A B=A C=1,BC=V3,则该三棱锥的外接球的表面积为（）AA.80 n Bn.一16 兀 Ck

6、.一4 兀 D八 .-32-V-3n3 3 27解析：如图，由P A=P B=P C=2,过P 作 P G _ L 平面A BC,垂足为G,则G 为三角形A BC的外心.在4 A BC 中，由 A B=A C=1,BC=V3,可得N BA C=1 2 0 .由正弦定理可得.巳。2 A G,即A G=1,sinl20所以 P G=VP 42-A G2=V3.取 P A 的中点H,作 H0 1 P A 交 P G 于点0,连接0 A,则点0 为该三棱锥外接球的球心.由P HOSAPGA,可 得 把 半 则 P 0=等 组即该三棱锥外接球的半径为竽，所以该三棱锥外接球的表面积为4 n x （竽）2=

7、g n .故选B.2 .在三棱锥P-A BC中，P A J _ 平面A BC且 P A=2,A A BC是边长为四的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为（）AT B.4“C.8n D.20H解 析：由题意得,此三棱锥外接球即为以4ABC为底面、以 PA为高的正三棱柱的外接球.因为aA B C 的外接圆半径r=x V 3 x|=l,外接球球心到aA B C 的外接圆圆心的距离d=y=l,所以外接球的半径R=Vr2+d2=V 2,所以三棱锥外接球的表面积为S=4 n R=8 n.故 选 C.3.已知圆锥的底面半径为1,母 线 长 为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.解析:当球为圆锥的内切球时

8、，球的半径最大.如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.其 中 球 心 为 0,设 其 半 径 为 r,AC=3,0=1,所以 A 01=A/A C2-O1C2=2 V2.因为 001=0M=r,所以 A0=A000i=2V-r,又因为A M OSA O C,所 以 黑 专 即 产 等，解 得 r 邛，A C J.5 L所以该圆锥内半径最大的球的体积为V=|Ji X()二号,答 案:包息 备选例题C B D 一平面截一球得到直径是6 c m的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm,则该球的体积是（）A 10011 3 D 208n 3A.-cm B.-cm3 3 500n 3 n 416/13n 3

9、C.-cm D.-cm3 3解析:根据球的截面的性质，得球的半径R=V3 2 +4 2=5(cm),所 以V球=黑 睚 等（加）.故选C.C B D球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为a,则球的表面积为解析:正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面（正方形）的中心,经过四个切点及球心作截面,如图,所以有2 r=a,r=p所以 S=4 n r2=n a2.2答案：n a：课时作业O 1则 般灵活于强密鼓提保知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练球的体积与表面积1,2,3,5球的切、接问题4,6,7,8,9综合问题1 0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 51 6,1 7A级基础巩固

10、练1.已知底面边长为1,侧棱长为VI的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(D)AA.3 2 7 r Bn.4A 兀34宣C.2 n D.3解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径厂 小2+1 2 +(V2)2=l,所以V 球寸XF*.故选D.2.(2 0 2 1 安徽安庆调研)已知在四面体P A B C 中，P A=4,BC=2P B=P C=2 6,P A J _ 平面P BC,则四面体P A BC的外接球的表面积是(C)A.1 6 0 n B.1 2 8 nC.4 0 n D.3 2 n解析：因为 P B2+P C2=1 2+1 2=2 4=BC 所

11、以 P B J _ P C,又 P A _ 1 _ 平面 P BC,所以P A P B,P A P C,即 P A,P B,P C两两相互垂直,以P A,P B,P C为从同一顶点出发的三条棱补成长方体，所以该长方体的体对角线长为VP42+P B2+PC2=V16 +12+12=2V10,故该四面体的外接球半径为V i a 于是四面体P A BC的外接球的表面积是4 J i X (Vi O)2=4 0 口.故选C.3.已知A,B.C为 球 0的球面上的三个点，O O i 为a A B C 的外接圆.若的面积为4 n,A B=BC=A C=0 0 i,则球。的表面积为(A )A.6 4 n B.

12、4 8 n C.3 6 n D.3 2 n解析:如图所示,设球0的半径为R,。0 1的半径为r,因 为 的 面 积为4k，所以4冗=口/,解得r=2,又A B=BC=A C=0 0 i,所以=2 r,解得sin60A B=2 V,故 0 0,=2 7 3,所以 R2=0 O?+r2=(2 V3)2+22=1 6,所以球 0 的表面积 S=4 3 i R2=6 4 n .故选 A.B4 .（多选题）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段M N的最小值为6-1,则（A BC）A.正方体的外接球的表面积为1 2 nB.正方体的内切球的体积为手C.正方体的棱长为2D.线段M N的最大值

13、为2 V3解析:设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即f a,内切球的半径为棱长的一半，即会因为M,N分别为外接球和内切球上的动点,所以M Nm in=a-=a=V3-l,解得a=2,即正方体的棱长为2,C正确；正方体的外接球的表面积为4 n X （V3）2=12 n ,A正确；正方体的内切球的体积为多,B正确;线段M N的最大值为f a+V3+1,D错误.故选AB C.5 .如图,在圆柱0。2内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱。的体积为Vb球0的体积为V2,则？的值是.解析:设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱0。的底面圆的半径为R,高为2R

14、,故 泮 专 号答案：|6.(2021 湖南长沙检测)在封闭的直三棱柱A B JA B 3内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA,=3,则V的 最 大 值 是.解析：由ABBC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的体积V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切，设底面AABC的内切圆的半径为r,则|x 6X8=1*(6+8+10)r,所以r=2,2r=43,不符合题意.则球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径R最大,则2R=3,即R=1,故球的最大体积V=n R3=|JI.答案4 n7.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是竽

15、口，那 么 这 个 三 棱 柱 的 体 积 是.解析:设球的半径为r,贝4 n r3=y n,得r=2,则正三棱柱的高为2r=4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4V3,所以正三棱柱的体积为V=X(4A/3)2X4=48V3.4答案：48百8.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10 的球面上,其上、下底面半径分别为4 和 5,则该圆台的体积为_ _ _ _ _ _ _.解析：因为圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上,如图所示.设球的球心为0,圆台上底面的圆心为0 ,则圆台的高0。=J o Q 2-O Q2=V*=3,据此可得圆台的体积为V=q

16、 n 0,所以2 3解 得 篇W RJl故选D.1 3.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球表面积的白则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_ _ _ _ _ _ _.解析:如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.由 题 意 得 4耳IV,16所 以 送R2.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心0,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点,且AB0,C,所以 0 0 1=，/?2 _产=*因此体积较小的圆锥的高为A0,=R-p体积较大的圆锥的高为BO.=R+|R,故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比

17、值为去答案q1 4.伟大的阿基米德的墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆 柱=n r2h,由题意知圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为r,V 圆 锥=3 耳 r h,V 球=3 n r3.又 h=2 r,所以 V 圆 锥：V 球：V 圆 柱=3 n r h nd：n r2h=|n 召：g n d ：2 n r3=l 2 ：3.1 5.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=l,1=3,试

18、求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积为S=4 n r+2 n r l=4 n X l2+2 n X 1 X 3=1 0 n ,该组合体的体积 V=n r3+n r2l=X 13+n X/X 3=等.C 级应用创新练1 6 .已知三棱柱ABC-A,B,C,的所有顶点都在球0的球面上,该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同.若球0的表面积为2 0 n ,则 三 棱 柱 的 体 积 为.解析：因为三棱柱ABC_ A.B1Cl的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形.设三棱柱底面边长为a,高为h,截面圆的半径为r,球半径为R,所以厂会因为球0的表面

19、积为 2 0 n ,所以 4 n R2=2 0 J i,解得 R=V5.因为底面和侧面截得的圆的大小相同，所以（级+（今2=（左）：L L所以a=V3 h.又因为（+（卷）2=R2,由得a=2 V3,h=2,所以三棱柱的体积为V=f X （2 V3）2X 2=6 V3.答案：661 7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习俗,粽子又称“粽粉”，是端午节大家都会品尝的食品.如图的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图 的 粽 子 形 状 的 六 面 体,则 该 六 面 体 的 体 积 为；若该六面体 内 有 一 球,则 该 球 的 体 积 的 最

20、大 值 为./7 7图 图 解析：由对称性可知该六面体是由两个全等的正四面体合成的，正四面体的棱长为1,则正四面体的高为J1-*所 以 正 四 面 体 的 体积为工义工X 1义且X=乌3 2 2 3 12因为该六面体的体积是正四面体体积的2 倍，所以该六面体的体积是要使球的体积达到最大,则球与该六面体的六个面都要相切.连接球心和六面体的五个顶点,把六面体分成了六个全等的三棱锥.设球的半径为R,则彳=6X(1xX 1X苧 R),解得R=半,所以球的体积V*R*X (净 J 鬻.区 安8/6n第十意 立体几何与空间向量(必修第二册+选择性必修第一册)第1节 立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与

21、体积目 课程标准要求1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式.3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.必备知识，课前回顾 府 双 材 芬 宾 四 基i,A知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形D9,A BS忠A B称A B底面互相平行且全笠多边形互相平行且相侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于二点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形U U全0母线平行、相等且垂直于底面相

22、交于一点延长线交于*占轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2 .直观图空间几何体的直观图常用魁二a画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y 轴、z 轴两两相互垂直，直观图中,x 轴、/轴的夹角为4 5 (或1 3 5 ),zz轴与X，轴、yz轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度丕变,平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3 .圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图门1包M“织 ：2W；:r，/27rr 4.空间几何体的表面积与体积公式侧面

23、积公式S圆柱侧二2兀r 1S咧锥侧 二 兀r S圆台侧二兀(r +r)112重要结论名称几表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S g*h锥体(棱锥和圆锥)S表面积-S便j+S底V-|s 底 h台体(棱台和圆台)S表面积=S州+S上+S下V=|h（S 上+S F+JS 卜 S 卜）球S=4 丁 R 2V=-JI R331.特殊的四棱柱2 .球的截面的性质球的任何截面都是圆面.(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r的关系为r=-/R2-d2.3 .正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R,(1)若球

24、为正方体的外接球,则2 R=V 3 a;若球为正方体的内切球，则 2 R=a;(3)若球与正方体的各棱相切，则2 R=V 2 a.4.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2 R=V a2+b2+c2.5 .正四面体的外接球的半径R=f a,内切球的半径r=f a,其半径R ：r=3 ：1 (a 为该正四面体的棱长).6 .直观图与原平面图形面积间关系S 直 观 图=乎5 原 图 形 4对点自测-1 .已知圆锥的表面积等于1 2 n c m2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(B)3A.1 c m B.2 c m C.3 c m D.-c m2解析:设圆锥的底面

25、半径为r,母线长为1,则 S 表=n r2+n r l=n r2+nr 2 r=3 n r2=12 n ,所以 r2=4,所以 r=2 (c m).故选 B.2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(A )32A.12 兀 B.J t C.8 J i D.4 n3解析：由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线长2 6即为球的直径,所以球的表面积为4 J i R2=(2 R)2=12 J i.故选A.3.(必修第二册P 10 9 例 2 改编)如图，直观图所表示的平面图形是(D)A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析：由直观图中A，L /轴,B C x，轴,还

26、原后A Cy轴,BCx 轴,所以4 A BC是直角三角形.故选D.4 .如图,长方体A BCD-A B C D 被截去一部分，其中EH A D ,剩下的几何体是（C）A.棱台 B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱解析：由几何体的结构特征可知,剩下的几何体为五棱柱.故选C.5 .如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则 该 棱 锥 的 体 积 与 剩 下 的 几 何 体 的 体 积 比 为.解析:设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V=lXlX7a X7b Xlc=ia b 剩下的几何体的体积为3 2 2 2 2 48V2=a b c-a b c=a b c,

27、所以 V 1：V2=l I 4 7.48 48答案：1 ：4 7第一课时立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积关键能力课堂突破&考点一空间几何体的结构特征、直观图1.（多选题）下列说法正确的是（A D）美 中 者 支卷实四翼A.棱柱的侧棱长都相等B,棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱台的侧面是等腰梯形D.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面解析:A正确;B不正确,如正六棱柱相对的侧面平行;C不正确,棱台的侧棱长可能不相等;D正确,用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面.故选A D.2.下列命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线

28、为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为（B）A.0 B.1 C.2 D.3解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误,正确.对于命题,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确.故选B.3.给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其 中 不 正 确 的 命 题 为（填序号）.解析：对于,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错误;对于,对等腰三角形

29、的腰是否为侧棱未作说明（如图），故错误;对于,若底面不是矩形,则错误;由线面垂直的判定定理,可知侧棱垂直于底面,故正确.综上,命题不正确.答案:4.已知等腰梯形A BCD,上底CD=1,腰A D=CB=V I,下底A B=3,以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A，B，L 的面积为.解析:如图（1）和（2）的实际图形和直观图所示.作E，F _ L（T B，于点F,因为 0 E=、（直）2 1=1,由斜二测画法可矢口0 E =；,E F=t，D CN 2 4=1,AZ B =3,则直观图 A B C D 的面积为 S =X =.答案号*题 后悟通1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是

30、紧扣各种几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3 .既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的,所以在解决棱（圆）台问题时，要 注 意“还台为锥”的解题策略.4.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”（x轴和y轴 成4 5 或1 3 5 ）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴 和z轴的线段长度不变）来掌握.戚考点二柱、锥、台体的表面积与体积口 角 度-简单几何体的表面积如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆

31、周上,另一个顶点是圆柱上底面的圆心，圆柱的侧面积是（）卜 近 F Q 3近 F c 2近 F n乐A.n B.n C.n D.口3 4 3 2解析：如图所示,过点P作P E J _平面A BC,E为垂足，点E为正三角形A BC的中心,连接A E并延长,交B C于点D.A EAD,A D=,3 2所以A E=|义洋所以 P E=V P 42-A F2=Y，设圆柱底面半径为r,则r=A E=所以圆柱的侧面积为S=2 n r-P E=2 n 小年等.故选C.解题策略I1 .旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.2 .多面体的表面积是各个面

32、的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.口角度二简单几何体的体积(SB)(1)已知三棱锥 S-A BC 中，N SA B=NA BC=p SB=4,SC=2 V 1 3,A B=2,BC=6,则三棱锥 S-A BC 的体积是()A.4 B.6 C.4 V 3 D.6 V 3(2)如图,长方体A BC D-A BC D的体积是1 2 0,E为C G的中点,则三棱锥E-BC D的体积是5Ci解析：因为N A BC g,A B=2,BC=6,所以A C=V A B2+BC2=V 22+62=2 V 1 0.因为N SA Bg,A B=2,SB=4,所以A S=V SF2-A B2=V 42-2

33、2=2 V 3.由 SC=2 V H,得 A C2+A S2=SC2,所以 A C J.A S.又因为 SA A B,A C A A B=A,A C c 平面 A BC,A Bc 平面 A BC,所以 A SJ _平面A BC,所以A S为三棱锥S-A BC 的高,所以V三 棱 锥SABCWX1 4+T X 6 X 4 X 4=6 4.故选C.6.（2 0 2 1 河南郑州调研）现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（D ）A.3 n B.2c.&D.V 5 n2解析:设底面圆的半径为R,圆柱的高为h,依题意2 R=h=2,所以R=l.所以圆锥的母线为1

34、=，八2 +R2=7 2?+1=V,因此S圆 锥 侧=n R l=l XV 5 J i =V 5 n .故选 D.7.如图，正三棱柱A B C-A jB C的侧棱长为a,底面边长为b,一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A,路线为A-M-N-A i,则蚂蚁爬行的最短路程是（A ）A.V a2+9b2C.，4 a 2 +9 b2B.V 9a2+b2D.V c z2+b2解析:正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3 b,宽为a,则其对角线A A,的长为最短路程，因此蚂蚁爬行的最短路程为+9 b2.故选 A.A B C AA BC A8 .（2 0 2 0 浙江卷）已知圆锥的侧面积（单位:加

35、）为2 n ,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位:c m）是.解析:如图，设圆锥的母线长为1,底面半径为r,则圆锥的侧面积S侧=无rl=2 n ,所以r 1=2.又圆锥的侧面展开图为半圆，所以1 r=2 a r,所 以1=2,所 以r=l.答案：19.如图，在4 A B C 中，A B=8,B C=1 0,A C=6,D B _L平面 A B C,且 A EF C B D,B D=3,F C=4,A E=5.求此几何体的体积.解:法一 如图,取C M=A N=B D,连接D M,M N,D N,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.所 以V几 何 体=V三

36、梭 柱+V 四 棱 锥由题意知三棱柱A B C-N D M的体积为V.=|X 8 X 6 X 3=7 2.四棱锥 D-M N EF 的体积为 V2=1 S 梯形酮 D N=|x|x（1+2）X6 X 8=2 4,则几何体的体积为V=V1+V2=7 2+2 4=96.法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使A A =B B =C C =8,所以 V 几 何 体=V 三棱柱,SAABC,A A =-X 2 4 X8-96.B级综合运用练1 0 .（多选题）（2 0 2 1山东烟台调研）在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现

37、出的几何形状可能是（AB D ）A.圆面 B.矩形面C.梯 形 面D.椭圆面或部分椭圆面解析:将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.故选AB D.1 1 .（多选题）（2 0 2 1 湖北武汉模拟）长方体AB C D-AB C D的长、宽、高分别为3,2,1,则（B C ）A.长方体的表面积为2 0B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到G的最短距离为3 V 2D.沿长方体的表面从A到G的最短距离为2遍解析:长方体的表面积为2 X （3 X2+3 X 1+2*1）=2 2,A错误.长方体的体

38、积 为3 X 2 X 1=6,B正确.如图所示，长 方 体AB C D-AB C D中,AB=3,BC=2,BB尸1,将侧面ABBA和侧面BCCB展开,如图(2)所示.图 图连 接AG,贝IJ有ACA/52+12=V 26,即经过侧面ABBA和侧面BCCB时,A到G的最短距离是房;将侧面ABBA和底面A E C D展开,如图(3)所示,连接AC.,则有AC1=V3r+3=3V 2,即经过侧面ABBA和底面A B C D时，A至！A的最短距离是3回;将侧面ADDA和底面A B C D展开,如图(4)所示.连接A C,贝IJ有AC1=V42+22=2V 5,即经过侧面ADDA和底面AIBIC1D1

39、时,A到G的最短距离是2V 5.因为3V22V5 s i n 60 0 =6V 3(c m2),正六棱柱的体积为V,=6V 3 X 2=1 2 V 3(c m3),圆柱的体积为V2=J i X0.52x24(c m?),所 以此六角螺帽毛坯的体积为 V =Vt-V2=(1 2 V 3-)(c m3).答案：(1 2 百-泉C级应用创新练1 4 .如图,在正四棱锥P-AB C D 中,B,为PB 的中点,D,为PD 的中点,则棱锥 A-B C D 与棱锥P-AB C D 的体积之比是(A)DBiA.1 ：4 B.3 ：8 C.1 ：2 D.2 ：3解析:如图,棱锥A-B.C D,的体积可以看成是

40、正四棱锥P-AB C D 的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到.因为B i 为 P B 的中点,D i 为 P D 的中点，所以棱锥B-AB C 的体积和棱锥D.-AC D 的体积都是正四棱锥P-AB C D 的体积的工,棱锥C-PB D 的体积与4棱锥A-PB D 的体积之和是正四棱锥P-AB C D 的体积的3则中间剩下的4棱锥 A-B i C D i 的体积以_ 81 皿=4 _ 4 8(?0 _ 3*”_ 4 8(?)=”_ 4 8 0 贝 九匕-B i C D i ：V p-4 B C D=1 ：4.故选 A.1 5.(2 0 2 1 广东佛山质检)已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两

41、点A,B满足4 S A B 为等边三角形,且面积为4 V 3,又知圆锥轴截面的面积为 8,则 圆 锥 的 侧 面 积 为.B解析:设圆锥的母线长为1,由A S A B 为等边三角形,且面积为4V 3,所以y s i n 导 6,解得1=4.又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得 r h=8.又 r2+h2=16,解得 r=h=2 V 2,所以圆锥的侧面积S=n r l=n -2 V 2 X4=8V 2 J i.答案：8鱼弘16.如图，3 义3 的正方形纸片，剪去对角的两个1 X 1 的小正方形,然后沿虚线折起,分别粘合A B 与A H,E D 与E F,C B 与C D,G F

42、 与 G H,得到一几何体“。，记“Q ”上的棱A C 与 E G 的夹角为a ,则下列说法正确的 几 何 体 中，C G J L A E;几 何 体 是 六 面 体；几何体“Q ”的体积为|;co s a =1.解析:如图所示,取A G,C G,C E,E G 的中点M,N,0,P,连接 A N,E N,M N,O N,M P,O P,0 M.由已知可得C E=C A=E G=A G=V 5,所以 A N _ L C G,N E C G,又因为A N G N E=N,所以C G _ L 平面A N E,所以C G L A E,故正确；因为 A B B C,A B _ L B G,又因为 B

43、C G B G=B,所以A B,平面C B G,同理B E _ L 平面C B G,所以平面A C B 与平面C B E 共面,平面A G B 与平面G B E 共面，A B 与 B E 共线,所以该几何体为四面体,故错误；因为 B C=B G=1,C G=V ,所以A C B G 为直角三角形，N C B G=90 ,所以 SA C B G=X I X 1-p又因为 A E _ L 平面 C B G,A E=2 A B=2 B E=4,所以该几何体的体积为V=1x 1X4=|,故正确；M P）A E=2,O P=C G=,2 2 2又因为 M P A E,O P C G,C G A E,所以

44、M P L O P,所以M 0 0MP2+P。考,O N=N M=-A C=,2 2所以 co s/0帆叱？：:2与+_：,又因为 A C/M N,E G/N O,20N NM 2 x-54所以N O N M 为异面直线A C,E G 所成的角（或其补角），所以co s 0 =|,故正确.答案:17.如图，在4A B C 中，C A=C B=V 3,A B=3,点F 是B C 边上异于点B,C 的一个动点,E F A B 于点E,现沿E F 将A B E F 折起到4P E F 的位置,则四棱锥 P-A C F E 的体积的最大值为_ _ _ _ _ _ _.P解析:在a A B C 中，C

45、A=C B=V 3,A B=3,士 工 用 7H-4B n BC2+BA2-AC2 3+9-3 V3由余弦定理，可得co s B=2BC 一-;而薮丁T,所以B=g设 E F=x,则 B E=P E=V 3 x (0 x y),设N P E B=8,则四棱锥 P-A C F E 的高 h=P E si n 0 =V 3 x si n 9,四边形A C F E 的面积为:X 3 义x V 3 x=-x2,2 2 2 4 2则四棱锥P-A C F E 体积为:6x si n 0 X(-x2)W噂x(呼-噂x)=3 4 2 3 4 22(3X-2X3),4当且仅当s i n。=1,即。告时，取等号，

46、令 y=；(3 x-2X3)(0 X 0,得 0 x ，令 y Y O,得率x 吟所以函数y 4(3 x-2 x3)(0 X0),设a为异面直线EF和A C所成的角，B为异面直线EF和B D所成的角，试求a+B的值.解:过点F作M F B D,交B C于点M,连接M E,则 C M ：M B=C F :F D=m,又因为 A E：EB=C F :F D=m,所以 C M ：M B=A E：EB,所以刚 A C,所以 a=Z M EF,B=N M F E,异面直线A C与B D所成的角为N EM F,因为 A C _L B D,所以N EM F=9 0 ,所以 a+B=9 0 .课时作业 灵 活

47、,唬密致提俄选题明细表_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创A级基础巩固练新练平面的基本性质及应用3,4空间两条直线的位置关系1,2,5,6,7,8,9综合问题1 01 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 61 7,1 81 .如图所示,在正方体A B C D-A B C D中,E,F分别是A B,A D的中点,则异面直线BC与E F所成角的大小为

48、（C ）A.3 0 B.4 5 C.6 0 D.9 0 解析:连接B D,D（图略）,则B D EF,故NDBC为所求的角，又B D=B=D,所以 N D i B i C=6 0 .故选 C.2.a,b,c是两两不同的三条直线，下列四个命题中，真命题是（C ）A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若ab,则a,b与c所成的角相等D.若 a_l _b,b_L c,则 a/c解析:若直线a,b 异面,b,c 异面,则a,c 相交、平行或异面;若直线a,b相交,b,c 相交，贝 I a,c 相交、平行或异面;若ab,bc,贝a,c 相交、平行

49、或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.3 .给出下列说法:梯形的四个顶点共面;三条平行直线共面;有三个公共点的两个平面重合;三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（B ）A.B.C.D.解析:显然正确;错误,三条平行直线可能确定1个或3 个平面；若三个点共线，则两个平面相交,故错误;显然正确.故选B.4.如图所示,平面 a 4 平面 B =1,A a,B a,A B A 1=D,C e B ,C 阵 1,则平面A B C 与平面B的交线是（C ）A.直线A C B.直线A BC.直线C D D,直线B C解析：由题意知,D l,l u B,所以D B,又因为D

50、e A B,所以D 平面A B C,所以点D 在平面A B C 与平面B的交线上.又因为C 平面A B C,C B,所以点C 在平面B与平面A B C 的交线上,所以平面A B C n平面B =C D.故选C.5 .教室内有一把尺子,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该尺子所在直线（B ）A.平行 B.垂直C.相交但不垂直D.异面解析：由题意,尺子所在直线若与地面垂直，则在地面上总有这样的直线，使得它与尺子所在直线垂直,若尺子所在直线与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直.综上,教室内有一尺子,无论怎样放置，在地面上总