2021-2022学年江苏省南通市海安市高二（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年江苏省南通市海安市高二（下）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，共 4 0.0分）1.若 其=./，则m=（）A.6 B.5 C.4 D.32.根据样本点4（0,2.2）,8（2,4.4）,。（4,九）绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为g =0.6 5 x +2.5,则n=（）A.6.6 B.5.1 C.4.8 D.3.83 .一个袋子中共有8 个大小相同的球，其中3 个红球，5 个白球，从中随机摸出2个球，则取到红球的个数的期望为（）A B.i C.：D.i4 .第十三届冬残奥会于2022年3 月4 日至3 月13 日在中国成功举行.已知从某高

2、校4 名男志愿者，2名女志愿者中选出3 人分别担任残奥高山滑雪、残奥冰球和轮椅冰壶志愿者，且仅有1名女志愿者入选，则不同的选择方案共有（）A.3 6 种 B.4 2种 C.4 8 种 D.72种5 .投资甲、乙两种股票，每股收益（单位：元）分别如下表：甲种股票收益分布列乙种股票收益分布列收益-102收益012概率0.10.30.6概率0.20.50.3则下列说法正确的是（）A.投资甲种股票期望收益大 B.投资乙种股票期望收益大C.投资甲种股票的风险更高 D.投资乙种股票的风险更高6 .在四面体0 4 B C 中，万？=d，OB=b能=3 点。满 足 前=%及？，E 为4 D 的中点，OE=a

3、+b+c,则;1=()2 4 4A-I7.六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.已知六氟化硫分子构型呈正八面体（每个面都是正三角形）,如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四D|边形/BCD的一条边的条件下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为()A.I B.1 C.-D.-9 9 11 118.若(1+2x)3(%2=的+a1+a 2/+则%)+。2+。4+。6=()A.-54 B.-43 C.-27 D.54二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)9.对于样本相关系数r,下列说法不正确的是()A.

4、r越大，成对样本数据的线性相关程度越强B.r=0,成对样本数据没有任何相关关系C.r刻画了样本点集中于某条直线的程度D.成对样本数据相关的正负性与r的符号(正负)相同io.已 知 出S，/是空间的三个单位向量，下列说法正确的是()A.若a 或b/c,则 必 B.若 窗a 两两共面，则 优b,不共面C.对于空间的任意一个向量P，总存在实数x,y,Z,使得p=x4+y+z不D.若 优B，才是空间的一组基底，则a+B，b+c下+云 也是空间的一组基底11.箱中共有包装相同的3件正品和2件燃品，从中不放回地依次抽取2件，用4表 示“第一次取到正品”，用B表 示“第二次取到正品”，贝立)A.P(A)=P

5、(B)B.P(4B)=P(4)P(B)C.P(A+B)=0.9 D.P.BA)=0.512.在平行六面体ABC。-HiBiGCi中，AB=AD=AAr,A B =/.AAD=.DAB=60。，点P在线段BQ上，则()A.AP 1B】CB.P到a Bi和CD的距离相等C.AP与&Bi所成角的余弦值最小为日D.4P与平面4BC0所成角的正弦值最大为:三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.试写出一个点C的坐标：，使之与点4(一1,1,0)，三点共线.第 2 页，共 17页1 4 .已知(x-表产的展开式中第3项和第4项的二项式系数相同，则展开式中二项的系数为.1 5.请在下面两题中选择一题

6、作答：题1：设点4是抛物线G：/=2 丫。0)与双曲线。2：/一 丫2 =1在第一象限的唯一公共点，点B,C分别是6的准线与的两条渐近线的交点，则 A B C的面积为题2：已知球的体积U和表面积S均是球半径R的函数，分别记为V(R),S(R),若球。的半径R满足V (R)=3 S (R),点P到球心。的距离为1,过点P作平面a,则平面a截球。所 得 截 面 圆 的 面 积 的 最 小 值 为.注：如果选择两道题分别解答，则按第一个解答计分.1 6 .某商场共有三层，最初规划第一层为3 5家生活用品店，第二层为3 5家服装店，第三层为3 0家餐饮店.招商后，最终各层各类店铺的数量(单位：家)统计

7、如下表：生活用品店服装店餐饮店第一层2 573第二层42 74第三层612 3若从第一层店铺中随机抽一家，则 该 店 铺 与 最 初 规 划 一 致 的 概 率 为:若从该商场所有店铺中随机抽一家，则 该 店 铺 与 最 初 规 划 一 致 的 概 率 为.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)1 7.请在下面两题中选择一题作答：题1：已知S”是等差数列 即 的前n项和，且%=1,5 5 =2 5,求：(1)数列 即 的通项公式；(2)数列 一 的前n项和7；.anan+l题2：在A/I B C中，己知4 8 =3,AC=2 B =枭 点。在边B C上，且B D =1,求：(1)4。；

8、7 1(2)si n(C-)注：如果选择两道题分别解答，则按第一个解答计分.1 8 .某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了 1 0 0位学生进行调查，结果如下：回 答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的*在回答“不满意”的人中，女生人数占(1)请根据以上信息填写下面2 x 2列联表，并依据小概率值a=0.0 0 1的独立性检验,判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关？(2)满意不满意合计男生女生合计附:a0.10.0 50.0 10.0 0 50.0 0 1XQ2.7 0 63.8 416.6357.8 7 91 0.8 2 8参考公

9、式：其中2 =；叱)=a+b+c+d.，其中“(2)为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这1 0 0名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于60分为达标，超过9 6%的学生达标则认为达标效果显著.已知这1 0 0名学生的测试成绩服从正态分布N(7 0,2 5),试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著？附：若 X 叫,吟,则 P(-a X n +a)0.68 2 7,P(-2。4 X W +2。)“0.9 545,-3r X M +3 /-BAD=9 0%A C与8。交于点0.(1)求证：BD1平面P 4 C；(2)求二面角P -C D-B的余弦值.第 4

10、页，共 17页2 0 .已知椭圆C：捻+=1,(。匕 0)的左焦点户(一2,0),右顶点4(3,0).(1)求C 的方程；(2)设B 为C 上一点(异于左、右顶点)，M为线段4 B 的中点，。为坐标原点，直线O M与直线八x=-三交于点N,求证：AB 1 NF.2 1 .已知函数/(X)=%x bt r 1.(1)证明：/(%)0；(2)若e*2 a久+1,求a.2 2 .某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为p.(1)若p =0.9,从中随机取出2 只鸡，记取到病鸡的只数为求f 的概率分布及数学期望；(2)对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡.方案如下：按每k(k G N*)只鸡

11、一组分组，并把同组的k 只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组k 只鸡逐只化验.设每只鸡的化验次数为随机变量小当且仅当24kW8时，n的数学期望E 5)D(Y),故投资甲乙股票的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高.故选：C.根据已知条件，分别求出甲、乙种股票期望与方差，通过比较，即可求解.本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，属于基础题.6.【答案】A【解析】解：由题意可得话=次+而)+函+而)=*市+南+4旅)OA+OB+A(OC OB)=OA+(1 A)OB+A OC a+(1 A)b+A c,又 灰=%+4+与,2 4 4所以=且=解得/(=，故选：A.利用向

12、量的线性运算可得赤=k+T(1#3 +4乙 再结合已知，根据向量的基本定理可求得4的值.本题主要考查向量的基本定理，考查运算求解能力，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：根据题意可得，假设四边形力BCD取A B,则与力B异面的直线为CE,DE,CF,DF,同理可得BC,CD,4。的异面直线，所以第一条棱取自于四边形ABC。的一条边，第二次取的棱与第一次取得棱是异面直线的方法数有4 x 4 种，设事件M为“任取正八面体的两条棱，第一条棱取自于四边形4 B C D的一条边”，事件N为“取得第二条棱与第一条棱成异面直线”，则任取正八面体的两条棱有1 2 x 1 1种方法，其中第一次取得棱是四边形4

13、B C D的一条边有4 x 1 1种方法，所以P（M）=%2（皿）=焉=点所以 P（N|M）=，故选：D.利用异面直线的定义求出满足条件的所有情况，再利用条件概率公式求解即可.本题考查条件概率，属于基础题.8.【答案】C【解析】解：令x =1得%）+的+a2+.+a7=2 7,令 x =-1 得劭+（+a3+a5+a7）=-8 1,两式相加得 2（a0+a?+ci g）=54,故 a。+a2+-27.故选：C.分别令x =L和-1,即可得到关于展开式中奇数项系数和于偶数项系数和的方程组,解出奇数项系数和即可.本题考查赋值法在研究二项展开式系数时的应用，属于中档题.9.【答案】AB【解析】解：相

14、关系数r用来衡量两个变量之间的线性相关程度的相关系数r是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大说明相关程度越大，故4错误，相关系数为0说明两变量不存在直线相关关系，但这并代表两个变量之间不存在其它类型的关系，故B错误，由相关系数的概念可知，r刻画了样本点集中于某条直线的程度，成对样本数据相关的正负性与r的符号（正负）相同，故C。正确.故选：AB.根据已知条件，结合相关系数的概念，即可依次求解.本题主要考查相关系数的概念，属于基础题.第8页，共17页10.【答案】CD【解析】解：对于4：若0万，b/c，H 6)则0/冷 故A错误；对于B：若 出石,，两两共面，则窗b，3不一定共面，故B错误

15、；对于C：对于空间的任意一个向量p,(5,3,工不共面)总存在实数x,y,z,使得p=x五 +y b+zc故C正确；对于。：若 出 了，1是空间的一组基底，则五+E，b+c，笠+五不共线，也可以是空间的一组基底，故。正确.故选：CD.直接利用共线向量和共面向量，向量的基底等基础知识和相关的定义判断力、B、C、D的结论.本题考查的知识要点：共线向量和共面向量，向量的基底，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题.11.【答案】ACD【解析】解：对4 0 4)=1，P(48)=|x：=V，P(A B)=l x 1 =,P(B)=P(4B)+P(4B)=总+总=|,故A选项对；对B,P(4)P(B)

16、=|x|十 PG4B),故 B选项错：对C,P(A+B)=PQ4)+P(B)-PG4B)=0.9,故 C选项正确；3对D,P(B|4)=然=尊=0.5,故。选项正确.故选：ACD.根据题意分别求得PQ4),P,再根据概率的公式逐个判断即可.本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题.12.【答案】BCD【解析】解：对于4若2P 1B 1C,易得四边形BCCiBi为菱形，则BiCJ.BG，又4PC B G=P,AP,BCi u 面4PB,可知81c 1面4PB,则81c JL面ABCiDi，显然矛盾,故A错误；对于B,其中P点在线段BCi上,8G平分且BC为 线 段 的 垂 直 平 分 线，

17、乂AB】/C D,可知BQ上 所 有 点 到 与 C O 的距离相等，故 B正确；对于C,设平行六面体4 B C 0-必 当 的 4 的边长为a,易得A C =g a,其中|丽 j =|荏+前+鬲|，可得|温|=AB2+BC2+CC2+2 AB-JC+2 AB-CC1+2 BC-CCl=n a，又 AiBH AB,则4 P 与4 B i 所成角即为/P A B,当P 点运动到C i 点处时，此时COSNPAB最小，即4 P 与4 出 所成角的余弦值最小，c o s =(吗:鲁 俨、争 故 C正确；易得当P 点运动到G 点处时，此时4 P 与平面4 8 C。所成角最大，即正弦值最大，又 宿.前=

18、须 +睨 +C C J-(AD -AB)=AB-AD -A B2+BC-AD -B C -AB+CCAD-CCi-AB=-a2 a2+a2-a2+-a2-a2=0,2 2 2 2则A C i J L B D,又AC 1 BD,AC C l ACt=A,AC,ACr a A A C C 1,则B D 1 面A i A C G，作G E J.4 C,垂足为E,贝 i jBD _LGE,又BD,AC u 面A BC。且相交，则C】E 1 面4 B C D,则N G A C 即为4G 与平面4 BC D 所成角，则有c o s“i 4 C =(、咽半*.=延，故正弦值最大为匕。正确.2 x V 6 a

19、x V 3 a 3 3故选：BCD.由A P I B i C 结合/C 1 B C 1 推出&C _U S U BC i 4,得出矛盾，即可判断4 选项；由BC 1 为线段Bi C 的垂直平分线，且4 i&C D,即可判断B 选项；由异面直线夹角的求法即可判断C 选项：由线面角的求法即可判断。选项.本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.1 3.【答案】(-1 修，3【解析】解：设点C(a,b,c),由于点C 与点4(1,1,0),8(1,0,1)三点共线,故 有 而 前，A B =A AC.-.AC=(a+l,b-l,c)AB=(0,-l,l)二(0,1,1)=A(Q+l,b 1,c),Q

20、+1 =0,A(b 1)=-1,A c =1,：,a=1.令A =2,可得b=I，c =p第10页，共17页 点 C(-1,昂)，故答案为：(1,，).由题意，设出点C的坐标，利用两个向量共线的性质，两个向量的加减法，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果.本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量的加减法，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题.1 4.【答案W【解析】解：由题意知，鬣=瑞，故n =2 +3 =5,故原式为(x 表 产，其通项为：5=*好*(一泰)k=(_,令5号=2,得k=2,故/的系数为(后产 盘=|.故答案为：|.先根据二项式系数的性质求出几，然后再利用通项求出结论.本

21、题考查二项式定理，侧重于二项式系数的性质、通项的考查，属于基础题.1 5.【答案】：3 5兀【解析】解：(1)因为抛物线C 1 :=2 p y(p 0)与 双 曲 线%2 y 2 =i在第一象限只有唯一公共点，将%2 =2 py(p 0)代入%2 -y 2 =1内，有y 2 -2 p y +1 =0,4 =4p2-4 =0,解得p =1.可得点4(夜,1)，双曲线的渐近线方程为y =x,可知则a A BC的面积S =i X (1 +1)X (i +1)=.(2 (R)=(兀/?3)，=4兀 R2,3 S (R)=3 x (4JIR2Y=3 x 8nR=24JIR,其中V (R)=3 S (R)

22、,可得R=6,故截面圆半径的最小值为V R2 一 i =屈,则截面圆面积的最小值为3 5 7 r.故答案为：7;3 5 7 r.4(1)联立抛物线与双曲线的方程有y 2 -2 p y +1 =0,根据题意可得A =4 p?一 4 =0,从而解得P=I,再计算a,B,c的坐标求解面积即可；(2)根据V (R)=3 S (R)可得R=6,进而根据垂直关系求出平面a截球。所得截面圆的面积的最小值即可本题主要考查抛物线的几何性质，体积最值的求解等知识，属于中等题.1 6.【答案】统【解析】解:若从第一层店铺中随机抽取一家,则该店铺与最初规划一致的概率为fl =若从该商场所有店铺中随机抽取一家，则该店铺

23、与最初规划一致的概率为空 需 至=故答案为：根据条件结合古典概型概率公式直接计算即可得出答案.本题考查古典概型概率公式，属于基础题.1 7.【答案】题1：解：(1)设等差数列与 的公差为小 则S5=5 a l +詈d=5 x 1 +1 0 d=2 5,所以d=2.所以an=1 4-(n l)x2 =2 n 1,B|J an=2 n 1；(2)由(1)知，anan+1 (2n-l)(2n+l)-2 2n-l-2 n+l*r-r-1、t rf-,1/I 1.11,1 1、1/T 1、W所以=-X (-F 4-)=-X (1-)=-.n 2 V1 3 3 5 2 n-l 2n+ly 2、2n+ly

24、2n+l题2：解：(1)在A B D中，由余弦定理4 D 2=A B2+D B 2-2XA BXD BXCOSB,解得：7 1 O2=32+I2-2 x 3 x 1 x cos=7,所以力。=夕；(2)在 A B C中，由正弦定理等=与，sine SITLD得S讥。=、5 5 8=击 心 呜=：,在中，由A B /C,0 C B 0,故cosC =V 1 si n2C =,4所以si n(C -)=sin C -cos-co sC-si n-=【解析】题1：(1)设等差数列 a 4 的公差为d,再根据前T i项和的公式求解即可；(2)根据(1)可得厮=2 n-l,再裂项相消求和即可；题2：(1

25、)由余弦定理求出4)的长；(2)由正弦定理得至U si nC,进而求出cosC,进而利用正弦差角公式进行计算.第1 2页，共1 7页本题主要考查了等差数列的通项公式、裂项相消求和的计算、正弦定理的应用以及两角差的正弦公式，属于中档题.18.【答案】解：(1)回 答“满意”的人数占被调查人数的一半，则回答“满意”的人数为 100 x =50,回 答“满意”男生人数是女生人数的?，则男生人数为15人，女生人数为35人，在回答“不满意”的人中，女生人数占支回答“不满意”的人中，女生占50 x g=10人,故2 x 2 列联表如下：3)黑)需 短+d)=然黑蓝:暧X 25.25 10.828,满意不满

26、意合计男生154055女生351045合计5050.小概率值a=0.001的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度与性别有关.(2)这100名学生的测试成绩服从正态分布N(70,25),则 =70,60)=1-P(X 0.96,故该校增加锻炼时长后达标效果显著.【解析】(1)根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及独立性检验公式，即可求解.(2)根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题.19.【答案】(1)证明：因为APAB和PAD均为正三角形，所以2 8=4。.又BC=C D,所以AC为BO的中垂线.所以。为BD的中点.又PB=P

27、 D,所以P。1 BD.又4CDP0=0,AC,P O u 平面P A C,所 以 平 面 PAC.(2)解：因为484。=90。，。为BO的中点，所以4。=。8=0。.又因为P4=PB=P D,所以APA。，APBO,APD。为全等三角形.所以4P04=APOB=4POD=9 0 ,所以P。1 AC.结合(1)知，不妨以。为坐标原点，OB,OC,0P分别为不轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系0-xyz,则B 4,0,0)，D(一手,0,0),C喈,0)，P(0,0,学)，所 以 反=(当,今 0)廊=J,0净，峦=(0,0冷设平面PCD的一个法向量为记=(xyz),_ (V6 V2 _ 0则

28、E.=(),-AJ 2X 2y,令x=i,则y=-b，z=-1,D P =0 争 +Z=0所以元=(1,一 6，一 1).设二面角P-C D-B的大小为0,贝 ij|cos0|=cos(n-OP)=|J|=I 焉I=奈又二面角P-C D-B为锐二面角，所以二面角P-C D-B的余弦值为匹.5【解析】(1)利用线面垂直的判定定理即可证明：(2)以。为坐标原点，OB,OC,OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。一 xyz,求解平面PCD的一个法向量，利用空间向量求解二面角即可.本题主要考查，线面垂直的证明，二面角及其计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.20.【答

29、案】解：(1)设椭圆C的半焦距为c,(c 0),因为椭圆C：捻+=l(a b 0)的左焦点?(一2,0),右顶点4(3,0),所以Q=3,c=2,Z?2=a2 c2=5,第 14页，共 17页故 C的方程为：+=1；9 5(2)证明：设点见 沏,)(&0 4 0 0),且 乎+驾=1,9 5因为M为线段A B 的中点，所以M(等,葭)，所以直线。M的方程为：丫 =占 乂，令x =4,得 =一磊，所以N(W，-%),此 时 而=(|,肃/，通=3,-3女)，所 以 荏.和=|(攵 0-3)+=|(q 3)+|=|(冗3)+|(3 _ 3=0,N ZXQ+S)Z XQ+S)N L所 以 荏 J.而

30、，所以AB 1 NF.【解析】(1)由题意可知，a=3,c=2,则b 2 =a 2-c 2 =5,即可求得椭圆方程；(2)设B 点坐标，求得M点坐标，求得直线0M的方程，令 =-求 得 N点坐标，根据向量的坐标运算可得而.沛=0，即可证明A8 J.N F.本题考查椭圆的标准方程，中点坐标公式，向量的坐标运算，考查转化思想，计算能力，属于中档题.2 1.【答案】解：(1)证明：f(x)=l-x-i-/n x =-/n x,当0 x 0,/(X)单调递增，当%1时，/(%)a x +1,所以e*a x 1 0,令。()=ex ax 1,g(x)=ex-a,当Q4 0时，g (%)0,g(x)单调递

31、增，当Q 0 时，令g (%)=0,得 =Ina,所以在(0,仇a)上，g (x)v 0,g(%)单调递减,在(仇a,+8)上,g (x)0,g(x)单调递增，所以 g(x)m i n =0(m a)=e l n a-a Q -1=a alna 1,由(1)知，g(.x)m in=a-alna-1 0,令g(x)=e*-ax-1,只需g(x)m m 2。，即可得出答案.本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，需要理清思路，属于中档题.22.【答案】解：(1)由题意可得，f 所有可能取值为0,1,2,P(f=0)=(1-0.9)2=0.01,P&=1)=6 x 0.9 x 0.1=

32、0.18,%=2)=0.92=0.81,故f 的概率分布表为：012P0.010.180.81故 E=0 x 0.01+1 x 0.18+2 x 0.81=1.8.(2)设q=1-p,若同一组的k只鸡无感染，则 =%否则所以 P(=“，P(r=4-1)=1-qk,E()=/q+*+1)(1-q,=+1-勺 匕当且仅当2 Wk W8时，n的数学期望E S)1,G吟 0,/(I)0,/(9)0,Inq 4 0,F Inq 0,F Inq 0,一ln8=j 1nq,ln9 即Hn 仇8-6i Inq 仇9一i心第1 6页，共1 7页1 1:.8-石 q 9一 小故p的取值范围为1 一 9三,1-84.【解析】(1)由题意可得，f 所有可能取值为0,1,2,分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解.(2)设q=l-p,根据已知条件，结合期望公式可得，竽=-/n q,再通过构造函数，并运用导数研究函数的单调性，即可求解.本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题.