2021-2022学年重庆市七校高一（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、202L2022学年重庆市七校高一（下）期末数学试卷1 .设复数z =2,则Z在复平面中对应的点在（）21A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为最|，则至少有一人命中目标的概率（）A.-B.-C.-D.-2 6 3 33 .现有5个数，其平均数是1,且这5个数的平方和是2 0,那么这组数的方差是（）A.V 3 B.V 5 C.3 D.54 .已知/,，是不重合的直线，a,是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若a _L/?,n/a,则兀0B.若ma,m/P，则。0C.若a fl夕=n,m/n

2、,则mD.若，小”是异面直线，m/a,n/a,I _ L m且I _ L n,则，_ L a5 .已知圆锥的母线长为2,母线与底面所成的角为6 0,则该圆锥的侧面积为（）A.2 7 r B.4T T C.2V3T T D.4 7 5 7 r6 .某指挥中心A接到在其北偏东6 0。相距5海里的甲船抛锚等待救援信号，指挥中心迅速通知在A西偏北3 0。相距3海里的乙船前去救援，若乙船的速度是2 0海里/小时，则乙船需要航行小时（）A.-B.-C.-D.-20 4 20 37 .如图所示，在平行四边形A 8 C力中，记 荏=落AD=b,若 笳=2正，A E 交 BD于尸点，则 布=（）A.-a+-b

3、B.-a+-b C.-a+-b D.-a+-b5 5 5 5 3 3 3 38 .某人用下述方法证明了正弦定理：直线/与锐角A B C的边A 8,A C分别相交于点D,E,设B C =a,CA=b,AB=c,乙4 D E =9 0。，记与症方向相同的单位向量为:，而 +近=而，.-1-（AB+BC）=i-AC,进而得；AB+t-BC=i-AC,即：a c o s（9 0 F）=i）c o s（9 0 A）,即：a si nB =b si n/1,钝角三角形及直角三角形也满足.请用上述方法探究：如图所示，直线/与锐角4 8 C的边A 8,A C分别相交于点。，E,设B C =a,CA=b,AB=

4、c,4ADE =8,则。与A B C的边和角之间的等量关系为（）AAA.acos(B+0)+bcos(A-8)=c c o s0B.a c o s(B +6)+bcos(A-0)=c si n0C.a c o s(F 8)+h c o s(i 4 +9)=c si n0D.acos(B 0)4-bcos(A+6)=c c o s09.一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2 个，一次任意取出2 个小球，则与事件“2 个小球都为红球”互斥而不对立的事件有()A.2 个小球恰有1 个红球 B.2 个小球不全为黑球C.2 个小球至少有1 个黑球 D.2 个小球都为黑球1 0.已知向量为=(遮,1

5、),b=(c os 0,s in 0)(O 0 z r),c=(1,0),则下列命题正确的是()A.若五 1 K,则t a n。=V3B.存在。，使得|有+方|=a-bC.向量3 =(孚，)是与五共线的单位向量D.五在不上的投影向量为百不1 1 .函数/(x)=s in(3 X+0,|租|/7,求 ABC的面积.19.正三棱柱A BC-ZiBiCi中，AB=1,8 a=2,点。，E 分别为BB1，4 G 的中点.(1)求证：DE面 ABC；(2)求三棱锥C 一 4CD的体积.20.某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅

6、帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力.现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,141,142.抽取了乙组 20名同学的成绩，将成绩分成100,110),110,120),120,130),130,140),1 4 0,1 5 0 M,并画出了其频率分布直方图.(1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；(2)估计乙组20名同学成绩的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点

7、值代表替)；(3)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率.乙组的成绩21.如图所示，四棱锥P 4BCD中，底面ABC。为菱形，点P在底面的投影。点恰好是菱形ABCD对角线交点，点E为侧棱P C中点，若NBAD=60。,4B=2,P。=遮(1)求证：面8。_1面8。(2)点。在线段月4上，且PQ=2 Q 4求二面角Q-8。-E的平面角的正弦值.22.为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为2百米的半圆，出入口在圆心。处，C点为一居民小区，C距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A,并以线段A C为一边向圆

8、外作等边三角形A B C,使改造之后的公园成四边形A8CZ),并将BC。区域建成免费开放的植物园，如图所示.设/.ADC=6.(1)当。=芈，求四边形A3CZ)的面积；6(2)当。为何值时，线段8。最长并求最长值.第4 页，共 16页答案和解析1.【答案】A【解析】解:z =白=?=|+；i,Z 1 5 5 5Z在复平面中对应的点(I，在第一象限，故选：A.利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z对应点的坐标得答案.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2.【答案】D【解析】解：至少有一人命中目标的概率为1(1 勺(1一 =|.故选：D.先转化对立事件，

9、根据独立事件概率乘法公式以及对立事件概率公式求解，即得结果.本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用.3.【答案】C【解析】解：设5个 数 为 八 如则 昌 鲁:二 爰 二1 Si=(x j -I)2+(x2-I)2+(x5-l)2 =1(2 0-2 x 5 +5)=3,故选：C.根据平均数、方差公式直接计算.本题考查了统计特征数字的计算，是基础题.4.【答案】D【解析】解：对A选项，如图，在正方体中，设底面A 8 C。为平面a,正 侧 面 力 为 平 面0,4山1为直线，则满足a _ L,n/a,但不满足n/,r.A选项错误；对B选项，如图，在正

10、方体中，设底面A B C C为平面a,正侧面A B B 1 4为平面0,D 1 G为直线切，则满足?n a,m/p,但不满足戊/?,B选项错误；对C选项，如图，在正方体中，设底面A B C。为平面a,正侧面4 B B 1 4为平面/?,为名为直线m,则直线为直线A B,二m n,但m um不平行0,C选项错误;对。选项，T m,是异面直线，m/a,n/a,又1 _ Ln i且l _ Ln,第6页，共16页设直线z,小/的方向向量分别为沆，n,i则7 J沆，7 1 n,又沅Q,n 1/a,沅与五不共线，:.7 1 a,I L a,.。选项正确.故选：D.对 A,B,C 选项可分别在正方体中举出反

11、例排除，对。可用线面垂直判定定理证明.本题考查空间中线面关系，面面关系，属基础题.5.【答案】A【解析】解：圆锥的母线长为2,母线与底面所成的角为60。，圆锥底面圆半径r=1,该圆锥的侧面积S=nrl=7 T x 1 x 2=27r.故选：A.先求出圆锥底面圆半径r=1,由此能求出该圆锥的侧面积.本题考查圆锥的侧面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.【答案】C【解析】解：根据题意作出图形，如图所示，乙船所在位置为8,甲船所在位置为C,由题意知48=3,AC=5,BAC=600+60=120,在4 ACB中，由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosz.BAC=9+25+

12、2 x3 X 5 x(-i)=49,所以CB=7,故乙船需要航行5 小时.故选：C.根据题意作出图形，在AACB中，由余弦定理可得BC2=+4 2-2 4 C-ABcosZ.BAC,求解即可.本题考查正弦定理的应用，属基础题.7.【答案】B【解析】解：由图可知，Z.DFE=/.AFB,Z.EDF=Z.FBA,Z.DEF=/.FAB,故4 FABS A FED,+hAF AB 3故 而=法=5故 存=-AE =-(AD+-AB)=-AD+-AB=-a+-K；5 5 3 5 5 5 5故选：B.由图可知从而可得W=进而可得存=：荏，再利用线性运算化简FE 2 5即可.本题考查了平面向量线性运算的应

13、用，属于中档题.8.【答案】D【解析】解：荏+方=旅，.,(四+配)=1同，ccos(n。)+acos(0 B)=bcosn:(4+0),ccos0+acos(B-0)=-bcos(A+0),即 acos(B 0)+bcos(A+0)=ccos0.故选：D.根据向量的加法法则及向量的数量积的运算，结合诱导公式能求出结果.本题考查向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9.【答案】A D【解析】解：一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，对于A,2个小球恰有1个红球与事件“2个小球都为红球”是互斥不对立的事件，故A正确；对于8,2个小

14、球不全为黑球与事件“2个小球都为红球”是对立事件，故8错误；对于C,2个小球至少有1个黑球与事件“2个小球都为红球”是对立事件，故C错误；对于。，2个小球都为黑球与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立的事件，故。正确.故选：AD.利用互斥事件、对立事件的定义直接求解.本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题.10.【答案】BCD【解析】解：对于 A,.,k L 至，二 五 方=bcos。+sin。=0,二 tan。=VI,故A错误；对于5,|五+司=m+i|2 =-.a2+2 a-b+bZ=a2-2 a-b +bZ,.-.a-b=0,：.alb,由 A 知tan。=一百，1

15、,0 0 7i,6=y.故 8 正确；第8页，共16页对 于 C,与五共线的单位向量为士裔=家百,1）,故 c正确；对于。，日在不上的投影为警=W=百，由于向量下的模为1,故投影向量为百乙。正确.故选：BCD.利用向量垂直的充分必要条件可判断选项A,8中所给的等式两侧平方可得。的值，求解向量的单位向量可得与五共线的单位向量，求解向量的投影，然后计算投影向量可得力在力上的投影向量.本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量的投影向量的计算，向量的模的计算等知识，属于基础题.对于B，/（-墨）=si n（-三）=1,取得了f（x）的最大值，故 B正确；对于C,1/（X 1）=2,则/。1），/。2）

16、中一个是最大值点，一个是最小值点，则|%2 -刈|的最小值为半个周期 故 C正确；对于）,当xe（O,；）时，+*），作出y =si n x,号上的图象，当y =a 在或位置时，方程f（x）=a 在区间（0 片）上只有一个根，此时f（0）=孚/Q）最大值为1,/（y）=-y,故 a的取值范围为（一曰,$U 1 ,故。正确.故选：BCD.先根据图象求出解析式，然后结合对称中心即函数的零点、对称轴对应函数的最值、相邻最值点间的横向距离为半个周期等性质、以及换元法逐项求解.本题考查三角函数的据图求式问题的思路，同时考查了三角函数图象与性质间的联系,属于中档题.12.【答案】A C D【解析】解：以。

17、为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图,当 G是e q中点时，G(0,2,1),4(2,0,0),4式2,0,2),E(2,2,l),尸(1,2,2),.AG=(2,-2,-1),AE=(0,2,-1),AF=(-1,2,0),EF=(-1,0,1).设平面4 EF的一个法向量为元=(x,y,z),则n-A =2 y-z =0 取、=，得 元n-AXF=-x +2y=0(2,1,2),AG-n=0,AG L n,：4G t平 面&E F,二4G平面&E F,故A正确；cos =学 竺=,|AG|EF|3xV2 2 当G为CC1中点时，直线AG与EF所成的角为45。，故B错误;若GG=AH,则G(

18、0,2,2-t),H(2,0,t),4(2,0,0),C(0,2,0),。1 (0,0,2),%(2,2,2),贝U冠=(-2,2,0),ADi=(-2,0,2),聒=(一2,0,t),聪=(0,2,t 2),设平面4CLi的一个法向量为石=(x,y,z),则元-4c=-2%+2y=0,n7-ADA=2%+2z=0取x=l,得 苏=(1,1,1),设平面B iG的一个法向量为芯=(a,b,c),贝,五 AC=-2 a +tc=0、,l芯-B ji=-2b+(t-2)c=0取c=2,得 无=(-t,t-2,2),-n=1 x(t)+l x(t -2)+lx 2 =0,平面4 0 0.1平面8/G

19、,故C正确；AG=(一2,2,2-t),平面44山1。的一个法向量为访=(0,1,0),设直线AG与 平 面 所 成 角 为0,则sin。=Icos I=-吧巴=/、。：11 y(-2)2+22+(2-t)2 J (2)2+8则当t=2时，sin。取最大值为学，二直线AG与平面4 4 5。所成角的最大值为45。，故。正确.故选：ACD.第10页，共16页以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.13.【答案】V5【解析】解：2=?712-1+(7712-7-2)1为纯虚数，(吗

20、 T=,八，解得 m=l,(m2-m-2 0 z=-2i,|z-l|=|-l-2 i|=J(-iy+(-2)2=V5.故答案为：V5.根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解.本题主要考查纯虚数的定义，以及复数模公式，属于基础题.14.【答案】9【解析】解：由题意可得，n 40+30+20解得7 1 =9.故答案：9.根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.15.【答案】竽【解析】解：由于：(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则：(a+h)2 c2=3ab,整理得：a2+b2-c2=abf由于：0 V C 7T,故：C=g,因为：a

21、2=b e,由正弦定理可得:sin27l=sinBsinC,zs b _ sinB _ snB _ 1 _ 1 _ 273M 讨：而 一 丽 sinBsinC 一 赤 一 砾 一 丁，故答案为：2J.由已知整理可得。2+匕2 一 2=a b,利用余弦定理可求cosC=5结合范围0C /3 +3 x 4 =4,所以=2.【解析】由 一 2 分0+2万)=一1 2,a=2,解得|石|=2,再由向量的数量积，即可得出答案.(2)|a-V 3 b|2=(a-V 3 K)2,由向量的数量积，即可得出答案.本题主要考查平面向量的夹角的计算，向量的模的计算等知识，属于基础题.1 8 .【答案】解：(1)将函

22、数/(x)=sin(x-g)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的；倍，纵坐标不变，再向左平移g个单位长度，得到函数g(x)=sin 2(x+5一勺=sin(2 x+?的图象，6 6 6 6所以g(x)的最小正周期7 =兀.(2)g(4)=sin(2 4+?)=；,因为4 (0,兀)，所以2 4 +年 邑 2)，o Z 6 6 o所以24+?=萼，解得6 6 3又4 c =2,BC=V 7,由 余 弦 定 理 可 得=A C2+A B2-2 AC-AB-c o sZ,即7 =4 +A B2-2 A B,解得4 8 =3,所以 SMBC=AC sin A =|x 3x 2x =.【解析】(1)利用三

23、角函数的图象变换可求得g(x)的解析式，再由周期公式求出最小正周期；(2)结合(1)中结论可求得A,再利用余弦定理求出AB,再由三角形面积公式求解即可.本题主要考查三角函数的图象变换，考查余弦定理及三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题.1 9 .【答案】(1)证明：如图所示，取 AC的中点F,连接E F,BF.又。，E分别是线段BZ，4 C】的中点.E F/CCX/BD,E F =CCX=BD,四 边 形 为 平 行 四 边 形.DE/BF,DE 膏平面 ABC,BF u 平面 ABC,D E/平面 A B C；(2)解：取 B C的中点M,是正三角形,A M 1 B C,又平面

24、A B C，平面B C C/i，平面/B C f l 平面B C C$i=BC,A M，平面BCG Bp k-ACD=K i-C D C,=2 X,心,SACDQ，=；x x 1x lx 2=.J 34/O【解析】(1)如图所示，取A C的中点尸，连接EF,8F.利用三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理即可得出.(2)利 用%-CDQ=X，八4 SAC D CI，即可得出.本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属中档题.20.【答案】解析：(1)甲组20名同学成绩的中位数是号幺=1

25、19,v 20 x 80%=16,.甲组20名同学成绩的第80百 分 位 数 为 殁 史=133；(2)由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为：(105 x 0.010+115 x0.020+125 x 0.025+135 x 0.030+145 x 0.015)x 10=127分，(3)甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，乙组20名同学的成绩不低于140分的W0.015 x 10 x 20=3个，记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点共盘=10个，其中两个成绩不是同一组的样本点共C盘=6个，【解析】(1)根据中位数和百分位数的定义计算即可；

26、(2)根据平均数的定义计算即可;(3)根据古典概型公式计算即可.本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.21.【答案】(1)证明：RtPOB,PO=V3,OB=1,/.PB=2,因此PB=BC=2,E是中点，可得：P C 工BE,同理：PC 1 DE,：BE CDE =E,PC 1 BE D又因为P C u面P C 8,所以面P C B 1面BED(2)解：因为又E是中点，所以A E B C U A ED C,进而BE=DE,又因为。是B D的中点，所以O E J.B D,同理：OQJ.BD,所以NQOE二面角Q-B D E的平面角，在中，PO=AO=V 3,所以P4=n,在AP/IC中，O

27、,E分别是中点，所以nr-_ V60 E 2在R tA P H C中，P4=PC=逐,4。=2祗E是中点，Q是三等分点，所以QE=平，在A P 4 B中，PA=y/6,PA=AB=2,Q是三等分点，所以B Q=平，在R tA B O Q中，BO=1.BQ=,所以O Q=当，第1 4页，共1 6页所以 c os“O E =#=%:.si n“O E =y 1 0【解析】(1)由题意利用线面关系首先证得线面垂直，然后利用线面垂直证明面面垂直即可；(2)首先找到二面角的平面角，然后利用余弦定理求得二面角的余弦值，最后利用同角三角函数基本关系可得二面角Q -BD E 的平面角的正弦值.本题主要考查面面

28、垂直的证明，二面角的计算等知识，属于中等题.2 2.【答案】解：在 4D 1 中,由余弦定理得 A C?=DA2+D C2-2 DA-DCcosQ=l +4-2x lx 2 c os=5 +2 值,6于是四边形 4 88 的面积为：S=Sh A D C+Sh A B C=DA-DCsind+-AC2=-x l x 2x-+业=业 平 方 百 米.2 2 4 4 -J(2)在 A D C 中，由余弦定理得：AC2=D A2+D C2-2 DA DCcosO=1 4-4 2x lx 2x cosO=5 -4c os6,AC=BC=V 5 -4c os8,在 A D C 中，由正弦定理得sin6 s

29、inz.DCA口”.DAsinG sin。即 si n/D C A =-=-7=,又DA D C,所以N 0 C 4 为锐角，cosDCA=V 1 -sin2DCA=:叫,V5-4cos07i n n cos乙DCB=cosZ.DCA 4-)=cosZ-DCAcos sinZ-DCAsin 2-cosd V3sin0-2V5-4COS0 2,5 4cos。在A D B C 中，由余弦定理得：D B2=D C2+B C2-2 DC-BCcos乙DCB,-2 cosd V 3 si n0=4+5 4c os。2 x 2 x vS 4c os0 x(-)2 V 5 -4c os0 2 V 5 -4c

30、 os0=5 +2 K si n。-2 c os0 =5 +4si n(0 -7),6 e G(0,兀)，e=争寸，BD的最大值为3百米.【解析】在 4D C 中，由余弦定理得 2=1+4-2 x 1 x2 c os警=5+2 旧，于是四边形A 8 C。的面积为：S=SA D C+SA B C,据此可得四边形A B C。的面积；(2)在4 A D C 中，由余弦定理得:AC2=5-4c os0,在4 4 D C 中，由正弦定理得si n 40 c A =竺 绊=/在4 D B C 中，由余弦定理得：D B2=5 +4si n(6-7)据此整理计算AC V5-4COS0 6/可 得 昨 争 寸，即的最大值为3百米.本题主要考查解三角形的实际应用，正弦定理、余弦定理的应用等知识，属于中等题.第16页，共16页