2021-2022学年广东省茂名化州市某中学高一下学期6月月考数学试卷（含详解）.pdf

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1、2021-2022学年高一级第二学期6 月份考试数学科试题一、单选题：本大题共8 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.X +i1.已知复数2=为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数X 值 为（）2-i1 1 八 c 1A.B.C.3 D.一22 32.已知|q|=2,|彼|=1,且（+母 J L l,则与B 的夹角为（）瓦 八 乃 八 2 5 万A.-B.C.D.6 3 3 63.已知。，夕是两个不同的平面，加，是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A.如果m/a,/a,那么加 几B.如果m_ L a,nJ l a,那么机_ L C.如果 z _ L a,

2、/，那么 a _ L 力D.如果a/，直线机与。所成的角和直线与夕所成的角相等，那么加4 .组数据中的每个数据都乘以3,再减去5 0,得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6,方差是3.6,则原来数据的平均数和方差分别是（）A.17.2,3.6 B.5 4.8,3.6 C.17.2,0.4 D.5 4.8,0.45 .已知A/W C中，内 角 所 对 的 边 分 别 为 a,上c.若J ,b=6，A =4 5，则 8=（）A.6 0 B.120C.6 0,或 120 D.906 .函数/（x）=s in x-l n 上 的大致图象为（7.已知三棱锥S-AB C中，5 4 _ 1平面4 8

3、。,5 4 =4,8。=2 6,/氏4。=6()。，则三棱锥S AB C外接球的表面积为()A.3 2%B.6 4 C.80万D.1287r8.已知函数/(X)=C O S71X I c o s K +%+2a s in x +/?的值域为-1,4 ,则。+。=(1 3-3C.一或一4 4D.二13 或乙94 4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某士官参加军区射击比赛，打了 6 发子弹，报靶数据如下：7,8,9,10,6,8,(单位：环)，下列说法正确的有()A.这组数据的平均数是8B

4、.这组数据的极差是4C.这组数据的中位数是8.5D.这组数据的方差是210.在 AABC 中，Z A =90.AB=3,AC=4,点。为线段A3上靠近A点的三等分点，E为 CD 的中点，则下列结论正确的是()一 1 一 1 一A.A E -A B +-A C6 2-15C.A E CD=2B.瓦后与雨的夹角的余弦值为方D.AAED的面积为211.关于函数/(x)=4 s in%有如下四个命题中真命题的序号是()A./(x)的最小正周期为2；B.f(x)的图象关于点(g,o)对称；C.若/(a x)=/(a +x),则|a|的最小值为:；D./J)图象与曲线 =。%1)共有4个交点.12.已知直

5、三棱柱AB C-%中，A B LB C,A B =B C =B B：。是 AC的中点，。为 4c的中点.点尸是B G上的动点，则下列说法正确的是（A.当点P运动到B q中点时，直线AP与平面A4G所成的角的正切值为。B.无论点尸在B G上怎么运动，都有4。，。男C.当点P运 动 到 中 点 时，才有AP与。耳相交于一点，记为Q，且 肃 =D.当点P 在 BG 上运动时，直线AP 与 AB所成角可以是3 0 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.有 1 0 种不同的零食，每 1 0 0 克可食部分包含的能量（单位：k）如下：1 0 0,1 2 0,1 2 5,1 65,4

6、 3 0,1 9 0,1 7 5,2 3 4,4 2 5,3 1 0这 1 0 种零食每1 0 0 克可食部分的能量的第60 百分位数为.1 4 .复数2+i为一元二次方程 2+以+匕=0 （“，b e R）的一个根，则 复 数 以+如=.1 5 .在 AABC 中，点。在边 A 8 上，C D 1 BC,A C 5y/3,C D =5,BD =2 A D,则 AO 的长为1 6.已 知 一 组 数 据 巧，x3.的平均数为1方差为S?.若3 石+1,3 +1,3 x3+l ,.3 x +1 的平均数比方差大4,则S2-x2的最大值为.四、解答题（共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

7、步骤）1 7 .已知 5 =（1,0）石=（2,1）（1）当火为何值时，依一5与M +2 万垂直（2）若 福=2 万+3瓦 比=万+加在，且 A R C 三点共线，求优的值.18.从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125频数62638228（1）根据上表补全所示的频率分布直方图;频率 组距08642O86420864208424333332222211111000O0.000000000000000(x(x0(M。75 85 W 105 115 1 2 5质量指标值（2

8、）估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.如图，已知四棱锥P ABC。底面ABC。为梯形，A B H C D,PA=P D =C，平面。4。_1平面 ABC。，C D L A D,A B =A D =2 D C =2,（1）E 为 p。的中点，尸在A B 上，A F 3 F B,求证：E F/平面P8C（2）求 A C 与平面P O C 所成角的余弦值.20.在 AABC中，a、枚 c 分别是角 A、B、

9、C 对边，向量m=（2a+c,Z?）,向量n=（cosB,cosC）,且 2 _L AD（1）求 B 的大小；（2）设点。在边A C上，且 8。=2,3。是A/W C的角平分线，求 a+c 的最小值.2 1.如图，长方体A 8 8-A 4 G R 中，AO=2A3=2A4,=2,尸为棱A 2 中点，E 棱 8 C中点.（1）求二面角P B 。平面角的大小；（2）线段A O 上是否存在点。，使得。到平面在D 的 距 离 为 立？若存在，求 出 黑 值：若不存在，请2QD说明理由.2 2.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平行四边形 O M PN区域

10、为停车场，其余部分建成绿地，点 P 在围墙A B 弧上，点M 和点N 分别在道路0 4 和道路。8 上，且 以=60米，Z A O B=6 0,设NPO3=8.（1）求停车场面积S关于。的函数关系式，并指出8 的取值范围；（2）当。为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.2021-2022学年高一级第二学期6 月份考试数学科试题一、单选题：本大题共8 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.X +i1 .已知复数2=为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数X的 值 为()2-i1 1 八 c 1A.B.C.3 D.一22 3【答案】B【解析】【

11、分析】根据复数的除法运算，得至1 2=2.1；(2 +犬)1,再结合复数z为纯虚数，列出方程组，即可求解.x +i【详解】由复数Z =2-1(x +i)(2 +i)2 x-l+(2 +x)i-4?x+i 2 x-l=0 1因为复数2 =为纯虚数，所以1 解得光=一.2-i x+2#0 2故选：B.2 .已知|a|=2 ,|=1,且(a+H)_ L),则a与坂的夹角为()B.71C.空D.5乃3【答案】C【解析】【分析】由向量垂直转化为数量积为0,得出7B，然后由数量积的定义可得向量的夹角.【详解】因为(Z +B)J.B，所以(a+B)4 =a 4+5 =同 c o s +M =2 c o s

12、+1 =0,1 2 7 rc o s =一一,而向量的夹角在 0,兀 上，所以=：-.2 3故选：C.3.已知a,/是两个不同的平面，m ,是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是()A.如果m/a,n/l a,那么加”B.如果加_ L c,n l i a，那么m_ L C.如果？J _，m A.a ,n!/3,那么D.如果a/p,直线加与e 所成的角和直线与 所成的角相等，那么相【答案】B【解析】【分析】A.机或加，”相交或加，异面，所以该选项错误；B.如果 z_La,n/a,那么?_L，所以该选项正确；C.&/或名 尸相交，所以该选项错误；D./或加，相 交 或 异 面，所以该选项错误.【

13、详解】A.如果加/a,n l l a,那么加或利 相交或加，异面，所以该选项错误；B.如果加J_a,nl l a那么，_!_ ，所以该选项正确；C.如果加_L，相。，/月，那么a/4 或名夕相交，所以该选项错误；D.如果。/，直线加与a 所成的角和直线与夕所成的角相等，那么加或7，”相交或加，“异面，所以该选项错误.故选：B4.一组数据中的每一个数据都乘以3,再减去50,得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6,方差是3.6,则原来数据的平均数和方差分别是()A.17.2,3.6 B.5 4.8,3.6 C.17.2,0.4 D.5 4.8,0.4【答案】C【解析】【分析】根据均值和方差

14、的公式计算可结果.【详解】设一组数据为W(i=l,2,3,)，平均数为亍，方差为s；,所得一组新数据为斗a=1,2,二,)，平均数为y,方差为只，则 y =3%一 5 0(i=1,2,3,)，5=)1+)”+%=i.6(n所以 3%5 0+3匹-5+3x -5 =$,n所以35 5 0=1.6,所以工=2=1 7.2,3由题意得s；=-歹了+(%一歹+(笫一刃2 =3.6,所以,(3%一5 0 1.6)2+(3/一5 0 1.6)2+(3当 一5 0 1.6)2=3.6,所以，X 9 (%一 1 7.2)2 +(%1 7.2)2 +(x 一 1 7.2)2 =3.6所以，、9(%元)2+*2

15、君2+-+(当一元)2 =3.6,所以 9 s；=3.6,所以 s；=0.4.故选：C.【点睛】关键点点睛：熟练掌握几个数据的均值和方差公式是解题关键.5.已知AABC中，内角A 8,C所对的边分别为a,b,c.若a=、/5，b=6 A =4 5，则8=()A.6 0 B.1 2 0。C.6 0。或 1 2 0 D.9 0【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可求得s i n 8，由8的范围可得结果.C V2【详解】由正弦定理得：.o乐 泊 人 2 百；s i n D=-=-=a 12 2：b a,:.B A 则4 5 5 1 3 5，,8 =6 0或 1 2 0.故选：C.6.函数/(x)=

16、s i n r/n 的大致图象为()【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合/(3)的符号，进行排除即可.【详解】解：/(-x)=-s i nx-l n-=-s i nx l n-=s i nx l n-=/(x),则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除4 C,/(3)=s i n 3 1 n-0,排除5,故选D.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，利用排除法是解决本题的关键.7.已知三棱锥5 ABC中，5 4_1_平面4 3。,5 4=4,5。=2后,/区 4。=6()。，则三棱锥S A3 C外接球的表面积为()A

17、.321 B.6 47 r C.8 0 D.128【答案】A【解析】【分析】根据三棱锥中线面位置关系求解外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】AABC中，8C=2G,NBAC=6O。，设AABC的外接圆半径为，根据正弦定理有，2r =B Cs i n A B A C2V 3s i n 6 0如图，。1点 为AABC的外心，。三棱锥外接球的球心=4 r =2.5 X _L 平面 A B C,A O O,USA,且 Q S =Q 4OOt=1 sA=2R s A O O 中,A O1=r =2,OO=2,Z A OXO-9 0,AO=2及即三棱锥外接球的半径为：2及所以外接球的表面积为4兀

18、(2 0)2 =3 2 兀，选项A正确，选项BCD错误故选：A.8.已知函数/(x)=cos7Lx 1 cos?+了)+2 s i n x +0的值域为一 1,4,则a +=()13A.49B.-4C.上13 或 34 41 3-9D.或一4 4【答案】C【解析】【分析】由题可得/(x)=-s i n2x +2a s i nx+b +g,a t =s i nx j e-l,l,设g(t)=-t2+2 a t+b+,则 g(f)e 1,4,再利用二次函数的性质分类讨论即求.【详解】：/(x)=cos71x cos I+x I+2t z s i n x +/?,/./(x)=c o s2x-s i

19、 n2 x)+2a s i nx +Z?=s i n2 x +2a s i nx+Z?+；,令 1=s i nx/-l,l,设 g(。=一/+2at+b+,则 g(f)T，4,2当aW l 时，g。)在T,l 上单调递减,g(-l)g 0)=_1 C ，)-2。+0=42，解得,一+2。+=一 125a=4,b=2：.a+b =-,4当时，g(f)在 上 单 调 递 增,g(l)=2i z+/?=12,解得gl)=-+2a+b=45a-4,b=2,1 3a+b=4当一 1。0 时，g”)ma x =g(a)=a2+；=4,无解,g(f)mi n=g(l)=2a +，-5=-lg“）m x=g（

20、a）=+5=4当O W a +（8-8）1 =3,故6 L -I 3D错误.故选：A B.10.在AA B C中，ZA=9 0，45 =3,A C =4,点。为线段A B上靠近A点 三 等 分 点，E为CD的中点，则下列结论正确的是（）一1 一 1 1 5A.AE=-A B +-A C B.才后与丽的夹角的余弦值为；一6 2 1 7C.AE,CD=-D.A E D 的面积为 22【答案】A C【解析】【分析】以点A为坐标原点，A B，所在直线分别为x、轴建立平面直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示可判断A选项的正误，利用平面向量数量积的坐标运算可判断B C选项的正误，利用三角形的面积公式

21、可判断D选项的正误.【详解】在AABC中，Z A =9 0 0.A B =3,A C =4,故以点A为坐标原点，A B，所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系如图所示，则 4(0,0)、3(3,0)、0(0,4)、0(1,0)、呜，2 所以而防=(3,0),A C =(0,4),而*,2 ,而=(1).对于 A,因为而+工 恁=(3,()+1(O,4)=(1，2,0 2 0 2 2 7所以月+工 恁，故选项A正确;6 2对 于B,荏.丽=g x|2?=|嗣=乎，叵 卜孚，1 1所 以 亚 与 丽 的 夹 角 的 余 弦 值 为cos(衣,丽”於-4百”布国，故选项B错误;-X-2 2-1 1

22、 5对于C,A E C D =-xl-2 x4 =一 一，故选项C正确；2 2对于D,的面积为5。=；*|4。,|九|=3 卜2 =1,故选项D错误.故选：A C.1 1.关于函数/(x)=4s i n 1G-V有如下四个命题中真命题的序号是()A./(%)的最小正周期为2；B.A x)的图象关于点(|,0)对称；2C.若/(a x)=/(a +x),则|a|的最小值为：；D./(x)的图象与曲线y=共有4个交点.【答案】A D【解析】【分析】根据函数的周期公式判断选项A,根据函数的对称性判断B C,结合函数的周期，对称，最值,判断交点个数.【详解】由图可得：=2,7(X)的最小正周期为2,A

23、正确；71/(g)=4 s i n(g j曰=4 H o所以/(x)的 图 象 不 关 于 点 号 对 称，B错误；7171 2 1号71X一一=-+k7T,k&Z,x =-+k,k&Z ,离y轴最近的对称轴为x=,所以若6 2 3 3f(a-x)=f(a+x),则函数关于x=。对称，则 的 最 小 值 为:，C错误；2 J _ =3 4 y=-在)，轴右边离y最近的对称为x=y,/J =4,而2 2 h 在(0,+8)上是减函数，因此f(x)的图象在第一象限每个周期内与y=2的图象都有两个交点，在区间 J,：上有两个交点，在区间X O O /arctan1 8 =30 2 3所以省不可能是3

24、0，故。错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下:100,120,125,165,430,190,175,234,425,310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为.【答案】212【解析】【分析】先将数据从小到大排，然后由10 x60%=6确定第60百分位数.【详解】根据题意，将10个数据从小到大排列：100,120,125,165,175,190,234,310,425,430；10 x60%=6,190+234则该组数据的第6 0百分位数为 2=212,2故答案为：212.1

25、4 .复数2+i为一元二次方程 2+以+=0 （mbR）的一个根，则复数|。+初|=.【答案】标【解析】【分析】利用复数的运算，将方程的根代入即可求得。,匕，再求复数模长即可.【详解】因为2+i为一元二次方程N+a x+Z?=O,故可得（2+i f +a（2 +i）+Z?=0,则（a+4）i +2 a+0 +3 =0,又a,bw R,故 Q+4=0,2Q+Z?+3=0,解得 Q=-4,0 =5.则|a+初|=H+5 i|=7 16+2 5 =向.故答案为：曲.【点睛】本题考查复数的运算，以及复数模长的求解，属综合基础题.15 .在 AABC 中，点。在边 A 8 上，CD L BC,AC 5s

26、/3,C D=5,BD =2 A D,则 AO的长为【答案】5【解析】【分析】设A D =x（x 0）,则8 =2 x,则在直角三角形8。中可得c o s N C D B =W,在lx中，由余弦定理可得c o s/A D C=厂+一（5后广，再由NC）B+NA）C =%,可得2 x x x 51+5-（56）-=一,解方程可求出x的值，从而可得AO的长2 x x x 5 2x【详解】如图，在AABC中，B D=2 A D，设A D =x（x 0）,则8 O =2 x.CD 5在B C 中，因为 C D，5 C C O =5,5 D =2 x,所以C OSNC 5 =.B D 2x在 A A C

27、 D 中，A D=x,C D =5,A C=5y/3,则c o sZ A D C =心=f+5-5后.2x A Dx CD 2xxx5因为NCDB+NADC=，所以c o sNAZ）C=-c o sNCD瓦即 厂+5一 一（5后）解得x =5,所以AO的长为5.2xxx5 2x故答案为：516.已知一组数据为,，七，x”的平均数为1方差为S 2.若3玉+13%+1的平均数比方差大4,则52-2的最大值为.【答案】-1【解析】【分析】设新数据 平均数为，方差为S：,可得q=3 1+1，S;=9 S 2,可得K+1=9 5 2+4,可得s?代入$2 一 可得其最大值.【详解】解：设新数据3玉+1,

28、3+1,3七+1,3%+1的平均数为:可得：x,=3 x +b S=9 S 2,由新数据平均数比方差大4,）1 1可得3 x+l=9 S?+4，可得S-=龙 一可得：S 2 -x-2 =-1 x-1 -x-2 =-（-x 1 ）2-11-,3 3 6 3 691 1 一由5一 =犬一2 0,可得尤？1，_ 一,1 ,11可得当x =l时，可得5?-/的最大值为：（1 一：）-一 二=一1，6 3 6故答案为：-1.【点睛】本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.四、解答题（共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知 5 =（1,0）,万=（2,1）,3%,+1,

29、3 x3+1 ,由新数据的平均数比方差大4，方差为S:，（1）当归为何值时，依一5与M +2万垂直（2）若 丽=2 1+3反 肥=+根5，且A&C三点共线，求团的值.1 2 3【答案】（1）；（2）5 2【解析】【分析】（1）妨日与5+2 5 垂直，即 妨 与 万+2 石的数量积为0,利用坐标计算可得左值:（2）因为A8,C三点共线，所 以 通 元，利用平面向量共线的坐标公式计算可得加的值.【详解】解：（1）%一 看=%（1,0）（2,1）=（左一2,1）,5 +2 =（1,0）+2（2,1）=（5,2）因为依 一方与 +2 垂直,所以5（4 2）+（1）x 2 =。,1 2即5 左 一 1

30、0 2 =0,得 k 若.（2）A B =2 a +3 =2（l,0）+3（2,l）=（8,3）B C=a+tnb=（1,O）+m（2,1）=（2 m +l,m）因为A,6,C 三点共线，所 以 而 配.所以8m一3（2 m+1）=0,即2 加一3 =0,所以加=g.1 8.从某种产品中抽取1 0 0 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组 7 5,85)85,9 5)9 5,1 0 5)1 0 5,1 1 5)1 1 5,1 2 5 频数62 63 82 28（1）根据上表补全所示的频率分布直方图;率距频一组08642O.O4.O3.O3.O3.O3.O

31、300O295 105 115 1 2 5质量指标值5S75（2）估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于9 5的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】(1)频率分布直方图见解析；(2)平均数为1 0 0,方差为1 0 4,中位数为9 9.7；(3)不能认为该企业伸长的这种产品符合“质量指标不低于9 5 的产品至少要占全部产品的80%”的规定.【解析】【分析】(1)根 据 频 数 求 出频品率7,画出每一组的小矩形即可;组距 根据平均数、方差、中

32、位数的计算方法计算即可；(3)求出 9 5,1 0 5)、1 0 5,1 1 5)、1 1 5,1 2 5 这三组的总频率,与80%比较即可.【小 问 1 详解】补全后的频率分布直方图如图所示,质量指标值分组 7 5,85)85,9 5)9 5,1 0 5)L1 0 5,1 1 5)1 1 5,1 2 5 频数62 63 82 28频率组距0.0 0 60.0 2 60.0 3 80.0 2 20.0 0 80.0400.038().0360.0340.0320.0300.0280.0260.024().022().0200.0180.0160.0140.0120.0100.0080.0060

33、.0040.002频率组距95 105 115 125,a化七生质量指标值【小问2详解】质量指标值的样本平均数为:80 x 0.0 6+9 0 x 0.2 6+1 0 0 x 0.3 8+1 1 0 x 0.2 2 +1 2 0 x 0.0 8=1 0 0,质量指标值的样本方差为：52=(-2 0 X 0.0 6+(-1 0)2 X 0.2 6 +x 0.3 8+1 02 x 0.2 2 +2 02 x 0.0 8=1 0 4,这种产品质量指标值的平均数约为1 0 0,方差约为1 0 4.第一组频率为：0.0 6,第二组频率为：0.2 6,第三组频率为：0.3 8,0.0 6+0.2 6 0.

34、5,中位数落在第三组 9 5,1 0 5)内，设中位数为x,则 0.0 6 x 1 0 +0.0 2 6 x 1 0 +0.0 3 8x(x-9 5)=0.5 ,解得 工9 9.7 ,因此，中位数为9 9.7；【小问3详解】质量指标值不低于9 5 的产品所占比例约为0.3 8+().2 2+().()8=().6 8,由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于9 5 的产品至少要占全部产品的80%”的规定.1 9.如图，已知四棱锥P-A8 CO 的底面A5CD为梯形，A B U C D,PA=P D =6,平面上4。_ 1 平面 A B C。，CD A D,A

35、B=A D =2 D C =2,(1)E 为 P D的中点，F在 A3上，A F =3 F B,求证：7 3/平面P 8 C(2)求 AC与平面P DC所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)叵.5【解析】【分析】(1)作 P C的中点M,连结ME、M B,证 得 四 边 形 为 平 行 四 边 形，得到EF/MB,结合线面平行的判定定理，即可得到E F/平面P B C；(2)作 P O L AO 于0,证得平面A B C。，以O AQV,O P 所在 直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系求得向量次=(一2 ,0)恁和平面P O C的一个法向量3 =(1,0,1),结合向量的夹角公

36、式，即可求解.【详解】(1)作 P C的 中 点 连 结 ME、M B,因为E为 P O 的中点，所以EM/CD且2又因为A5/CO,AF=3EB,A8=2C。，所以尸8=RFB/CD,2所以EM/FB且EM=FB，所以四边形瓦 皿 为 平行四边形，所以EF/MB,因为E E a平面PBC,M Bu平面PBC，所以防/平面P8C.(2)作POLA。于0,因 为 平 面 平 面ABCQ,平 面 尸 平 面ABCD=A。,PO，AO,POu平面PA O,所以尸0_L平面ABC。，因为 +包 二 )？，所以 pj_Q4,PO=AD=,分别以0A ON,OP所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间

37、直角坐标系。-孙z,则 A(l,0,0),C(-l,l,0),P(0,0,1),D(-l,0,0),B(l,2,0),可 得 衣=(-2,1,0),CP=(l,-l,0),DP=(1,0,1),设平面POC法向量为及=*,y,z)，则有|=|=|3丁可+0 叵|A C|H|加 x叵 5所以直线AC与平面PDC的角(9的余弦值为cos。=Vl-sin2=半20.在 ABC中，。、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m=（2。+。/），向量=（cos8,cosC）,且“_ L A（1）求8的大小；（2）设点。在边AC上，且3。=2,3。是 ABC的角平分线，求a+c的最小值.【答案】（1）子27r

38、；（2）8.【解析】【分析】（1）由而J.3得（2+ccosB+力cosC=0,利用正弦定理得结合A 8的范围可得答案；（2）利 用 为AABC的角平分线得Z A B D =4 CB D=1 Z A B C=（，由SM D+凡助。=S A B C得到a+c=2（a+c）1+L利用基本不等式可得答案.c a 2 yc a J【详解】（1）/m n,/.m-H=（+c）-cosB+b-cosC=0,由正弦定理得 2sin 4cosB+sinCcosB+sin B cosC=0,又.A 3G（0,7），sin A0,cosB=-,：.B与.3171（2）QBO为ABC的角平分线：./4 5 0 =/

39、0 5。=5/713。=可，又*S.BC D +SABAD=S A B C，:.-BD BC-sinZ C B D +-A B B D sinZABD -A B BC-sinZ A B C，2 2 27T 7V 2即 a x2 sin F c x2 sin =c-sin zr,3 3 3，2c 。+2-。=。n即n 一1 +一1 =一1,cal当且仅当a =c =4时，等号成立，故a+c的最小值为8.2 1.如图，长方体A B C O-A S G A中，A O =2 A 5 =2 A&=2,P为棱A2中点，E棱8 C中点.（1）求二面角一跖一。平面角的大小;（2）线段AO上是否存在点。，使得。

40、到平面包 的 距 离 为 立？若存在，求 出 挈 值；若不存在，请2Q D说明理由.【答案】（1）4 5;（2）存在，【解析】【分析】（1）取AO中点。，连结P。、0 E,先证明N P E O为二面角P的平面角，利用长度关系，可得N P E O =4 5：（2）利用等体积法，转化。到平面尸田 的距离为三棱锥Q-P E。的高，借助/即得解【详解】（1）取AD中点。，连结PO、0 E,在 丛。中八4=P，。为AD中点，所以POLAD,又侧面A A9 1底面A B C D,平面4 AO0 n平面A B C D =A D，P O u平面AA。，所以尸。_!平面A 6C Q,又B u平面ABC。，所以P

41、 O L B E,因为 3C7/AZ),AB AD,A=2A8=26E=2，所以ABEO为正方形，所以O E L B E,又 P O C O E =O,所 以 庞1平面POE,则NPEO为二面角P 3。的平面角，在直角三角形POC中，E O =P O=1,所以ZPEO=45,所以二面角P 3E。平面角的大小为45。；(2)假设线段AO上存在点Q，使得它到平面 包 的 距 离 为 亚，2设QQ=x,则S.E uL Q O EO sinNQOEuLx,在直角三角形POE中,P E 7 P o 2+O E?=日在直角三角形OOE中，E D u S b +O E?=C.=P E=P D，所以 S&PE

42、D=4 X(V2)2=与 由 Vp-DQE Q-PED 即2 X 1 =J -3 2 3 2 23解得=一，2所以存在点。满足题意，此 时 黑=!22.某居民小区为缓解业主停车难 问题，拟对小区内一块扇形空地AQB进行改建.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙A 5弧上，点M和点N分别在道路。4和道路08 上，且 014=60 米，Z A O B 60,设 4POB=.（1）求停车场面积s关于。的函数关系式，并指出e的取值范围；（2）当。为何值时，停车场面积s最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.【答案】（1）S=240073sin6sin（60-0）,0

43、。660（2）当。=3 0时，停车场最大面积为1039.2平方米【解析】【分析】（1）由正弦定理求得O N,再计算停车场面积S关于。的函数关系式；（2）化简函数解析式S,求出S的最大值以及取最大值时对应。的值.【详解】解：（1）由平行四边形OMPN得，在AOPN中，NONP=12（T,NOPN=60 贝 l-O-N-=-O-P-=-P-N-,即nn-O-N-=_-6-0-=_-P-N-,sin ZOPN sin ZONP sin ZPON sin（60-6）sin 120 sin 6即 ON=4073 sin（60-0）,PN=40G sin 0，则停车场面积 S=ON-PN sin NONP

44、=24006sin 6sin（60 6）,即 S=2400由 sin 6sin（60。-8）,其中 0 6 60.（2）由（1）得S=240（）6sin6sin（60-6）=2400百sin。（当cos。一;sin6），即 S=3600sin cos 0-1 2 0 0 sin2 0=800sin 2。+600石cos 20-60（）6，则 S=120073sin（26+30）-60073.因为O 6 6 0，所以30 26+30 150，则 2。+30=90。时，S a =1 2(X)GX1 600G =6 0 0 6、1039.2 平方米.故当e=30。时，停车场最大面积为1039.2平方米.【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题.