2021-2022学年江西省丰城直升班高三（上）第一次段考数学试卷（理科）（10月份）（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年江西省丰城九中直升班高三（上）第一次段考数学试卷（理科）（10月份）1.已知集合4=工 C N|，2+，16,B=xx2 4x +m =0,若l eADB,则A U B =.()A.(1,2,3 B.1,2,3,4 C.0,1,2 D.0,1,2,32.已知复数z满足z(l+2i)=|4-3i|(其中i 为虚数单位)，则复数z 的 虚 部 为()A.-2 B.-2i C.1 D.i3.如果双曲线冬-3=1 的 离 心 率 为 雪，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线.现有一黄金双曲线C：高 一 誓=l（b 0）,则该黄金双曲线C的虚轴长为（）A.2 B.4 C

2、.V 2 D.2V 24.已知实数x,y 满足lnx lny,则下列结论正确的是（）A.t a nx t a ny B.（|）z （|）y（2.岑 85.a 1 是 勺 x 6（l,+8）,1）0,0 p 0,3 0)在碍勺上单调，且/0)=/*)，若%)在 0,t)上存在最大值和最小值，则实数r 的取值范围为()A.|兀，+8)B.(|TT,+OO)C.苧 D.，凯(拳+8)12.若函数y =/(x),对于给定的非零实数”，总存在非零常数7,使得定义域例 内的任意实数x,都有a/(x)=/Q+7 9恒成立，此 时 T 为/(x)的类周期，函数y=/(x)是 M上的a 级类周期函数.若函数y

3、=/(x)是定义在区间 0,+8)内的2级类周期函数，且7 =2,当x e 0,2)时，/(x)=G-函数g Q)=1/(2%),1 x 2-2lnx+|x2+x +G 6,8,3x2 W (0,4-c o),使g(%2)-(Q i)4 0成立，则实数”的取值范围是()A.(-c o,|B.(-0 0,y C.(-0 0,-1 D.耳，+8)13.已知函数/(x)=x2+x lnx 的 图 象 在 点 处 的 切 线 与 直 线 久-a y -1=0平行,则实数a =.14.小 华、小明、小李小章去A,B,C三个工厂参加社会实践，要求每个工厂都有人去，且这四人都在这三个工厂实践，则小华和小李都

4、没去8 工 厂 的 概 率 是.15.已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，当x 2 0 时，/(x)=|s in(x),0 x l,个不同实数根，则实数”的 取 值 范 围 是.16.如图,为测量C 点到河对岸塔顶A 的距离,选取一测量点D,现测得4BCD=75。，A.BD C =60 ,C D=4 0 m,并在点 C处测得塔顶A 的仰角为30。，则 C 4 的距离为 m.D第 2 页，共 16页17.在 A B C 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且(2b -c)c os 4-a c os C=0.(1)求角A 的大小；(2)若4 A B C 的面积为3 8，求4 4 B

5、C外接圆面积的最小值.18.设数列 an 前”项和为又，已知当r i 2 2时，an-a n _ i=2,且4a 3为S 4,S$的等比中项.求数列 即 的首项的的值；(2)设心=五，求数列%的前项和anan+iz19.如图，三棱锥P-4 B C 中，PA=PB=PC=遍,CA=CB=&,AC 1 BC.(1)证明：面P 4 B 1 面 A B C；(2)求二面角C-PA-B 的余弦值.20 .已知椭圆C：W+、=l(a b 0)的左、右焦点分别为居，F2,且I&F2I =2,点弓)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P(l,t)为椭圆C 上一点，过点尸 2的直线/与椭圆C

6、交于异于点P的 A,B两点，若A P 4 B 的面积是竽，求直线/的方程.21.已知函数 f(%)=m e*笥：1.(1)当m=0 时，求/(x)的单调区间；(2)若对任意的x G(0,+8),均有/(%)0,求实数m的最小值.22.据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过5 0%的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为10 0 0 万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了 1()00个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值%,并分成以下5 组：5 0,6 0)

7、,6 0,7 0),-,9 0,100,其统计结果及产品等级划分如表所示：质量指标值k50,60)60,70)70,80)80,90)90,100产品等级A级B级C级。级废品频数16030040010040试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N3Q2）,其中近似为样本平均数，。近似为样本的标准差s,并己求得SB 10.03.记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值%在区间（50.54,80.63之外的包装胶带个数，求P（X=1）及X的数学期望；（精确到0.0

8、01）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y（单位：元）的关系如表所示：（te（1.4）质量指标值k50,60)60,70)70,80)80,90)90,100利润y5/3/2tt-54假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量 Z|jiip（M-a Z fi+a）=0.6827,PQt-2T Z H+2（T）=0.9545,P（-3。Z W +3。）=0.9973,0.818629 0.0030,lnl3 2.6.第4页，共16页

9、答案和解析1.【答 案】。【解 析】【分 析】本题考查集合的并集的定义和运算，属于基础题.先 化 简 集 合A,再 求 出 机 的 值，根据并集的定义即可求出结果.【解 答】解：集合力=x e/V|2工+1 16=x 6 N|-2 c x 3=0,1,2,B=xx2-4x+m=0,若 1 G 4nB,1 B,二 1-4+m=0,即m=3,二 B=xx2-4x+3=0=1,3.则 AUB=0,1,2,3.故选：D.2.【答 案】A【解 析】【分 析】先求|4-3 4 再把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基

10、础题.【解 答】解：由z(l+2i)=|4-3i|=J42+(-3尸=5,得z=5(l-2t)(1+21)(1-20l-2 i,.复 数z的虚部为-2.故选：A.3.【答 案】D【解 析】【分 析】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题.由已知条件，可 推 得 捺=5券=1 +卷=（雪）2,解 得 炉=2,即b=V L即可求解.【解 答】解：由题意可得，2=贮 孚=1+U=(i)2,解得/=2,即b =&,a2 a2 V5-1 2/故黄金双曲线。的虚轴长为25 =2V 2.故选：D.4.【答案】D【解析】解：1实数x,y满足I n%I n y,0%y.A.t a n%(|)y,

11、因此不正确；C.由(x -y)(x2+xy+y2+x+y)0,可得：/一 y 3 +产 一 y 2 0,化为:管 燮，因此不正确；0-+公 石2川+昌 孕=产+工28,当且仅当x =l,y =2时取等号因此正确.故选：D.实数工，y满足I n x V l n y,可得0 x V y.A.取 =9 y =?,即可判断出正误；员利用函数y =0尸在(0,+9)上的单调性即可判断出正误；C.由(x-y)(/+x y +y 2 +x +y)0,化简即可判断出正误；D利用利用基本不等式即可判断出正误.本题考查了函数的单调性、基本不等式的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.【

12、答案】B【解析】【分析】本题考查了充分条件，必要条件，充要条件的判断，利用导数求函数的最值，存在量词命题，属于中档题.利用导数法求出“m x 6 (1,+8),x-l n(x-l)a”的等价命题，根据充分条件，必要条件的定义，可得答案.【解答】解：令f(x)=x -l n(x -1),定义域为(1,+8).则r(乃=1-=言，当x 6 (1,2)时，f(x)0,故当x =2时,/(x)取最小值2,故 r t3 x e (1,+8),x-l n(x -1)a a 2M第 6 页，共 16页故 a 1是 El x 6 (1,+8),x-l n(x -1)a的必要不充分条件，故选8.6 .【答案】C

13、【解析】解：将相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列%=人因为1 +2 +3 +n =n 6 3,前 2 0 2 1 项共包含6 3 个完整组，且第6 3 组最后一个数字为第2 0 1 6 项，故 2 0 2 1 项为第6 4组第5 个数字，其为6 4.故选：C.找出数列的规律，求出数列中第2 0 2 1 项所在的位置，即可推出结果.本题考查合情推理的应用，涉及数列的表示方法，属于中档题.7 .【答案】A【解析】解：因为a 2 =C C a2+屐玛a+髭C?=6 a 2 +2 4a +1 5,则6 a 2 +2 4a +1 5 =-9,解得a =-2.在(1 +x)6(l -2 x)4

14、=即+%+。1 0%1 中，令K =0,则劭=1,令x =l,则a。+a 1+a 2+a i o =2 6 =6 4,所以 的+0.2+。3+。1 0 =6 3，故选：A.利用二项式定理求出产 的系数，再求出”的值，通过赋值法求展开式中各项的系数和,及常数项，再求其差即可.本题考查了二项式定理，二项式展开式的系数性质，属于中档题.8.【答案】B【解析】解：根据题意，/。)=必 产 包，x-cosx设g(x)=X2-c o s x,则g(x)为偶函数，且g(%)=0 有两个零点，两个零点互为相反数，在(0,m)上，g(x)0,设g (%)的两个零点为(-犯 m),则八%)的定义域为 x|x W

15、土 小,排除C、D,在区间(0,m)上，l n(x +V%2+1)0,x2-c o s x 0,则/(%)0,排除 A,故选：B.根据题意，设g(x)=/一 c o s X,结合二次函数与y =c o s 的图像分析可得g(x)的零点性质，由此可得f(%)的定义域和奇偶性，排 除 C、。，再分析/(%)的符号，排除4,即可得答案.本题考查函数的图像变换，涉及函数的奇偶性和对称性分析，属于基础题.9.【答案】D【解析】解：由图可得?=解得7 =2,所以3 =算=兀，4 6 3 T又当 时，y =1,即si n G+0)=1,解得9 =，所以/(%)=si n(7 T%+5，则A(；,0)，B(0

16、 i),6 6 2因为A为C D的中点，所 以 就+前=2明=2(|,=又 因 为=G,1),所以(前+BD)-OE=(|,-1)(|,1)=故选：D.根据图像先求得函数/(X)的解析式，再利用A为 8 的中点，得到成+前=2瓦?，然后结合向量数量积的坐标表示即可求得答案.本题主要考查了正弦函数图像的性质，平面向量数量积的坐标表示，属于中档题.10.【答案】D【解析】解：圆C化为1)2 +0 +2)2 =2 5,则圆心坐标为c(l,-2),半径r =5,圆心C到直线3 x+4 y -10=0的距离d =生 啜1=3,则弦长|A B|=2 Vr2-d2=8,设P到AB的距离为/z,则SA P.=

17、/4B|嗦=4,解得h =l.而圆上A B两侧的动点到直线A B的最大距离分别为5和2,故满足条件的点P共4个.故选：D.化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，进一步求得弦长|4 B|,由三角形面积求得P到AB的距离，结合题意得答案.本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题.11.【答案】B【解析】解：因为函数f(x)=4 si n(3 x+g)在邑勺上单调，6 6 2.所以三一巳=巴三工=打，解得0 9o 2解得t y.故选：B.先利用函数/(X)的单调性，求出3范围，再利用f)=f(),求出对称轴，由此求出3的值，由 05),求出2 x+m e

18、 U，2 t+),然后利用正弦函数的性质得到关于f 的不等关系，求解即可.本题考查了三角函数性质的综合应用，主要考查了三角函数的单调性、对称性、最值等，此类问题一般会运用整体代换的思想进行求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.12.【答案】B【解析】解：根据题意，对于函数f(x),当x e 0,2)时，/(x)=(1-2x 2-0-x-1,1/(2 -x),l x 2分析可得：当OWx Wl 时，/(x)=1-2 x2,有最大值/(0)=5最小值/(1)=一|,当l x 2时，/(x)=/(2-x),函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则此时有1 又由函数y =f(x)是定义在

19、区间 0,+8)内的2 级类周期函数，且7 =2；则在6 6,8)上，/(%)=23-/(%-6),则有一 12 M f (%)V 4,贝行(8)=2/(6)=4/(4)=8/(2)=16/(0)=8,则函数/(x)在区间 6,8 上的最大值为8,最小值为一 12；对于函数g(x)=-2 1n x+|x2+x+m,有g (x)=-1 +x+l=，=。一 警+2),分析可得:在(0,1)上,g (x)0,函数g(%)为增函数,则函数g(x)在(0,+8)上，由最小值/(1)=|+m,若6 6,8 ,3X2 G(0,4-00),使g(%2)/(%i)工 0 成立,必有gC O m in 士 /(X

20、)m a x，即|+爪 W 8,解可得m W孩，即 m的取值范围为(一 8,孩;故选：B.根据题意，由函数f(x)在 0,2)上的解析式，分析可得函数/(x)在 0,2)上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得f(x)在 6,8 上的最大值，对于函数g(x),对其求导分析可得9。)在区间(0,+8)上的最小值；进而分析，将原问题转化为g(X)m in 4 f(X)n w 问题，即可得|+mW 8,解可得，的 取值范围，即可得答案.本题考查函数的最值问题，注意将题目中 勺X 1 6 6,8,三孙6(0,+8),使9。2)/(xx)0成立 转化为函数的最值问题.1 3.【答案吗【解析】【分析】

21、本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是基础题.求出原函数的导函数，得到函数在4 =1处的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得“值.【解答】解：由/(x)=x2+x l n x,得尸(x)=2x+I n x +1,f(l)=2 x 1 4-1 =3,函数f(x)的图象在点(1,/(1)处的切线与直线x -a y-1=0平行，-a =3,即a =3故答案为：1 4.【答案】三18【解析】解：先把四个同学分成三组，有 废=6种，然后在进行排列，编=6种，根据分步计数原理，不同的分配方案共有6X 6 =3 6种.因为小华和小李没有去8工厂，进行分情况讨论，若8工厂

22、有两个人，那么肯定是小李和小章,则小华和小李分别取A和B工厂，即 抬=2种；若8工厂有一个人，从小李和小章中选一个，6=2种，然后剩下的一个人和小李和小华分配到4、C工厂，有 废 掰=6种,根据分步计数原理，此时的分配方案共有2 x 6=1 2种.综上可得，不同的分配方案有1 2 +2 =1 4种，即小华和小李都没去8工厂的概率是芸=白36 18故答案为：W首先求出事件的总数，先把4个人分成3组，有 废=6种，然后在进行排列，掰=6种，即共有3 6种，然后分情况讨论，8工厂去了一个人或两个人，即可求出答案.本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学

23、思想，属于中档题1 5.【答案】(1,|)第10页，共16页【解析】解：根据题意，函数/(乃是定义域在火上的偶函数，当x 2 0 时，f(x)=f|s in(x),0 x 1,则/(x)的图象大致如图：对于方程(/。)2 -(a +l)/(x)+a =0,变形可得f(x)-a/(x)-1 =0,即方程有两个根/(久)=1 和/(%)=a,y=/(x)与直线y =1 有且只有2 个交点，若关于x的方程(/(%)2 -(a +1)/(%)4-a =0 有且仅有6 个不同实数根，必有y =/(x)与直线y =Q 有 4个交点，结合图象可得:即 a的取值范围为故答案为：(1,|).根据题意，由函数的奇

24、偶性和解析式可得f(x)的大致图象，将原方程变形可得：该方程有两个根/Q)=1 和/(乃=a，由此可得y =/(乃与直线y =。有 4个交点，结合函数的图象分析可得答案.本题考查函数与方程的关系，涉及分段函数的性质以及应用，属于中档题.1 6.【答案】4 0 V 2【解析】解：如图，:N B C O =7 5。，4 B D C =6 0。，N C B D =4 5。.v CD=4 0 m,BCD中,由 正 弦 定 理 可 得=兰/,BC=2 0 5/6,sm45 sin600在点C 处测得塔顶A 的仰角为30。，AC=BC=40A/2 m,cos300故答案为：40V2 m.由题意利用三角形的

25、内角和公式求得NCBD的值，再利用正弦定理求得B C 的值，可得A C 的值.本题主要考查三角形的内角和公式，正弦定理的应用，属于中档题.17.【答案】解：(1).,在 中，(2b c)cos/l acosC=0,、b2+c2-a2(2b c)x-a xa2+b2-c22ab=0,：b2-V c2 a2 1=be,cos/l=b2+c2-a2 _ be _ 12bc-2bc-29v A 6(0,7i),An3(2)由(1)知：A=AABC的面积为3M =bcsirL4=bc,be=12,二由余弦定理可得:a2=b2-i-c2 be 2bc be=be=12,即a 23,当且仅当b=c时等号成立

26、，设 ABC外接圆半径为R,则由正弦定理-J =2 R,可得R=2 1=2,当且仅当b=c时等号成立，ABC外接圆面积S=nR2 4兀，当且仅当b=c时等号成立，即4 4BC外接圆面积的最小值为47r.【解析】本题考查了用余弦定理、正弦定理，三角形面积公式、基本不等式解三角形，考查了计算能力和转化思想，难度不大.(1)将条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求出A 的余弦值，从而求出A 的值.(2)由(1)利用三角形的面积公式可求be=12,由余弦定理，基本不等式可求的最小值,由正弦定理可求4 4BC外接圆半径的最小值，进而可求 ABC外接圆面积的最小值.18.【答案】解：(1)由每即-1=2,

27、得an+i an=2,所以 斯 是以2 为公差的等差数列，又4a3为S g S 5 的等比中项.得 16说=S4-S3,即 16(%+4)2=(4%+12)(5%+20),所以 16(%+4)2=20(%+3)(%+4),解得%=1 或%=-4(舍去)，(2)由(1)可知an=1+2(n-1)=2 n-1,所以b=3九+2 _ _ 2O+3_=2(2n+l)_(2n_l)_ 1_ 1n-anan+12n-(2n-l)(2n+l)-2n-(2n-l)(2n+l)-2n-(2n-l)-2n-1(2n+l)-2n，第12页，共16页所以7 =(1-而)+(而 一 数)+(初 一 赤)+砺 前 期 时

28、谈=1 一1(2 n+l)-2n，【解析】(1)根据题意可知 斯 是以2 为公差的等差数列，利用4a3为S4K5的等比中项.可得16磅=$4 d 5,从而求出的的值即可;(2)由(1)可知lan=1+2(n-1)=2 n-1,所以/,=%,+2=吧=2(2 7 1+1)-(2 1)=1-1 _,从而即可n anan+12n(2 n-l)(2 n+l)-2n(2 n-l)(2 n+l)-2n(2 n-l)-2n-1(2 n+l)-2n求出数列 4 的前项和.本题考查等差数列的通项公式，裂项相消求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.19.【答案】(1)证明：由4 C J.B C,

29、得ABC是以AB为斜边的直角三角形，B取 AB的中点。，则 0 为 ABC的外心，连接P。，PA=PB=PC,nTWA PO AL POC,A 可得NP04=NPOB=4POC=9 0 ,则PO 1AB,PO 1 OC,VAA */又ABflOC=0,A PO _L 底面 ABC,/而P。u 平面 P A B,则面PZB 1 面 ABC-,/(2)解：在平面PAB内，过。作。E l 2 4,垂足为E,连接EC,面 PAB 1 面 A B C,面PABfl 面 ABC=AB,OC LAB,：.OC _ 1 _ 平面 PA B,得OC_LP4v OECOC=0,PA O E C,则P A I EC

30、.即4OEC为二面角C-PA-B的平面角.在Rt/iACB 中，由 CA=CB=VL 得OC=1,在R ta P。力中，由P4=g,OA=1,PO=7 2,求得。E=当，在等腰三角形PAC中，由24=PC=g,AC=V 2,求得EC=手.由余弦定理可得：coszOEC=等.2 x当x亨 5 二面角C-P4 B的余弦值为手.【解析】(1)由己知可得三角形A8C为直角三角形，取 A 8中点O,再由PA=PB=PC,可得P。_L 底面A B C,从而得到面PAB J 面 ABC-,(2)在平面PAB内，过。作。E _ L P 4 垂足为E,连接E C,由平面与平面垂直的性质证明O C J.P 4 进

31、一步得到24 1 E C,可得NOEC为二面角C-P 4 8 的平面角，然后求解三角形得答案.本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的求法,是中档题.2 0.【答案】解：（1）设椭圆的半焦距为c,仔+&=1由题意可 得 松 ,、/=f c2+C2解得/=4,b2=3,故椭圆C的标准方程为。+1=1;4 3（2）因为P（l,t）在椭圆C上，所以=+?=1,解得旧=|,当直线/的斜率为0 时，|4 B|=2 a =4,则P 4 B 的面积为=|x4x|=3,因为 P 4 B 的面积为所以直线/的斜率为0 不符合题意；当直线/的斜率不为0 或斜率不存在时，设直线/的方

32、程为x =m y +1,设4（%i，%），8（*2,、2），（X=m y+1联立方程组，过 生 整 理 可 得，（3 m2 4-4）y2+6 my-9 =0,则%+光=一 焉，力丫2 =一 七，故|AB|=V m2+l|y i-y2|=V m2+1 .J（一悬）2 _ 4 （_七）=因为点P到直线/的距离d =*共=渭，V m2+1 2Vm2+1所以三M B|d =2 X 吆 喀 艾 X 普L=典尹，2 1 1 2 3m2+4 2Vm2+l 37n2+4因为 P 4 B的面积为第，所 以 驷 孚 亘=逑，3m2+4 7整理可得 3 1 7 n 4 +m2-3 2 =0,解得m?=1,即m+1,

33、故直线/的方程为x =y +1,即x y 1 =0.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c,由题意得到a,b,c 的方程组，求解“，h,即可得到椭圆的方程；（2）当直线/的斜率为0 时，由面积列式，求解可知不符合题意；当直线/的斜率不为 0 或斜率不存在时，设直线/的方程为x =my+1,与椭圆的方程联立，得到韦达定理，由弦长公式以及点到直线的距离公式，结合三角的面积公式列式，求出，的值，即可得到答案.本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”第14页，共16页的方法进行研究，属于中档题.2

34、 1.【答案】解：函数/(0=血短一竽一所以/(x)的定义域为(0,+8),当z n =0时，/(x)=1,则广(x)=詈，当 6(0,1)时，f(x)o,则/(%)单调递增，所以/(%)的减区间为(0,1),增区间为(1,+8);(2)因为对任意的 W(0,+8),/(%)2 0恒成立,即7 n 对任意的%6 (0,+8)恒成立,令 g(x)=x+l n x+1xex则 gQ)=-(x+l)(x+l n x)x2ex令九(%)=%+I n x,则以久)在(0,+8)上单调递增,因为/t g)=：1 0,所以存在Xo e G，1)，使得九(Xo)=Xo +l n x0=0,当 W(O,%o)时

35、,h(x)0,g(%)单调递增;当x G Q o,+8)时，/i(x)0,g(x)哈 当 亘 成 立,所以z n 1,故m的最小值为，【解析】(1)先确定函数的定义域，求出当巾=0时，r(x),利用导数的正负判断函数的单调性，即可得到答案；(2)将不等式恒成立转化为m 嘿 1恒成立，构造函数g(x)=?娱，令/!(尤)=%+I n x,利用函数的单调性以及函数零点的存在性定理得到存在X。e g，l),使得九(右)=xo+l n xo=O,从而确定h(x)的正负，得到g(x)的正负，判断得到g(x)的单调性，从而求出g(x)的最大值，即可得到?的取值范围，即可得到，w的最小值.本题考查了导数的综

36、合应用，利用导数研究函数单调性和最值的应用，函数零点存在性定理的应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离,利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题.2 2.【答案】解：(1)由题意知:中间值 5565 75 8595概率0.16 0.3 0.4 0.1 0.04.样 本平均数为或=55 X 0.16+65 x 0.3+75 X 0.4+85 X 0.1+95 x 0.04=70.6.(g-2 a,fi+a=(70.6-20.06,70.6+10.03=(50.54,80.63,而 2r fc /z+a)=o k n +o)+-2a k

37、n+2r)=0.8186.从而质量指标值&在区间(50.54,80.63之外的概率为0.1814.因此P(X=1)=Cjo(0.8186)29 x 0.1814 30 x 0.0030 x 0.1814=0.016326 0.016.X 的数学期望为E(X)=30 x 0.1814=5.442.(2)由题意可知，该包装胶带的质量指标值k与对应概率如下表所示：(1 t 0,当t 6(lnl3,4)时，y 0,所以当t=lnl3 x 2.6时，y 取得最大值，ym ax=-0.2eln13+2.6 x lnl3 工-2.6+2.6 x.2.6=4.16(元)，由已知，该生产线的年产量为1000万个，故该生产线的年盈利的最大值为4.16 x 1000=4160(万元)，而 4160万元 5000万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资.【解析】写出分布列，求出样本平均数，推 出-2 6+a=(50.54,80.63,求出概率，然后求解期望.(2)包装胶带的质量指标值R与对应概率得到分布列，求出每个包装胶带的利润y=-0.2 +2.6t.利用函数的导数求解函数的最大值，然后推出结果.本题考查正态分布的应用，期望的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题.第16页，共16页