2021-2022学年广东省广州市高三（上）第三次月考数学试卷（11月份）（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高三（上）第三次月考数学试卷（U 月份）1.已知复数Z满足。一 l）-z=2i（i是虚数单位），则Z的共舸复数是（）A.i 1 B.1+i C.1 2t D.1 i2.已知集合时=1,N=xax-1,若N a M,则实数a的取值集合为（）A.1 B.-1,1 C.1,0 D.l,-l,03.下列有关命题的说法错误的是（）A.若“pV q”为假命题，则p,夕均为假命题B.“x=1”是“x 2 1”的充分不必要条件C.若命题p：3x0 6 R,XQ 0,则命题-p：Vx G /?,x2 0在区间（1,5）内有解，则实数。的取值范围是（）A.（-oo,5

2、）B.（5,+8）8 C.（-4,+00）D.（-co,4）7.奇函数/（X）的定义域为凡 若/。+2）为偶函数，且/（1）=1,则/（8）+/（9）=（）A.2 B.1 C.0 D.18.设函数/（%）=6%2 ex-3ax+2a（e为自然对数的底数）,当%G R时/（%）0恒成立，则实数的最大值为（）A.e B.2e C.4e D.6e9.若:0,则下列不等式中，正确的不等式有（）A.a+b|b|C.a 210.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,sin4=支tanC=7,则下列结论正确的是（）A.cos4=|B.B=?c.VD.ABC中的面积为7企11.如图，正方

3、体4BCD-4/1的。1的棱长为2,E,F,G分别为8C,CG，8当的中点.则下列结论正确的是（）A.直线OB】与平面AEF垂直B.直线4 G与平面AEF平行BC.平面由截正方体所得的截面面积足D.三棱锥为 一力EF的体积等于|12.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=：x2-ax+blnx存在极大值点”0,且对于“的任意可能取值，恒有极大值/(&)0,则下列结论不正确的是()A.存 在&=也 使 得fQ o)-e2C的最大值为e3 D的最大值为2e213.已知向量五，石的夹角为45。，且|五|=1,b =V 2,贝”力一个=.14.已知Sn为数列 即 的前 项和，若 又=2即-2,则S5

4、-S4=.15.已知在锐角A/IBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosC=ccosB,则16.在正三棱锥V-4 B C内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2,则正三棱锥的体积最小时，其高等于.17.已知等差数列 an和等比数列 匕 满足的=2,b2=4,an=2og2bn,n e N*.(1)求数列 an,bn的通项公式；(2)设数列 斯 中不在数列 九 中的项按从小到大的顺序构成数列 cn,记数列 0 的前“项和为Sn,求Si。.18.锐角 AABC的内角4,8,C的对边分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=2 ta

5、nA tanC2V3 求NB；(2)若a+c=4,求 ABC的面积.1 9.为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成绩(满分：100分)的频率分布直方图如下图所示，第二次体测的成绩X N(65,2$2).(0)试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低；(回)若该市有高三学生20000人,记体测成绩在70分以上的同学的身体素质为优秀，假设这20000人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数;(回)以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人，记这4人成绩在 60,80)的人数为，求f的分布列及数学期望.附：P(n-

6、a X n +a)=0.6826,P(-2。X W +2。)=0.9544,P(一 3r X b 0)长轴的两个端点分别为4(一2,0),8(2,0),离心率为当(回)求椭圆C的方程；(团)P为椭圆C上异于A,B的动点，直线A P,P B分别交直线x =-6于M,N两点，连接M 4并延长交椭圆C于点Q.(i)求证：直线A P,AN的斜率之积为定值；(i i)判断M,B,。三点是否共线，并说明理由.22.已知函数/(%)=肃 土，g(x)=a(e*-l)(a为常数).(1)求函数“X)在x =处的切线方程；(2)设尸(x)=f(x)+(-l)n5(x)(n 6 Z).(i)若”为偶数，当a r

7、,但是后者不能推出前者，所 以“x=1”是“2 1”的充分不必要条件，正确.命 题p：3 x0 e R,xl 0,则命题-p：V x e R,x2 0,*Q+。3=15,=80,0.2=5,%的 =(5 d)(5+d)=16,A d=3,a12=。2+10d=35,*Q1i+。12+。13=3。12=105,故选：B.6.【答案】A【解析】解：.关于x 的不等式/一 4%-。0在区间(1,5)内有解，:.a x2-4%在区间(1,5)成立，a (x2-4x)m ax,x 6(1,5),v y=x2 4x=(x 2)2 4,.,当x=5时，函数y=x2-4x取得最大值为5,a V 5,则实数4

8、的取值范围是(-8,5),故选：A.把不等式化为a (x2-4x)m a x,x G(1,5),再求出y=x2-4x在区间(1,5)上的最大值,即可得出实数”的取值范围.本题考查了不等式成立的应用问题，也考查了转化与求解能力，是中档题.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.根据题意，得到f(x +8)=/(X),即可得到结论.【解答】解：.(+2)为偶函数,f(x)是奇函数，,设g(%)=f(x+2),则g(-x)=g(x),即 f(%+2)=f(x +2),.y(x)是奇函数，/(-x +2)=f(x 4-2)=-f(x -2),f(0)=0,HP/(x+4)=/(

9、x),f(x+8)=f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),则/(8)=0)=0,f(9)=f(l)=1,:/(8)+/(9)=0+1=1,故选：D.8.【答案】D【解析】解：f(x)=6/.靖一 3ax+2a(e为自然对数的底数)，当x e R时/(%)2 0恒成立，a(3x-2)。时,即x|时，a 4 哈设g(%)=窑:.g(X)=6 x(2xex+%2ex)(3x 2)3x2ex(3%-2)2x -3f=6 xxex(3x2+x-4)(3 x-2)z-6xex(3 x+4)(x-l)(3%-2)2令g(%)=0，解得=1，当 6(|,1)时，“(%)0,函数g(x)单调递增,g(x)

10、m in =。=6 e,a 6e,当3 2 。时，即工 0,函数g(x)单调性递增，当x 0,第6页，共16页当X =|时，/(|)=|e5 0 恒成立，综上所述a的取值范围为 0,6 e,故最大值为6e,故选：D.当x 6 R 时/(X)N 0 恒成立，可得a(3 x -2)6/.e”,分类讨论，再分参，构造函数，利用导数求出函数最值，即可求出.本题考查函数的导数的应用，涉及利用导数判定函数的单调性以及求函数的最值，注意将恒成立问题转化为函数的最值问题，属于难题.9 .【答案】AD【解析】【分析】本题考查不等式的性质，基本不等式的应用.由工：0,判断出m 的符号和大小，再利用不等式的性质及基

11、本不等式判断命题a b的正误.【解答】解：.a+b O -a 0,则网|a,故 B错误.。显然错误.由于2 0,0,.-+7 2 1=2,当且仅当2=三 时，等号成立，又b a 2,故 O正确.a b a b故选：AD.1 0 .【答案】BC【解析】解：对于A,由题意得t an C =7,所以s i n C =7 c o s C 0,cosC因为s i n 2 c +c o s2C =1,所以s i n C =,c o s t,=,i o i o因为s i n A =g =,V 当 所 以 s i n/s i n C,由正弦定理得Q 0,所以c o s 4 =V 1 -s i n2/l =所以

12、 A 错误，对于 8,cosB=C O ST T-(/+C)=c o s(7 l +C)=cosAcosC+s i n 力 s i n C3 42.4 742 y2=-x-1-X =,5 10 5 10 2因为0BV，所以所以8正确，4对 于C,由正弦定理号=上，得。=誓=绰=乎，所以C正确，sm4 sinB sm4-2对于),SAABC=absinC=/x 4 x 等 x 筹=7,所以 Z)错误，故选：BC.对于A,由tanC=7可求出sinC=哈，cosC=y|,再结合sinA=可得角A为锐角，从而可求出cosA的值，对于8,利用两角和的余弦公式可求得cosB的值，从而可求出角B,对于C,

13、利用正弦定理求解即可，对于。，利用三角形的面积公式直接求解即可.本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形面积的计算等知识，属于中等题.11.【答案】BD【解析】解：如图建立空间直角坐标系,则4(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,l),G(2,2,1),4式2,0,2),0(0,0,0),Bx(2,2,2),所 以 西=(2,2,2),荏=(-1,2,0),所 以 荏 西=-2 +4+0=2于0,所 以 西 与 荏 不垂直，所 以 直 线 与 平 面4EF不垂直，所以A错误,对于3,设平面AEF的法向量为元=(x,y,z),则n-AE=x+2y=0n-A?=2x+2y+z=0

14、令y=l,则元=(2,1,2),因 为 布=(0,2,1),所 以 碇 元=0 +2 2=0,所 以 后1元,因为&G在平面AEF外，所以直线4 G与平面AE尸平行，所以B正确,对于C,由题意可得截面为梯形4EFD1，则EF=&,AO】=2/，AE=DrF=V5,梯形的高为h=J(强尸_ (当产=乎，所以截面的面积为:x(或+2或)*竽=所 以C错误，对于D,因为平面4E尸的法向量为元=(2,1,2),AAX=(0,0,2),所以到平面AEF的距离为d=|雪|=,n 3因为EF=V L AE=V5,AF=3,所以cos/AEF=一包，2V2XV5 10因为0 /.AEF 0),设m(x)=x

15、a +(x 0),则?n (x)=1 (x 0),当b WO时，则m (x)0=y=m(x)单调递增，贝 U y=/(x)不可能有极大值点,(若有极值也是极小值)，不符合要求;当b0 时，若/(x)存在极大值，此 时,(x)=0有解，(4 =Q2 4 8 0即 2 一 Q%+匕=o 有两个不等正根，则有 4-%2=a 0,由此可得Q 2 V F,且/=；j,X2=4b(设/a2-4b=yb,所以%0 W (O,V F),从而f(x)在(O/o)上单调增，在(&,迎)上单调减，当 =&时/(%)取得极大值f(%o),由此A、3 都不正确;又由广(丁()=0得 就-ax0+b =0,因为f(%o)

16、=ax0+Z?l n%0=|%o -(xo+b)+bnx0=1%o b +bnxQ,令g(x)=|2+bnx-b,x 6 (0,V b),则原命题转化为g(x)。，所以y=g(x)在(0,班)上单调增，故9(%)V。(死)=一|人+；b l n b 40,从而得0 0),设m(%)=x a 4-(x 0),则M(%)=!一,(%0),可判断出当b0 时，若/(%)存在极大值，此 时(%)=0有解，即可得=a2 4 b 0J /+不=Q 0，可得/(%)的 极 大 值 点 为=%0且%o (0,啊,从而得当x=%()时f(x)取得极大值/(%(),由/Q o)=。得诏-ax0+b=0f 则得/(

17、%()=-1%o 一 b +bnxQ,令g(x)=+b n x b,x G (O,V i b),则原命题转化为g(x)2 Ft a n B x 7=也(当且仅当 a n B=7,即t a n B=，取 二”).、3 6tanB 3 3 6tanB 2 J故答案为：2；言.由2b c o s C=ccosB,由正弦定理得2t a n B=t a n C,又4+B+C=兀，可得t a n A=t a n 7r (B+C)=-t a n(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanC高亮,可 得 原 式=上鬻+焉+嬴,化简得lt a n B+亮 而,由基本不等式即可得出答案本题考查正弦定理，基本不

18、等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属中档题.16.【答案】2V 3 解析解:设A A B C 的中心为。，取 A B 中点D,连结 OD,VD,VO,设0。=a,VO=h,贝 W O =yJOD2+O V2=Ja2+h2.AB=2 AD=2 yj3 a.过。作OE 1 V D,则OE =2,SA V O D=OD-VO=IVD O E,.ah=2A/Q2+九 2,整理得小=当一(九 2).h2-4 1 1 V 3 L L 4回3 U(h)=SA B C-h=-x x(2g)2a 2/i =V 3a2/i =q -D D 4 f l -4 片(h)=4百 x3h2(/i2-4)-2 h

19、4(F 一铲=4V 3 xh4-12 h2(公-4)2 令/(无)=0得层-12=0,解得h=2V 3.当2%2 通 时，片(左)时，V (/i)0,.当 h=2 次 时，1/(八)取得最小值.故答案为2%.由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高九的函数V(h),利用导数与函数的最值得关系计算V(h)的极小值点.本题考查了球与外切多面体的关系，棱锥的体积计算，导数与函数的最值,属于中档题.17.【答案】解：(1)设等差数列 an 的公差为d,等比数列 为 的公比为4，由的=2,b2=4,an=21o

20、 g2bn,可得瓦=2,a2=4,则d 2,q=2,an 2 n,bn=2n,n G N*；(2)由题意可得 4 的前几项为 6,10,12,14,18,20,22,24,26,28,30,-即在2n 与2 i 之间有2吁1 一 1项，可得 cn 的 第 100项在27与28 之间，所以Si o o =(2+4+6+8 +10+-+2 X 107)-(2+4+8 +-+128)1 2(1-27)=-x 107X(2+214)+-_2,=118 10.【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题.(1)设等差数列 aj的公差

21、为乩 等比数列%的公比为4,由 条 件 分 别 求 得 a 2,可得 d,q,进而得到所求通项公式；(2)推得在2n 与2升1之间有2教 T-1 项，可得 仇 的 第 100项在27与28 之间，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.18.【答案】解：(1)因为3(4-。)+8$8=|,所以c o s(4 C)+c o s 兀-(4+C)=c o s(4 C)c o s(4+C)=|,可得 c o s 4c o s c +s i n/ls i n C c o s 4c o s c +s i n As i n C=2s i n 4s i n C=2可得 s i n As i n C=

22、4又-4+白=翌tanA tanC 3cosA+cosC _ sinCcosA+sin4coscsirii4 sinC sinXsinCSnB sinB-=-O.-sinAsinC-.34解得 s i n B=y,又 8为锐角,所以(2)因为B=g,所以由c o s(A C)+cosB c o s(i 4 C)4-=,所以 c o s(A C)=1,由A,。为锐角，可得4 C=0,可得4=C=B=g,可得Q=b=c,又Q+c =4,可得Q=c =2,所以 SM B C=|Qc s i n 8 =1 x2 x2 x=V 3.【解析】(1)利用两角和与差的余弦公式化简已知等式可得s i n 4s

23、i n C=：,进而根据同角4三角函数基本关系式，两角和的正弦公式化简已知等式可求s i n B的值，结合3 为锐角,可求B 的值.(2)由已知可求c o s(4 C)=1,由A,C 为锐角，可得4=C=B=g,可得a =b =c,又a +c =4,可得a,c 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解.本题主要考查了两角和与差的余弦公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.第12页，共16页19.【答案】解：(团)由频率分布直方图得第一次体测成绩的平均分为：0.12 X 45+0.2 X 55 4-0.25

24、X 65+0.35 X 75 4-0.06 X 85 4-0.02 X 95=65.9.第二次体测的成绩X/V(65,2.52),第二次体测成绩的平均分为65.65.9 65,第一次体测成绩平均分高于第二次体测成绩平均分.(团)-X -N(65,2.52),P(x 70)=1-P(6 O：X 0 7 O)=1-P 3-2 0丁=0.0228,.估计第二次体测中身体素质为优秀的人数为20000 x 0.0228=456.(团)依题意，(0.025+0.035)X 10=0.6=|,f 的可能取值为0，1，2,3,4,68(4,|),。(。)=(|)4=盘 6=1)=盘(冲=券P(f=2)=*|)

25、2(|)2=|g，%=3)=戏 3 g 暇，P(f=4)=(|)4=短，f 的分布列为:01234P166259662521662521662581625【解析】(目)由频率分布直方图求出第一次体测成绩的平均分.第二次体测的成绩XN(65,2.52),由此求出第二次体测成绩的平均分为65.从而第一次体测成绩平均分高于第二次体测成绩平均分.(助由XN(65,2.52),能估计第二次体测中身体素质为优秀的人数.(国)依题意，(0.025+0.035)x 10=0.6=|,f 的可能取值为 0,1,2,3,4,f B(4,|),由此能求出f 的分布列及数学期望.本题考查平均数、频数的求法，考查离散型

26、随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布、二项分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.【答案】解：(1)在线段A。上存在点E 满足题意，且 E 为A O 的中点.如图，连接E凡SE,SF,四边形ABCQ是矩形，AB 1 AD,又E、B 分别是AO、B C的中点，E F/AB,AD 1 E F,S A D 为等腰直角三角形，SA=SD,E为 A。的中点,SE 1 AD,SE CE F=E,SE、E F u 平面 SE F,4 0 L 平面 SE F,A D u 平面 A B C D,；.平面 S E F _ L 平面 ABCD,故 AO上存在中点E,使得

27、平面S E F 1 平面4 B C D.(2)由(1)知，SE L AD,E F L AD,N S E F 为二面角S-40-8的平面角，即NS E F =1 2 0 .以E为原点，E A.)所在的直线分别为x、y 轴，作E z _ L 平面A B C D,建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰R t Z k S/W 中，SA=SD=2 V 2,AD=4,SE =2,S(O,-1,V 3),4(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),-5 7=(2,1,-V 3),SB=(2,3,-A/3),SC=(-2,3,-V 3),设平面S B C 的法向量为记=(%y,z),贝”五,理=,即

28、 2 +3 y-丝=,i n S C =0-2 x+3 y-y3 z=0令y =1,则x =0,z =V 3,n =(0,1,V I),设直线S A 与平面S B C 所成角为e,贝 U s i n g =I c o s(巾，n|=|因,二|=|,一3|=,111 SA-n 1 1 V 4+1+3 X 2 1 4故直线S A 与平面S B C所成角的正弦值为【解析】(1)在线段AO上存在点E满足题意，且 E为 的 中 点.先 证 得 4。SE 1A D,从而有4 0 _ L 平面S E F,进而得证；(2)以E为原点，E A、E F 所在的直线分别为x、y 轴，作E z 1 平面A 8 C ,

29、建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面S 2 C 的法向量元，设 直 线 与 平 面 S 8 C 所成角为。,由s i n。=|c o s|,即可得解.本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.2 1.【答案】解：(团)由已知可得：a =2,；=与，则c =K,b=l,所以椭圆C的方程为：1+y 2 =i；4第14页，共16页国)(i)证明：因为直线PA,PB都存在且不为0,设P(xo，y。)，则部8=$，kAP=气，所以直线PB的方程为

30、：y=-(%-2),令 =-6,解得、=当，则点N 的坐标为XQ-2 XO-2(T).-8yo所以直线A N的 斜 率 为=寿=当，6+2 XQ2x2所以直线AP,AN的 斜 率 之 积 为 汽 坐=筌=与 学=一；为定值；X0+2 X0-2 Xg-4 说 一 4 2B,。三点共线，理由如下：设直线AP的斜率为 易得M(6,一纵)，由 可知直线A N的斜率为一/，所以直线A N的方程为y=-景 x+2),(y=W(x+2)联立方程仁，消去x 可得：(4+4/c2)y2+8fcy=0,E +V =1解得y(?=所以点Q 的坐标为(筌/，三翁)，-2 k所以，直线8Q 的 斜 率 为=直 线 BM

31、的斜率为考=“一 一？L o z L因为直线B Q的斜率等于直线B M的斜率，所以M,B,。三点共线.【解析】(团)利用已知建立关系式，由此即可求解；(团)(i)求出点P 的坐标，求出直线PB,AP的斜率，由此求出直线P 8 的方程，进而求出点N 的坐标，然后求出直线AN的斜率，由此即可证明；(ii)设出直线AP的斜率，易求出点用的坐标，利用(i)求出直线 AN的方程，并与椭圆方程联立，求出点。的坐标，进而求出直线B。，BM的斜率,即可求解.本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三点共线的问题，考查了学生的分析问题的能力以及运算能力，属于中档题.22.【答案】解:(1)函数

32、x)=S m，所以/(%)cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)_ 2cosx+l(2+cosx)2(2+cosx)2则 喳,当V时,照)=5 故切点为(套)，由点斜式可得函数f(x)在X=热的切线方程为y 7即y=%+?；(2)(。当 n 为偶数时,F(x)=/(%)+g(x)=蒸+aex-1),则F(x)=谶章+a-令无(%)=F(x),则 h(x)=2sinx(cosx-l)(2+cosx)3+a ex9因为x W (0微)旦a 0,所以(x)0 且%)0,即一：a -当；a 0,即/i(x)0,F(%)在(0,沏)上单调递增;令F(x)0,即/i(x)0,F(x)在(沏彳)上

33、单调递减，所以FQ)在(0()有极值点，故实数。的取值范围为(；,一).3 4e2(it)当n为奇数时，F(x)=/(x)-g(无)0时，F(x)=三 上-a(ex-1)e=l,当a时，-靖%所以(x)0恒成立，所以F(x)在0,+8)上单调递减，所以F(x)F(0)=0,故a 2:符合题意；当a 0在(0彳)上恒成立，所以当 G (0,今时，“X)单调递增，F(x)F(0)=0,与题意不符合；当。a 0.尸 (兀)=-1-a-en 0,则 F(0)F(兀)0,因此尸(x)在(0,勺)上单调递增，所以尸(x)F(0)=0,不符合题意.综上所述，a 的最小值为，【解析】(1)根据导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程即可；(2)(i)将函数F(x)的极值点问题转化为研究其导函数的零点问题，且零点左右两边导数符合不同即可；(M)将恒成立问题转化为最值问题，通过求导讨论参数。的范围，判断函数单调性来确定最值，从而求出。的最小值.本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题.第16页，共16页